15 打字机序列：依概率收敛到 0，却在每一点都不收敛 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

一个「窗口」在 $[0, 1)$ 上从左往右扫：先是整段，再分两半各扫一次，再分四段各扫一次……窗口宽度 $2^{- m}$ 越来越小，所以「窗口盖住你」的概率趋于 0，序列依概率收敛到 0；但每扫完一层，每一个点都恰好被盖住一次，所以在每个点上 $X_{n} (ω)$ 都无穷多次等于 1、无穷多次等于 0，处处不收敛。

这是第 2 部分「随机变量的收敛」最重要的反例。

上一页第 14 页证明了：几乎必然收敛 ⇒ 依概率收敛。这一页说明反过来不成立，而且错得很彻底：不是「在一小部分点上不收敛」，而是在所有点上都不收敛。
下一页第 16 页会看到：即便如此，打字机序列里仍能挑出一个几乎必然收敛的子列。这就是子列判别法的出发点。
后面第 20 页、第 21 页也拿这个序列当例子：它说明为什么第 1 讲的控制收敛定理（要求几乎必然收敛）不能直接用在依概率收敛上。

先补基础

基础补课半开区间 [a, b) 与 [0,1) 上的长度

$[a, b) = {x : a \leq x < b} ：$ 包含左端点，不包含右端点。
用半开区间切分不会重叠： $[0, \frac{1}{2})$ 和 $[\frac{1}{2}, 1)$ 不交，并起来正好是 $[0, 1) 。$ 如果用闭区间 $[0, \frac{1}{2}] 、$ $[\frac{1}{2}, 1] ，$ 点 $\frac{1}{2}$ 会被算两次。
概率空间 $([0, 1), B ([0, 1)), λ) ：$ 样本空间是 $[0, 1) ，$ 事件是博雷尔子集，概率是长度（勒贝格测度，第 23 页）。 $λ ([a, b)) = b - a 。$
$U (ω) = ω ：$ 「均匀随机数」就是样本点本身。 $P (U \in [a, b)) = b - a ，$ 所以 $U$ 服从 $[0, 1)$ 上的均匀分布。

基础补课二进区间（dyadic interval）

形如 $[k 2^{- m}, (k + 1) 2^{- m})$ 的区间叫二进区间， $m \geq 0$ 是「层数」， $0 \leq k < 2^{m}$ 是这一层里的「位置」。
第 $m$ 层有 $2^{m}$ 个区间，每个长度 $2^{- m} ，$ 从左到右排开，恰好把 $[0, 1)$ 切成 $2^{m}$ 段。
例： $m = 2$ 时是 $[0, \frac{1}{4}), [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}), [\frac{1}{2}, \frac{3}{4}), [\frac{3}{4}, 1) 。$
给定一点 $ω \in [0, 1)$ 和层数 $m ，$ 它落在第 $k = ⌊ 2^{m} ω ⌋$ 个区间里（ $⌊ y ⌋$ 表示不超过 $y$ 的最大整数，叫向下取整）。理由： $k \leq 2^{m} ω < k + 1$ 两边除以 $2^{m}$ 就是 $k 2^{- m} \leq ω < (k + 1) 2^{- m} 。$ 例： $ω = 0.3 ，$ $m = 2 ，$ $2^{2} \cdot 0.3 = 1.2 ，$ $k = 1 ，$ 落在 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) 。$

基础补课每个正整数 n 唯一地写成 2ᵐ + k

对每个正整数 $n ，$ 存在唯一的一对整数 $m \geq 0 、$ $0 \leq k < 2^{m} ，$ 使 $n = 2^{m} + k 。$
理由： $2^{m}$ 取「不超过 $n$ 的最大的 2 的幂」，即 $m = ⌊ lo g_{2} n ⌋ ，$ 满足 $2^{m} \leq n < 2^{m + 1} ；$ 再令 $k = n - 2^{m} ，$ 则 $0 \leq k < 2^{m + 1} - 2^{m} = 2^{m} 。$
例： $n = 1 = 2^{0} + 0 ；$ $n = 6 = 2^{2} + 2 ；$ $n = 13 = 2^{3} + 5 ；$ $n = 16 = 2^{4} + 0 。$
用二进制看更直观： $n$ 的二进制最高位是 $2^{m} ，$ 去掉最高位剩下的就是 $k 。$ 例： $13 = 110 1_{2} ，$ 去掉最高位得 $10 1_{2} = 5 。$
于是下标 $n = 2^{m}, 2^{m} + 1, \dots, 2^{m + 1} - 1$ 这 $2^{m}$ 个数组成第 $m$ 层，叫第 $m$ 个块。

基础补课示性函数（回顾）

$1_{A} (ω)$ 在 $ω \in A$ 时为 1，否则为 0（第 30 页）。 $1_{{k 2^{- m} \leq U < (k + 1) 2^{- m}}}$ 就是「 $U$ 落在第 $m$ 层第 $k$ 个区间里」的示性函数。它是随机变量， $E 1_{A} = P (A) 。$

课件原文逐句精读

课件原文The typewriter sequence

On $([0, 1), B ([0, 1)), λ)$ , take $U (ω) = ω$ and define $X_{2^{m} + k} = 1_{{k 2^{- m} \leq U < (k + 1) 2^{- m}}}$ for $0 \leq k < 2^{m}$ .

Dyadic intervals and their indices

中文翻译

（标题：打字机序列）

在 $([0, 1), B ([0, 1)), λ)$ 上，取 $U (ω) = ω ，$ 并对 $0 \leq k < 2^{m}$ 定义 $X_{2^{m} + k} = 1_{{k 2^{- m} \leq U < (k + 1) 2^{- m}}} 。$

二进区间及其下标

逐句看：

On $([0, 1), B ([0, 1)), λ)$ ：概率空间是单位区间配上长度测度（先补基础）。
take $U (ω) = ω$ ：随机变量 $U$ 就是「读出样本点」，它是均匀分布的。
define $X_{2^{m} + k} = \dots$ for $0 \leq k < 2^{m}$ ：下标写成 $2^{m} + k$ 的形式。因为每个正整数 $n$ 唯一地写成这个样子，这一行对每个 $n \geq 1$ 恰好定义了一次 $X_{n}$ 。 $X_{n}$ 是「 $U$ 落在第 $m$ 层第 $k$ 个二进区间里」的示性函数。
Dyadic intervals and their indices：「二进区间与它们的下标」。这是一个小标题，下面应当列出「哪个 $n$ 对应哪个区间」。下一节补全成表格。
标题 typewriter（打字机）：老式打字机的字车从左往右走完一行，就回到最左边开始下一行。这里的「窗口」也是一层从左扫到右，然后回到 0 开始下一层，只是每一层的「字」更窄。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

记 $I_{n} = [k 2^{- m}, (k + 1) 2^{- m})$ （ $n = 2^{m} + k ），$ 于是 $X_{n} = 1_{{U \in I_{n}}} ，$ 也就是 $X_{n} (ω) = 1_{I_{n}} (ω) 。$

Dyadic intervals and their indices｜二进区间及其下标

块（层） $m$	$n$	$k = n - 2^{m}$	区间 $I_{n}$	长度 $P (X_{n} = 1)$
0	1	0	$[0, 1)$	1
1	2	0	$[0, \frac{1}{2})$	$\frac{1}{2}$
1	3	1	$[\frac{1}{2}, 1)$	$\frac{1}{2}$
2	4	0	$[0, \frac{1}{4})$	$\frac{1}{4}$
2	5	1	$[\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$	$\frac{1}{4}$
2	6	2	$[\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$	$\frac{1}{4}$
2	7	3	$[\frac{3}{4}, 1)$	$\frac{1}{4}$
3	8	0	$[0, \frac{1}{8})$	$\frac{1}{8}$
3	9	1	$[\frac{1}{8}, \frac{2}{8})$	$\frac{1}{8}$
3	10	2	$[\frac{2}{8}, \frac{3}{8})$	$\frac{1}{8}$
3	11	3	$[\frac{3}{8}, \frac{4}{8})$	$\frac{1}{8}$
3	12	4	$[\frac{4}{8}, \frac{5}{8})$	$\frac{1}{8}$
3	13	5	$[\frac{5}{8}, \frac{6}{8})$	$\frac{1}{8}$
3	14	6	$[\frac{6}{8}, \frac{7}{8})$	$\frac{1}{8}$
3	15	7	$[\frac{7}{8}, 1)$	$\frac{1}{8}$

接下来 $n = 16, \dots, 31$ 是第 4 层，16 个长度为 $\frac{1}{16}$ 的区间，依此类推。

人话版怎么读这张表：一层一层往下看

在纸上画几条平行的横线，每条都代表 $[0, 1) 。$ 第 0 条整条涂黑（ $n = 1 ）；$ 第 1 条切成两段，先涂左半（ $n = 2 ）、$ 再涂右半（ $n = 3 ）；$ 第 2 条切成四段，依次涂（ $n = 4, 5, 6, 7 ）；$ 第 3 条切八段（ $n = 8, \dots, 15 ）\dots\dots$

每一行（每一块）涂的格子正好铺满整条线，互不重叠：所以每个点在每一块里恰好被涂一次。
越往下格子越窄：第 $m$ 块里每个格子的宽度是 $2^{- m} ，$ 所以「某一个时刻 $n$ 涂到你」的概率越来越小。
这两条就是本页的两个结论。

补写：依概率收敛到 0

命题结论 1（依概率收敛）

$X_{n} P 0 。$ 更具体地，若 $n = 2^{m} + k ，$ 则对 $0 < ε < 1 ，$

P (∣ X_{n} - 0∣ > ε) = P (X_{n} = 1) = λ (I_{n}) = 2^{- m} < \frac{2}{n} \to 0.

推导：

$X_{n}$ 只取 0 和 1。对 $0 < ε < 1 ，$ $∣ X_{n} ∣ > ε$ 当且仅当 $X_{n} = 1 ，$ 当且仅当 $U \in I_{n} ；$ 对 $ε \geq 1 ，$ ${∣ X_{n} ∣ > ε} = \emptyset ，$ 概率为 0。
$P (U \in I_{n}) = λ (I_{n}) = 2^{- m}$ （区间长度）。
由 $n = 2^{m} + k < 2^{m + 1}$ 得 $2^{- m} < \frac{2}{n} 。$ $n \to \infty$ 时 $\frac{2}{n} \to 0 ，$ 所以 $P (∣ X_{n} ∣ > ε) \to 0 。$ 由定义 10（第 14 页）， $X_{n} P 0 。$

顺便： $E ∣ X_{n} - 0∣ = E X_{n} = 2^{- m} \to 0 ，$ 所以它还在平均意义下收敛到 0（ $L^{1}$ 收敛）。

补写：在每一点都不收敛

命题结论 2（处处不收敛）

对每个 $ω \in [0, 1) ，$ 数列 $X_{1} (ω), X_{2} (ω), \dots$ 中有无穷多个 1 和无穷多个 0，因而

n \to \infty lim sup X_{n} (ω) = 1, n \to \infty lim inf X_{n} (ω) = 0,

数列 $X_{n} (ω)$ 不收敛。特别地， $P (X_{n} \to 0) = 0 ，$ $X_{n}$ 不几乎必然收敛到任何随机变量。

推导：

每块恰好一个 1。固定 $ω$ 和 $m 。$ 第 $m$ 块的区间 $I_{2^{m}}, \dots, I_{2^{m + 1} - 1}$ 两两不交、并起来是 $[0, 1)$ （先补基础），所以 $ω$ 恰好落在其中一个里，就是 $k = ⌊ 2^{m} ω ⌋$ 那一个。于是在这一块里， $X_{n} (ω) = 1$ 恰好当 $n = 2^{m} + ⌊ 2^{m} ω ⌋ ，$ 其余 $n$ 上 $X_{n} (ω) = 0 。$
无穷多个 1。块有无穷多个（ $m = 0, 1, 2, \dots ），$ 每块贡献一个 1。
无穷多个 0。 $m \geq 1$ 时第 $m$ 块有 $2^{m} \geq 2$ 个下标，只有一个是 1，其余至少一个是 0。
上下极限。数列只取 0、1，并且两者都出现无穷多次，所以 $lim sup = 1 、$ $lim inf = 0$ （第 13 页基础补课：取值 1 无穷多次 ⇒ $lim sup \geq 1 ；$ 取值 0 无穷多次 ⇒ $lim inf \leq 0 ）。$ 上下极限不相等，数列不收敛。
不几乎必然收敛到任何 $X$ 。若 $X_{n} \to X$ 几乎必然，由命题 11 它也依概率收敛到 $X ；$ 依概率收敛的极限几乎必然唯一（第 14 页推导），所以 $X = 0$ 几乎必然，于是 $P (X_{n} \to 0) = 1 。$ 但第 4 步说 ${X_{n} \to 0} = \emptyset ，$ 矛盾。

人话版一个漂亮的观察：打到 ω 的下标就是 ω 的二进制展开

把 $ω$ 写成二进制小数 $ω = 0. b_{1} b_{2} b_{3} \dots_{(2)} 。$ 第 $m$ 层里盖住 $ω$ 的位置是 $k = ⌊ 2^{m} ω ⌋ ，$ 它的二进制正好是 $b_{1} b_{2} \dots b_{m}$ （把小数点右移 $m$ 位再取整）。于是在第 $m$ 块里打到 $ω$ 的下标是

n = 2^{m} + k = 1 b_{1} b_{2} \dots b_{m}_{(2)} (开头一个 1 ，后面接 ω 的前 m 位) .

例： $ω = 0.3 = 0.0100110011 \dots_{(2)} 。$ 各块里打到它的下标依次是 $1_{(2)} = 1 ，$ $1 0_{(2)} = 2 ，$ $10 1_{(2)} = 5 ，$ $101 0_{(2)} = 10 ，$ $1010 0_{(2)} = 20 ，$ $10100 1_{(2)} = 41 ，\dots\dots$ 这正是演示里 $ω = 0.3$ 时那些高条的位置。

动手试一试打字机序列：拖动 n 看窗口，拖动 ω 看一条路径

上方是第 $n$ 个窗口 $I_{n}$ （深色块）和你选的点 $ω$ （竖线）；下方是固定这个 $ω$ 时 $X_{1} (ω), \dots, X_{63} (ω)$ 的取值。拖动 $n ：$ 窗口越来越窄，读数里的 $P (X_{n} \neq = 0) = 2^{- m}$ 越来越小。再换几个 $ω ：$ 每一块（ $n = 2$ – $3 、$ $4$ – $7 、$ $8$ – $15 、$ $16$ – $31 、$ $32$ – $63 ）$ 里永远恰好有一根高条——这根高条永远不会消失，所以路径不收敛。

例子

例 1：跟踪 ω = 0.7，列出前 15 项

$ω = 0.7 。$ 各层的位置 $k = ⌊ 2^{m} \cdot 0.7 ⌋ ：$

$m$	$2^{m} \cdot 0.7$	$k$	打到 $ω$ 的 $n = 2^{m} + k$	区间
0	0.7	0	1	$[0, 1)$
1	1.4	1	3	$[\frac{1}{2}, 1)$
2	2.8	2	6	$[\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$
3	5.6	5	13	$[\frac{5}{8}, \frac{6}{8})$
4	11.2	11	27	$[\frac{11}{16}, \frac{12}{16})$

所以 $X_{n} (0.7) = 1$ 当且仅当 $n \in {1, 3, 6, 13, 27, \dots} ，$ 前 15 项是

1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0.

1 之间的间隔越来越长（大约每次翻倍），但永远会再来一个 1。

例 2：抬高窗口——依概率收敛，期望却不收敛

令 $Y_{n} = 2^{m} X_{n}$ （ $n = 2^{m} + k ），$ 即窗口越窄、高度越高，保持面积为 1。

依概率收敛到 0： ${∣ Y_{n} ∣ > ε} \subseteq {X_{n} = 1} ，$ 概率 $\leq 2^{- m} \to 0 。$
期望不收敛到 0： $E Y_{n} = 2^{m} \cdot 2^{- m} = 1$ 对每个 $n$ 成立。
处处不收敛：每个 $ω$ 上， $Y_{n} (ω)$ 在第 $m$ 块里有一项等于 $2^{m} ，$ 所以 $lim sup_{n} Y_{n} (ω) = \infty 。$

这是第 19 页尖峰反例的「打字机版本」：依概率收敛推不出期望收敛，缺的是共同的可积上界（第 20 页）。

例 3：可以挑出几乎必然收敛的子列

只看每块的第一项， $n_{m} = 2^{m} ：$ $X_{2^{m}} = 1_{[0, 2^{- m})} 。$

对 $ω > 0 ：$ 当 $2^{- m} \leq ω$ 后， $ω \in / [0, 2^{- m}) ，$ $X_{2^{m}} (ω) = 0 。$ 所以 $X_{2^{m}} (ω) \to 0 。$
对 $ω = 0 ：$ $X_{2^{m}} (0) = 1$ 永远成立，不收敛。但 $λ ({0}) = 0 。$
结论：子列 $X_{2^{m}} \to 0$ 几乎必然。也可以用第一 Borel–Cantelli 引理看： $\sum_{m} P (X_{2^{m}} = 1) = \sum_{m} 2^{- m} = 2 < \infty 。$

整个序列处处不收敛，子列却几乎必然收敛——第 16 页的子列判别法说，这不是巧合。

推导：一步一步来

为什么偏差概率不可求和（与第 10 页对照）。 推论 7 说偏差概率可求和就几乎必然收敛。打字机序列不几乎必然收敛，所以偏差概率一定不可求和。直接算：第 $m$ 块有 $2^{m}$ 项，每项概率 $2^{- m} ，$ 一块的和是 1，

n = 1 \sum \infty P (X_{n} = 1) = m = 0 \sum \infty 2^{m} \cdot 2^{- m} = m = 0 \sum \infty 1 = \infty.

用第 4 页证明二的语言： $\sum_{n} 1_{{X_{n} = 1}} (ω)$ 是 $ω$ 被打中的总次数，它的期望是 $\infty ；$ 而且这里不仅期望无穷，每个 $ω$ 上的次数都是无穷（每块一次）。

为什么第二 Borel–Cantelli 引理在这里不是原因。 事件 ${X_{n} = 1} = {U \in I_{n}}$ 不独立：同一块里的区间互不相交，例如 $P (X_{2} = 1, X_{3} = 1) = λ (\emptyset) = 0 \neq = \frac{1}{4} 。$ 「无穷多次发生」在这里来自几何构造（每块铺满 $[0, 1) ），$ 不是来自独立性。

常见疑问与易错点

易错点问：依概率收敛到 0，是不是至少在「大部分」点上收敛到 0？

答：不是。打字机序列依概率收敛到 0，却没有任何一个点收敛。依概率收敛只说「每个固定时刻，被打中的点越来越少」，完全不管同一个点在不同时刻的命运。正是因为每次被打中的是不同的一小批点，每个点都能轮到无穷多次。

易错点问：为什么样本空间用 [0,1)，区间用左闭右开？

答：为了让每一层的区间恰好铺满样本空间、互不重叠，这样「每块恰好打中一次」才精确成立。如果用闭区间，像 $\frac{1}{2}$ 这样的分点会在同一块里被打中两次；如果样本空间含 1，点 1 在任何一层都不会被打中。这些只影响零测集，不改变结论，但半开区间让叙述最干净。

易错点问：打字机序列也在 L¹ 意义下收敛到 0，这说明什么？

答： $E ∣ X_{n} ∣ = 2^{- m} \to 0 ，$ 所以它在 $L^{1}$ 意义下收敛到 0，但几乎必然不收敛。这说明平均意义下的收敛也推不出几乎必然收敛。反方向也不成立：第 19 页的尖峰几乎必然收敛到 0，期望却恒为 1。几乎必然收敛和 $L^{1}$ 收敛互不蕴含，二者都推出依概率收敛（ $L^{1}$ 那一条由 Markov 不等式得到： $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \leq E ∣ X_{n} - X ∣/ ε ）。$

小结与自测

小结本页小结

打字机序列：每个 $n$ 唯一写成 $2^{m} + k$ （ $0 \leq k < 2^{m} ），$ $X_{n}$ 是 $U$ 落在二进区间 $[k 2^{- m}, (k + 1) 2^{- m})$ 的示性函数。第 $m$ 块的 $2^{m}$ 个区间恰好铺满 $[0, 1) 。$
依概率收敛到 0： $P (X_{n} \neq = 0) = 2^{- m} < \frac{2}{n} \to 0$ （还在 $L^{1}$ 意义下收敛）。
处处不收敛：每个 $ω$ 在每块里恰好被打中一次， $lim sup X_{n} (ω) = 1 、$ $lim inf X_{n} (ω) = 0 。$
偏差概率之和为 $\infty ，$ 与推论 7 不矛盾；事件不独立，「无穷多次」来自几何构造。
子列 $X_{2^{m}} \to 0$ 几乎必然：为第 16 页的子列判别法做铺垫。

自测

1. $n = 21$ 对应哪个区间？ $P (X_{21} = 1)$ 是多少？

点开看答案

$21 = 16 + 5 = 2^{4} + 5 ，$ 所以 $m = 4 、$ $k = 5 ，$ $I_{21} = [\frac{5}{16}, \frac{6}{16}) ，$ $P (X_{21} = 1) = \frac{1}{16} 。$

2. 对 $ω = 0.3 ，$ 在第 3 块（ $n = 8, \dots, 15 ）$ 里哪个 $n$ 使 $X_{n} (ω) = 1 ？$

点开看答案

$k = ⌊ 8 \times 0.3 ⌋ = ⌊ 2.4 ⌋ = 2 ，$ 所以 $n = 8 + 2 = 10 ，$ 区间 $[\frac{2}{8}, \frac{3}{8}) = [0.25, 0.375)$ 确实包含 0.3。

3. 找出打字机序列的另一个几乎必然收敛到 0 的子列（不同于 $X_{2^{m}} ），$ 并说明理由。

点开看答案

例如每块的最后一项 $n_{m} = 2^{m + 1} - 1 ：$ $X_{n_{m}} = 1_{[1 - 2^{- m}, 1)} 。$ 对每个 $ω < 1$ （即 $[0, 1)$ 里的所有点），当 $2^{- m} \leq 1 - ω$ 后 $ω < 1 - 2^{- m} ，$ $X_{n_{m}} (ω) = 0 。$ 所以这个子列处处收敛到 0。也可以用第一 Borel–Cantelli 引理： $\sum_{m} 2^{- m} < \infty 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
打字机序列	typewriter sequence	在 [0,1) 上从左到右一遍遍扫过、越来越窄的小区间的示性函数列：依概率收敛到 0，却在每一点都不收敛。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
偏差概率	deviation probability	Xₙ 和目标 X 相差超过 ε 的概率 P(\|Xₙ − X\| > ε)。它趋于 0 就是依概率收敛；对每个 ε 它都可求和时，由 Borel–Cantelli 引理可推出几乎必然收敛。
可求和	summable	非负数列的级数和有限：Σ aₙ < ∞。例如 Σ 1/n² 可求和，Σ 1/n 不可求和（和是 +∞）。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
Markov 不等式	Markov's inequality	X ≥ 0 时 P(X ≥ t) ≤ E X / t：期望小，取大值的概率就小。