14 从上连续性，以及它必需的有限条件 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

一列集合越变越小（ $E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq \dots ），$ 缩成它们的交集 $E 。$ 只要第一个集合的测度有限，它们的测度就会逼近 $E$ 的测度： $μ (E_{n}) \to μ (E) 。$ 这个「有限」条件不能省： $[n, \infty)$ 每个长度都是 $\infty ，$ 却缩成了空集。

上一页第 13 页证明了从下连续：集合递增时，测度的极限等于极限集合的测度，不需要任何条件。这一页讨论反方向——集合递减时怎样。

结论（定理 9）是：多加一个条件 $μ (E_{1}) < \infty ，$ 测度仍然连续。标题特别强调 its necessary hypothesis（它必需的条件）：老师用粉色荧光笔标出了 $μ (E_{1}) < \infty ，$ 并在板书最后举了反例，说明去掉它定理就错了。

为什么递增不需要条件、递减却需要？一句话：证明递减的情形时不得不做减法，而 $\infty - \infty$ 没有意义。对概率测度， $P (E_{1}) \leq 1$ 永远有限，所以概率总是从上连续——这在后面的分布函数、Borel–Cantelli 引理里天天要用。本页是第 1 部分「概率空间与可测事件」的最后一页。

先补基础

基础补课集合的递减与记号 Eₙ ↓ E

$E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq E_{3} \supseteq \dots ：$ 每个集合都包含于前一个，叫递减（decreasing）的集合列。 $\supseteq$ 读作「包含」， $A \supseteq B$ 就是 $B \subseteq A 。$
$E_{n} ↓ E$ 读作「 $E_{n}$ 递减到 $E 」，$ 意思是：① $E_{n}$ 递减；② $E = ⋂_{n} E_{n}$ （属于每一个 $E_{n}$ 的点）。
例： $E_{n} = [0, \frac{1}{n}] 。$ $E_{1} = [0, 1] ，$ $E_{2} = [0, \frac{1}{2}] ，$ $E_{3} = [0, \frac{1}{3}] \dots\dots$ 越来越短。交集是 ${0} ：$ 0 在每个 $E_{n}$ 里；任何 $x > 0 ，$ 只要 $\frac{1}{n} < x ，$ 就不在 $E_{n}$ 里。所以 $E_{n} ↓ {0} 。$

基础补课为什么 ∞ − ∞ 没有意义

在长度测度下看几个「无穷减无穷」：

$[0, \infty)$ 去掉 $[1, \infty) ，$ 剩下 $[0, 1) ，$ 长度 1；
$[0, \infty)$ 去掉 $[2, \infty) ，$ 剩下 $[0, 2) ，$ 长度 2；
$[0, \infty)$ 去掉 $[0, \infty) ，$ 剩下 $\emptyset ，$ 长度 0。

三种情况都是「 $\infty - \infty 」，$ 答案却分别是 1、2、0。所以 $\infty - \infty$ 不可能有一个统一的值，数学里干脆规定它没有定义。凡是推导中要做减法 $μ (A) - μ (B) ，$ 都必须先确认它们是有限数。

基础补课极限与减法可以交换

若数列 $b_{n} \to b$ （都是有限数）， $a$ 是一个有限的常数，则 $a - b_{n} \to a - b 。$ 例： $b_{n} = \frac{1}{n} \to 0 ，$ 则 $3 - \frac{1}{n} \to 3 。$ 本页证明的最后一步要用它。

课件原文逐句精读

课件原文Theorem 9

Theorem 9　If $E_{n} \in S$ , $E_{n} \to E := ⋂_{n} E_{n}$ , and $μ (E_{1}) < \infty$ , then $μ (E_{n}) \to μ (E)$ .

（说明：老师把印刷的箭头「 $\to 」$ 圈出，并在上方画了向下的箭头「 $↓ 」，$ 意思是条件应为 $E_{n} ↓ E ，$ 即集合递减；「 $μ (E_{1}) < \infty 」$ 被粉色荧光笔标出。）

中文翻译

定理 9（从上连续）　若 $E_{n} \in S ，$ $E_{n}$ 递减到 $E := ⋂_{n} E_{n} ，$ 并且 $μ (E_{1}) < \infty ，$ 则 $μ (E_{n}) \to μ (E) 。$

逐个条件来读：

$E_{n} \in S$ ：每个 $E_{n}$ 可测（和第 13 页一样， $S$ 就是 σ-代数 $M ）。$
$E_{n} ↓ E := ⋂_{n} E_{n}$ ：集合递减， $E$ 是它们的交集。老师的更正（ $\to$ 改为 $↓ ）$ 和上一页同理：印刷的「 $\to 」$ 漏掉了「递减」这个必需的条件。
$E$ 可测：可数交仍在 σ-代数里（第 9 页结论 3），所以 $μ (E)$ 有定义。
$μ (E_{1}) < \infty$ （粉色高亮）：第一个集合的测度有限。因为 $E_{n} \subseteq E_{1} ，$ 由单调性，所有 $μ (E_{n}) \leq μ (E_{1}) < \infty ，$ 于是所有测度都是有限数，可以放心相减。这就是标题说的「必需的条件」。
结论 $μ (E_{n}) \to μ (E)$ ：测度数列从上面递减地逼近 $μ (E) ，$ 所以叫从上连续（continuity from above）。

定理 9（从上连续）

设 $(S, M, μ)$ 是测度空间， $E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq \dots$ 都属于 $M ，$ $E = ⋂_{n \geq 1} E_{n} ，$ 并且 $μ (E_{1}) < \infty 。$ 则

μ (E_{n}) \to μ (E) (n \to \infty),

并且 $μ (E_{1}) \geq μ (E_{2}) \geq \dots \geq μ (E) 。$ 特别地，概率测度总是从上连续的，因为 $P (E_{1}) \leq 1 < \infty 。$

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

（写在 $⋂_{n} E_{n}$ 正上方） $E_{1} \cap E_{2} \cap$ （字迹较小，推测是把 $⋂_{n} E_{n}$ 展开写成 $E_{1} \cap E_{2} \cap \dots ）$
（定理 9 中）印刷的「 $\to 」$ 被蓝笔圈出，上方画了向下的箭头 $↓ ；$ 「 $μ (E_{1}) < \infty 」$ 被粉色荧光笔涂亮
Pf.　 $E_{1} ∖ E_{n} \to E_{1} ∖ E ，$ then $μ (E_{1} ∖ E_{n}) \to μ (E_{1} ∖ E)$
since $μ (E_{1}) < \infty ，$ we get
$μ (E_{n}) = μ (E_{1}) - μ (E_{1} ∖ E_{n})$ 　（右边画了一个圈，圈里写着 $\infty - \infty ，$ 圈外右上角有一个问号 ?）
$n \to \infty μ (E_{1}) - μ (E_{1} ∖ E)$
$= μ (E)$ .　　#.
Example. Without $μ (E_{1}) < \infty$ ,
$E_{n} = [n, \infty)$ 　　 $E_{n} \to ϕ$ as $n \to \infty$
$μ (E_{n}) = \infty$ for every $n$
$n \to \infty lim μ (E_{n}) = \infty \neq = μ (ϕ)$ 　　#

第 1 行：交集展开

$⋂_{n} E_{n}$ 就是 $E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3} \cap \dots ：$ 属于每一个 $E_{n}$ 的点。这一行字很小，写在交集符号的正上方，最可能是在展开这个记号。（也有可能老师想写的是递减的 $E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq \dots ；$ 两种读法都不影响数学内容。）

第 3 行：把递减翻转成递增

证明的第一个想法：用 $E_{1}$ 减去 $E_{n}$ 。

$E_{n}$ 越来越小，那么「 $E_{1}$ 里被挖掉的部分」 $E_{1} ∖ E_{n}$ 就越来越大：这是一个递增列。
它递增到 $E_{1} ∖ E$ （推导一节第 2 步证明）。
于是可以用上一页的从下连续（定理 8）： $μ (E_{1} ∖ E_{n}) \to μ (E_{1} ∖ E) 。$

老师这里写的是「 $\to 」，$ 严格写应是「 $↑ 」，$ 因为用定理 8 需要递增。

第 4–5 行：做减法——有限条件在这里用上

$E_{n} \subseteq E_{1} ，$ 所以 $E_{1}$ 拆成两块不交的部分： $E_{1} = E_{n} \cup (E_{1} ∖ E_{n}) 。$ 由可加性： $μ (E_{1}) = μ (E_{n}) + μ (E_{1} ∖ E_{n}) 。$
因为 $μ (E_{1}) < \infty$ ，右边两项都是有限数，可以移项： $μ (E_{n}) = μ (E_{1}) - μ (E_{1} ∖ E_{n}) 。$
老师在旁边圈出的「 $\infty - \infty$ ?」就是在问：如果 $μ (E_{1}) = \infty$ 呢？那 $μ (E_{1} ∖ E_{n})$ 也可能是 $\infty ，$ 这一步就成了「 $\infty - \infty 」，$ 没有意义（见基础补课）。整个证明唯一需要有限条件的地方就是这里。

第 6–7 行：取极限

第 6 行： $μ (E_{1})$ 是固定的有限数， $μ (E_{1} ∖ E_{n}) \to μ (E_{1} ∖ E)$ （第 3 行），所以差也收敛（基础补课「极限与减法可以交换」）。
第 7 行：同样因为 $E \subseteq E_{1}$ 且测度有限， $μ (E_{1}) = μ (E) + μ (E_{1} ∖ E) ，$ 移项得 $μ (E_{1}) - μ (E_{1} ∖ E) = μ (E) 。$
「#」表示证明结束。

第 8–11 行：反例——为什么有限条件必不可少

取长度测度， $E_{n} = [n, \infty) ：$

递减： $[1, \infty) \supseteq [2, \infty) \supseteq [3, \infty) \supseteq \dots ，$ 每一个都比前一个少了一段。
交集是空集（老师写「 $E_{n} \to ϕ 」）：$ 任取一个实数 $x ，$ 选一个整数 $n > x ，$ 则 $x \in / [n, \infty) 。$ 所以没有任何点属于所有的 $E_{n} ，$ $⋂_{n} E_{n} = \emptyset 。$
每个测度都是 $\infty$ ： $[n, \infty)$ 是无限长的射线。
结论失败： $lim_{n} μ (E_{n}) = \infty ，$ 但 $μ (\emptyset) = 0 ，$ 两者不相等。

条件 $μ (E_{1}) < \infty$ 在这里恰好不满足（ $μ ([1, \infty)) = \infty ），$ 于是定理 9 的结论不成立。这说明定理里的条件不是为了证明方便加上的，而是真的必需。

直观理解：每个 $E_{n}$ 都有「无穷多的质量」跑到了右边无穷远处。集合在缩小，质量却没有减少，最后「消失在无穷远」，在极限集合里一点也没留下。

例子

例 1：区间缩成一个点

长度测度， $E_{n} = [0, \frac{1}{n}] ↓ {0} 。$ $μ (E_{1}) = 1 < \infty ，$ 条件满足。

$μ (E_{n}) = \frac{1}{n} \to 0 = μ ({0}) 。$ 定理 9 成立。这也顺便说明：单点的长度是 0，因为它是一列长度趋于 0 的区间的交。

例 2：概率里的例子——一直是反面

无穷次抛公平硬币（第 7 页），令 $E_{n}$ ＝「前 $n$ 次全是反面」 $= H_{1}^{c} \cap \dots \cap H_{n}^{c} 。$

递减：前 $n + 1$ 次全是反面，前 $n$ 次当然也全是反面，所以 $E_{n + 1} \subseteq E_{n} 。$
交集： $⋂_{n} E_{n}$ ＝「每一次都是反面」 $= ⋂_{n} H_{n}^{c} ，$ 就是第 7 页的「从不出现正面」。
$P (E_{n}) = 2^{- n} ，$ 概率测度自动满足有限条件。
定理 9： $P (从不出现正面) = lim_{n} 2^{- n} = 0 。$

和第 13 页例 3 对照：「至少一次正面」的概率是 1，它的补集「从不出现正面」的概率是 0，两种连续性给出了一致的答案。

例 3：分布函数右连续

第 11 页的分布函数 $F_{X} (x) = P (X \leq x) 。$ 令 $E_{n} = {X \leq x + \frac{1}{n}} 。$

$n$ 越大， $x + \frac{1}{n}$ 越小，条件越严格，所以 $E_{n}$ 递减。
交集： $X (ω) \leq x + \frac{1}{n}$ 对所有 $n$ 成立，当且仅当 $X (ω) \leq x$ （若 $X (ω) > x ，$ 取 $\frac{1}{n} < X (ω) - x$ 即不成立）。所以 $E_{n} ↓ {X \leq x} 。$
概率有限，由定理 9： $F_{X} (x + \frac{1}{n}) \to F_{X} (x) 。$

这就是「分布函数右连续」的来源。对比第 13 页例 5：从左边逼近得到的是 $P (X < x) ，$ 可能比 $F_{X} (x)$ 小（跳跃）；从右边逼近则一定回到 $F_{X} (x) 。$

例 4：有限条件只要「从某一项起」成立就够

长度测度，令 $E_{1} = R ，$ $E_{n} = [0, \frac{1}{n}]$ （ $n \geq 2 ）。$ 这一列递减，交集是 ${0} ，$ 但 $μ (E_{1}) = \infty ，$ 不满足定理 9 的字面条件。

然而把第一项去掉，从 $E_{2}$ 开始看， $μ (E_{2}) = \frac{1}{2} < \infty ，$ 定理 9 适用： $μ (E_{n}) \to 0 = μ ({0}) 。$ 去掉有限多项不影响极限和交集，所以只要某一个 $μ (E_{k}) < \infty ，$ 结论就成立。反例 $[n, \infty)$ 的问题在于每一项都是 $\infty 。$

例 5（反例）：计数测度下的同类反例

$N$ 上的计数测度（第 12 页例 1）， $E_{n} = {n, n + 1, n + 2, \dots} 。$ 递减，交集为空（任何正整数 $k$ 都不在 $E_{k + 1}$ 里），但每个 $E_{n}$ 都有无穷多个元素， $μ (E_{n}) = \infty \neq \to 0 = μ (\emptyset) 。$ 和板书反例是同一个现象：质量「跑向无穷远」。

推导：一步一步来

推导证明思路

用 $F_{n} = E_{1} ∖ E_{n}$ 把递减列翻转成递增列，对它用从下连续（定理 8）；再利用 $μ (E_{1}) < \infty$ 做减法，把结论翻译回 $E_{n} 。$

设 $E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq \dots$ 可测， $E = ⋂_{n} E_{n} ，$ $μ (E_{1}) < \infty 。$ 令 $F_{n} = E_{1} ∖ E_{n} 。$

第 1 步： $F_{n}$ 递增。 若 $x \in F_{n} ，$ 则 $x \in E_{1}$ 且 $x \in / E_{n} 。$ 因为 $E_{n + 1} \subseteq E_{n} ，$ $x$ 也不在 $E_{n + 1}$ 里，所以 $x \in F_{n + 1} 。$ 即 $F_{n} \subseteq F_{n + 1} 。$

第 2 步： $⋃_{n} F_{n} = E_{1} ∖ E 。$

x \in n ⋃ F_{n} ⟺ 存在 n ，使 x \in E_{1} 且 x \in / E_{n} （并集、差集的定义） ⟺ x \in E_{1} ，且「对所有 n ， x \in E_{n} 」不成立 （「存在不属于」＝「并非全都属于」） ⟺ x \in E_{1} 且 x \in / E （交集的定义） ⟺ x \in E_{1} ∖ E .

第 3 步：用从下连续。 由第 1、2 步， $F_{n} ↑ E_{1} ∖ E ，$ 由定理 8， $μ (F_{n}) \to μ (E_{1} ∖ E) 。$

第 4 步：用有限条件做减法。 $E_{n} \subseteq E_{1} ，$ 所以 $E_{1} = E_{n} \cup F_{n} ，$ 两块不交， $μ (E_{1}) = μ (E_{n}) + μ (F_{n}) 。$ 因为 $μ (E_{1}) < \infty ，$ 两项都有限，于是

μ (E_{n}) = μ (E_{1}) - μ (F_{n}) .

同理 $E \subseteq E_{1} ，$ $μ (E) = μ (E_{1}) - μ (E_{1} ∖ E) 。$

第 5 步：取极限。

μ (E_{n}) = μ (E_{1}) - μ (F_{n}) n \to \infty μ (E_{1}) - μ (E_{1} ∖ E) = μ (E) .

第一个等号是第 4 步；箭头用了第 3 步和「极限与减法可以交换」（ $μ (E_{1})$ 是有限常数）；最后的等号又是第 4 步。证毕。

两种连续性对比：

	从下连续（定理 8）	从上连续（定理 9）
集合的变化	$E_{n} ↑ E = ⋃_{n} E_{n}$	$E_{n} ↓ E = ⋂_{n} E_{n}$
额外条件	无	$μ (E_{1}) < \infty$ （或某个 $μ (E_{k}) < \infty ）$
证明技巧	切年轮，只做加法	用 $E_{1}$ 减，翻转成递增，要做减法
对概率测度	总成立	总成立
反例	无（条件下总成立）	$[n, \infty) ↓ \emptyset$

常见疑问与易错点

易错点问：有限条件是定理 9 的证明需要，还是定理本身需要？

答：两者都需要。证明里它用于做减法（板书圈出的「 $\infty - \infty$ ?」）；更重要的是，没有它结论本身就是错的（板书反例 $[n, \infty) ）。$ 所以它叫「必需的条件」（necessary hypothesis），而不只是技术性条件。

易错点问：条件一定要是 μ(E₁) < ∞ 吗？

答：不一定是第一个。只要某一个 $μ (E_{k}) < \infty$ 就够了：去掉前面有限多项，不改变交集，也不改变极限（例 4）。课件写 $μ (E_{1}) < \infty$ 是最简单的写法。

易错点问：为什么从下连续不需要这个条件？

答：从下连续的证明只做加法（切年轮，第 13 页）， $\infty$ 参与加法没有任何问题。从上连续的证明必须从 $μ (E_{1})$ 里「减掉」一部分，才会碰到 $\infty - \infty 。$

易错点问：概率论里需要担心这个条件吗？

答：不需要。概率测度的每个值都 $\leq 1 ，$ 条件自动满足，所以对概率来说，「递增」和「递减」两个方向的连续性总是成立。要担心的是长度、计数这类可能取 $\infty$ 的测度。

小结与自测

小结本页小结

定理 9（从上连续）： $E_{n}$ 可测， $E_{n} ↓ E = ⋂_{n} E_{n} ，$ 且 $μ (E_{1}) < \infty ，$ 则 $μ (E_{n}) \to μ (E) 。$
课件印成「 $E_{n} \to E 」，$ 老师改为「 $E_{n} ↓ E 」；$ $μ (E_{1}) < \infty$ 被老师高亮。
证明： $E_{1} ∖ E_{n} ↑ E_{1} ∖ E ，$ 用定理 8；再用有限条件做减法 $μ (E_{n}) = μ (E_{1}) - μ (E_{1} ∖ E_{n}) 。$
有限条件必需： $[n, \infty) ↓ \emptyset ，$ 但每个长度都是 $\infty ；$ 原因是 $\infty - \infty$ 没有意义。
概率测度总是从上连续；应用：分布函数右连续， $P (永远是反面) = lim 2^{- n} = 0 。$

自测

1. 长度测度下， $E_{n} = (0, \frac{1}{n}) 。$ 写出 $⋂_{n} E_{n} ，$ 并判断能否用定理 9 求 $lim μ (E_{n}) 。$

点开看答案

$⋂_{n} (0, \frac{1}{n}) = \emptyset ：$ 0 不在任何 $E_{n}$ 里（开区间），任何 $x > 0$ 当 $\frac{1}{n} < x$ 时不在 $E_{n}$ 里。 $E_{n}$ 递减且 $μ (E_{1}) = 1 < \infty ，$ 可以用定理 9： $lim μ (E_{n}) = μ (\emptyset) = 0 ，$ 与直接计算 $\frac{1}{n} \to 0$ 一致。

2. 长度测度下， $E_{n} = [n, n + 1] 。$ 它递减吗？ $⋂_{n} E_{n}$ 是什么？这和定理 9 矛盾吗？

点开看答案

不递减： $[1, 2]$ 与 $[2, 3]$ 只有一个公共点， $[2, 3] \neq \subseteq [1, 2] 。$ $⋂_{n} E_{n} = \emptyset$ （ $[1, 2] \cap [3, 4] = \emptyset$ 就已经空了）。每个 $μ (E_{n}) = 1 \neq \to 0 ，$ 但这不矛盾，因为定理 9 要求递减，这里条件不满足。

3. 在反例 $E_{n} = [n, \infty)$ 中，指出定理 9 证明的哪一步出了问题。

点开看答案

第 4 步。这里 $μ (E_{1}) = \infty ，$ $F_{n} = [1, n) ，$ $μ (F_{n}) = n - 1 。$ 等式 $μ (E_{1}) = μ (E_{n}) + μ (F_{n})$ 变成 $\infty = \infty + (n - 1) ，$ 仍然成立；但移项得到的 $μ (E_{n}) = μ (E_{1}) - μ (F_{n}) = \infty - (n - 1)$ 虽然可以理解为 $\infty ，$ 最后一步 $μ (E) = μ (E_{1}) - μ (E_{1} ∖ E)$ 却是 $\infty - \infty$ （ $E_{1} ∖ E = [1, \infty)$ 的长度也是 $\infty ），$ 无法算出 $μ (E) = 0 。$ 有限条件正是为了让这些减法有意义。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
从下连续	continuity from below	集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
从上连续	continuity from above	集合一层层变小（Eₙ ↓ E）且 μ(E₁) < ∞ 时，μ(Eₙ) → μ(E)。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
计数测度	counting measure	μ(A) = A 中元素的个数（无限集记为 ∞）。在 ℕ 上对它积分就是求和。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。