21 维塔利定理：长度无法定义在所有子集上 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

我们希望「长度」满足三条很自然的规矩：可数可加、平移不变（挪动位置长度不变）、区间的长度是右端点减左端点。维塔利定理说：在选择公理下，不可能让实数轴的每一个子集都有满足这三条的长度。这一页先把用来制造矛盾的「坏集合」 $V$ 造出来，下一页（第 22 页）推出矛盾。

这是整讲最关键的「为什么」：它解释了第 1 部分为什么要引入 σ-代数（第 9 页、第 10 页），为什么不能把 $2^{R}$ 当事件族。也解释了上一页为什么要费力挑出「可测集」（第 20 页）。

先补基础

基础补课平移 E + t

$E + t = {x + t : x \in E} ：$ 把集合 $E$ 整体往右挪 $t$ （ $t < 0$ 就是往左）。例： $[0, 1) + 0.5 = [0.5, 1.5) 。$ 长度应该不随位置改变，这就是平移不变性。

基础补课等价关系与等价类

一种「相似」关系 $\sim$ 叫等价关系，如果它满足：

自反： $x \sim x ；$
对称： $x \sim y \Rightarrow y \sim x ；$
传递： $x \sim y$ 且 $y \sim z \Rightarrow x \sim z 。$

等价关系把集合切成互不重叠的等价类：每一类里的元素彼此相似，不同类之间不相似。

生活中的例子：「同一天生日」是一个等价关系，它把所有人分成 366 类。

基础补课选择公理

选择公理（axiom of choice）：给定一族非空集合（可以是无穷多个、甚至不可数多个），可以从每个集合里各挑出一个元素。有限个集合时这是常识；无穷多个时它是一条公理，数学界普遍接受。维塔利集就是靠它才能「造出来」——我们无法写出具体的挑选规则，只知道这样的挑法存在。

课件原文逐句精读

课件原文Theorem 15 (Vitali impossibility theorem)

Assuming the axiom of choice, there is no countably additive measure

μ : 2^{R} ⟶ [0, \infty]

such that, for every $E \subseteq R$ , $t \in R$ , and $a < b$ ,

μ (E + t) = μ (E), μ ([a, b)) = b - a .

中文翻译

定理 15（维塔利不可能定理） 在选择公理下，不存在定义在 $R$ 的全部子集上、可数可加的测度 $μ : 2^{R} \to [0, \infty] ，$ 使得对每个 $E \subseteq R 、$ $t \in R 、$ $a < b ，$ 都有 $μ (E + t) = μ (E)$ 和 $μ ([a, b)) = b - a 。$

定理要求的三条性质，每一条都是「长度」应当有的：

性质	写法	人话
可数可加	不相交时 $μ (⋃ E_{n}) = \sum μ (E_{n})$	拆成可数块，长度相加
平移不变	$μ (E + t) = μ (E)$	挪位置，长度不变
区间正确	$μ ([a, b)) = b - a$	区间的长度就是右减左

再加一条「定义在所有子集上」（ $μ : 2^{R} \to \dots ），$ 四条放在一起就矛盾。四条里必须放弃一条，数学家选择放弃「所有子集」——只在可测集上定义长度。

Construct a Vitali selector｜构造维塔利选择集

课件原文Construct a Vitali selector

On $[0, 1)$ , declare

x \sim y ⟺ x - y \in Q .

Using choice, select exactly one representative from each equivalence class and call the resulting set $V$ . Put

Q_{0} := Q \cap (- 1, 1), U := q \in Q_{0} ⋃ (V + q) .

中文翻译

在 $[0, 1)$ 上规定： $x \sim y$ 当且仅当 $x - y$ 是有理数。用选择公理，从每个等价类里恰好挑出一个代表元，组成的集合叫 $V 。$ 再令 $Q_{0} := Q \cap (- 1, 1)$ （ $- 1$ 到 $1$ 之间的有理数）， $U := ⋃_{q \in Q_{0}} (V + q)$ （ $V$ 的所有这些平移的并）。

分四步看：

$x \sim y ⟺ x - y \in Q$ 是等价关系： $x - x = 0 \in Q$ （自反）； $x - y \in Q \Rightarrow y - x = - (x - y) \in Q$ （对称）； $x - y, y - z \in Q \Rightarrow x - z = (x - y) + (y - z) \in Q$ （传递，两个有理数之和还是有理数）。
等价类长什么样： $x$ 所在的类是「和 $x$ 相差一个有理数的所有点」，即 $(x + Q) \cap [0, 1) 。$ 例如 $0$ 的类就是 $[0, 1)$ 里的全体有理数； $\frac{2}{2}$ 的类是 ${\frac{2}{2} + q} \cap [0, 1) 。$ 每一类都是可数的，但类的个数不可数。
$V ：$ 每类挑一个： $V$ 里任何两个不同的点都不相似（差不是有理数），而 $[0, 1)$ 的每个点都和 $V$ 里恰好一个点相似。挑法没有具体公式，只能靠选择公理保证存在。
$Q_{0}$ 与 $U$ ： $Q_{0}$ 是 $(- 1, 1)$ 里的有理数，可数无穷多个。 $U$ 是把 $V$ 按每个 $q \in Q_{0}$ 平移后的副本全部并起来。

Why the translates work｜为什么这些平移副本恰好有用

课件原文Why the translates work

If $v_{1} + q_{1} = v_{2} + q_{2}$ , then $v_{1} - v_{2} = q_{2} - q_{1} \in Q$ . Hence $v_{1} \sim v_{2}$ , so uniqueness of representatives gives $v_{1} = v_{2}$ and $q_{1} = q_{2}$ . Thus the translates are pairwise disjoint.
For $x \in [0, 1)$ , its representative $v \in V$ gives $q = x - v \in Q_{0}$ , so $x \in V + q$ . Since $V \subseteq [0, 1)$ and $q \in (- 1, 1)$ ,

[0, 1) \subseteq U \subseteq [- 1, 2) .

中文翻译

若 $v_{1} + q_{1} = v_{2} + q_{2} ，$ 则 $v_{1} - v_{2} = q_{2} - q_{1} \in Q ，$ 所以 $v_{1} \sim v_{2} ；$ 代表元唯一，于是 $v_{1} = v_{2} ，$ 进而 $q_{1} = q_{2} 。$ 因此这些平移副本两两不相交。
对 $x \in [0, 1) ，$ 取它的代表元 $v \in V ，$ 令 $q = x - v \in Q_{0} ，$ 则 $x \in V + q 。$ 又因为 $V \subseteq [0, 1) 、$ $q \in (- 1, 1) ，$ 所以 $[0, 1) \subseteq U \subseteq [- 1, 2) 。$

第一条（两两不交）的逐步理由：

假设两个副本 $V + q_{1}$ 和 $V + q_{2}$ 有公共点，即存在 $v_{1}, v_{2} \in V$ 使 $v_{1} + q_{1} = v_{2} + q_{2} 。$
移项： $v_{1} - v_{2} = q_{2} - q_{1} ，$ 右边是两个有理数之差，是有理数。
所以 $v_{1} \sim v_{2} ，$ 它们在同一个等价类里。
但 $V$ 从每类只挑了一个，所以 $v_{1} = v_{2} ，$ 代回得 $q_{1} = q_{2}$ ——两个副本其实是同一个。
结论： $q_{1} \neq = q_{2}$ 时两个副本没有公共点。

第二条（夹在两个区间之间）的逐步理由：

$[0, 1) \subseteq U$ ：任取 $x \in [0, 1) ，$ 它的代表元 $v$ 也在 $[0, 1)$ 里，差 $q = x - v$ 是有理数，而且因为两个数都在 $[0, 1)$ 里， $- 1 < q < 1 ，$ 所以 $q \in Q_{0} ，$ 于是 $x = v + q \in V + q \subseteq U 。$
$U \subseteq [- 1, 2)$ ： $U$ 里的点形如 $v + q ，$ $v \in [0, 1) ，$ $q \in (- 1, 1) ，$ 所以 $- 1 < v + q < 2 。$

例子

例 1：一个等价类里有哪些点

取 $x = 0.3 。$ 它的类是 ${0.3 + q : q \in Q} \cap [0, 1) ，$ 包括 $0.3 、$ $0.8$ （ $q = 0.5 ）、$ $0.05$ （ $q = - 0.25 ）、$ $0.3 + \frac{1}{7} \dots\dots$ 全都和 $0.3$ 差一个有理数。 $0.3$ 和 $\frac{2}{2} \approx 0.707$ 不在同一类，因为 $\frac{2}{2} - 0.3$ 是无理数。

例 2：为什么等价类有不可数多个

每一类都可数（和可数个有理数一一对应）。如果只有可数多个类， $[0, 1)$ 就是「可数个可数集的并」，从而可数——但 $[0, 1)$ 不可数（基础补课 · 可数与不可数）。所以类有不可数多个， $V$ 也有不可数多个点。

常见疑问与易错点

易错点问：能不能具体写出 V 里有哪些点？

答：不能。维塔利集的存在依赖选择公理，没有任何具体的挑选规则。这也说明：不可测集非常「病态」，日常遇到的集合（区间、开集、闭集、它们的可数并交……）都是可测的。

易错点问：为什么用 [0,1) 而不是 [0,1]？

答：半开区间让长度计算最干净： $μ ([a, b)) = b - a ，$ 而且平移、拼接时端点不会重复。用闭区间也能做，只是要多处理端点。

易错点问：定理说「没有这样的测度」，那勒贝格测度怎么办？

答：勒贝格测度只定义在勒贝格可测集 $L (R)$ 上，不是定义在全部 $2^{R}$ 上，所以不和定理冲突。定理的推论是： $V$ 不是勒贝格可测集（第 22 页）。

小结与自测

小结本页小结

维塔利定理：可数可加 + 平移不变 + 区间长度正确 + 定义在所有子集上，四者不能同时成立。
构造： $x \sim y ⟺ x - y \in Q ；$ 每个等价类挑一个代表元组成 $V$ （需要选择公理）。
$V$ 的可数个有理平移 $V + q$ （ $q \in Q_{0} ）$ 两两不交，并起来夹在 $[0, 1)$ 和 $[- 1, 2)$ 之间。
下一页用可数可加性推出矛盾。

自测

1. 验证 $x \sim y ⟺ x - y \in Q$ 满足传递性。

点开看答案

若 $x - y \in Q$ 且 $y - z \in Q ，$ 则 $x - z = (x - y) + (y - z)$ 是两个有理数之和，仍是有理数，所以 $x \sim z 。$

2. $0.2$ 和 $0.45$ 在同一个等价类里吗？ $0.2$ 和 $π - 3$ 呢？

点开看答案

$0.45 - 0.2 = 0.25 \in Q ，$ 在同一类。 $π - 3 - 0.2 = π - 3.2$ 是无理数，不在同一类。

3. 为什么 $V + q_{1}$ 和 $V + q_{2}$ （ $q_{1} \neq = q_{2} ）$ 不可能有公共点？用一句话说。

点开看答案

有公共点就意味着 $V$ 里有两个点相差一个有理数，即它们在同一等价类里；但 $V$ 每类只挑了一个，所以只能是同一个点，从而 $q_{1} = q_{2} ，$ 矛盾。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
平移不变性	translation invariance	把集合整体平移，测度不变：μ(E + t) = μ(E)。长度就有这个性质。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
选择公理	axiom of choice	允许从无穷多个非空集合里各挑一个元素，组成一个新集合；维塔利集就是这样造的。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
等价关系	equivalence relation	满足自反、对称、传递的「相似」关系，能把集合分成互不重叠的等价类。
等价类	equivalence class	在等价关系下彼此「相似」的元素组成的一组。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
维塔利集	Vitali set	用选择公理造出的「坏」集合，证明了不可能给 ℝ 的所有子集定义长度。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
勒贝格可测	Lebesgue measurable	能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。