02 一致可积的定义：所有成员的「尾巴」一起变小 · 小测2

这道题在问什么

人话版一句话版

一族随机变量 ${X_{t}}$ 叫一致可积（uniformly integrable，UI），如果「绝对值超过 $λ$ 的那部分」对期望的贡献，对所有成员一起随 $λ \to \infty$ 趋于 0：

λ \to \infty lim t \in T sup E [∣ X_{t} ∣ 1_{{∣ X_{t} ∣ > λ}}] = 0.

它的意义：没有任何成员能把一块「质量」藏到越来越远的地方。这正是「依概率收敛能不能推出期望收敛」的充要条件。

考点：一致可积的准确定义；和「单个随机变量可积」的区别（多了「一致」，即同一个 $λ$ 对所有成员管用）。
为什么重要：第 3 讲的尖峰反例（第 3 讲第 19 页）说明逐点收敛推不出期望收敛；控制收敛定理（小测 1 第 1 题）给出一个充分条件；一致可积给出充要条件（见「拓展延伸」的 Vitali 定理）。
和其他题的关系：下一题第 3 题证明 UI 的一个等价刻画；作业 1 第 8 题是「单个可积函数」的类似性质。

先补基础

基础补课记号 E[X; A]

$E [X; A] := E [X 1_{A}] ，$ 即「只在事件 $A$ 发生时计入 $X 」$ 的期望。例： $X$ 是骰子点数， $A = {X \geq 5} ，$ $E [X; A] = \frac{5 + 6}{6} = \frac{11}{6} 。$

基础补课单个可积随机变量的尾巴会变小

若 $E ∣ X ∣ < \infty ，$ 则 $E [∣ X ∣ 1_{{∣ X ∣ > λ}}] \to 0$ （ $λ \to \infty ）。$

理由： $∣ X ∣ 1_{{∣ X ∣ > λ}} \to 0$ 逐点成立（ $∣ X ∣$ 几乎必然有限），并且被可积的 $∣ X ∣$ 控制，用控制收敛定理。

例： $X \sim Exp (1) ，$ $E [X; X > λ] = \int_{λ}^{\infty} x e^{- x} d x = (λ + 1) e^{- λ} ：$ $λ = 1$ 时 $0.736 ，$ $λ = 5$ 时 $0.040 ，$ $λ = 10$ 时 $0.0005 。$

基础补课sup：一族数的上确界

$sup_{t \in T} a_{t}$ 是这族数的最小上界（基础补课 · 上确界与下确界）。「 $sup_{t} E [\cdot] \to 0 」$ 意味着最坏的那个成员也被管住了。

题目与原解答

课件原文题目

State the definition of uniform integrability (UI).

中文翻译

写出一致可积（UI）的定义。

原解答：解答卷上这一题没有给出答案，下面由本站写出。下一题第 3 题的原解答里用到的正是下面的定义。

思路：定义里的每个词是什么意思

「可积」：每个成员 $E ∣ X_{t} ∣ < \infty 。$
「一致」：不只是每个成员的尾巴各自变小（那是可积本身就保证的），而是存在同一个 $λ ，$ 使所有成员的尾部贡献都不超过 $ε 。$
对比：「每个 $X_{t}$ 的尾巴都会变小」相当于「对每个 $t ，$ 存在 $λ_{t} 」；$ 「一致可积」是「存在 $λ ，$ 对每个 $t 」。$ 量词的顺序换了。

图解：把「尾部贡献」看成一块面积

把 $E ∣ X ∣$ 想成一个装满沙子的长条：横轴是 $∣ X ∣$ 的取值，沙子的多少代表这个取值对期望的贡献。 $E [∣ X ∣; ∣ X ∣ > λ]$ 是竖线 $∣ X ∣ = λ$ 右边的沙子。

单个可积的 $X ：$ 竖线往右推，右边的沙子越来越少，最后趋于 0。
一族 ${X_{t}} ：$ 每个成员都有自己的一条长条。一致可积要求一根竖线同时让所有长条右边的沙子都少于 $ε 。$
尖峰族不行： $X_{n}$ 把全部沙子（总量 1）都堆在 $n$ 这个位置；无论竖线放在哪里，总有 $n$ 更大的成员把沙子堆在竖线右边。

一族随机变量	$L^{1}$ 有界？	一致可积？	原因
有限个可积变量	是	是	取各自 $λ$ 的最大值
$∣ X_{t} ∣ \leq Y ，$ $E Y < \infty$	是	是	尾巴被 $Y$ 的尾巴控制
$sup_{t} E X_{t}^{2} < \infty$	是	是	尾部贡献 $\leq K / λ$
尖峰 $n 1_{(0, 1/ n)}$	是	否	质量逃向无穷远
$[0, n]$ 上的均匀分布	否	否	期望本身就发散

完整解答

定义（一致可积）

设 ${X_{t} : t \in T}$ 是概率空间 $(Ω, F, P)$ 上的一族可积随机变量（ $T$ 是任意指标集，可以不可数）。若

λ \to \infty lim t \in T sup E [∣ X_{t} ∣ 1_{{∣ X_{t} ∣ > λ}}] = 0,

即：对任意 $ε > 0 ，$ 存在 $λ > 0 ，$ 使得对所有 $t \in T ，$ $E [∣ X_{t} ∣ 1_{{∣ X_{t} ∣ > λ}}] \leq ε ，$ 则称这族随机变量一致可积。

写成 $ε$ - $λ$ 形式时，「存在 $λ 」$ 写在「对所有 $t 」$ 前面，这就是「一致」。
用 ${∣ X_{t} ∣ > λ}$ 还是 ${∣ X_{t} ∣ \geq λ}$ 都可以，结论一样。
有的教材（特别是一般测度空间上）会另外要求 $sup_{t} E ∣ X_{t} ∣ < \infty ；$ 在概率空间上它可以由上面的定义推出（下一题第 3 题的第一步）。

例子与数值验证

例 1：一致可积的典型情形

有限族： ${X_{1}, \dots, X_{N}}$ 每个都可积 ⇒ UI。取 $λ = max_{i} λ_{i} ，$ 其中 $λ_{i}$ 管住第 $i$ 个。
被一个可积变量控制： $∣ X_{t} ∣ \leq Y ，$ $E Y < \infty$ ⇒ UI。因为 ${∣ X_{t} ∣ > λ} \subseteq {Y > λ} ，$ 所以 $E [∣ X_{t} ∣; ∣ X_{t} ∣ > λ] \leq E [Y; Y > λ] \to 0 ，$ 右边与 $t$ 无关。
一致有界： $∣ X_{t} ∣ \leq C$ ⇒ $λ > C$ 时尾部贡献都是 0，UI。
$L^{p}$ 有界（ $p > 1 ）$ ： $sup_{t} E ∣ X_{t} ∣^{p} = K < \infty$ ⇒ UI。在 ${∣ X_{t} ∣ > λ}$ 上 $∣ X_{t} ∣ = \frac{∣ X _{t} ∣ ^{p}}{∣ X _{t} ∣ ^{p - 1}} \leq \frac{∣ X _{t} ∣ ^{p}}{λ ^{p - 1}} ，$ 所以 $E [∣ X_{t} ∣; ∣ X_{t} ∣ > λ] \leq \frac{K}{λ ^{p - 1}} \to 0 。$

例 2：尖峰——L¹ 有界但不一致可积

在 $[0, 1]$ 上取 $X_{n} = n 1_{(0, 1/ n)} 。$ $E X_{n} = 1 ，$ $L^{1}$ 有界。但对任何 $λ ，$ 只要 $n > λ ，$ 就有 ${X_{n} > λ} = (0, \frac{1}{n}) ，$ $E [X_{n}; X_{n} > λ] = n \cdot \frac{1}{n} = 1 。$ 所以 $sup_{n} E [X_{n}; X_{n} > λ] = 1$ 对所有 $λ$ 成立，不一致可积。直观上，每个 $X_{n}$ 都把全部质量藏在越来越高的地方。

例 3：把尖峰压矮一点就一致可积了

$Y_{n} = n 1_{(0, 1/ n)} ：$ $E Y_{n}^{2} = 1 ，$ $L^{2}$ 有界，由例 1 第 4 条一致可积。直接验证： $n > λ^{2}$ 时 $E [Y_{n}; Y_{n} > λ] = n \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} < \frac{1}{λ} ，$ 所以 $sup_{n} E [Y_{n}; Y_{n} > λ] \leq \frac{1}{λ} \to 0$ （ $λ = 10$ 时 $\leq 0.1 ）。$ 并且 $Y_{n} \to 0$ 几乎必然、 $E Y_{n} = \frac{1}{n} \to 0 ，$ 期望跟着极限走。

拓展延伸

Vitali 收敛定理：一致可积为什么重要

设 $X_{n} \to X$ 依概率， $X_{n}$ 可积。则以下等价：

${X_{n}}$ 一致可积；
$X$ 可积且 $E ∣ X_{n} - X ∣ \to 0$ （ $L^{1}$ 收敛）；
$X$ 可积且 $E ∣ X_{n} ∣ \to E ∣ X ∣ 。$

所以「依概率收敛 + 一致可积」⇔「 $L^{1}$ 收敛」：一致可积恰好是让期望跟着极限走的条件。控制收敛定理是它的特例（被可积变量控制 ⇒ UI，例 1 第 2 条），小测 1 第 3 题证明的是其中「2 ⇔ 3」这一部分（在几乎处处收敛的前提下）。

de la Vallée-Poussin 判别法

${X_{t}}$ 一致可积，当且仅当存在递增的凸函数 $G \geq 0 ，$ 满足 $\frac{G ( x )}{x} \to \infty$ （ $x \to \infty ），$ 使 $sup_{t} E G (∣ X_{t} ∣) < \infty 。$ 例 1 第 4 条是 $G (x) = x^{p}$ 的情形； $G (x) = x lo g (1 + x)$ 说明「 $E ∣ X_{t} ∣ lo g (1 + ∣ X_{t} ∣)$ 一致有界」也够用。

鞅论里的一致可积

在鞅论中（作业 2 第 10–12 题），一致可积决定了「鞅的极限的期望」是否等于初值，以及可选停止定理在什么条件下成立。例如赌徒破产问题（作业 2 第 12 题）中，停止前的财富有界，因而一致可积，可选停止定理可以放心使用。

常见疑问与易错点

易错点问：每个 Xₜ 都可积，这族就一致可积吗？

答：不一定。尖峰族（例 2）每个成员都可积（期望都是 1），但不一致可积。可积只保证「每个成员的尾巴各自变小」，速度可以因成员而异，没有统一的 $λ 。$

易错点问：L¹ 有界够不够？

答：不够（例 2 正是 $L^{1}$ 有界的反例）。 $L^{p}$ 有界（ $p > 1 ）$ 才够（例 1 第 4 条）。 $L^{1}$ 有界再加上下一题的「一致绝对连续」，就等价于一致可积。

易错点问：λ 应该写成依赖于 t 吗？

答：不能。 $λ$ 只能依赖于 $ε ，$ 不能依赖于 $t 。$ 如果允许 $λ$ 依赖 $t ，$ 条件就退化成「每个成员可积」。

小结与自测

小结本题小结

定义： $lim_{λ \to \infty} sup_{t} E [∣ X_{t} ∣ 1_{{∣ X_{t} ∣ > λ}}] = 0 ；$ $λ$ 只依赖 $ε ，$ 对所有 $t$ 通用。
一致可积的典型来源：有限族、被可积变量控制、一致有界、 $L^{p}$ 有界（ $p > 1 ）。$
反例：尖峰 $n 1_{(0, 1/ n)}$ 每个都可积、 $L^{1}$ 有界，但不一致可积。
Vitali 定理：依概率收敛时，一致可积 ⇔ $L^{1}$ 收敛 ⇔ $E ∣ X_{n} ∣ \to E ∣ X ∣ 。$

自测

1. $X_{n}$ 服从 $[0, n]$ 上的均匀分布。 ${X_{n}}$ 一致可积吗？

点开看答案

不。 $E X_{n} = \frac{n}{2} \to \infty ，$ 连 $L^{1}$ 都不有界；而一致可积在概率空间上推出 $L^{1}$ 有界（下一题），所以不可能一致可积。

2. 设 $∣ X_{t} ∣ \leq Y ，$ $E Y = 3 ，$ $E [Y; Y > 10] = 0.05 。$ 估计 $sup_{t} E [∣ X_{t} ∣; ∣ X_{t} ∣ > 10] 。$

点开看答案

$\leq E [Y; Y > 10] = 0.05 ，$ 因为 ${∣ X_{t} ∣ > 10} \subseteq {Y > 10}$ 且 $∣ X_{t} ∣ \leq Y 。$

3. 若 $sup_{t} E X_{t}^{2} \leq 4 ，$ 求一个 $λ$ 使 $sup_{t} E [∣ X_{t} ∣; ∣ X_{t} ∣ > λ] \leq 0.1 。$

点开看答案

由例 1 第 4 条（ $p = 2 ），$ $E [∣ X_{t} ∣; ∣ X_{t} ∣ > λ] \leq \frac{4}{λ} ，$ 取 $λ = 40$ 即可。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
一致可积	uniformly integrable (UI)	一族随机变量的尾部期望一致地变小：supₜ E[\|Xₜ\|; \|Xₜ\| > λ] → 0（λ → ∞）。它是「依概率收敛 ⇒ 期望收敛」的关键条件。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
一致有界	uniformly bounded	存在同一个常数 M，使所有 n、所有点 x 都有 \|fₙ(x)\| ≤ M。「一致」是指一个 M 管住整列函数。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
凸函数	convex function	图像上任意两点连线都在图像上方的函数，例如 x²、eˣ。
鞅	martingale	适应、可积且 E[Xₙ₊₁ \| 𝓕ₙ] = Xₙ 的随机过程：公平游戏，已知过去时对下一步的最佳猜测就是现在的值。
可选停止定理	optional stopping theorem	在适当条件下（如 T 有界，或 E T < ∞ 且每步增量有界），鞅在停时处的期望等于初值：E M_T = E M₀。
赌徒破产	gambler's ruin	资本从 b 出发，每局公平地赢 1 或输 1，直到输光（0）或达到目标 a 为止；破产概率是 1 − b/a，平均局数是 b(a − b)。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。