16 子列判别法：依概率收敛 ⟺ 每个子列都有几乎必然收敛的子子列 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

依概率收敛本身不保证任何一条路径收敛（第 15 页），但它总能「挑出」几乎必然收敛：从任何一个子列里，都能再挑出一个子子列几乎必然收敛到 $X 。$ 反过来，如果每个子列都能这样挑，序列就依概率收敛。这就是定理 12，它是连接两种收敛的桥。

这是第 2 部分「随机变量的收敛」的核心定理。

第 14 页：几乎必然 ⇒ 依概率。第 15 页：反过来不成立（打字机序列处处不收敛）。
本页：虽然反过来不成立，但差得不多——依概率收敛「在子列上」就是几乎必然收敛。
为什么重要：第 1 讲的强力工具（DCT、Fatou、连续函数保持极限……）都是为几乎必然（逐点）收敛设计的。有了子列判别法，可以先挑子列、在子列上用这些工具，再「回到」整个序列。下一页第 17 页的连续映射定理、第 20 页–第 21 页的依概率控制收敛定理都是这样证的。
课件还特意加了一个 Remark：只有一个收敛的子列是不够的。

先补基础

基础补课子列（subsequence）

从数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ 里按原来的顺序挑出无穷多项，组成的新数列叫子列。用一列严格递增的正整数 $n_{1} < n_{2} < n_{3} < \dots$ 记录挑了哪些位置，子列就是 $a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, a_{n_{3}}, \dots 。$
例： $a_{n} = (- 1)^{n} 。$ 挑偶数位置 $n_{k} = 2 k ，$ 子列是 $1, 1, 1, \dots ；$ 挑奇数位置 $n_{k} = 2 k - 1 ，$ 子列是 $- 1, - 1, \dots 。$
子子列：对子列再挑一次子列。记录方式是再取一列递增的正整数 $k_{1} < k_{2} < \dots ，$ 得到 $a_{n_{k_{1}}}, a_{n_{k_{2}}}, \dots 。$ 它仍是原数列的子列（位置 $n_{k_{1}} < n_{k_{2}} < \dots ）。$
一个总能用的事实： $n_{k} \geq k$ （第 $k$ 个被挑出的位置不早于第 $k$ 个位置），所以 $k \to \infty$ 时 $n_{k} \to \infty 。$ 于是收敛数列的每个子列都收敛到同一个极限。

基础补课实数列的「子列判别法」

对实数列 $(a_{n})$ 和实数 $a ：$

a_{n} \to a ⟺ 每个子列 (a_{n_{k}}) 都有子子列 (a_{n_{k_{j}}}) \to a .

（⇒）收敛数列的子列、子子列都收敛到 $a 。$
（⇐）反设 $a_{n} \neq \to a 。$ 按极限的定义取反：存在 $δ > 0 ，$ 使得对每个 $N$ 都有某个 $n \geq N$ 满足 $∣ a_{n} - a ∣ > δ 。$ 于是能挑出一个子列，每一项都满足 $∣ a_{n_{k}} - a ∣ > δ 。$ 这个子列的任何子子列也每项都离 $a$ 超过 $δ ，$ 不可能收敛到 $a 。$ 矛盾。

这个「取反后挑出一个坏子列」的论证，本页（⇐）方向会原样再用一次。

基础补课第一 Borel–Cantelli 引理的加强用法（第 10 页推论 7′）

若正数 $ε_{j} \to 0 ，$ 且 $\sum_{j} P (∣ Z_{j} - Z ∣ > ε_{j}) < \infty ，$ 则 $Z_{j} \to Z$ 几乎必然（第 10 页「推导」一节）。理由：由第一引理（第 4 页），几乎每个 $ω$ 只有有限个 $j$ 满足 $∣ Z_{j} (ω) - Z (ω) ∣ > ε_{j} ；$ 之后一直有 $∣ Z_{j} (ω) - Z (ω) ∣ \leq ε_{j} \to 0 。$

课件原文逐句精读

课件原文The subsequence criterion

Theorem 12 (Subsequence criterion)

Remark: one convergent subsequence is insufficient

中文翻译

（标题：子列判别法）

定理 12（子列判别法）

注：只有一个收敛的子列是不够的

The subsequence criterion：subsequence 是子列，criterion 是判别法、判据。合起来：「用子列来判断是否依概率收敛的方法」。
Theorem 12：定理 12，编号接着第 14 页的命题 11。正文留白。
Remark: one convergent subsequence is insufficient：remark 是注记，insufficient 是不充分。意思是：定理 12 的条件说的是「每个子列都有收敛的子子列」，不能偷懒换成「存在一个收敛的子列」。下面给反例。
设定沿用第 9 页： $X_{n} 、$ $X$ 是同一个概率空间上的实值随机变量。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Theorem 12 (Subsequence criterion)｜定理 12（子列判别法）

定理 12（子列判别法）

设 $X_{n} 、$ $X$ 是 $(Ω, F, P)$ 上的实值随机变量。则

X_{n} P X ⟺ 对 (X_{n}) 的每个子列 (X_{n_{k}})_{k \geq 1} ，都存在子子列 (X_{n_{k_{j}}})_{j \geq 1} 使 X_{n_{k_{j}}} \to X 几乎必然 .

特别地（取子列为整个序列）：若 $X_{n} P X ，$ 则存在子列 $X_{n_{j}} \to X$ 几乎必然。

逐个看：

「每个子列」：不是只看一个子列，而是任意挑出来的子列都要满足。这一点在（⇐）方向是关键，Remark 会说明。
「存在子子列」：不同的子列可以挑出不同的子子列，子子列依赖于你先挑的子列。
几乎必然收敛到同一个 $X$ ：所有子子列的极限必须是同一个 $X 。$
对比实数列的判别法（先补基础）：形式一模一样，只是把「数列收敛」换成「依概率收敛」，把「子子列收敛」换成「子子列几乎必然收敛」。

推导证明思路

（⇒）任给子列，它仍依概率收敛；从中挑出偏差概率小于 $2^{- j}$ 的项，概率之和有限，第一 Borel–Cantelli 引理给出几乎必然收敛。（⇐）反证：若不依概率收敛，就有一个子列，它的偏差概率始终不小于某个 $δ ；$ 但它的子子列几乎必然收敛，从而依概率收敛，偏差概率趋于 0，矛盾。

（⇒）依概率收敛 ⇒ 每个子列都有几乎必然收敛的子子列。

子列仍依概率收敛。任给子列 $(X_{n_{k}}) 。$ 对每个 $ε > 0 ，$ 数列 $p_{n} = P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \to 0 ，$ 它的子列 $p_{n_{k}} \to 0$ （先补基础）。所以 $X_{n_{k}} P X 。$
逐个挑项。依次选 $k_{1} < k_{2} < k_{3} < \dots ，$ 使

P (∣ X_{n_{k_{j}}} - X ∣ > \frac{1}{j}) \leq 2^{- j} (j = 1, 2, \dots) .

能选出来的理由：已经选好 $k_{j - 1}$ 后，对固定的容忍度 $\frac{1}{j} ，$ 第 1 步说 $P (∣ X_{n_{k}} - X ∣ > \frac{1}{j}) \to 0$ （ $k \to \infty ），$ 所以存在 $K ，$ 使所有 $k \geq K$ 都满足这个概率 $\leq 2^{- j} ；$ 取 $k_{j} = max (K, k_{j - 1} + 1)$ 即可（ $j = 1$ 时取 $k_{1} = K ）。$ 3. 概率之和有限。

j = 1 \sum \infty P (∣ X_{n_{k_{j}}} - X ∣ > \frac{1}{j}) \leq j = 1 \sum \infty 2^{- j} = 1 < \infty.

第一 Borel–Cantelli 引理。令 $Z_{j} = X_{n_{k_{j}}} 、$ $ε_{j} = \frac{1}{j} \to 0 。$ 由第 3 步和加强版推论 7′（先补基础，第 10 页）， $Z_{j} \to X$ 几乎必然。即：几乎每个 $ω$ 只在有限个 $j$ 上满足 $∣ Z_{j} (ω) - X (ω) ∣ > \frac{1}{j} ，$ 此后一直有 $∣ Z_{j} (ω) - X (ω) ∣ \leq \frac{1}{j} \to 0 。$

（⇐）每个子列都有几乎必然收敛的子子列 ⇒ 依概率收敛。

反设不依概率收敛。按定义 10（第 14 页）取反：存在某个 $ε > 0 ，$ 使 $p_{n} = P (∣ X_{n} - X ∣ > ε)$ 不趋于 0。
挑出坏子列。实数列 $p_{n}$ 不趋于 0，由先补基础里的论证，存在 $δ > 0$ 和子列 $(n_{k}) ，$ 使

P (∣ X_{n_{k}} - X ∣ > ε) \geq δ 对所有 k .

用假设。对这个子列，假设给出子子列 $X_{n_{k_{j}}} \to X$ 几乎必然。
用命题 11。几乎必然收敛推出依概率收敛（第 14 页），所以 $P (∣ X_{n_{k_{j}}} - X ∣ > ε) \to 0$ （ $j \to \infty ）。$
矛盾。但第 2 步说这个子子列的每一项都满足 $P (∣ X_{n_{k_{j}}} - X ∣ > ε) \geq δ > 0 ，$ 不可能趋于 0。所以反设不成立， $X_{n} P X 。$ 证毕。

补充为什么第 2 步用 2⁻ʲ 和 1/j

$\frac{1}{j} ：$ 容忍度要越来越小，才能得到「收敛」而不只是「最终误差 $\leq$ 某个固定数」。
$2^{- j} ：$ 概率要加起来有限，才能用第一 Borel–Cantelli 引理。任何可求和的数列都行（例如 $\frac{1}{j ^{2}} ），$ $2^{- j}$ 只是最顺手的选择。
依概率收敛只保证「概率趋于 0」，不保证「趋于 0 得够快」。挑子列的作用就是跳过中间那些项，只留下概率已经足够小的项，人为地制造出「够快」。

Remark: one convergent subsequence is insufficient｜注：只有一个收敛子列是不够的

定理 12 的（⇒）方向给出：依概率收敛 ⇒ 存在几乎必然收敛的子列。它的逆命题「存在一个几乎必然收敛到 $X$ 的子列 ⇒ $X_{n} P X 」$ 是错的。

例子反例：偶数项收敛，奇数项一直离得很远

在 $([0, 1), B, λ)$ 上令

X_{n} = {0, 1_{[0, 1/2)}, n 为偶数, n 为奇数, X = 0.

有一个收敛的子列：偶数项子列 $X_{2}, X_{4}, X_{6}, \dots$ 全是 0，处处收敛到 0。
但不依概率收敛到 0：对奇数 $n ，$ $P (∣ X_{n} - 0∣ > \frac{1}{2}) = λ ([0, \frac{1}{2})) = \frac{1}{2} ，$ 不趋于 0。
对照定理 12：奇数项子列 $X_{1}, X_{3}, X_{5}, \dots$ 的每一项都是 $1_{[0, 1/2)} ，$ 它的任何子子列都是常数序列 $1_{[0, 1/2)} ，$ 几乎必然收敛到 $1_{[0, 1/2)} \neq = 0 。$ 所以「每个子列都有收敛到 0 的子子列」这个条件不满足，定理 12 不适用——这正是（⇐）方向必须要求「每个」的原因。

和实数列完全一样： $(- 1)^{n}$ 有收敛的子列（偶数项），但不收敛。一个收敛子列只说明数列「有时候」靠近极限；要说明它「最终总是」靠近，必须管住所有可能出问题的子列。第 21 页证明依概率控制收敛定理时正是因为这一点才用反证法（那一页最后一段有说明）。

例子

例 1：在打字机序列上走一遍（⇒）的构造

打字机序列（第 15 页）： $X_{n} P 0 ，$ $P (X_{n} = 1) = 2^{- m} < \frac{2}{n}$ （ $n = 2^{m} + k ）。$

取整个序列为「子列」。按第 2 步，第 $j$ 项要满足 $P (X_{n_{j}} = 1) \leq 2^{- j}$ （对 $\frac{1}{j} < 1 ，$ ${∣ X_{n} ∣ > \frac{1}{j}} = {X_{n} = 1} ）。$ 只要 $n_{j} \geq 2^{j + 1} ，$ 就有 $P (X_{n_{j}} = 1) < \frac{2}{n _{j}} \leq 2^{- j} 。$
取 $n_{j} = 2^{j + 1} ：$ 子列 $X_{n_{j}} = 1_{[0, 2^{- j - 1})} ，$ 在每个 $ω > 0$ 上最终为 0，几乎必然收敛到 0。和第 15 页例 3 挑出的子列本质相同。
换一个子列试试：先挑每块的最后一项 $n_{k} = 2^{k + 1} - 1 ，$ 再按同样的办法挑子子列，得到 $1_{[1 - 2^{- m}, 1)}$ 型的项，也几乎必然收敛到 0。不同的子列，挑出的子子列不同，但极限都是 0。

例 2：独立事件，P(Aₙ) = 1/n——用平方数下标

$A_{n}$ 相互独立， $P (A_{n}) = \frac{1}{n} ，$ $X_{n} = 1_{A_{n}} 。$ 第 14 页例 2 说 $X_{n} P 0 ，$ 但不几乎必然收敛。

挑子列 $n_{j} = j^{2} ：$ $\sum_{j} P (A_{j^{2}}) = \sum_{j} \frac{1}{j ^{2}} < \infty 。$
由第一 Borel–Cantelli 引理，几乎必然只有有限个 $A_{j^{2}}$ 发生，即 $X_{j^{2}} \to 0$ 几乎必然。
整个序列在 0、1 之间无穷次跳，平方数位置上却最终安静下来。这里甚至不需要用到 $2^{- j} ：$ $\frac{1}{j ^{2}}$ 已经可和。

例 3：一个小应用——依概率收敛保持非负

命题：若 $X_{n} \geq 0$ （对每个 $n$ 几乎必然成立）且 $X_{n} P X ，$ 则 $X \geq 0$ 几乎必然。

由定理 12，存在子列 $X_{n_{j}} \to X$ 几乎必然。
在事件「子列收敛」与「所有 $X_{n_{j}} \geq 0 」$ 的交上（可数个概率为 1 的事件之交，概率为 1）， $X (ω) = lim_{j} X_{n_{j}} (ω)$ 是非负数的极限，所以 $X (ω) \geq 0$ （实数列的极限保持 $\geq ）。$

直接从定义 10 证明这件事并不方便；用子列判别法，问题立刻化成「实数列极限保持不等号」。下一页第 17 页用的是同一个套路。

推导：一步一步来

应用：两种极限一致。 若 $X_{n} P X ，$ 同时 $X_{n} \to Y$ 几乎必然，则 $X = Y$ 几乎必然。

由命题 11， $X_{n} P Y 。$
依概率收敛的极限几乎必然唯一（第 14 页「推导」），所以 $X = Y$ 几乎必然。

或者用定理 12：取子列 $X_{n_{j}} \to X$ 几乎必然；它也是 $X_{n} \to Y$ 的子列，所以 $X_{n_{j}} \to Y$ 几乎必然；实数列的极限唯一，故在两个概率为 1 的事件之交上 $X = Y 。$

用子列判别法证明定理的通用套路（第 17 页、第 20 页、第 21 页都用它）：

想证：某个从 $X_{n}$ 造出来的量 $Z_{n}$ 依概率收敛（或某个数列 $a_{n}$ 收敛）。
任取一个子列，用定理 12（⇒）在里面挑出几乎必然收敛的子子列。
在子子列上用逐点工具（连续性、DCT、Fatou……）得到想要的结论。
回到整个序列：用定理 12（⇐）（对随机变量）或实数列的子列判别法（对数列），因为第 2 步的子列是任取的。

第 4 步之所以合法，正是因为第 2 步对每个子列都做了——这就是 Remark 强调的「每个」。

常见疑问与易错点

易错点问：依概率收敛的序列，是不是总有一个子列几乎必然收敛？那整个序列呢？

答：前者对：定理 12（⇒）取整个序列为子列即得。后者不一定：打字机序列依概率收敛，整个序列处处不收敛（第 15 页）。定理 12 只保证「子列层面」的几乎必然收敛。

易错点问：既然每个子列都有几乎必然收敛的子子列，为什么整个序列不几乎必然收敛？

答：因为子子列要「量身定做」，而且例外的零概率集也随子子列而变。在打字机序列里，任何一个点 $ω$ 都会被某个子列「专门挑中」：取所有打到 $ω$ 的下标组成的子列，它在 $ω$ 上恒为 1。这样的子列有不可数多个（每个 $ω$ 一个），每个子子列的例外集都是零集，但不可数多个零集的并可以是整个空间。实数列的判别法之所以能推出整个数列收敛，是因为那里只有「一个点」，不存在例外集合累积的问题。

易错点问：证明（⇒）时，为什么不能直接说「概率趋于 0，所以用 Borel–Cantelli」？

答：第一 Borel–Cantelli 引理要的是概率之和有限，不是概率趋于 0。打字机序列的偏差概率趋于 0，加起来却是无穷（第 15 页）。挑子列的意义就是只保留概率小于 $2^{- j}$ 的项，让和变成有限。

小结与自测

小结本页小结

定理 12： $X_{n} P X$ ⟺ 每个子列都有几乎必然收敛到 $X$ 的子子列。
（⇒）：子列仍依概率收敛；挑 $k_{j}$ 使 $P (∣ X_{n_{k_{j}}} - X ∣ > \frac{1}{j}) \leq 2^{- j} ；$ 概率可和，第一 Borel–Cantelli 引理给出几乎必然收敛。
（⇐）：反证，挑出偏差概率始终 $\geq δ$ 的坏子列；其子子列几乎必然收敛 ⇒ 依概率收敛（命题 11），矛盾。
Remark：只有一个收敛子列不够（偶数项为 0、奇数项为 $1_{[0, 1/2)} ）；$ 条件必须是「每个子列」。
用法：先挑子子列，在上面用逐点工具，再用「每个子列」回到整个序列。

自测

1. 已知 $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \leq \frac{1}{ε ln ( n + 1 )}$ 对所有 $ε > 0$ 成立。找一个具体的子列 $n_{j} ，$ 使 $X_{n_{j}} \to X$ 几乎必然。

点开看答案

$\frac{1}{l n ( n + 1 )} \to 0 ，$ 所以 $X_{n} P X ，$ 但它太慢，整列的和发散。取 $n_{j} = ⌈ e^{j^{3}} ⌉ ，$ 则 $ln (n_{j} + 1) \geq j^{3} ，$ $P (∣ X_{n_{j}} - X ∣ > \frac{1}{j}) \leq \frac{j}{j ^{3}} = \frac{1}{j ^{2}} ，$ 可和。由加强版推论 7′， $X_{n_{j}} \to X$ 几乎必然。

2. 判断：「若 $(X_{n})$ 有一个子列几乎必然收敛到 $X ，$ 另一个子列几乎必然收敛到 $Y ，$ 且 $P (X \neq = Y) > 0 ，$ 则 $X_{n}$ 不依概率收敛。」

点开看答案

正确。若 $X_{n} P Z ，$ 则两个子列都依概率收敛到 $Z ；$ 它们又分别几乎必然收敛到 $X 、$ $Y ，$ 由命题 11 也分别依概率收敛到 $X 、$ $Y 。$ 依概率收敛的极限几乎必然唯一，所以 $X = Z = Y$ 几乎必然，与 $P (X \neq = Y) > 0$ 矛盾。Remark 的反例就是这种情况（ $X = 0 ，$ $Y = 1_{[0, 1/2)} ）。$

3. 在（⇒）的证明里，如果把 $P (∣ X_{n_{k_{j}}} - X ∣ > \frac{1}{j}) \leq 2^{- j}$ 换成 $P (∣ X_{n_{k_{j}}} - X ∣ > \frac{1}{j}) \leq \frac{1}{j} ，$ 证明还成立吗？

点开看答案

不成立。 $\sum_{j} \frac{1}{j} = \infty ，$ 第一 Borel–Cantelli 引理用不上。必须选一个可求和的上界，例如 $2^{- j}$ 或 $\frac{1}{j ^{2}} 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
打字机序列	typewriter sequence	在 [0,1) 上从左到右一遍遍扫过、越来越窄的小区间的示性函数列：依概率收敛到 0，却在每一点都不收敛。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
偏差概率	deviation probability	Xₙ 和目标 X 相差超过 ε 的概率 P(\|Xₙ − X\| > ε)。它趋于 0 就是依概率收敛；对每个 ε 它都可求和时，由 Borel–Cantelli 引理可推出几乎必然收敛。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
可求和	summable	非负数列的级数和有限：Σ aₙ < ∞。例如 Σ 1/n² 可求和，Σ 1/n 不可求和（和是 +∞）。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。