Glossary
术语表
每个术语：中文 · 英文原词 · 一句白话解释 · 第一次出现的页面。讲义正文里带虚线的词，就是这里的术语。
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集合set
把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
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元素element
集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
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子集subset
A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
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空集empty set
一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
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并集union
至少属于其中一个集合的元素全体，A ∪ B 对应「A 或 B」。
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交集intersection
同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
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补集complement
样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
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差集set difference
在 A 里但不在 B 里的元素，记作 A \ B，等于 A ∩ Bᶜ。
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幂集power set
一个集合的所有子集组成的集合族，记作 2^Ω；n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集。
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集合族family of sets
元素本身都是集合的集合，例如事件族 𝓕。
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德摩根律De Morgan's laws
「并的补 = 补的交」「交的补 = 补的并」，把「非（A 或 B）」变成「非 A 且非 B」。
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两两不交pairwise disjoint
一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
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笛卡尔积Cartesian product
A × B 是所有有序对 (a, b) 组成的集合；Aⁿ 是所有长度为 n 的数组。
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可数countable
元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
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不可数uncountable
无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
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有理数rational number
能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
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稠密dense
任何一小段区间里都能找到它的点，例如有理数在实数轴上稠密。
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区间interval
数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
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等价关系equivalence relation
满足自反、对称、传递的「相似」关系，能把集合分成互不重叠的等价类。
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等价类equivalence class
在等价关系下彼此「相似」的元素组成的一组。
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选择公理axiom of choice
允许从无穷多个非空集合里各挑一个元素，组成一个新集合；维塔利集就是这样造的。
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当且仅当if and only if (iff)
「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
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函数function / map
f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
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原像preimage
f⁻¹(B) 是「所有被 f 送进 B 的输入」组成的集合，可测性就是用原像定义的。
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示性函数indicator function
𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
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上确界supremum (sup)
最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
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下确界infimum (inf)
最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
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上极限limit superior (lim sup)
数列「尾部的最大可能值」的极限；对集合则表示「发生无穷多次」。
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下极限limit inferior (lim inf)
数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
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级数series
无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
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单调递增nondecreasing
后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
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逐点收敛pointwise convergence
对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
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上界upper bound
数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
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下界lower bound
数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
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部分和partial sum
级数 a₁ + a₂ + … 的前 n 项之和 Sₙ = a₁ + … + aₙ；级数的值就是 Sₙ 在 n → ∞ 时的极限。
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左极限left limit
自变量从左边（比 x 小的一侧）靠近 x 时，函数值趋向的数，记作 f(x−)。分布函数在 x 处的跳跃 F(x) − F(x−) 就是 P(X = x)。
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右极限right limit
自变量从右边（比 x 大的一侧）靠近 x 时，函数值趋向的数，记作 f(x+)。分布函数总是右连续的：F(x+) = F(x)。
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一致收敛uniform convergence
所有点上的最大差距 supₓ |fₙ(x) − f(x)| → 0。比逐点收敛强：不允许某些点收敛得特别慢。
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一致有界uniformly bounded
存在同一个常数 M，使所有 n、所有点 x 都有 |fₙ(x)| ≤ M。「一致」是指一个 M 管住整列函数。
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三角不等式triangle inequality
|a + b| ≤ |a| + |b|：分两段走的总路程不会比直接走更短。推广有 |∫f| ≤ ∫|f|、E|X + Y| ≤ E|X| + E|Y|，以及 Lᵖ 范数的 Minkowski 不等式。
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反向三角不等式reverse triangle inequality
| |a| − |b| | ≤ |a − b|：两个数的绝对值之差不超过它们的距离。常用来从「fₙ 接近 f」推出「|fₙ| 接近 |f|」。
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可求和summable
非负数列的级数和有限：Σ aₙ < ∞。例如 Σ 1/n² 可求和，Σ 1/n 不可求和（和是 +∞）。
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样本空间sample space
一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
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样本点sample point
一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
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事件event
样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
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随机变量random variable
从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
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随机过程stochastic process
一族随时间变化的随机变量 {Sₜ}；固定 ω 得到一条路径。
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σ-代数sigma-algebra
允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
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生成的 σ-代数generated sigma-algebra
包含给定集合族的最小 σ-代数 σ(𝒞)：只加入「被逼着加入」的集合。
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博雷尔 σ-代数Borel sigma-algebra
由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
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可测空间measurable space
一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
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可测集measurable set
σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
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测度measure
给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
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测度空间measure space
三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
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概率测度probability measure
总质量 P(Ω) = 1 的测度。
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概率空间probability space
三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
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可数可加性countable additivity
两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
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有限可加性finite additivity
两两不交的有限个集合，并集的测度等于各自测度之和。可数可加性是它的加强版：可数无穷多个集合也成立。
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次可加性subadditivity
并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。
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从下连续continuity from below
集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。
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从上连续continuity from above
集合一层层变小（Eₙ ↓ E）且 μ(E₁) < ∞ 时，μ(Eₙ) → μ(E)。
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点质量point mass (Dirac measure)
把全部质量 1 放在一个点上：δ₀(E) = 1 当且仅当 0 ∈ E。
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初等集elementary set
有限个有界区间的不交并；它的「长度」就是各区间长度之和。
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乔丹容量Jordan content
用有限个区间从里、从外逼近一个集合；两边逼近值相等时才有定义。
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外测度outer measure
用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。
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卡拉泰奥多里Carathéodory
卡拉泰奥多里判别：用 E 去切任何集合 A，两块外测度之和都等于 m*(A)。
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维塔利集Vitali set
用选择公理造出的「坏」集合，证明了不可能给 ℝ 的所有子集定义长度。
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平移不变性translation invariance
把集合整体平移，测度不变：μ(E + t) = μ(E)。长度就有这个性质。
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勒贝格测度Lebesgue measure
实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
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勒贝格可测Lebesgue measurable
能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。
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零测集null set
测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
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完备测度complete measure
零测集的任何子集也都可测（并且测度为 0）。
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分割partition
把区间 [a,b] 用分点 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b 切成小段。
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达布和Darboux sums
每小段取函数的下确界（或上确界）乘以长度再求和；上下和夹住黎曼积分。
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振幅oscillation
函数在一小段上的「最高值减最低值」M − m，衡量函数在那里抖动得多厉害。
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黎曼积分Riemann integral
大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
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狄利克雷函数Dirichlet function
在有理点取 1、无理点取 0 的函数；黎曼不可积，勒贝格积分为 0。
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可测函数measurable function
对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
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简单函数simple function
只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
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标准表示canonical representation
把简单函数写成 Σ aₖ 𝟏_{Aₖ}，其中 aₖ 各不相同、Aₖ = {s = aₖ}。
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勒贝格积分Lebesgue integral
按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
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正部positive / negative part
f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，|f| = f⁺ + f⁻。
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几乎处处almost everywhere (a.e.)
除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
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可积integrable (L¹)
∫|f| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
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单调收敛定理monotone convergence theorem (MCT)
非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
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Fatou 引理Fatou's lemma
非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
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控制收敛定理dominated convergence theorem (DCT)
fₙ → f 几乎处处且 |fₙ| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
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有界收敛定理bounded convergence theorem (BCT)
有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
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期望expectation
随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
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分布law / distribution
X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
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无意识统计学家定律law of the unconscious statistician (LOTUS)
求 g(X) 的期望，不必先求出 g(X) 的分布，直接把 g 对 X 的分布 𝓛(X) 积分；X 有密度 f 时就是 E g(X) = ∫ g(x) f(x) dx。
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尾概率tail probability
随机变量取到「很大的值」的概率，例如 P(X > t) 或 P(|X| ≥ t)。它随 t 增大而下降得越慢，分布的尾巴就越「厚」。
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二重积分double integral
对两个变量一起积分：∬ f(x, y) dx dy。Fubini–Tonelli 定理说明什么时候可以拆成先对一个变量、再对另一个变量的两次积分。
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累积分布函数cumulative distribution function (CDF)
F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
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反函数inverse function
f 把不同的输入送到不同的输出时，反函数 f⁻¹ 把输出送回原来的输入：f⁻¹(f(x)) = x。例：ln 是 eˣ 的反函数。注意：集合的原像 f⁻¹(D) 不需要反函数存在。
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分位数quantile
Q(u) = inf{x : F(x) ≥ u}，是 CDF 的「广义反函数」。
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逆变换法inverse transform method
U 服从 (0,1) 上的均匀分布时，Q(U) 的分布函数恰好是 F，用来生成任意分布。
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概率密度density
满足 P(X ∈ B) = ∫_B f(x) dx 的函数 f；有密度等价于 CDF 绝对连续。
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绝对连续absolute continuity
函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
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康托尔集Cantor set
反复挖掉中间三分之一得到的集合：不可数，但长度为 0。
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阶矩moment
E[|X|ᵖ] 叫 p 阶（绝对）矩；它有限与否反映尾部有多「重」。
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凸函数convex function
图像上任意两点连线都在图像上方的函数，例如 x²、eˣ。
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Jensen 不等式Jensen's inequality
φ 凸时 φ(E X) ≤ E φ(X)，例如 (E X)² ≤ E X²。
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Hölder 不等式Hölder's inequality
E|XY| ≤ ‖X‖_p ‖Y‖_q（1/p + 1/q = 1）；p = q = 2 就是柯西–施瓦茨不等式。
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Markov 不等式Markov's inequality
X ≥ 0 时 P(X ≥ t) ≤ E X / t：期望小，取大值的概率就小。
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Chebyshev 不等式Chebyshev's inequality
P(|X − μ| ≥ t) ≤ σ² / t²：方差控制偏离均值的概率。
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方差variance
Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
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π-λ 定理Dynkin's π-λ theorem
两个概率测度如果在一个「对交集封闭」的集合族（π-系）上相等，就在这个族生成的整个 σ-代数上相等。所以验证两个测度相同，只需检查生成元。
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中值定理mean value theorem
f 在 [a,b] 上连续、在 (a,b) 内可导，则存在某个 ξ ∈ (a,b) 使 f(b) − f(a) = f′(ξ)(b − a)：总增量等于某一点的斜率乘以区间长度。
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分部积分integration by parts
∫ₐᵇ u v′ dx = [u v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′ v dx：把求导从一个函数挪到另一个函数上。由乘积求导法则 (uv)′ = u′v + uv′ 两边积分得到。
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奇异连续分布singular continuous distribution
没有原子（每一点的概率都是 0），却没有密度的分布：全部质量集中在一个长度为 0 的集合上，例如康托尔分布。
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凹函数concave function
−φ 是凸函数时，φ 叫凹函数：任意两点间的弦都在图像下方，例如 log x、√x。对凹函数，Jensen 不等式反向：E φ(X) ≤ φ(E X)。
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柯西–施瓦茨不等式Cauchy–Schwarz inequality
E|XY| ≤ √(E X²) · √(E Y²)：Hölder 不等式取 p = q = 2 的特例。
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无穷多次infinitely often (i.o.)
「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
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Borel–Cantelli 引理Borel–Cantelli lemma
概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
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独立independence
任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
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几乎必然收敛almost sure convergence
除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
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依概率收敛convergence in probability
对每个 ε > 0，P(|Xₙ − X| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
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偏差概率deviation probability
Xₙ 和目标 X 相差超过 ε 的概率 P(|Xₙ − X| > ε)。它趋于 0 就是依概率收敛；对每个 ε 它都可求和时，由 Borel–Cantelli 引理可推出几乎必然收敛。
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打字机序列typewriter sequence
在 [0,1) 上从左到右一遍遍扫过、越来越窄的小区间的示性函数列：依概率收敛到 0，却在每一点都不收敛。
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子列subsequence
从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
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Radon–Nikodym 导数Radon–Nikodym derivative
Q ≪ P 时存在 L = dQ/dP ≥ 0，使 Q(A) = ∫_A L dP；它是「换测度的密度」。
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换测度change of measure
用 E_Q[X] = E_P[X · dQ/dP] 在两个概率之间换算期望。
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重要性抽样importance sampling
从另一个更合适的分布抽样，再乘以权重纠正，从而减小估计的方差。
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联合分布joint law (joint distribution)
随机向量 (X, Y) 在平面上的分布：对每个平面博雷尔集 B 给出 P((X, Y) ∈ B)。只知道边缘分布不能确定它。
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边缘分布marginal law
随机向量中单个坐标的分布，例如 P(X ∈ A) = P((X, Y) ∈ A × ℝ)。
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协方差covariance
Cov(X, Y) = E[(X − EX)(Y − EY)]，衡量两个变量一起变大或变小的倾向。独立 ⇒ 协方差为 0，反之一般不成立。
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独立同分布independent and identically distributed (i.i.d.)
一列随机变量相互独立，并且分布都相同，例如反复独立地掷同一颗骰子。
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乘积空间product space
笛卡尔积 Ω₁ × Ω₂，配上乘积 σ-代数（以及乘积测度）。
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σ-有限σ-finite
整个空间能切成可数多块测度有限的部分。概率测度、长度都满足；不可数集上的计数测度不满足。
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可测矩形measurable rectangle
形如 A₁ × A₂ 的集合，A₁、A₂ 分别是两个空间里的可测集。
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乘积 σ-代数product σ-algebra
由所有可测矩形生成的 σ-代数，记作 F₁ ⊗ F₂；它也是让两个坐标映射都可测的最小 σ-代数。
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乘积测度product measure
在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。
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π-λ 定理Dynkin's π-λ theorem
π-系（对有限交封闭）包含于 λ-系时，它生成的 σ-代数也包含于该 λ-系。常用来证明「两个测度在生成元上相等就处处相等」。
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截口slice (section)
固定一个坐标、把二维集合或函数「切一刀」：A_ω₁ = {ω₂ : (ω₁, ω₂) ∈ A}，f_ω₁(ω₂) = f(ω₁, ω₂)。
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累次积分iterated integral
一层一层地积分：先固定一个变量、对另一个变量积分，再对剩下的变量积分。
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Fubini 定理Fubini's theorem
f 关于乘积测度绝对可积（∬|f| < ∞）时，二重积分等于两种顺序的累次积分。
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Tonelli 定理Tonelli's theorem
f 非负可测、两个测度 σ-有限时，二重积分等于两种顺序的累次积分，三者可以同时为 ∞。
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计数测度counting measure
μ(A) = A 中元素的个数（无限集记为 ∞）。在 ℕ 上对它积分就是求和。
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柱集cylinder set
只对有限个坐标提条件的集合，如 {ω₁ ∈ B₁, …, ωₙ ∈ Bₙ}，其余坐标任取。
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尾事件tail event
改动任意有限个坐标都不影响是否发生的事件，例如「序列 ω₁, ω₂, … 收敛」。
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两两独立pairwise independence
任意两个都独立。比相互独立弱：三个事件可以两两独立却不相互独立。
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多元正态分布multivariate normal distribution
由均值向量 μ 和正定协方差矩阵 Σ 决定的高维钟形分布。对它而言，不相关等价于独立。
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协方差矩阵covariance matrix
第 (i, j) 个元素是 Cov(Xᵢ, Xⱼ) 的矩阵，对角线上是各分量的方差。
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相关系数correlation coefficient
ρ = Cov(X, Y) / √(Var X · Var Y)，在 −1 到 1 之间，衡量线性相关的强弱。
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正定positive definite
对称矩阵 Σ 满足：对所有非零向量 x，xᵀΣx > 0。多元正态要求协方差矩阵正定。
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极坐标polar coordinates
用到原点的距离 r 和角度 θ 表示平面上的点：x = r cos θ，y = r sin θ。在极坐标下做二重积分时 dx dy = r dr dθ。
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依测度收敛convergence in measure
对每个 ε > 0，μ(|fₙ − f| > ε) → 0：偏差超过 ε 的区域，测度越来越小。在概率空间上就是依概率收敛。
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依概率有界bounded in probability (tight)
一列随机变量不会以不可忽略的概率跑到无穷远：sup_n P(|Xₙ| > λ) → 0（λ → ∞）。依概率收敛的序列一定依概率有界。
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强大数定律strong law of large numbers (SLLN)
独立同分布且 E|X₁| < ∞ 时，样本均值 Sₙ/n 几乎必然收敛到 E X₁。
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特征函数characteristic function
φ_X(t) = E e^{itX}（i 是虚数单位），把一个分布编码成一个函数：两个随机变量同分布 ⟺ 特征函数相同。本课没有讲它，作业里只当作已知工具提到。
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弱大数定律weak law of large numbers (WLLN)
样本均值依概率收敛到真实均值：对每个 ε > 0，P(|Sₙ/n − μ| > ε) → 0。方差有限时可由 Chebyshev 不等式直接推出。
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推广的控制收敛定理generalized dominated convergence theorem
|fₙ| ≤ gₙ，fₙ → f，gₙ → g，且 ∫gₙ → ∫g < ∞，则 ∫fₙ → ∫f：控制函数也可以随 n 变化。
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Scheffé 引理Scheffé's lemma
非负可积的 fₙ → f 几乎处处，且 ∫fₙ → ∫f < ∞，则 ∫|fₙ − f| → 0。概率密度逐点收敛，分布就在全变差意义下收敛。
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指数分布exponential distribution
P(X > x) = e^(−λx)（x ≥ 0）的分布，均值 1/λ，常用来描述等待时间。
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标准正态分布standard normal distribution
均值 0、方差 1 的正态分布 N(0, 1)，密度 exp(−x²/2)/√(2π)，分布函数记作 Φ。
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依分布收敛convergence in distribution
在极限分布函数 F 的每个连续点 x 上，P(Xₙ ≤ x) → F(x)。它只比较分布，不要求 Xₙ 本身靠近 X。
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中心极限定理central limit theorem (CLT)
独立同分布、方差 σ² 有限时，(Sₙ − nμ)/(σ√n) 依分布收敛到标准正态分布：大量独立小误差之和近似正态。
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Kolmogorov 极大不等式Kolmogorov's maximal inequality
独立、均值 0、方差有限时，P(max(|S₁|, …, |Sₙ|) ≥ λ) ≤ Var(Sₙ)/λ²：控制的是整条路径的最大值，而不只是终点。
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Kronecker 引理Kronecker's lemma
若 0 < aₙ ↑ ∞ 且级数 ∑ xₙ/aₙ 收敛，则 (x₁ + ⋯ + xₙ)/aₙ → 0：把「级数收敛」翻译成「平均趋于 0」。
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经验分布函数empirical distribution function
Fₙ(x) = 样本 X₁, …, Xₙ 中不超过 x 的个数 ÷ n，即样本里 ≤ x 的比例；它是真实分布函数 F 的估计。
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Glivenko–Cantelli 定理Glivenko–Cantelli theorem
独立同分布样本的经验分布函数几乎必然一致收敛到真实分布函数：supₓ |Fₙ(x) − F(x)| → 0。
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Slutsky 定理Slutsky's theorem
Xₙ 依分布收敛到 X，Yₙ 依概率收敛到常数 c，则 Xₙ + Yₙ 依分布收敛到 X + c，XₙYₙ 依分布收敛到 cX。
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条件期望conditional expectation
E[X | 𝓕] 是已知 σ-代数 𝓕 中的信息时对 X 的最佳猜测；它本身是一个 𝓕-可测的随机变量。
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鞅martingale
适应、可积且 E[Xₙ₊₁ | 𝓕ₙ] = Xₙ 的随机过程：公平游戏，已知过去时对下一步的最佳猜测就是现在的值。
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停时stopping time
取值为 0, 1, 2, …（或 ∞）的随机时刻 T，「是否在第 n 步停下」只依赖前 n 步的信息：{T = n} ∈ 𝓕ₙ。
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可选停止定理optional stopping theorem
在适当条件下（如 T 有界，或 E T < ∞ 且每步增量有界），鞅在停时处的期望等于初值：E M_T = E M₀。
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赌徒破产gambler's ruin
资本从 b 出发，每局公平地赢 1 或输 1，直到输光（0）或达到目标 a 为止；破产概率是 1 − b/a，平均局数是 b(a − b)。
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分支过程branching process (Galton–Watson process)
每个个体独立地产生随机个后代，Zₙ 是第 n 代的个体数；若平均后代数是 μ，则 Zₙ/μⁿ 是鞅。
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Riesz 子列定理Riesz's subsequence theorem
依测度（依概率）收敛的序列，一定有一个子列几乎处处收敛到同一个极限。
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一致可积uniformly integrable (UI)
一族随机变量的尾部期望一致地变小：supₜ E[|Xₜ|; |Xₜ| > λ] → 0（λ → ∞）。它是「依概率收敛 ⇒ 期望收敛」的关键条件。
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Kolmogorov 0-1 律Kolmogorov's zero–one law
独立随机变量序列的尾事件（改动前面有限项不受影响的事件）概率只能是 0 或 1。