21 每个正阶矩都是尾概率的积分（矩–尾恒等式） · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

对非负随机变量 $X$ 和任意 $p > 0 ，$

E [X^{p}] = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (X > t) d t .

矩（ $X^{p}$ 的平均）完全由尾概率 $P (X > t)$ 决定：在每个高度 $t$ 处看「 $X$ 超过 $t$ 的概率」，乘上权重 $p t^{p - 1} ，$ 再对所有高度积分。

位置：第 3 部分「尾部、有限矩与 $L^{p} 」$ 的第一页。第 2 部分在第 12 页的定理 11 里得到：非负随机变量的均值等于尾函数下方的面积， $E X = \int_{0}^{\infty} P (X > t) d t 。$ 本页把它从「一阶矩」推广到任意正阶矩，所以课件把它叫作推论（Corollary）。
要解决的问题：很多分布是用尾概率给出的（例如第 16 页的 Pareto 分布、第 31 页的反例），直接求 $E X^{p}$ 不方便。本页给出「只用尾概率算矩」的公式。
更重要的用途：它把「矩是否有限」翻译成「尾巴衰减得够不够快」。第 30 页和第 31 页会用它在这两件事之间来回推理。

先补基础

基础补课矩：p 阶矩与 p 阶绝对矩

$E [X^{p}]$ 叫 $X$ 的 $p$ 阶矩（ $p$ -th moment）， $E ∣ X ∣^{p}$ 叫 $p$ 阶绝对矩。课件标题里的「正阶」（positive）就是 $p > 0 。$
$p = 1$ 是均值； $p = 2$ 是二阶矩，方差 $Var X = E X^{2} - (E X)^{2}$ 由它算出。
$p$ 不必是整数： $p = \frac{1}{2}$ 时是 $E X ，$ $p = 1.5$ 时是 $E X^{3/2} 。$ 只要 $X \geq 0 ，$ $X^{p}$ 对任何 $p > 0$ 都有意义。
例：掷骰子 $X \in {1, \dots, 6} ，$ $E X = 3.5 ，$ $E X^{2} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6} 。$

基础补课尾概率与尾函数

函数 $t \mapsto P (X > t) = 1 - F_{X} (t)$ 叫 $X$ 的尾函数（tail function）， $P (X > t)$ 叫尾概率：「 $X$ 超过 $t$ 的概率」，也就是分布落在 $t$ 右边那条「尾巴」上的质量。
由第 8 页的 CDF 性质，尾函数单调不增、右连续，并且 $t \to \infty$ 时趋于 0。
例：指数分布 $P (X > t) = e^{- λ t}$ （ $t \geq 0 ）；$ 均匀分布 $P (U > t) = 1 - t$ （ $0 \leq t < 1 ）。$
「尾巴重」指 $P (X > t)$ 随 $t$ 增大下降得慢，大值出现得相对频繁；「尾巴轻」指下降得快。

基础补课回顾：用尾部算均值（第 12 页定理 11 的非负情形）

对非负随机变量 $Y ，$ 第 12 页的定理 11 给出

E Y = \int_{0}^{\infty} P (Y > s) d s \in [0, \infty],

右边是 $[0, \infty)$ 上对勒贝格测度的积分，两边同时有限或同时为 $+ \infty 。$ 直观意思：均值等于尾函数曲线下方的面积。例： $Y \sim exp (1)$ 时右边 $= \int_{0}^{\infty} e^{- s} d s = 1 = E Y 。$

基础补课换元积分公式（微积分结论，这里当作已知使用）

设 $ϕ$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续可导且严格递增， $g$ 在 $[ϕ (a), ϕ (b)]$ 上黎曼可积，则

\int_{ϕ (a)}^{ϕ (b)} g (s) d s = \int_{a}^{b} g (ϕ (t)) ϕ^{'} (t) d t .

本页取 $ϕ (t) = t^{p} ，$ $ϕ^{'} (t) = p t^{p - 1} ，$ 也就是常说的「令 $s = t^{p} ，$ 则 $d s = p t^{p - 1} d t 」。$ 另外两条也当作已知：闭区间上的单调有界函数黎曼可积；闭区间上有界的黎曼可积函数，勒贝格积分等于黎曼积分（第 27 页）。

基础补课幂函数 x ↦ xᵖ 严格递增

对 $p > 0 ，$ $x \mapsto x^{p}$ 在 $[0, \infty)$ 上严格递增，反函数是 $y \mapsto y^{1/ p} 。$ 所以对 $x \geq 0 、$ $s \geq 0 ：$

x^{p} > s ⟺ x > s^{1/ p} .

例： $p = 2 ，$ $x^{2} > 9 ⟺ x > 3$ （这里 $x \geq 0 ，$ 不用考虑 $x < - 3 ）。$

课件原文逐句精读

课件原文Every positive moment is an integrated tail

Corollary 21 (Moment-tail identity)

中文翻译

蓝条标题：每一个正阶矩都是一条「积分起来的尾巴」。

推论 21（矩–尾恒等式）（课件只印了名称，正文留白，见下一节。）

Every positive moment is an integrated tail｜标题在说什么

positive moment：正阶矩，即 $p > 0$ 时的 $E X^{p} 。$ 「每一个」强调对所有 $p > 0$ 都成立，包括非整数的 $p 。$
integrated tail：积分起来的尾巴。「尾巴」指尾函数 $t \mapsto P (X > t) ，$ 「积分起来」指对高度 $t$ 积分（带一个权重）。
合起来的意思：矩这个「平均值」可以换一种算法——不去逐个结局算 $X (ω)^{p}$ 再平均，而是逐个高度 $t$ 看尾概率，再把所有高度的贡献加起来。

Corollary 21 (Moment-tail identity)｜为什么是「推论」、为什么叫「恒等式」

推论（corollary）：由前面的定理直接推出的结论。这里的「前面的定理」就是第 12 页的定理 11：把它用在随机变量 $X^{p}$ 上，再换一次积分变量，就得到本页公式。
恒等式（identity）：结论是等式，不是不等式；而且对所有非负 $X$ 都成立，不需要任何可积性假设——两边可以同时是 $+ \infty 。$

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

推论 21（矩–尾恒等式）

设 $X$ 是非负随机变量（ $X \geq 0 ），$ $p > 0 。$ 则

E [X^{p}] = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (X > t) d t \in [0, \infty],

两边同时有限或同时为 $+ \infty 。$ 特别地：

$p = 1$ 时就是 $E X = \int_{0}^{\infty} P (X > t) d t$ （第 12 页定理 11 的非负情形）；
对任意实值随机变量 $Z ，$ 把 $X = ∣ Z ∣$ 代入，得 $E ∣ Z ∣^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (∣ Z ∣ > t) d t 。$

逐项解释：

$X \geq 0$ ：保证 $X^{p}$ 对任何 $p > 0$ 都有定义，而且是非负随机变量，期望总有定义（第 5 页）。可正可负的变量先取绝对值（第 2 条）。
权重 $p t^{p - 1}$ ：它是 $t^{p}$ 的导数。 $p = 1$ 时权重是 1，退回到「尾函数下方的面积」； $p = 2$ 时权重是 $2 t ，$ 高处的尾概率被放大——这正反映了 $X^{2}$ 比 $X$ 更看重大值。
积分：是 $[0, \infty)$ 上对勒贝格测度的积分。被积函数非负，所以积分总有定义。写成 $(0, \infty)$ 也一样，因为单点 ${0}$ 的勒贝格测度为 0。
严格不等号 $X > t$ ：换成 $X \geq t$ 结果不变，见本节末尾的补充。

推导证明思路

先对随机变量 $Y = X^{p}$ 用第 12 页的定理 11，得到 $E X^{p} = \int_{0}^{\infty} P (X^{p} > s) d s ；$ 再把 $Y$ 的尾巴翻译成 $X$ 的尾巴： $P (X^{p} > s) = P (X > s^{1/ p}) ；$ 最后换元 $s = t^{p} 。$ 换元先在闭区间 $[\frac{1}{n}, n]$ 上用微积分完成，再用单调收敛定理让 $n \to \infty 。$

第 1 步：对 $Y = X^{p}$ 用定理 11。 $x \mapsto x^{p}$ 在 $[0, \infty)$ 上连续，连续函数与随机变量的复合仍是随机变量（第 4 页），所以 $Y = X^{p}$ 是非负随机变量。由第 12 页定理 11 的非负情形，

E [X^{p}] = E Y = \int_{0}^{\infty} P (Y > s) d s .

第 2 步：把 $Y$ 的尾巴翻译成 $X$ 的尾巴。 记 $G (t) = P (X > t) 。$ 对每个 $s \geq 0 ，$ 由幂函数严格递增， $X (ω)^{p} > s ⟺ X (ω) > s^{1/ p} ，$ 也就是 ${X^{p} > s} = {X > s^{1/ p}}$ 是同一个事件。所以

P (Y > s) = G (s^{1/ p}), s \geq 0.

第 3 步：在 $[\frac{1}{n}, n]$ 上换元。 固定整数 $n \geq 2 ，$ 取 $ϕ (t) = t^{p} 。$ 它在 $[\frac{1}{n}, n]$ 上连续可导、严格递增， $ϕ (\frac{1}{n}) = n^{- p} ，$ $ϕ (n) = n^{p} 。$ 函数 $g (s) = G (s^{1/ p})$ 在 $[n^{- p}, n^{p}]$ 上单调不增（ $s$ 变大时 $s^{1/ p}$ 变大，尾概率变小），取值在 $[0, 1]$ 里，所以黎曼可积。由换元积分公式，

\int_{n^{- p}}^{n^{p}} G (s^{1/ p}) d s = \int_{1/ n}^{n} G (t) p t^{p - 1} d t .

两边都是闭区间上有界黎曼可积函数的积分（右边的 $p t^{p - 1}$ 在 $[\frac{1}{n}, n]$ 上连续，所以有界），由第 27 页，它们也等于相应的勒贝格积分。

为什么不直接在 $[0, n]$ 上换元：当 $p < 1$ 时， $p t^{p - 1} = \frac{p}{t ^{1 - p}}$ 在 $t \to 0$ 时趋于无穷，被积函数在 $[0, n]$ 上无界，黎曼积分的理论用不上。先避开 0 附近、最后再取极限，就绕开了这个麻烦。

第 4 步：让 $n \to \infty 。$ $n$ 增大时， $n^{- p}$ 变小、 $n^{p}$ 变大，区间 $[n^{- p}, n^{p}]$ 一个套一个地变大，并起来是 $(0, \infty) ；$ 区间 $[\frac{1}{n}, n]$ 也一样。于是

1_{[n^{- p}, n^{p}]} (s) G (s^{1/ p}) ↑ 1_{(0, \infty)} (s) G (s^{1/ p}), 1_{[1/ n, n]} (t) p t^{p - 1} G (t) ↑ 1_{(0, \infty)} (t) p t^{p - 1} G (t),

两个都是非负函数的递增逐点收敛。由单调收敛定理（MCT），第 3 步等式左边趋于 $\int_{(0, \infty)} G (s^{1/ p}) d s ，$ 右边趋于 $\int_{(0, \infty)} p t^{p - 1} G (t) d t 。$ 两列数逐项相等，所以极限相等（允许同为 $+ \infty ）。$

第 5 步：拼起来。 单点 ${0}$ 的勒贝格测度为 0，所以 $\int_{(0, \infty)}$ 与 $\int_{0}^{\infty}$ 相同。由第 1、2、4 步，

E [X^{p}] = \int_{0}^{\infty} P (X^{p} > s) d s = \int_{0}^{\infty} G (s^{1/ p}) d s = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (X > t) d t .

证毕。

另一种证明：「分层蛋糕」加上交换积分次序

对每个 $ω ，$ 由微积分基本定理，

X (ω)^{p} = \int_{0}^{X (ω)} p t^{p - 1} d t = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} 1_{{X (ω) > t}} d t .

两边取期望，如果允许把 $E$ 和 $\int d t$ 交换次序，就得到

E X^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} E [1_{{X > t}}] d t = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (X > t) d t .

交换次序的依据是 Tonelli 定理（非负函数的二重积分可以交换次序）。第 1 讲没有讲这个定理，所以正文没有用这个证明。它的好处是把公式的含义说得最清楚： $X^{p}$ 由一层层「高度为 $t$ 的薄层」叠成，每层厚度 $d (t^{p}) = p t^{p - 1} d t ，$ 高度 $t$ 的那一层存在当且仅当 $X > t 。$

把 ℙ(X > t) 换成 ℙ(X ≥ t) 可以吗

可以。 $P (X \geq t) - P (X > t) = P (X = t) ，$ 它只在 CDF 的跳跃点处不为 0。跳跃点至多可数个：质量大于 $\frac{1}{k}$ 的点不到 $k$ 个（否则这些点的总概率就超过 1 了），把 $k = 1, 2, \dots$ 对应的这些点并起来，仍是可数集。可数集的勒贝格测度为 0，所以两个被积函数只在一个零测集上不同，积分相等（零测集上改值不影响积分）。

图解

图解：「分层蛋糕」——按高度把 Xᵖ 一层层切开

课件这里没有图，可以这样画：

横轴是高度 $t \geq 0 ，$ 纵轴是概率。画出尾函数 $G (t) = P (X > t) ：$ 从 $t = 0$ 处不超过 1 的高度出发，单调往下走，最终贴近 0。
$p = 1$ ： $E X$ 就是这条曲线下方的面积（第 12 页定理 11）。
一般的 $p$ ：把横轴上 $[t, t + d t]$ 这一条竖条想成「 $X^{p}$ 的一层」。这一层对 $X^{p}$ 的贡献是厚度 $(t + d t)^{p} - t^{p} \approx p t^{p - 1} d t ，$ 而这一层「存在」的概率是 $P (X > t) 。$ 所以这根竖条贡献 $p t^{p - 1} P (X > t) d t ，$ 全部加起来就是 $E X^{p} 。$
整数的直观：若 $X = 3 ，$ 则 $X^{2} = 9 = 1 + 3 + 5 ，$ 恰好是三层 $[0, 1] 、$ $[1, 2] 、$ $[2, 3]$ 的厚度 $1^{2} - 0^{2} 、$ $2^{2} - 1^{2} 、$ $3^{2} - 2^{2}$ 之和。 $X$ 越大，叠的层越多，而且越往上每层越厚。

读图的结论： $E X^{p}$ 是否有限，只取决于尾函数在 $t \to \infty$ 时下降得够不够快。因为 $t \in [0, 1]$ 这一段的贡献最多是 $\int_{0}^{1} p t^{p - 1} \cdot 1 d t = 1 ，$ 永远不会造成无穷大。

例子

例 1：掷骰子——用尾概率算 𝔼X²

$X \in {1, \dots, 6}$ 等可能。对 $t \in [k, k + 1)$ （ $k = 0, 1, \dots, 5 ），$ $X > t ⟺ X \geq k + 1 ，$ 所以 $P (X > t) = \frac{6 - k}{6} ；$ $t \geq 6$ 时 $P (X > t) = 0 。$ 取 $p = 2 ：$

E X^{2} = k = 0 \sum 5 \frac{6 - k}{6} \int_{k}^{k + 1} 2 t d t = k = 0 \sum 5 \frac{6 - k}{6} (2 k + 1) = \frac{6 \cdot 1 + 5 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 1 \cdot 11}{6} = \frac{91}{6},

其中 $\int_{k}^{k + 1} 2 t d t = (k + 1)^{2} - k^{2} = 2 k + 1 。$ 这与直接计算 $\frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$ 一致。

一般地，对取值于 ${0, 1, 2, \dots}$ 的 $X ：$ $t \in [k - 1, k)$ 时 $P (X > t) = P (X \geq k) ，$ 而 $\int_{k - 1}^{k} p t^{p - 1} d t = k^{p} - (k - 1)^{p} ，$ 于是得到离散版本

E X^{p} = k \geq 1 \sum (k^{p} - (k - 1)^{p}) P (X \geq k), 特别地 E X = k \geq 1 \sum P (X \geq k) .

例 2：均匀分布——两种算法对得上

$U \sim Unif (0, 1) ：$ $P (U > t) = 1 - t$ （ $0 \leq t < 1 ），$ $P (U > t) = 0$ （ $t \geq 1 ）。$ 对任意 $p > 0 ，$

E U^{p} = \int_{0}^{1} p t^{p - 1} (1 - t) d t = \int_{0}^{1} p t^{p - 1} d t - \int_{0}^{1} p t^{p} d t = 1 - \frac{p}{p + 1} = \frac{1}{p + 1} .

直接用 LOTUS（第 7 页）： $E U^{p} = \int_{0}^{1} u^{p} d u = \frac{1}{p + 1} 。$ 两者一致。例如 $p = \frac{1}{2}$ 时 $E U = \frac{2}{3} 。$

例 3：指数分布的二阶矩与方差

$X \sim exp (λ) ，$ $P (X > t) = e^{- λ t}$ （ $t \geq 0 ）。$ 取 $p = 2 ：$

E X^{2} = \int_{0}^{\infty} 2 t e^{- λ t} d t .

分部积分：

\int_{0}^{M} t e^{- λ t} d t = [- \frac{t}{λ} e^{- λ t}]_{0}^{M} + \frac{1}{λ} \int_{0}^{M} e^{- λ t} d t = - \frac{M}{λ} e^{- λ M} + \frac{1}{λ ^{2}} (1 - e^{- λ M}) .

令 $M \to \infty$ （ $M e^{- λ M} \to 0 ），$ 得 $\int_{0}^{\infty} t e^{- λ t} d t = \frac{1}{λ ^{2}} 。$ 再由 $p = 1$ 的情形 $E X = \int_{0}^{\infty} e^{- λ t} d t = \frac{1}{λ} ，$

E X^{2} = \frac{2}{λ ^{2}}, Var X = E X^{2} - (E X)^{2} = \frac{2}{λ ^{2}} - \frac{1}{λ ^{2}} = \frac{1}{λ ^{2}} .

例 4：Pareto 分布——看尾巴就知道哪些矩有限

第 16 页的 Pareto 变量 $X_{α} = (1 - U)^{- 1/ α}$ （ $α > 0 ）。$ 先求尾巴：对 $t \geq 1 ，$

P (X_{α} > t) = P ((1 - U)^{- 1/ α} > t) = P (1 - U < t^{- α}) = P (U > 1 - t^{- α}) = t^{- α} .

第二个等号：两边都是正数，同取 $- α$ 次方，不等号反向。对 $t < 1 ，$ $X_{α} > 1 > t$ 总成立，尾概率为 1。由推论 21，

E X_{α}^{p} = \int_{0}^{1} p t^{p - 1} d t + \int_{1}^{\infty} p t^{p - 1} t^{- α} d t = 1 + p \int_{1}^{\infty} t^{p - α - 1} d t .

若 $p < α ：$ $\int_{1}^{\infty} t^{p - α - 1} d t = \frac{1}{α - p} ，$ 所以 $E X_{α}^{p} = 1 + \frac{p}{α - p} = \frac{α}{α - p} < \infty 。$
若 $p \geq α ：$ 对 $t \geq 1$ 有 $t^{p - α - 1} \geq t^{- 1} ，$ 而 $\int_{1}^{\infty} t^{- 1} d t = \infty ，$ 所以 $E X_{α}^{p} = \infty 。$

直接验证 $p < α$ 的情形： $E X_{α}^{p} = \int_{0}^{1} (1 - u)^{- p / α} d u = \frac{1}{1 - p / α} = \frac{α}{α - p} ，$ 一致。结论： $X_{α}$ 的 $p$ 阶矩有限当且仅当 $p < α$ ，这完全由尾巴 $t^{- α}$ 的衰减速度决定。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么权重是 ptᵖ⁻¹，而不是 1？

答：因为要算的是 $X^{p}$ 而不是 $X 。$ $p = 1$ 时，高度每升高 $d t ，$ $X$ 就多 $d t ，$ 所以每层权重是 1；而 $X^{p}$ 在高度 $t$ 附近每升高 $d t ，$ 增加的是 $d (t^{p}) = p t^{p - 1} d t 。$ 例如 $p = 2 、$ $t = 10$ 时权重是 20：同样的尾概率，放在高处对二阶矩的贡献大得多。如果误写成 $\int_{0}^{\infty} P (X > t) d t ，$ 算出来的只是 $E X 。$

易错点问：两边都可以是 +∞ 吗？这时公式还有什么用？

答：可以，而且这正是它最有用的地方：它给出了一个判别法——「 $E X^{p} < \infty$ 当且仅当 $\int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (X > t) d t < \infty 」。$ 由于 $t \in [0, 1]$ 上的积分不超过 1，真正要检查的只是 $\int_{1}^{\infty} t^{p - 1} P (X > t) d t$ 是否收敛。例 4 就是这样判断 Pareto 分布哪些矩有限的；第 31 页的反例也要用它说明某个矩是无穷大。

易错点问：X 可正可负时，𝔼Xᵖ 怎么办？

答：若 $p$ 不是整数（例如 $p = \frac{1}{2} ），$ $X < 0$ 时 $X^{p}$ 没有定义，只能谈 $E ∣ X ∣^{p} ，$ 用第 2 条： $E ∣ X ∣^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (∣ X ∣ > t) d t 。$ 若 $p$ 是奇数（例如 $E X^{3} ），$ 可以拆成正部和负部： $X^{3} = (X^{+})^{3} - (X^{-})^{3} ，$ 两部分分别用推论 21 计算，只要它们不同时为无穷，就得到 $E X^{3}$ （与第 5 页的定义 3 一致）。

易错点问：它和第 12 页的 𝔼Y = ∫ℙ(Y > s) ds 到底差在哪？

答：内容上是同一件事，差别在于「看谁的尾巴」。直接用第 12 页的公式算 $E X^{p} ，$ 要的是 $X^{p}$ 的尾巴 $P (X^{p} > s) ；$ 推论 21 把它改写成 $X$ 自己的尾巴 $P (X > t) ，$ 代价是多了权重 $p t^{p - 1} 。$ 这样同一条尾函数就能一次性回答所有 $p$ 的问题（例 4 只算了一条尾巴，就判断了所有的矩）。

小结与自测

小结本页小结

推论 21： $X \geq 0 、$ $p > 0$ 时 $E X^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (X > t) d t ，$ 两边可同为 $+ \infty ；$ 对一般 $Z$ 用 $∣ Z ∣$ 代入。
证明：对 $X^{p}$ 用第 12 页的定理 11， $P (X^{p} > s) = P (X > s^{1/ p}) ，$ 再换元 $s = t^{p}$ （在 $[\frac{1}{n}, n]$ 上用微积分，再用 MCT 取极限）。
直观：「分层蛋糕」——高度 $t$ 的一层厚 $p t^{p - 1} d t ，$ 存在的概率是 $P (X > t) 。$
用途：矩是否有限只取决于尾巴在 $t \to \infty$ 时的衰减速度；Pareto $X_{α}$ 的 $p$ 阶矩有限当且仅当 $p < α 。$

自测

1. 抛公平硬币直到第一次出现正面， $X$ 是所需次数，于是 $P (X \geq k) = 2^{- (k - 1)}$ （ $k \geq 1 ）。$ 用离散版本求 $E X 。$

点开看答案

$E X = \sum_{k \geq 1} P (X \geq k) = \sum_{k \geq 1} 2^{- (k - 1)} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = 2 。$ 这里 $P (X \geq k) = 2^{- (k - 1)}$ 是因为「至少要 $k$ 次」等价于「前 $k - 1$ 次都是反面」。

2. 设 $X \geq 0 ，$ $P (X > t) = (1 + t)^{- 3}$ （ $t \geq 0 ）。$ 哪些 $p > 0$ 使 $E X^{p} < \infty ？$

点开看答案

恰好是 $p < 3 。$ 由推论 21，只需看 $\int_{1}^{\infty} p t^{p - 1} (1 + t)^{- 3} d t 。$ 对 $t \geq 1$ 有 $t \leq 1 + t \leq 2 t ，$ 所以 $\frac{1}{8} t^{- 3} \leq (1 + t)^{- 3} \leq t^{- 3} ，$ 被积函数夹在 $\frac{p}{8} t^{p - 4}$ 与 $p t^{p - 4}$ 之间。 $\int_{1}^{\infty} t^{p - 4} d t < \infty ⟺ p - 4 < - 1 ⟺ p < 3 。$

3. 判断：「若 $X \geq 0$ 且 $P (X > t) \leq e^{- t}$ 对所有 $t \geq 0$ 成立，则 $X$ 的所有正阶矩都有限。」

点开看答案

对。由推论 21， $E X^{p} \leq \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} e^{- t} d t 。$ 因为 $t^{p + 1} e^{- t} \to 0$ （ $t \to \infty ），$ 存在 $T \geq 1$ 使 $t \geq T$ 时 $t^{p + 1} e^{- t} \leq 1 ，$ 即 $p t^{p - 1} e^{- t} \leq p t^{- 2} ，$ 而 $\int_{T}^{\infty} p t^{- 2} d t = \frac{p}{T} < \infty 。$ 在 $[0, T]$ 上，被积函数不超过 $p t^{p - 1} ，$ 积分不超过 $\int_{0}^{T} p t^{p - 1} d t = T^{p}$ （ $p < 1$ 时 $p t^{p - 1}$ 在 0 附近无界，但积分仍有限）。两段都有限，所以 $E X^{p} < \infty 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
尾概率	tail probability	随机变量取到「很大的值」的概率，例如 P(X > t) 或 P(\|X\| ≥ t)。它随 t 增大而下降得越慢，分布的尾巴就越「厚」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
阶矩	moment	E[\|X\|ᵖ] 叫 p 阶（绝对）矩；它有限与否反映尾部有多「重」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
指数分布	exponential distribution	P(X > x) = e^(−λx)（x ≥ 0）的分布，均值 1/λ，常用来描述等待时间。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
反函数	inverse function	f 把不同的输入送到不同的输出时，反函数 f⁻¹ 把输出送回原来的输入：f⁻¹(f(x)) = x。例：ln 是 eˣ 的反函数。注意：集合的原像 f⁻¹(D) 不需要反函数存在。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
Tonelli 定理	Tonelli's theorem	f 非负可测、两个测度 σ-有限时，二重积分等于两种顺序的累次积分，三者可以同时为 ∞。
二重积分	double integral	对两个变量一起积分：∬ f(x, y) dx dy。Fubini–Tonelli 定理说明什么时候可以拆成先对一个变量、再对另一个变量的两次积分。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
无意识统计学家定律	law of the unconscious statistician (LOTUS)	求 g(X) 的期望，不必先求出 g(X) 的分布，直接把 g 对 X 的分布 𝓛(X) 积分；X 有密度 f 时就是 E g(X) = ∫ g(x) f(x) dx。
分部积分	integration by parts	∫ₐᵇ u v′ dx = [u v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′ v dx：把求导从一个函数挪到另一个函数上。由乘积求导法则 (uv)′ = u′v + uv′ 两边积分得到。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。