09 σ-代数：对可数次「或、且、非」封闭的事件族 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

σ-代数就是一个「合格的事件族」： $Ω$ 在里面；一个事件在里面，它的反面也在里面；可数多个事件在里面，「至少一个发生」也在里面。于是对事件做可数次「或、且、非」，结果都跑不出这个事件族。

第 6 页定义事件时留了一个空位：「先固定一个可接受的事件族 $F 」，$ 但没说 $F$ 要满足什么。这一页把空位填上： $F$ 必须是一个 σ-代数（sigma-algebra）。

为什么是这三条规则？看前两页的需要：

第 7 页里「至少一次正面」「无穷多次正面」都是用可数次并、交、补搭出来的。如果事件族对这些运算不封闭，这些最自然的事件就「不算事件」了。
第 8 页的可数可加性要算 $P (⋃_{n} A_{n}) ，$ 那么 $⋃_{n} A_{n}$ 必须是事件，否则左边没有定义。

有了 σ-代数，概率 $P$ 的定义域就精确了（课件小标题 The event domain is now precise）。下一页第 10 页讨论「为什么不总取全部子集 $2^{Ω} 」，$ 第 11 页讲怎么从几个集合出发「生成」σ-代数。本页属于第 1 部分「概率空间与可测事件」。

先补基础

基础补课什么叫「对某种运算封闭」

一个集合对某种运算封闭（closed under），意思是：拿集合里的东西做这种运算，结果还在集合里，不会跑出去。
例：全体整数对加法封闭（整数加整数还是整数）；对除法不封闭（ $1 \div 2$ 不是整数）。
例：全体正数对乘法封闭，对减法不封闭（ $1 - 2 = - 1$ 不是正数）。
本页说「事件族对补集封闭」，就是： $A$ 在事件族里， $A^{c}$ 也一定在里面。

基础补课本页用到的记号

$F \subseteq 2^{Ω} ：$ $2^{Ω}$ 是 $Ω$ 的全部子集组成的族（第 6 页），所以这句话的意思是「 $F$ 由 $Ω$ 的一些子集组成」。
$(A_{n})_{n \geq 1} ：$ 一列集合 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots 。$ 老师写的 $(A_{n})_{n \geq 1} \subseteq F$ 是一种简写，意思是「这一列里每一个 $A_{n}$ 都属于 $F 」。$
$\emptyset$ 在板书里写成 $ϕ$ （希腊字母 phi），手写时常这样代替空集符号，意思一样。
「σ」（读作「西格玛」）这个前缀在测度论里表示「可数次」：σ-代数就是「对可数次运算封闭的代数」。
可数版德摩根律（第 7 页证明过）： $(⋃_{n} A_{n})^{c} = ⋂_{n} A_{n}^{c} ，$ $(⋂_{n} A_{n})^{c} = ⋃_{n} A_{n}^{c} 。$

课件原文逐句精读

课件原文Definition 3 (Sigma-algebra)

Definition 3 (Sigma-algebra)　A family $F \subseteq 2^{Ω}$ is a sigma-algebra if

① $Ω \in F$ ,　② $A \in F$ then $A^{c} \in F$ ,　③ $(A_{n})_{n \geq 1} \subseteq F$ then $⋃_{n \geq 1} A_{n} \in F$ .

The event domain is now precise...

（说明：印刷部分只有「A family $F \subseteq 2^{Ω}$ is a sigma-algebra if」和粗体的 The event domain is now precise...；三条条件 ①②③ 是老师当堂手写的。）

中文翻译

定义 3（σ-代数）　一个集合族 $F \subseteq 2^{Ω}$ 称为 σ-代数，如果

① $Ω \in F ；$ ② 若 $A \in F ，$ 则 $A^{c} \in F ；$ ③ 若 $A_{1}, A_{2}, \dots$ 都属于 $F ，$ 则 $⋃_{n \geq 1} A_{n} \in F 。$

现在，事件的定义域精确了……

「A family ℱ ⊆ 2^Ω」｜先要是一族子集

老师把 $2^{Ω}$ 圈了出来： $F$ 是从「全部子集」里挑出来的一部分，可以挑得多（整个 $2^{Ω} ），$ 也可以挑得少（例如只有 $\emptyset$ 和 $Ω ）。$ σ-代数的三条规则，规定的是「挑出来的这部分必须自洽」。

条件 ①　Ω ∈ ℱ｜必然事件是事件

意思：「总会发生」这个事件必须在族里。
为什么需要：第 8 页的规范性 $P (Ω) = 1$ 要求 $P (Ω)$ 有定义，所以 $Ω$ 必须是事件。
去掉会怎样：空族 ${}$ （一个集合都没有）也满足 ②③（没有东西可以取补、取并），但它连 $Ω$ 都没有，没法谈概率。条件 ① 保证族里至少有东西。

条件 ②　A ∈ ℱ ⇒ Aᶜ ∈ ℱ｜能问「发生」，就能问「不发生」

意思：对补集封闭。在事件的语言里： $A$ 是事件，「 $A$ 不发生」也是事件（第 6 页：非 ↔ 补）。
为什么需要：如果能问「明天下雨的概率」，却不能问「明天不下雨的概率」，这个模型就很怪。有了它，才能用 $P (A^{c}) = 1 - P (A)$ （第 8 页）。
去掉会怎样： ${\emptyset, {1}, {1, 2, 3}}$ （取 $Ω = {1, 2, 3} ）$ 满足 ① 和 ③，却没有 ${1}^{c} = {2, 3} ：$ 能问「点数是 1 吗」，却不能问「点数不是 1 吗」。

条件 ③　可数并封闭｜可数多个事件的「或」还是事件

意思： $A_{1}, A_{2}, \dots$ 都是事件，那么「至少一个发生」 $⋃_{n} A_{n}$ 也是事件（第 7 页：并 ↔ 或 ↔ 存在）。
为什么是「可数」：第 7 页的「至少一次正面」 $⋃_{n} H_{n} 、$ 「无穷多次正面」 $⋂_{N} ⋃_{n \geq N} H_{n}$ 都要用到无穷多个事件；第 8 页的可数可加性也要求 $⋃_{n} A_{n}$ 是事件。只对有限并封闭不够用（见例 3）。
为什么不是「任意多个」：可数可加性只管可数多块（第 8 页的 $[0, 1]$ 例子），事件族也只需对可数并封闭。要求对任意并封闭，会逼着 $F$ 变得太大（见「常见疑问」）。

定义 3（σ-代数）

设 $Ω$ 是样本空间， $F$ 是由 $Ω$ 的一些子集组成的族。如果

$Ω \in F ；$
对每个 $A \in F ，$ 都有 $A^{c} \in F$ （对补集封闭）；
对每一列 $A_{1}, A_{2}, \dots \in F ，$ 都有 $⋃_{n \geq 1} A_{n} \in F$ （对可数并封闭），

就称 $F$ 是 $Ω$ 上的一个 σ-代数。有序对 $(Ω, F)$ 称为可测空间（measurable space）， $F$ 中的集合称为可测集，在概率里就是事件。

三条规则推出的「免费赠品」（证明见下面的推导一节）：

结论	语言	用到的规则
$\emptyset \in F$	不可能事件是事件	①②
$A \cup B \in F$	有限个「或」	③ 加上 $\emptyset \in F$
$⋂_{n} A_{n} \in F$	可数多个「且」	②③ 加德摩根律
$A \cap B \in F ，$ $A ∖ B \in F$	有限个「且」、「A 但非 B」	上一行
$lim sup A_{n} 、$ $lim inf A_{n} \in F$	无穷多次发生、最终一直发生	③ 与可数交

这就是标题说的「对可数次的事件逻辑封闭」（closed under countable event logic）：「或、且、非」任意组合、做可数多次，结果都还是事件。

The event domain is now precise...｜事件的定义域现在精确了

这是课件的粗体小标题。「定义域」（domain）指函数能接受的输入的范围。概率 $P$ 的输入是事件，所以它的定义域就是事件族 $F 。$ 以前 $F$ 只是「某个可接受的族」，现在我们精确地知道它必须是 σ-代数。老师在下面补了一句： $F \to [0, 1]$ assigns weights to admissible events in $F$ （给 $F$ 里的可接受事件分配重量），见下一节。

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

（印刷的 $2^{Ω}$ 被蓝笔圈出）
① $Ω \in F ，$ ② $A \in F$ then $A^{c} \in F ，$ ③ $(A_{n})_{n \geq 1} \subseteq F$ then $⋃_{n \geq 1} A_{n} \in F$ .
example　 $Ω = {HH, HT, HT, TT}$
$A = {HH, HT}$
$F = {ϕ, Ω, A, A^{c}}$ 　σ-algebra.
（粗体 The event domain is now precise... 下面） $F \to [0, 1]$ assigns weights to admissible events in $F$ .（to 前面有一个划掉的字母）
$F$ can distinct $A$ , $A^{c}$
$2^{Ω}$ distinct HH, HT

第 2 行：三条规则

就是上面讲过的定义 3。老师把印刷课件留空的地方手写补全了。

第 3–5 行：一个最小的非平凡 σ-代数

第 3 行又把 TH 写成了 HT（和第 8 页同样的笔误），应为 $Ω = {HH, HT, TH, TT} 。$
$A = {HH, HT}$ 是「第 1 次正面」（第 6 页）， $A^{c} = {TH, TT}$ 是「第 1 次反面」。
老师断言 $F = {\emptyset, Ω, A, A^{c}}$ 是 σ-代数。我们逐条验证：

验证 ①： $Ω$ 就在 $F$ 里。

验证 ②：四个成员的补集是 $\emptyset^{c} = Ω ，$ $Ω^{c} = \emptyset ，$ $A^{c} ，$ $(A^{c})^{c} = A ，$ 全都在 $F$ 里。

验证 ③： $F$ 只有 4 个成员，所以从 $F$ 里取出的任何一列 $A_{1}, A_{2}, \dots ，$ 其实只是这 4 个集合的某种重复；重复并不改变并集（ $A \cup A = A ），$ 所以只要检查「从 4 个里挑出若干个取并」的结果：

$\cup$	$\emptyset$	$A$	$A^{c}$	$Ω$
$\emptyset$	$\emptyset$	$A$	$A^{c}$	$Ω$
$A$	$A$	$A$	$Ω$	$Ω$
$A^{c}$	$A^{c}$	$Ω$	$A^{c}$	$Ω$
$Ω$	$Ω$	$Ω$	$Ω$	$Ω$

表里每一格都还是 $F$ 的成员；三个、四个一起并，也只是把表里的结果再并一次，依然在 $F$ 里。三条都满足，所以 $F$ 是 σ-代数。

第 6 行：概率是定义在 ℱ 上的函数

老师写的「 $F \to [0, 1] 」$ 省掉了函数名，完整写法是 $P : F \to [0, 1] ：$ 输入 $F$ 里的一个事件，输出 $[0, 1]$ 里的一个数，也就是给每个可接受的事件分配一个重量。这就是「定义域现在精确了」的具体含义： $P$ 的定义域是 σ-代数 $F 。$ 例如在第 5 行的 $F$ 上，公平硬币对应 $P (\emptyset) = 0 ，$ $P (A) = P (A^{c}) = \frac{1}{2} ，$ $P (Ω) = 1 ；$ 而 $P ({HH})$ 没有定义，因为 ${HH} \in / F 。$

第 7–8 行：σ-代数代表「能分辨什么」

这两行的 distinct 应为 distinguish（分辨、区分），是手误。意思是：

$F = {\emptyset, Ω, A, A^{c}}$ 能分辨 $A$ 和 $A^{c}$ ：你能判断「第 1 次是正面还是反面」。
但它分辨不了 HH 和 HT： $F$ 的每个成员要么同时包含 HH 和 HT（ $A 、$ $Ω ），$ 要么同时不包含（ $\emptyset 、$ $A^{c} ）。$ 无论实现的是 HH 还是 HT， $F$ 里「发生了的事件」完全一样，所以这个族看不出两者的差别。
$2^{Ω}$ 能分辨 HH 和 HT： ${HH} \in 2^{Ω} ，$ 实现 HH 时它发生，实现 HT 时它不发生。

直观地说： $F$ 越大，能回答的问题越多，信息越多。 ${\emptyset, Ω, A, A^{c}}$ 就是「只看了第 1 次硬币」的人所掌握的信息； $2^{Ω}$ 是「两次都看了」的人的信息。这个观点在第 10 页和后面讲条件期望时非常重要。

例子

例 1：Ω = {1, 2, 3} 上的几个 σ-代数

${\emptyset, Ω} ：$ 平凡 σ-代数。验证：①成立； $\emptyset$ 与 $Ω$ 互为补集；任何并都是 $\emptyset$ 或 $Ω 。$ 它什么都分辨不了（「没有信息」）。
${\emptyset, {1}, {2, 3}, Ω} ：$ 和板书同样的结构（一个集合、它的补集，再加 $\emptyset, Ω ）。$ 能分辨「是不是 1」，分辨不了 2 和 3。
$2^{Ω} ：$ 全部 $2^{3} = 8$ 个子集。任何子集的补集、任何一些子集的并还是子集，所以它是 σ-代数，能分辨所有点。

例 2（反例）：只对补集封闭不够

取 $Ω = {1, 2, 3} ，$ $A = {\emptyset, {1}, {2}, {2, 3}, {1, 3}, Ω} 。$

①： $Ω \in A ，$ 成立。
②： ${1}^{c} = {2, 3} ，$ ${2}^{c} = {1, 3} ，$ $\emptyset^{c} = Ω ，$ 都在，成立。
③： ${1} \cup {2} = {1, 2} ，$ 不在 $A$ 里。失败。

所以 $A$ 不是 σ-代数。事件语言：能问「是 1 吗」「是 2 吗」，却不能问「是 1 或 2 吗」，不自洽。要修好它，必须把 ${1, 2}$ （以及它的补集 ${3} ）$ 加进去，结果就成了 $2^{Ω} 。$

例 3（反例）：对有限并封闭，但对可数并不封闭

取 $Ω = N = {1, 2, 3, \dots} ，$ 令

A = {A \subseteq N : A 是有限集，或者 A^{c} 是有限集} .

①： $N^{c} = \emptyset$ 是有限集，所以 $N \in A 。$
②：「 $A$ 有限或 $A^{c}$ 有限」对 $A$ 和 $A^{c}$ 是对称的说法，所以 $A \in A$ 时 $A^{c} \in A 。$
有限并：两个有限集的并是有限集；若其中一个（比如 $B ）$ 的补集有限，那么 $(A \cup B)^{c} \subseteq B^{c}$ 也有限。所以 $A$ 对有限并封闭。
可数并： ${2}, {4}, {6}, \dots$ 每个都是有限集，都在 $A$ 里；但它们的并是全体偶数 ${2, 4, 6, \dots} ，$ 它是无限集，补集（全体奇数）也是无限集，所以不在 $A$ 里。条件 ③ 失败。

这种只对有限运算封闭的族叫「代数」（algebra）。它连「抽到偶数」都不当事件，更别说第 7 页的「无穷多次正面」。σ 的那个「可数」不是装饰，它是必需的。

例 4：只看第一次硬币的人的 σ-代数（无穷次抛币）

在第 7 页的 $Ω_{\infty} = {H, T}^{N}$ 上，令 $F_{1} = {\emptyset, H_{1}, H_{1}^{c}, Ω_{\infty}} 。$ 和板书第 5 行一样的验证可知它是 σ-代数。它表示「只知道第 1 次结果」的信息：事件「第 2 次是正面」 $H_{2}$ 不在 $F_{1}$ 里，因为只看了第 1 次的人无法判断它。

推导：一步一步来

推导证明思路

所有「免费赠品」都只用 ①②③ 三条规则。技巧有两个：用「补空集」 $\emptyset, \emptyset, \dots$ 把有限并凑成可数并；用德摩根律把「交」改写成「补—并—补」。

结论 1： $\emptyset \in F 。$

$\emptyset = Ω^{c} 。$ 由 ①， $Ω \in F ；$ 由 ②，它的补集 $\emptyset \in F 。$

结论 2（有限并）：若 $A, B \in F ，$ 则 $A \cup B \in F 。$

构造一列： $A_{1} = A ，$ $A_{2} = B ，$ $A_{3} = A_{4} = \dots = \emptyset 。$
由结论 1，这一列的每个成员都在 $F$ 里。
由 ③， $⋃_{n \geq 1} A_{n} \in F ；$ 而并上一堆空集不改变结果， $⋃_{n \geq 1} A_{n} = A \cup B 。$ 所以 $A \cup B \in F 。$

结论 3（可数交）：若 $A_{1}, A_{2}, \dots \in F ，$ 则 $⋂_{n \geq 1} A_{n} \in F 。$

A_{n} \in F \Rightarrow A_{n}^{c} \in F （由条件 2 ，每个 n 都用一次） \Rightarrow n \geq 1 ⋃ A_{n}^{c} \in F （由条件 3 ） \Rightarrow (n \geq 1 ⋃ A_{n}^{c})^{c} \in F （再由条件 2 ） 而 (n \geq 1 ⋃ A_{n}^{c})^{c} = n \geq 1 ⋂ (A_{n}^{c})^{c} = n \geq 1 ⋂ A_{n} （德摩根律，以及 (A^{c})^{c} = A ） .

所以 $⋂_{n \geq 1} A_{n} \in F 。$ 语言：「每个 $A_{n}$ 都发生」＝「并非（有某个 $A_{n}$ 不发生）」。

结论 4（有限交、差集）：若 $A, B \in F ，$ 则 $A \cap B \in F ，$ $A ∖ B \in F 。$

$A \cap B ：$ 在结论 3 里取 $A_{1} = A ，$ $A_{2} = B ，$ $A_{3} = A_{4} = \dots = Ω$ （交上 $Ω$ 不改变结果）。
$A ∖ B = A \cap B^{c} ：$ 由 ② $B^{c} \in F ，$ 再用有限交。

结论 5（上极限、下极限）：若 $A_{1}, A_{2}, \dots \in F ，$ 则 $lim sup A_{n}, lim inf A_{n} \in F 。$

固定 $N ，$ $A_{N}, A_{N + 1}, \dots$ 都在 $F$ 里，由 ③， $B_{N} := ⋃_{n \geq N} A_{n} \in F 。$
对 $N = 1, 2, \dots$ 得到一列 $B_{1}, B_{2}, \dots \in F ，$ 由结论 3， $lim sup A_{n} = ⋂_{N \geq 1} B_{N} \in F 。$
同理， $⋂_{n \geq N} A_{n} \in F$ （结论 3），再对 $N$ 取并（③），得 $lim inf A_{n} \in F 。$

所以第 7 页的「无穷多次正面」「只有有限次正面」在任何包含所有 $H_{n}$ 的 σ-代数里都是合法事件，可以谈它们的概率。

常见疑问与易错点

易错点问：σ-代数的成员是样本点还是集合？

答：是集合。 $HH \in Ω$ 是样本点； ${HH}$ 是一个集合，它可能属于 $F ，$ 也可能不属于（板书第 5 行的 $F$ 里就没有它）。写「 $HH \in F 」$ 是层次错误（第 6 页的「三层，一层装一层」）。

易错点问：定义里只要求「并」封闭，不要求「交」封闭，是不是漏了？

答：没漏。有了补集封闭，「交」可以用德摩根律写成「补—并—补」（结论 3），自动封闭。定义只写最少的条件，其余的都是推论。同理，也可以把 ③ 换成「对可数交封闭」，得到的是同一个概念。

易错点问：为什么不要求对「任意多个」（包括不可数多个）集合的并封闭？

答：一是没必要：概率只对可数多块相加（第 8 页）。二是会让 $F$ 大得过头：比如在 $[0, 1]$ 上，只要每个单点 ${x}$ 都是事件，而 $F$ 又对任意并封闭，那么任何子集 $E = ⋃_{x \in E} {x}$ 都成了事件， $F$ 被迫等于 $2^{[0, 1]} ；$ 而第 21 页会证明，在 $2^{[0, 1]}$ 上无法定义合理的「长度」。

易错点问：σ-代数是不是越大越好？

答：不一定。越大，能分辨的事越多（板书第 7–8 行）；但也越难在上面定义一个满足可数可加性的概率。 $[0, 1]$ 上取 $2^{[0, 1]}$ 就太大了（第 10 页、第 21 页）。选 σ-代数，是在「能问的问题多」与「能自洽地给出答案」之间取舍。

小结与自测

小结本页小结

σ-代数 $F \subseteq 2^{Ω}$ 的三条规则：① $Ω \in F ；$ ② 对补集封闭；③ 对可数并封闭。
推论： $\emptyset \in F ，$ 对有限并、可数交、有限交、差集、上下极限都封闭——对可数次「或、且、非」封闭。
「可数」必不可少：只对有限并封闭的族（例 3）连「偶数」都不当事件。
概率 $P : F \to [0, 1]$ 的定义域就是 σ-代数 $F ，$ 不在 $F$ 里的集合没有概率。
σ-代数代表「信息」： ${\emptyset, Ω, A, A^{c}}$ 只能分辨 $A$ 与 $A^{c} ，$ $2^{Ω}$ 能分辨每个结局。

自测

1. $Ω = {1, 2, 3, 4} 。$ $F = {\emptyset, {1, 2}, {3, 4}, Ω}$ 是 σ-代数吗？它能分辨 1 和 2 吗？能分辨 1 和 3 吗？

点开看答案

是。① $Ω \in F ；$ ② ${1, 2}^{c} = {3, 4} ，$ $\emptyset^{c} = Ω ，$ 都在；③任意几个成员的并只可能是 $\emptyset, {1, 2}, {3, 4}, Ω$ 之一。它不能分辨 1 和 2（每个成员要么两个都含，要么都不含），能分辨 1 和 3（ ${1, 2}$ 含 1 不含 3）。

2. $Ω = {1, 2, 3} ，$ $G = {\emptyset, {1}, {2}, Ω}$ 是 σ-代数吗？如果不是，缺了什么？

点开看答案

不是。 ${1}^{c} = {2, 3}$ 不在 $G$ 里，违反 ②；而且 ${1} \cup {2} = {1, 2}$ 也不在，违反 ③。要补成 σ-代数，至少要加入 ${2, 3} 、$ ${1, 3} 、$ ${1, 2} 、$ ${3} ，$ 结果就是 $2^{Ω} 。$

3. 只用 ①②③ 三条规则，证明：若 $A, B \in F ，$ 则 $A \cap B \in F 。$

点开看答案

由 ②， $A^{c}, B^{c} \in F 。$ 由 ③（取 $A_{1} = A^{c} ，$ $A_{2} = B^{c} ，$ 其余为 $\emptyset ，$ 而 $\emptyset = Ω^{c} \in F$ 由 ①② 得到）， $A^{c} \cup B^{c} \in F 。$ 再由 ②， $(A^{c} \cup B^{c})^{c} \in F 。$ 由德摩根律， $(A^{c} \cup B^{c})^{c} = A \cap B ，$ 所以 $A \cap B \in F 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
德摩根律	De Morgan's laws	「并的补 = 补的交」「交的补 = 补的并」，把「非（A 或 B）」变成「非 A 且非 B」。
集合族	family of sets	元素本身都是集合的集合，例如事件族 𝓕。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
并集	union	至少属于其中一个集合的元素全体，A ∪ B 对应「A 或 B」。
条件期望	conditional expectation	E[X \| 𝓕] 是已知 σ-代数 𝓕 中的信息时对 X 的最佳猜测；它本身是一个 𝓕-可测的随机变量。
差集	set difference	在 A 里但不在 B 里的元素，记作 A \ B，等于 A ∩ Bᶜ。
上极限	limit superior (lim sup)	数列「尾部的最大可能值」的极限；对集合则表示「发生无穷多次」。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。

这一页在讲什么

先补基础

课件原文逐句精读

「A family ℱ ⊆ 2^Ω」｜先要是一族子集

条件 ① Ω ∈ ℱ｜必然事件是事件

条件 ② A ∈ ℱ ⇒ Aᶜ ∈ ℱ｜能问「发生」，就能问「不发生」

条件 ③ 可数并封闭｜可数多个事件的「或」还是事件

The event domain is now precise...｜事件的定义域现在精确了

老师板书在说什么

第 2 行：三条规则

第 3–5 行：一个最小的非平凡 σ-代数

第 6 行：概率是定义在 ℱ 上的函数

第 7–8 行：σ-代数代表「能分辨什么」

例子

推导：一步一步来

常见疑问与易错点

小结与自测

条件 ①　Ω ∈ ℱ｜必然事件是事件

条件 ②　A ∈ ℱ ⇒ Aᶜ ∈ ℱ｜能问「发生」，就能问「不发生」

条件 ③　可数并封闭｜可数多个事件的「或」还是事件