09 CDF 的增量给出勒贝格积分 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

「对 CDF 积分」 $\int g d F$ 的意思就是对分布 $μ_{F} = L (X)$ 积分，所以它等于 $E g (X) 。$ 而且当 $g$ 连续时，它可以只用 $F$ 的增量来算：把区间切成小段，每段上取一个 $g$ 值，乘以 $F$ 在这一段的增量，再相加——小段越切越细，和就趋于积分。

位置：第 2 部分第 2 页。上一页第 8 页说 CDF 记录了整个分布；本页说：既然如此，对分布的积分也应该能用 CDF 表达出来。
为什么需要：分布 $μ_{F}$ 是一个测度，不好直接操作； $F$ 是一个普通函数，好算。本页的命题 8 是一座桥：把勒贝格积分变成和中学黎曼和几乎一样的「分割求和」。
后面怎么用：下一页第 10 页就在命题 8 的和式上做「分部求和」，推出 CDF 的分部积分公式。

先补基础

基础补课分割与细度

区间 $[a, b]$ 的一个分割（partition）是一串点 $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{m} = b ，$ 把 $[a, b]$ 切成 $m$ 小段。
细度（mesh）是最长那一段的长度： $max_{i} (x_{i} - x_{i - 1}) 。$ 「细度 → 0」就是「每一段都越切越短」。
例： $[0, 1]$ 的等分分割 $x_{i} = \frac{i}{m} ，$ 细度是 $\frac{1}{m} ，$ $m \to \infty$ 时趋于 0。
$max_{i}$ 表示「对所有 $i$ 取最大值」。

基础补课黎曼和（回顾）与它的「推广版」

黎曼和：在每一段 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ 里任取一点 $x_{i}^{*}$ （称为标记点），算 $\sum_{i = 1}^{m} g (x_{i}^{*}) (x_{i} - x_{i - 1}) 。$ 每一项是「高 × 宽」，宽就是这一段的长度。细度 → 0 时，它趋于 $\int_{a}^{b} g (x) d x$ （达布和）。
本页的推广：把「长度 $x_{i} - x_{i - 1} 」$ 换成「这一段分到的概率 $F (x_{i}) - F (x_{i - 1}) 」。$ 概率多的段，权重就大。这种和叫黎曼–斯蒂尔杰斯和（Riemann–Stieltjes sum）。

基础补课一致连续（当作已知的微积分结论）

$g$ 在 $[a, b]$ 上一致连续（uniformly continuous）：对每个 $ε > 0 ，$ 存在 $δ > 0 ，$ 使得只要 $x, y \in [a, b]$ 且 $∣ x - y ∣ \leq δ ，$ 就有 $∣ g (x) - g (y) ∣ \leq ε 。$ 关键是：同一个 $δ$ 对区间上所有位置都管用。
微积分定理（Heine–Cantor，这里当作已知结论使用）：闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数一定一致连续，也一定有界。
方便起见记 $ω_{g} (δ) = sup {∣ g (x) - g (y) ∣ : x, y \in [a, b], ∣ x - y ∣ \leq δ} ，$ 叫 $g$ 的连续模。一致连续就是说 $ω_{g} (δ) \to 0$ （ $δ \to 0 ）。$
例： $g (x) = x^{2}$ 在 $[0, 1]$ 上， $∣ x^{2} - y^{2} ∣ = ∣ x + y ∣ ∣ x - y ∣ \leq 2∣ x - y ∣ ，$ 所以 $ω_{g} (δ) \leq 2 δ 。$

课件原文逐句精读

课件原文CDF increments give the Lebesgue integral

Definition 7 (Integration with respect to a CDF) Write $F = F_{X}$ and let $μ_{F} = L (X)$ , uniquely determined by $F$ . Define

Proposition 8 (A formula using only CDF increments) If $g$ is continuous on $[a, b]$ and partitions $a = x_{0} < \dots < x_{m} = b$ have mesh $max_{i} (x_{i} - x_{i - 1}) \to 0$ , then

中文翻译

蓝条标题：CDF 的增量给出勒贝格积分。

定义 7（对 CDF 的积分） 记 $F = F_{X} ，$ 令 $μ_{F} = L (X) ，$ 它由 $F$ 唯一确定。定义……（留白）

命题 8（只用 CDF 增量的公式） 若 $g$ 在 $[a, b]$ 上连续，且分割 $a = x_{0} < \dots < x_{m} = b$ 的细度 $max_{i} (x_{i} - x_{i - 1}) \to 0 ，$ 则……（留白）

① Write F = F_X and let μ_F = 𝓛(X), uniquely determined by F｜给分布起一个「以 F 命名」的名字

记号 $μ_{F}$ 强调：这个测度只由 $F$ 决定。理由正是上一页的定理 C：两个随机变量 CDF 相同，分布就相同。所以「 $F$ 对应的测度」是一个意义明确的说法。
下标写 $F$ 而不写 $X ，$ 是因为接下来的公式里只出现 $F ，$ 不再出现 $X$ 和 $Ω 。$

② If g is continuous on [a, b] and … mesh → 0｜命题 8 的两个条件

$g$ 在闭区间上连续：保证在很短的一段上 $g$ 几乎不变，取哪个标记点都差不多（下面「易错点」会给出去掉这个条件就出错的例子）。
细度 → 0：每一段都要变短，而不只是段数变多。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定义 7（对 CDF 的积分）

设 $X$ 是实值随机变量， $F = F_{X} ，$ $μ_{F} = L (X) 。$ 对博雷尔可测的 $g : R \to [0, \infty] ，$ 或满足 $\int_{R} ∣ g ∣ d μ_{F} < \infty$ 的博雷尔可测 $g : R \to R ，$ 定义

\int_{R} g d F := \int_{R} g d μ_{F}, \int_{B} g d F := \int_{R} g 1_{B} d μ_{F} (B \in B (R)) .

由 LOTUS（第 7 页）， $\int_{R} g d F = E [g (X)] ；$ 特别地，对 $a < b ，$

\int_{(a, b]} g d F = E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}] .

逐条解释：

这不是新的积分： $\int g d F$ 只是 $\int g d μ_{F}$ 的另一种写法（通常叫勒贝格–斯蒂尔杰斯积分），好处是记号里直接看得见 $F 。$
积分区间要写清开闭： $\int_{(a, b]} 、$ $\int_{[a, b]}$ 可能不同，差别恰好是端点 $a$ 处的概率质量 $P (X = a) = F (a) - F (a -) 。$ 所以对 CDF 积分时不要随手写 $\int_{a}^{b}$ ，除非 $F$ 在端点连续。
为什么偏爱左开右闭 $(a, b]$ ：因为 $μ_{F} ((a, b]) = F (b) - F (a)$ 恰好是 $F$ 的增量（上一页命题 B），公式最干净。
$g$ 只在 $[a, b]$ 上有定义怎么办：在 $[a, b]$ 外补定义为 0 即可，积分 $\int_{(a, b]} g d F$ 本来就只看 $(a, b]$ 上的值。下一页课件的 extended by zero outside $[a, b]$ 就是这个意思。

命题 8（只用 CDF 增量的公式）

设 $g$ 在 $[a, b]$ 上连续。对 $[a, b]$ 的任一列分割 $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{m} = b$ （每个分割各自带有任意选取的标记点 $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] ），$ 只要细度 $max_{i} (x_{i} - x_{i - 1}) \to 0 ，$ 就有

i = 1 \sum m g (x_{i}^{*}) [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})] ⟶ \int_{(a, b]} g d F = E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}] .

推导证明思路

把和式看成一个台阶函数 $g_{m}$ 对 $μ_{F}$ 的积分：在第 $i$ 段 $(x_{i - 1}, x_{i}]$ 上取常数 $g (x_{i}^{*}) 。$ $g$ 一致连续，所以台阶函数和 $g$ 在 $(a, b]$ 上处处相差不超过 $ω_{g} (细度) ；$ 而 $μ_{F}$ 的总质量不超过 1，所以两个积分相差也不超过它，趋于 0。

记当前分割的细度为 $δ ，$ 定义台阶函数

g_{m} (x) = i = 1 \sum m g (x_{i}^{*}) 1_{(x_{i - 1}, x_{i}]} (x) .

第 1 步：和式就是台阶函数的积分。 各段 $(x_{i - 1}, x_{i}]$ 两两不交，并起来恰好是 $(a, b] 。$ $g_{m}$ 是简单函数，按简单函数积分的定义和上一页命题 B，

\int_{R} g_{m} d μ_{F} = i = 1 \sum m g (x_{i}^{*}) μ_{F} ((x_{i - 1}, x_{i}]) = i = 1 \sum m g (x_{i}^{*}) [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})] .

（系数 $g (x_{i}^{*})$ 可正可负；有限个有界项，线性照样成立。）

第 2 步：台阶函数一致地逼近 $g 。$ 任取 $x \in (a, b] ，$ 它落在唯一的一段 $(x_{i - 1}, x_{i}]$ 里，而标记点 $x_{i}^{*}$ 也在 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ 里，二者距离不超过这一段的长度 $\leq δ 。$ 所以

∣ g (x) - g_{m} (x) ∣ = ∣ g (x) - g (x_{i}^{*}) ∣ \leq ω_{g} (δ) 对每个 x \in (a, b] .

第 3 步：积分之差被控制住。 $g$ 在 $[a, b]$ 上有界， $g 1_{(a, b]}$ 是有界函数，对总质量为 1 的 $μ_{F}$ 可积。于是

i = 1 \sum m g (x_{i}^{*}) [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})] - \int_{(a, b]} g d F = \int_{R} (g_{m} - g 1_{(a, b]}) d μ_{F} \leq \int_{(a, b]} ∣ g_{m} - g ∣ d μ_{F} \leq ω_{g} (δ) \cdot μ_{F} ((a, b]) \leq ω_{g} (δ) . （第 1 步，线性） （ ∣ \int h ∣ \leq \int ∣ h ∣ ； (a, b] 外 g_{m} = 0 ） （第 2 步，单调性）

第 4 步：取极限。 细度 $δ \to 0$ 时，由一致连续 $ω_{g} (δ) \to 0 ，$ 所以和式趋于 $\int_{(a, b]} g d F 。$ 证毕。

另一种写法：用有界收敛定理

第 2 步说明 $g_{m} \to g$ 在 $(a, b]$ 上逐点成立，并且 $∣ g_{m} ∣ \leq max_{[a, b]} ∣ g ∣$ 有界。 $μ_{F}$ 是有限测度，由有界收敛定理（BCT）直接得到 $\int g_{m} d μ_{F} \to \int_{(a, b]} g d μ_{F} 。$ 上面的第 3 步其实给出了更多信息：误差不超过 $ω_{g} (δ) ，$ 有明确的速度。

图解

图解：每一小段「装着」多少概率

课件这里没有图，可以这样画：

横轴上把 $[a, b]$ 切成若干小段，每段写成左开右闭 $(x_{i - 1}, x_{i}] ，$ 右端点涂实心、左端点画空心，表示「每个点只属于一段」。
在每段下方写上它装着的概率 $F (x_{i}) - F (x_{i - 1}) 。$ 如果 $F$ 在这一段里有跳跃，跳跃的质量就装在包含跳跃点的那一段里；如果 $F$ 在这一段持平，这一段装的概率是 0，无论 $g$ 多大都不贡献。
在每段上方画一条水平线段，高度 $g (x_{i}^{*}) ：$ 这就是台阶函数 $g_{m} 。$
和式 = 每段「台阶高度 × 这一段的概率」之和。切得越细，台阶越贴近 $g$ 的曲线，和就越接近真实的积分。

和普通黎曼和唯一的区别：每段的「宽度」不再是长度，而是概率。

例子

例 1：均匀分布——退化成普通的黎曼和

$X \sim Unif (0, 1) ，$ 在 $[0, 1]$ 上 $F (x) = x ，$ 于是 $F (x_{i}) - F (x_{i - 1}) = x_{i} - x_{i - 1} ，$ 命题 8 的和式就是普通黎曼和。取 $g (x) = x^{2} ：$

\int_{(0, 1]} x^{2} d F (x) = \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3} = E [U^{2} 1_{{0 < U \leq 1}}] = E U^{2} .

例 2：只有跳跃的 F——和式自动挑出跳跃点

$P (X = 0) = P (X = 1) = \frac{1}{2} ，$ 取 $[a, b] = [- 1, 2] ，$ $g$ 连续。 $F$ 只在 0 和 1 处跳 $\frac{1}{2} ，$ 其余地方持平。

包含 0 的那一段 $(x_{i - 1}, x_{i}]$ 增量为 $\frac{1}{2} ，$ 包含 1 的那一段增量也为 $\frac{1}{2} ，$ 其余各段增量为 0。
所以和式 $= \frac{1}{2} g (x_{i}^{*}) + \frac{1}{2} g (x_{j}^{*}) ，$ 其中 $x_{i}^{*} 、$ $x_{j}^{*}$ 分别是那两段的标记点。细度 → 0 时，它们被挤向 0 和 1，由 $g$ 连续，和式 $\to \frac{1}{2} g (0) + \frac{1}{2} g (1) 。$

这正是 $E g (X) 。$ 例如 $g (x) = x^{2}$ 时极限是 $\frac{1}{2} 。$

例 3：左端点的质量不算在 (a, b] 里

$X \equiv 0$ （常数），取 $[a, b] = [0, 1] ，$ $g \equiv 1 。$ $F (x) = 1$ （ $x \geq 0 ），$ 所以每一段的增量 $F (x_{i}) - F (x_{i - 1}) = 1 - 1 = 0 ，$ 和式恒为 0。

这和命题 8 一致： $\int_{(0, 1]} 1 d F = P (0 < X \leq 1) = 0 。$ 点 0 的质量 1 没有被算进去，因为区间是左开的。想把它算进去，就要把 $a$ 取在 0 的左边，比如 $[a, b] = [- 1, 1] ：$ 包含 0 的那一段增量为 1，和式 $= 1 = P (- 1 < X \leq 1) 。$

例 4：有密度时的公式（预告）

若 $F$ 在 $[a, b]$ 上连续可导， $F^{'} = f ，$ 由微分中值定理 $F (x_{i}) - F (x_{i - 1}) = f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) ，$ 和式变成 $\sum g (x_{i}^{*}) f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) ，$ 它趋于 $\int_{a}^{b} g (x) f (x) d x 。$ 这与第 7 页推论「 $E g (X) = \int g f d x 」$ 吻合。

常见疑问与易错点

易错点问：g 不连续会怎样？

答：和式可能根本没有极限。取 $X \equiv 0 ，$ $[a, b] = [- 1, 1] ，$ $g = 1_{[0, \infty)}$ （在 0 处跳跃）。包含 0 的那一段 $(x_{i - 1}, x_{i}]$ 装着全部质量 1，而它的标记点可以取在 0 左边（ $g = 0 ）$ 或 0 右边（ $g = 1 ），$ 于是和式在 0 和 1 之间来回跳，不收敛。真正的积分是 $\int_{(- 1, 1]} g d F = g (0) \cdot 1 = 1 。$ $g$ 恰好在 $F$ 的跳跃点处不连续，是最危险的情形。

易错点问：∫ g dF 和中学的 ∫ g(x) f(x) dx 是什么关系？

答：后者是前者的特例。有密度时，「 $d F 」$ 可以理解成「 $f (x) d x 」$ （例 4）。但 $\int g d F$ 适用于所有分布，包括有跳跃的、以及连续却没有密度的（第 19 页）。

易错点问：命题 8 里的标记点能随便选吗？

答：能。只要在 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ 里，左端点、右端点、中点都行，极限都一样。这是 $g$ 一致连续带来的好处：同一段里 $g$ 的值几乎相同。下一页的证明会专门取右端点 $x_{i}^{*} = x_{i} 。$

小结与自测

小结本页小结

定义 7： $\int g d F := \int g d μ_{F} ，$ 由 LOTUS 等于 $E g (X) ；$ $\int_{(a, b]} g d F = E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}] 。$
命题 8： $g$ 在 $[a, b]$ 连续时， $\sum g (x_{i}^{*}) [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})] \to \int_{(a, b]} g d F 。$
证明：和式 = 台阶函数的积分；一致连续让台阶一致贴近 $g ；$ 总质量 $\leq 1$ 控制误差。
注意区间开闭： $(a, b]$ 不含 $a$ 处的质量； $g$ 在跳跃点不连续时公式会失效。

自测

1. $P (X = 1) = 0.3 ，$ $P (X = 2) = 0.7 ，$ $g (x) = x^{3} 。$ 求 $\int_{(0, 3]} g d F$ 和 $\int_{(1, 3]} g d F 。$

点开看答案

$\int_{(0, 3]} x^{3} d F = E [X^{3} 1_{{0 < X \leq 3}}] = 1 \times 0.3 + 8 \times 0.7 = 5.9 。$ $\int_{(1, 3]} x^{3} d F = E [X^{3} 1_{{1 < X \leq 3}}] = 8 \times 0.7 = 5.6 ，$ 点 1 的质量不在 $(1, 3]$ 里。

2. 在命题 8 的证明里，哪一步用到了「 $μ_{F}$ 是概率测度（总质量不超过 1）」？

点开看答案

第 3 步最后一个不等号： $ω_{g} (δ) \cdot μ_{F} ((a, b]) \leq ω_{g} (δ) 。$ 若测度总质量是无穷，误差估计就可能失效。另外「 $g 1_{(a, b]}$ 可积」也用到了总质量有限。

3. 取 $X \sim Unif (0, 1) ，$ $[a, b] = [0, 1] ，$ $g (x) = x ，$ 用等分分割和右端点标记写出和式，并验证它的极限。

点开看答案

$x_{i} = \frac{i}{m} ，$ 增量 $F (x_{i}) - F (x_{i - 1}) = \frac{1}{m} ，$ 和式 $= \sum_{i = 1}^{m} \frac{i}{m} \cdot \frac{1}{m} = \frac{1}{m ^{2}} \cdot \frac{m ( m + 1 )}{2} = \frac{m + 1}{2 m} \to \frac{1}{2} 。$ 这正是 $E U = \frac{1}{2} 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
分割	partition	把区间 [a,b] 用分点 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b 切成小段。
分部积分	integration by parts	∫ₐᵇ u v′ dx = [u v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′ v dx：把求导从一个函数挪到另一个函数上。由乘积求导法则 (uv)′ = u′v + uv′ 两边积分得到。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
无意识统计学家定律	law of the unconscious statistician (LOTUS)	求 g(X) 的期望，不必先求出 g(X) 的分布，直接把 g 对 X 的分布 𝓛(X) 积分；X 有密度 f 时就是 E g(X) = ∫ g(x) f(x) dx。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
中值定理	mean value theorem	f 在 [a,b] 上连续、在 (a,b) 内可导，则存在某个 ξ ∈ (a,b) 使 f(b) − f(a) = f′(ξ)(b − a)：总增量等于某一点的斜率乘以区间长度。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。