高等概率论逐页精讲

第 1 讲 · 47 页课件

测度与积分

Measure and Integration for Probability

先弄清「哪些集合可以谈概率」（σ-代数），再把「长度」推广成测度，最后建立勒贝格积分，并学会用 MCT、Fatou 引理、DCT 判断极限和积分能不能交换。

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开篇

  1. 01 封面：为概率打地基的测度与积分Measure and Integration for Probability 幻灯片 1/42 · 封面
  2. 02 本讲目标：学完要会什么What this topic builds 幻灯片 2/42 · 学习目标
  3. 03 目录：本讲五个部分与「概率空间三件套」Contents 幻灯片 3/42 · 目录

第 1 部分　概率空间与可测事件Probability spaces and measurable events

  1. 04 路线图：进入第 1 部分Where we are 幻灯片 4/42 · 路线图
  2. 05 概率模型从「所有可能的世界」开始A probabilistic model starts with complete possible worlds 幻灯片 5/42 · 定义
  3. 06 事件：把满足某个性质的结果收集起来Events collect outcomes for which a property holds 幻灯片 6/42 · 定义
  4. 07 板书续页：无穷次抛硬币、上极限与下极限Handwritten page: infinite coin tosses, limsup and liminf 幻灯片 — · 板书续页
  5. 08 概率的分配必须尊重可数拆分（可数可加性）Probability weights must respect countable decompositions 幻灯片 7/42 · 定义
  6. 09 σ-代数：对可数次「或、且、非」封闭的事件族A sigma-algebra is closed under countable event logic 幻灯片 8/42 · 定义
  7. 10 为什么不总是取全部子集 2^Ω？Why not always choose 2^Ω? 幻灯片 9/42 · 讨论
  8. 11 生成的 σ-代数：只添加「被迫加入」的集合The generated sigma-algebra adds exactly what is forced 幻灯片 10/42 · 定义
  9. 12 测度空间：把「事件范围」和「重量」分开Measure spaces separate the event domain from the weights 幻灯片 11/42 · 定义
  10. 13 测度的从下连续性Continuity from below 幻灯片 12/42 · 定理
  11. 14 从上连续性，以及它必需的有限条件Continuity from above and its necessary hypothesis 幻灯片 13/42 · 定理

第 2 部分　从乔丹容量到外测度From Jordan content to outer measure

  1. 15 路线图：进入第 2 部分（从乔丹测度到勒贝格测度）Where we are 幻灯片 14/42 · 路线图
  2. 16 乔丹容量：用有限个区间从里、从外逼近Jordan content uses finite inner and outer approximation 幻灯片 15/42 · 定义
  3. 17 有限覆盖只看见「稠密」，可数覆盖能跟住每个点Finite covers see density; countable covers follow points 幻灯片 16/42 · 例子
  4. 18 外测度：可数覆盖总长度的下确界Outer measure is the infimum of countable covering costs 幻灯片 17/42 · 定义

第 3 部分　勒贝格可测集与勒贝格测度Lebesgue measurable sets and measure

  1. 19 路线图：进入第 3 部分Where we are 幻灯片 18/42 · 路线图
  2. 20 卡拉泰奥多里判别：任意切一刀，总成本不变The Carathéodory test asks whether every cut preserves cost 幻灯片 19/42 · 定义
  3. 21 维塔利定理：长度无法定义在所有子集上Vitali theorem: length cannot live on every subset 幻灯片 20/42 · 定理
  4. 22 可数可加性导出矛盾（维塔利定理的证明）Countable additivity forces the contradiction 幻灯片 21/42 · 证明
  5. 23 构造完成：勒贝格测度正好满足概率的需要The construction delivers exactly what probability needs 幻灯片 22/42 · 定理

第 4 部分　勒贝格积分Lebesgue integration

  1. 24 路线图：进入第 4 部分Where we are 幻灯片 23/42 · 路线图
  2. 25 达布和：把黎曼可积的判别写清楚Darboux sums make the Riemann criterion explicit 幻灯片 24/42 · 定义
  3. 26 勒贝格保留「台阶」，但换了台阶的底Lebesgue keeps the staircases but changes their base sets 幻灯片 25/42 · 图解
  4. 27 有界且黎曼可积 ⇒ 勒贝格可积，积分值相同Bounded Riemann integrability implies Lebesgue integrability 幻灯片 26/42 · 定理
  5. 28 反过来不成立：狄利克雷函数Lebesgue integrability does not imply Riemann integrability 幻灯片 27/42 · 例子
  6. 29 可测函数：积分的「合法输入」Measurable functions are the inputs to the integral 幻灯片 28/42 · 定义
  7. 30 示性函数与简单函数：积分的「原子」Indicators are the atomic measurable functions 幻灯片 29/42 · 定义
  8. 31 简单函数的积分与写法无关The simple integral is representation independent 幻灯片 30/42 · 定理
  9. 32 简单函数积分的线性与单调性Linearity and monotonicity for simple functions 幻灯片 31/42 · 定理
  10. 33 从下方逼近：把积分推广到非负可测函数Extend the simple integral by lower approximation 幻灯片 32/42 · 定义
  11. 34 只要可测，就能用递增的简单函数逼近Measurability alone gives an increasing simple approximation 幻灯片 33/42 · 定理

第 5 部分　MCT、Fatou 引理、DCT、BCTMCT, Fatou's Lemma, DCT, BCT

  1. 35 路线图：进入第 5 部分Where we are 幻灯片 34/42 · 路线图
  2. 36 单调收敛定理（MCT）Monotone convergence theorem 幻灯片 35/42 · 定理
  3. 37 板书续页：单调收敛定理的证明（续）Handwritten page: proof of MCT, continued 幻灯片 — · 板书续页
  4. 38 用 MCT 把可加性推广到所有非负可测函数MCT extends simple-function additivity to all f, g ≥ 0 幻灯片 36/42 · 定理
  5. 39 只有逐点收敛时，「质量」会丢失Pointwise convergence alone does not preserve mass 幻灯片 37/42 · 例子
  6. 40 尾部下确界找回单调性：liminf 与 limsupTail infima recover the monotonicity needed by MCT 幻灯片 38/42 · 定义
  7. 41 Fatou 引理：积分的下极限，至少是下极限的积分Fatou's lemma 幻灯片 39/42 · 定理
  8. 42 板书续页：Fatou 引理的应用——单调函数导数的积分Handwritten page: an application of Fatou's lemma 幻灯片 — · 板书续页
  9. 43 在 L¹ 里：零测集上改值、线性组合都无害On L¹, null changes and linear combinations are harmless 幻灯片 40/42 · 定理
  10. 44 控制收敛定理（DCT）：有可积的「屋顶」，极限和积分就能交换Dominated convergence theorem 幻灯片 41/42 · 定理
  11. 45 板书续页：控制收敛定理的证明（收尾）与使用方法Handwritten page: proof of DCT, continued 幻灯片 — · 板书续页
  12. 46 有界收敛定理（BCT）：有限测度 + 一致有界，极限就能换积分Bounded convergence is a finite measure corollary 幻灯片 42/42 · 定理
  13. 47 板书总结：一页看懂整讲Handwritten page: the whole topic on one page 幻灯片 — · 总结