10 用分部积分从 CDF 直接计算 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

上一页的公式还要一段一段地算 $F$ 的增量；这一页用分部积分把它换成一个普通的积分：只要 $g$ 光滑， $E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}]$ 就等于「两个端点项」减去「 $g^{'}$ 乘 $F$ 的普通积分」。公式里只出现 $F$ 本身的值，不需要密度，也不需要知道 $F$ 在哪里跳。

位置：第 2 部分「用 CDF 计算期望」的第 3 页。第 9 页的命题 8 已经把 $E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}]$ 写成和式 $\sum g (x_{i}^{*}) [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})]$ 的极限；本页在这个和式上做「分部求和」，得到定理 9。
为什么需要：命题 8 的极限要切分割、算增量、再取极限，手算很麻烦；定理 9 把它变成 $\int_{a}^{b} g^{'} (x) F (x) d x$ ——一个中学就会算的普通积分，被积函数里只有 $g^{'}$ 和 $F 。$
后面怎么用：下一页第 11 页取 $g (x) = x ，$ 得到截断随机变量的期望公式；第 12 页再让 $a \to - \infty 、$ $b \to \infty ，$ 得到「用 CDF 两侧的尾部面积算期望」的定理 11。

先补基础

基础补课C¹ 函数与微分中值定理

$g \in C^{1} ([a, b])$ 读作「 $g$ 属于 $[a, b]$ 上的 C-一类」： $g$ 在闭区间 $[a, b]$ 上处处可导（在两个端点处指单侧导数），并且导函数 $g^{'}$ 在 $[a, b]$ 上连续。例： $x^{2} 、$ $e^{x} 、$ $sin x$ 在任何闭区间上都属于 $C^{1} ；$ $∣ x ∣$ 在 $[- 1, 1]$ 上不属于（在 0 处不可导）。
$C^{1}$ 带来两个好处。第一， $g^{'}$ 是闭区间上的连续函数，所以有界、并且一致连续（第 9 页基础补课里的 Heine–Cantor 定理）；沿用第 9 页的记号，把 $g^{'}$ 的连续模记为 $ω_{g^{'}} (δ) ，$ 它随 $δ \to 0$ 趋于 0。第二，可以用下面的中值定理。
微分中值定理（Lagrange）：若 $g$ 在 $[s, t]$ 上连续、在 $(s, t)$ 内可导，则存在一点 $ξ \in (s, t) ，$ 使 $g (t) - g (s) = g^{'} (ξ) (t - s) .$ 几何意义：连接两个端点的弦的斜率，等于中间某一点切线的斜率。例： $g (x) = x^{2} ，$ $[s, t] = [1, 3] ，$ 弦的斜率是 $\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4 ，$ 而 $g^{'} (ξ) = 2 ξ = 4$ 给出 $ξ = 2 。$

基础补课分部积分（中学版回顾）

乘积求导法则 $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} 。$ 两边在 $[a, b]$ 上积分，再移项： $\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = u (b) v (b) - u (a) v (a) - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x .$
口诀：把导数从一个因子挪到另一个因子上，代价是一个「端点项」和一个负号。
例： $\int_{0}^{1} x e^{x} d x ，$ 取 $u = x 、$ $v = e^{x} ，$ 得 $1 \cdot e - 0 - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - (e - 1) = 1 。$
本页的定理 9 就是这个公式，只不过把 $v^{'} (x) d x$ 换成了「 $d F 」。$ $F$ 可以不可导，甚至可以跳，所以不能直接照搬 $(uv)^{'}$ 的推导，要换一条路（见下面的证明）。

基础补课CDF 是有界的可测函数，∫ g′F dx 一定有意义

$F$ 单调不减。对任意常数 $c ，$ 只要某个 $x$ 满足 $F (x) > c ，$ 它右边的所有点也都满足，所以集合 ${x : F (x) > c}$ 只能是空集、 $R 、$ 或者 $(t, \infty) 、$ $[t, \infty)$ 这样的半直线。这些都是博雷尔集，所以 $F$ 是博雷尔可测的（可测函数）。
CDF 还满足 $0 \leq F \leq 1 。$ 于是 $g^{'} F$ 是 $[a, b]$ 上有界的可测函数，它对勒贝格测度的积分 $\int_{a}^{b} g^{'} (x) F (x) d x := \int_{[a, b]} g^{'} F d Leb$ 一定存在而且有限。实际计算时 $F$ 通常是分段的简单函数，按段用中学的方法积分即可（有界黎曼可积函数的两种积分相等，第 27 页；下面「更多细节」会说明 $g^{'} F$ 确实黎曼可积）。

课件原文逐句精读

课件原文Integration by parts computes from the CDF itself

Theorem 9 (CDF integration by parts) Let $a < b$ and $g \in C^{1} ([a, b])$ , extended by zero outside $[a, b]$ when evaluating $g (X)$ . Then

中文翻译

蓝条标题：分部积分让我们直接从 CDF 本身算出期望。

定理 9（CDF 的分部积分） 设 $a < b ，$ $g \in C^{1} ([a, b]) ；$ 在计算 $g (X)$ 时，把 $g$ 在 $[a, b]$ 以外补定义为 0。那么……（课件正文留白，见下一节。）

① Let a < b and g ∈ C¹([a, b])｜两个假设

$a < b$ 是两个有限实数：先在一个有界区间上做。区间无界的情形留给第 12 页用极限处理。
$g \in C^{1} ([a, b])$ 比第 9 页命题 8 的「 $g$ 连续」多要求了一点——可导，而且导数连续。原因有二：结论里要出现 $g^{'} ；$ 证明里要对 $g$ 用中值定理，还要用 $g^{'}$ 的一致连续。

② extended by zero outside [a, b] when evaluating g(X)｜为什么要「在外面补 0」

$g$ 只在 $[a, b]$ 上有定义，可 $X (ω)$ 完全可能落在 $[a, b]$ 外面，那时 $g (X (ω))$ 这个式子没有意义。
约定： $x \in / [a, b]$ 时令 $g (x) := 0 。$ 这样 $g (X)$ 对每个 $ω$ 都有定义。它还是一个随机变量：补 0 以后， ${g > c}$ 在 $c \geq 0$ 时是「 $[a, b]$ 中满足 $g > c$ 的点」，即开集与 $[a, b]$ 的交；在 $c < 0$ 时再并上 $[a, b]$ 的补集。两者都是博雷尔集，所以补 0 后的 $g$ 博雷尔可测， $g (X)$ 可测（第 4 页「复合保持可测」）。
补的值是多少其实不影响结论：定理里 $g (X)$ 总是乘着示性函数 $1_{{a < X \leq b}} ，$ $X$ 不在 $(a, b]$ 里时整项都是 0。「补 0」只是让记号 $g (X)$ 合法的一个约定。

③ Integration by parts computes from the CDF itself｜标题在强调什么

from the CDF itself（从 CDF 本身）：公式右边只出现 $F$ 在两个端点的值，以及 $F$ 在 $[a, b]$ 上的一个普通积分，不出现密度，也不出现 $F$ 的增量或跳跃大小。
所以不管 $X$ 是离散的、混合型的（第 13 页），还是连续却没有密度的（第 19 页），公式都照样能用。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定理 9（CDF 的分部积分）

设 $X$ 是实值随机变量， $F = F_{X} ；$ $a < b$ 是实数， $g \in C^{1} ([a, b]) ，$ 并在 $[a, b]$ 外补定义为 0。则

E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}] = \int_{(a, b]} g d F = g (b) F (b) - g (a) F (a) - \int_{a}^{b} g^{'} (x) F (x) d x .

等价地（把 $F$ 换成尾概率 $1 - F ），$

E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}] = g (a) (1 - F (a)) - g (b) (1 - F (b)) + \int_{a}^{b} g^{'} (x) (1 - F (x)) d x .

逐项解释：

左边： $X$ 落在 $(a, b]$ 里时取 $g (X) ，$ 否则取 0，再求期望。第一个等号是第 9 页定义 7 的记号。
右边第一部分 $g (b) F (b) - g (a) F (a) ：$ 「端点项」，对应中学分部积分里的 $u (b) v (b) - u (a) v (a)$ （这里 $u = g ，$ $v = F ）。$
右边第二部分 $- \int_{a}^{b} g^{'} F d x ：$ 原来是「 $g$ 对 $d F$ 积分」，现在变成「 $F$ 对 $g^{'} (x) d x$ 积分」，代价是一个负号——导数从 $F$ 身上挪到了 $g$ 身上。 $F$ 不可导不要紧， $g$ 可导就行。
第二种形式怎么来：把 $F = 1 - (1 - F)$ 代入第一种形式，并用微积分基本定理 $\int_{a}^{b} g^{'} (x) d x = g (b) - g (a)$ （ $g^{'}$ 连续）： $g (b) F (b) - g (a) F (a) - \int_{a}^{b} g^{'} (x) d x + \int_{a}^{b} g^{'} (x) (1 - F (x)) d x = g (b) F (b) - g (a) F (a) - g (b) + g (a) + \int_{a}^{b} g^{'} (x) (1 - F (x)) d x = g (a) (1 - F (a)) - g (b) (1 - F (b)) + \int_{a}^{b} g^{'} (x) (1 - F (x)) d x .$ $b$ 很大时 $1 - F (b)$ 很小，第二种形式更方便，第 11、12 页用的就是它的思路。

推导证明思路

从第 9 页命题 8 出发：取右端点作标记点，左边是和式 $\sum g (x_{i}) [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})]$ 的极限。对这个和式做分部求和（离散版的乘积求导法则），它变成「端点项」减去 $\sum [g (x_{i}) - g (x_{i - 1})] F (x_{i - 1}) ；$ 再用中值定理把 $g (x_{i}) - g (x_{i - 1})$ 写成 $g^{'} (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) ，$ 剩下的就是 $\int_{a}^{b} g^{'} F d x$ 的近似和。最后用 $g^{'}$ 一致连续和 $F$ 单调，证明近似的误差趋于 0。

取 $[a, b]$ 的一列分割 $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{m} = b ，$ 细度 $δ = max_{i} (x_{i} - x_{i - 1}) \to 0 ，$ 记第 $i$ 段的长度 $Δ_{i} = x_{i} - x_{i - 1} 。$

第 1 步：从命题 8 出发。 命题 8 允许任意选标记点，这里取右端点 $x_{i}^{*} = x_{i} ：$

S_{m} := i = 1 \sum m g (x_{i}) [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})] ⟶ E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}] (δ \to 0) .

命题 8 只要求 $g$ 在 $[a, b]$ 上连续，而 $C^{1}$ 函数是可导的，当然连续。

第 2 步：离散的乘积法则（分部求和）。 对每个 $i ，$ 有恒等式

g (x_{i}) F (x_{i}) - g (x_{i - 1}) F (x_{i - 1}) = g (x_{i}) [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})] + [g (x_{i}) - g (x_{i - 1})] F (x_{i - 1}) .

理由：把右边展开，得 $g (x_{i}) F (x_{i}) - g (x_{i}) F (x_{i - 1}) + g (x_{i}) F (x_{i - 1}) - g (x_{i - 1}) F (x_{i - 1}) ，$ 中间两项正负抵消，剩下的正是左边。它就是 $(g F)^{'} = g F^{'} + g^{'} F$ 的「差分版」。

对 $i = 1, \dots, m$ 求和。左边是 $h (x_{i}) - h (x_{i - 1})$ 的形式（ $h = g F ），$ 相加时中间的项逐个相消，只剩首尾两项 $h (x_{m}) - h (x_{0})$ （这叫望远镜求和，telescoping sum）。于是

g (b) F (b) - g (a) F (a) = S_{m} + R_{m}, R_{m} := i = 1 \sum m [g (x_{i}) - g (x_{i - 1})] F (x_{i - 1}),

也就是 $S_{m} = g (b) F (b) - g (a) F (a) - R_{m} 。$

第 3 步：用中值定理改写 $R_{m} 。$ $g$ 在每一段 $[x_{i - 1}, x_{i}]$ 上连续、在内部可导，由微分中值定理，存在 $ξ_{i} \in (x_{i - 1}, x_{i})$ 使 $g (x_{i}) - g (x_{i - 1}) = g^{'} (ξ_{i}) Δ_{i} 。$ 所以

R_{m} = i = 1 \sum m g^{'} (ξ_{i}) F (x_{i - 1}) Δ_{i} .

它长得很像 $\int_{a}^{b} g^{'} (x) F (x) d x$ 的黎曼和：每一项是「高 × 宽」，高是 $g^{'} F$ 在第 $i$ 段里的近似值，宽是 $Δ_{i} 。$

第 4 步：证明 $R_{m} \to \int_{a}^{b} g^{'} F d x 。$ 记 $M = max_{[a, b]} ∣ g^{'} ∣$ （有限，因为 $g^{'}$ 在闭区间上连续）。积分按段拆开（各段只在端点处重叠，单点是零测集，不影响积分），在第 $i$ 段上把积分与 $R_{m}$ 的第 $i$ 项作差：

\int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} g^{'} (x) F (x) d x - g^{'} (ξ_{i}) F (x_{i - 1}) Δ_{i} = \int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} [g^{'} (x) - g^{'} (ξ_{i})] F (x) d x + g^{'} (ξ_{i}) \int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} [F (x) - F (x_{i - 1})] d x .

验证：右边两个被积函数相加， $g^{'} (ξ_{i}) F (x)$ 一正一负抵消，剩下 $g^{'} (x) F (x) - g^{'} (ξ_{i}) F (x_{i - 1}) ；$ 而常数 $g^{'} (ξ_{i}) F (x_{i - 1})$ 在长度为 $Δ_{i}$ 的区间上的积分就是 $g^{'} (ξ_{i}) F (x_{i - 1}) Δ_{i} 。$

第一项： $x$ 和 $ξ_{i}$ 都在第 $i$ 段里，距离不超过 $δ ，$ 所以 $∣ g^{'} (x) - g^{'} (ξ_{i}) ∣ \leq ω_{g^{'}} (δ) ；$ 又 $0 \leq F \leq 1 。$ 因此第一项的绝对值 $\leq ω_{g^{'}} (δ) Δ_{i} 。$
第二项： $F$ 单调不减，对 $x \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ 有 $0 \leq F (x) - F (x_{i - 1}) \leq F (x_{i}) - F (x_{i - 1}) ；$ 又 $∣ g^{'} (ξ_{i}) ∣ \leq M 。$ 因此第二项的绝对值 $\leq M [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})] Δ_{i} \leq M [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})] δ 。$

对 $i$ 求和，用 $\sum_{i} Δ_{i} = b - a$ 和 $\sum_{i} [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})] = F (b) - F (a) \leq 1$ （又一次望远镜求和）：

\int_{a}^{b} g^{'} (x) F (x) d x - R_{m} \leq ω_{g^{'}} (δ) (b - a) + M δ .

$δ \to 0$ 时， $g^{'}$ 一致连续给出 $ω_{g^{'}} (δ) \to 0 ，$ 右边趋于 0，所以 $R_{m} \to \int_{a}^{b} g^{'} F d x 。$

第 5 步：合起来。 由第 2 步，对每个分割都有 $S_{m} = g (b) F (b) - g (a) F (a) - R_{m} 。$ 令 $δ \to 0 ：$ 左边由第 1 步趋于 $E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}] ，$ 右边由第 4 步趋于 $g (b) F (b) - g (a) F (a) - \int_{a}^{b} g^{'} F d x 。$ 同一列数的极限只有一个，所以二者相等。证毕。

更多细节：g′F 其实是黎曼可积的

第 4 步的估计本质上就是「单调函数黎曼可积」的证明。对第 $i$ 段里的任意两点 $x, y ，$

∣ g^{'} (x) F (x) - g^{'} (y) F (y) ∣ \leq ∣ g^{'} (x) - g^{'} (y) ∣ ∣ F (x) ∣ + ∣ g^{'} (y) ∣ ∣ F (x) - F (y) ∣ \leq ω_{g^{'}} (δ) + M [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})],

所以 $g^{'} F$ 在这一段上的「最大值减最小值」不超过右边。于是达布上和减下和不超过 $ω_{g^{'}} (δ) (b - a) + M δ \to 0 ，$ 由达布判别， $g^{'} F$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积，它的黎曼积分等于上面用的勒贝格积分（第 27 页）。所以 $\int_{a}^{b} g^{'} F d x$ 完全可以按中学的方法算。

如果区间换成闭区间 [a, b]

若把「补 0」理解成直接求 $E [g (X)] ，$ 那么 $X = a$ 时 $g (X) = g (a)$ 也算在内，对应的是闭区间：

E [g (X) 1_{{a \leq X \leq b}}] = g (b) F (b) - g (a) F (a -) - \int_{a}^{b} g^{'} (x) F (x) d x .

理由： $1_{{a \leq X \leq b}} = 1_{{a < X \leq b}} + 1_{{X = a}} ，$ 多出来的一项期望是 $g (a) P (X = a) = g (a) [F (a) - F (a -)]$ （第 8 页命题 B），加到定理 9 上， $- g (a) F (a) + g (a) F (a) - g (a) F (a -) = - g (a) F (a -) 。$ 两个版本只差左端点 $a$ 处的原子； $F$ 在 $a$ 连续时完全一样。

图解

图解：分部积分就是「两块面积拼成一个矩形框」

课件这里没有图，可以这样画（为了好画，设 $g$ 在 $[a, b]$ 上递增且为正）：

画一个坐标系：横轴表示 $F$ 的值，纵轴表示 $g$ 的值。让 $x$ 从 $a$ 走到 $b ，$ 描出点 $(F (x), g (x)) ，$ 得到一条从 $(F (a), g (a))$ 走到 $(F (b), g (b))$ 的曲线。 $F$ 在某点跳跃时，曲线水平地跳过一段； $F$ 持平时，曲线竖直地往上走。
曲线下方（横轴从 $F (a)$ 到 $F (b) ）$ 的面积，是「高 $g$ × 宽 $d F 」$ 的累加，即 $\int_{(a, b]} g d F 。$
曲线左方（纵轴从 $g (a)$ 到 $g (b) ）$ 的面积，是「宽 $F$ × 高 $d g 」$ 的累加，而 $d g = g^{'} (x) d x ，$ 所以它是 $\int_{a}^{b} F (x) g^{'} (x) d x 。$
两块面积拼起来，恰好是大矩形 $[0, F (b)] \times [0, g (b)]$ 挖掉左下角的小矩形 $[0, F (a)] \times [0, g (a)] ，$ 面积 $g (b) F (b) - g (a) F (a) 。$

移项就是定理 9。图里还能看到原子的贡献： $F$ 在点 $x_{0}$ 跳跃 $p$ 时，曲线在高度 $g (x_{0})$ 处水平走了 $p ，$ 这一段下方的面积正是 $g (x_{0}) p = g (x_{0}) P (X = x_{0}) 。$

例子

例 1：均匀分布，g(x) = x²

$U \sim Unif (0, 1) ，$ 取 $[a, b] = [0, 1] 。$ 在 $[0, 1]$ 上 $F (x) = x ；$ $g (x) = x^{2} ，$ $g^{'} (x) = 2 x 。$

左边： $E [U^{2} 1_{{0 < U \leq 1}}] = E U^{2} = \frac{1}{3}$ （第 9 页例 1）。
右边： $g (1) F (1) - g (0) F (0) - \int_{0}^{1} 2 x \cdot x d x = 1 - 0 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} 。$

两边相等。这里 $F$ 可导，定理 9 就是中学分部积分 $\int_{0}^{1} x^{2} d x = [x^{2} \cdot x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 x \cdot x d x 。$

例 2：只有跳跃的 F——公式里看不见跳跃，结果照样对

$P (X = 0) = P (X = 1) = \frac{1}{2} ，$ 取 $[a, b] = [- 1, 2] ，$ $g (x) = x^{2} 。$ $F$ 在 $[- 1, 0)$ 上为 0，在 $[0, 1)$ 上为 $\frac{1}{2} ，$ 在 $[1, 2]$ 上为 1。

左边： $E [X^{2} 1_{{- 1 < X \leq 2}}] = \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} = \frac{1}{2} 。$
右边：先算积分（ $[- 1, 0)$ 上 $F = 0 ，$ 没有贡献）： $\int_{- 1}^{2} 2 x F (x) d x = \int_{0}^{1} 2 x \cdot \frac{1}{2} d x + \int_{1}^{2} 2 x \cdot 1 d x = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} .$ 于是右边 $= g (2) F (2) - g (- 1) F (- 1) - \frac{7}{2} = 4 \cdot 1 - 1 \cdot 0 - \frac{7}{2} = \frac{1}{2} 。$

两边相等。右边只用到 $F$ 在各段上的值，跳跃的信息「藏」在 $F$ 的分段里，不需要单独去找跳跃点。

例 3：指数分布，截到 (0, b] 上的均值

$X \sim exp (λ) ，$ $x \geq 0$ 时 $1 - F (x) = e^{- λ x} 。$ 取 $[a, b] = [0, b] ，$ $g (x) = x ，$ $g^{'} = 1 ，$ 用第二种形式：

E [X 1_{{0 < X \leq b}}] = 0 \cdot (1 - F (0)) - b e^{- λb} + \int_{0}^{b} e^{- λ x} d x = \frac{1 - e ^{- λb}}{λ} - b e^{- λb} .

用密度 $λ e^{- λ x}$ 直接算（中学分部积分）： $\int_{0}^{b} x λ e^{- λ x} d x = [- x e^{- λ x}]_{0}^{b} + \int_{0}^{b} e^{- λ x} d x ，$ 结果完全一样。令 $b \to \infty ，$ $b e^{- λb} \to 0 ，$ 得到 $\frac{1}{λ}$ ——这正是第 12、15 页要严格推出的指数分布均值。

例 4：左端点的原子不算——把区间往左挪一点就算进去了

$X \equiv 2$ （常数）， $F (x) = 0$ （ $x < 2 ），$ $F (x) = 1$ （ $x \geq 2 ）；$ 取 $g (x) = x^{2} 。$

$[a, b] = [2, 3] ：$ 左边 $E [X^{2} 1_{{2 < X \leq 3}}] = 0$ （ $X = 2$ 不在 $(2, 3]$ 里）。右边 $= g (3) F (3) - g (2) F (2) - \int_{2}^{3} 2 x \cdot 1 d x = 9 - 4 - 5 = 0 。$
$[a, b] = [1, 3] ：$ 左边 $= E X^{2} = 4 。$ 右边 $= 9 \cdot 1 - 1 \cdot F (1) - \int_{1}^{3} 2 x F (x) d x = 9 - 0 - \int_{2}^{3} 2 x d x = 9 - 5 = 4 。$

两种取法都和左边吻合：端点项里的 $F (a)$ 会自动「知道」左端点的原子该不该算。

常见疑问与易错点

易错点问：端点项为什么是 F(a)，而不是 F(a−)？

答：因为左边的区间是左开右闭的 $(a, b] ，$ 左端点 $a$ 处的原子不算在内。用 $F (a)$ 恰好把「 $X \leq a 」$ 的全部概率（包括 $X = a ）$ 都扣掉。如果想要闭区间 $[a, b] ，$ 就要把 $F (a)$ 换成 $F (a -)$ （见上面「更多细节」）。两者相差 $g (a) P (X = a) ，$ 例 4 的第一种取法就是这一项在起作用。

易错点问：有密度时，定理 9 和中学的分部积分是什么关系？

答：完全一致。若 $F$ 在 $[a, b]$ 上连续可导、 $F^{'} = f ，$ 左边就是 $\int_{a}^{b} g (x) f (x) d x$ （第 7 页推论），定理 9 就是 $\int_{a}^{b} g F^{'} d x = [g F]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} g^{'} F d x ，$ 取 $u = g 、$ $v = F 。$ 定理 9 的进步在于： $F$ 可以不可导，甚至可以跳。也正因如此，证明不能用 $(g F)^{'} = g^{'} F + g F^{'} ，$ 只能改用「差分版」的乘积法则再取极限。

易错点问：g 只是连续、不可导，定理 9 还能用吗？

答：不能直接用，因为右边要出现 $g^{'} 。$ 这时退回到第 9 页的命题 8，直接用增量和式计算。另外要记住第 9 页强调过的危险情形： $g$ 恰好在 $F$ 的跳跃点处不连续时，和式可能根本不收敛。定理 9 要求 $g \in C^{1} ，$ 这些问题都不会出现。

易错点问：积分 ∫ₐᵇ g′(x)F(x)dx 里，F 在跳跃点取左极限还是右极限，要紧吗？

答：不要紧，但端点项里的 $F (a) 、$ $F (b)$ 必须准确。理由是： $F$ 的跳跃点至多可数个。每个跳跃点 $x$ 对应一个原子 $P (X = x) > 0 ；$ 若有 $k$ 个不同的点概率都大于 $\frac{1}{k} ，$ 它们的总概率就大于 1，不可能，所以「跳跃大于 $\frac{1}{k} 」$ 的点不到 $k$ 个；把 $k = 1, 2, \dots$ 的这些有限集并起来，所有跳跃点是可数个。可数集的勒贝格测度为 0（第 18 页），在零测集上改变被积函数的值不影响积分（a.e. 与 L¹）。所以积分里把 $F (x)$ 换成 $F (x -)$ 结果不变；但端点项是具体某一点的值，不能随便换。

小结与自测

小结本页小结

定理 9： $g \in C^{1} ([a, b])$ 时， $E [g (X) 1_{{a < X \leq b}}] = g (b) F (b) - g (a) F (a) - \int_{a}^{b} g^{'} (x) F (x) d x ；$ 等价形式把 $F$ 换成 $1 - F 、$ 端点项和积分项变号。
「在 $[a, b]$ 外补 0」只是让 $g (X)$ 有定义；真正决定范围的是示性函数 $1_{{a < X \leq b}} 。$
证明路线：命题 8（取右端点）→ 离散乘积法则 + 望远镜求和 → 中值定理 → 用 $g^{'}$ 一致连续、 $F$ 单调控制误差。
右边只用 $F$ 的值，不需要密度；端点项 $F (a)$ 对应左开区间，闭区间要换成 $F (a -) 。$

自测

1. $X$ 以各 $\frac{1}{3}$ 的概率取 1、2、3。取 $[a, b] = [0, 3] ，$ $g (x) = x ，$ 用定理 9 算 $E [X 1_{{0 < X \leq 3}}] ，$ 并与直接计算比较。

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$F$ 在 $[0, 1)$ 上为 0， $[1, 2)$ 上为 $\frac{1}{3} ，$ $[2, 3)$ 上为 $\frac{2}{3} ，$ $F (3) = 1 。$ 所以 $\int_{0}^{3} F (x) d x = 0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 。$ 定理 9 给出 $3 \cdot F (3) - 0 \cdot F (0) - \int_{0}^{3} F d x = 3 - 0 - 1 = 2 。$ 直接算： $\frac{1 + 2 + 3}{3} = 2 。$ 一致。

2. 同一个 $X ，$ 改取 $[a, b] = [1, 3] ，$ $g (x) = x 。$ 用定理 9 计算，并解释为什么和第 1 题不同。

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定理 9： $3 \cdot 1 - 1 \cdot F (1) - \int_{1}^{3} F d x = 3 - \frac{1}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{5}{3} 。$ 直接算： $E [X 1_{{1 < X \leq 3}}] = \frac{2 + 3}{3} = \frac{5}{3} 。$ 比第 1 题少了 $1 \times \frac{1}{3} ，$ 这正是左端点 $x = 1$ 处的原子——区间 $(1, 3]$ 不包含它，端点项里的 $F (1) = \frac{1}{3}$ 把它扣掉了。

3. 在证明第 4 步里，哪一处用到了「 $F$ 单调不减」？哪一处用到了「 $0 \leq F \leq 1 」？$

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单调：第二项的估计 $0 \leq F (x) - F (x_{i - 1}) \leq F (x_{i}) - F (x_{i - 1}) ，$ 以及增量之和 $\sum_{i} [F (x_{i}) - F (x_{i - 1})]$ 每项非负、总和为 $F (b) - F (a) 。$ 有界：第一项的估计里用 $∣ F (x) ∣ \leq 1 ，$ 最后的 $F (b) - F (a) \leq 1$ 也用到了它。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
分部积分	integration by parts	∫ₐᵇ u v′ dx = [u v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′ v dx：把求导从一个函数挪到另一个函数上。由乘积求导法则 (uv)′ = u′v + uv′ 两边积分得到。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
分割	partition	把区间 [a,b] 用分点 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b 切成小段。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
中值定理	mean value theorem	f 在 [a,b] 上连续、在 (a,b) 内可导，则存在某个 ξ ∈ (a,b) 使 f(b) − f(a) = f′(ξ)(b − a)：总增量等于某一点的斜率乘以区间长度。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
尾概率	tail probability	随机变量取到「很大的值」的概率，例如 P(X > t) 或 P(\|X\| ≥ t)。它随 t 增大而下降得越慢，分布的尾巴就越「厚」。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
达布和	Darboux sums	每小段取函数的下确界（或上确界）乘以长度再求和；上下和夹住黎曼积分。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
指数分布	exponential distribution	P(X > x) = e^(−λx)（x ≥ 0）的分布，均值 1/λ，常用来描述等待时间。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。