25 达布和：把黎曼可积的判别写清楚 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

黎曼积分的想法：把 $[a, b]$ 切成小段，每段用一个矩形近似曲线下的面积。达布和把它做得更干净：每段取函数的最低值做一个矮矩形（下和）、取最高值做一个高矩形（上和）。真正的面积夹在两者之间；如果切得足够细时上下和可以无限接近，函数就是黎曼可积的。

第 4 部分「勒贝格积分」从这里开始。先把大家熟悉的黎曼积分用达布和精确地写出来，下一页（第 26 页）再看勒贝格积分在哪一点上做了改变。

先补基础

基础补课上确界 sup 与下确界 inf（在一小段上）

$sup_{x \in I} f (x) ：$ $f$ 在区间 $I$ 上的「最高高度」（最小上界）； $in f_{x \in I} f (x) ：$ 「最低高度」（最大下界）。
用 sup/inf 而不用 max/min，是因为函数在一段上不一定取得到最高、最低值。例： $f (x) = x$ 在 $[0, 1)$ 上没有最大值，但 $sup = 1 。$
$f$ 有界（bounded）指存在 $M$ 使所有 $∣ f (x) ∣ \leq M 。$ 有界才能保证每段的 sup、inf 都是有限数。

基础补课分割与求和号

分割 $P ：$ 在 $[a, b]$ 里插入分点 $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b ，$ 得到 $n$ 个小区间 $I_{j} = [x_{j - 1}, x_{j}] ，$ 长度 $∣ I_{j} ∣ = x_{j} - x_{j - 1} 。$
$\sum_{j = 1}^{n} c_{j} = c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} 。$

课件原文逐句精读

课件原文Darboux sums

Let $f : [a, b] \to R$ be bounded and let

P : a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b, I_{j} = [x_{j - 1}, x_{j}] .

For each interval cell, put

m_{j} := x \in I_{j} in f f (x), M_{j} := x \in I_{j} sup f (x) .

Lower and upper Darboux sums（公式在板书里）

中文翻译

设 $f : [a, b] \to R$ 有界，取分割 $P ：$ $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b ，$ 小区间 $I_{j} = [x_{j - 1}, x_{j}] 。$ 对每个小区间，令 $m_{j}$ 为 $f$ 在 $I_{j}$ 上的下确界， $M_{j}$ 为上确界。达布下和与上和：（见板书）

定义达布下和与上和

L (f, P) = j = 1 \sum n m_{j} ∣ I_{j} ∣, U (f, P) = j = 1 \sum n M_{j} ∣ I_{j} ∣.

$L$ 是所有「矮矩形」的面积之和， $U$ 是所有「高矩形」的面积之和。总有 $L (f, P) \leq U (f, P) 。$

定义黎曼可积（达布判别）

有界函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积，当且仅当

\forall ε > 0, \exists 分割 P : U (f, P) - L (f, P) < ε .

此时黎曼积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 就是上下和共同逼近的那个数。

逐项解释：

interval cell（区间小格）：分割出来的每个小区间。黎曼 / 达布的台阶只能建在这种小格上。
$m_{j} 、$ $M_{j}$ ：每格里函数的最低、最高高度，决定了矮矩形和高矩形。
$U - L$ ：上下和之差，等于 $\sum_{j} (M_{j} - m_{j}) ∣ I_{j} ∣$ ——每格的「高低差」乘以格宽，再相加。它衡量「矩形近似有多不准」。

老师板书在说什么

老师板书板书转写

圈出 $I_{j} = [x_{j - 1}, x_{j}] 。$
$L (f, P) = \sum_{j = 1}^{n} m_{j} ∣ I_{j} ∣ ，$ $U (f, P) = \sum_{j = 1}^{n} M_{j} ∣ I_{j} ∣$
$f$ is Riemann integrable $⟺ \forall ε > 0, \exists P : U (f, P) - L (f, P) < ε$
Fixed $j ：$ we ignore the oscillation in $I_{j} ；$ the oscillation on total is small.

第 1 行：老师圈出小区间 $I_{j} ，$ 强调黎曼方法的「底」只能是区间。下一页的对比就围绕这一点。
第 2–3 行：上下和的公式和可积判别，已整理进上面的定义卡片。
第 4 行的意思：在每一格里，我们不管函数怎么上下波动，只记下最高值和最低值（格内的波动被「忽略」成一个高低差 $M_{j} - m_{j} ，$ 叫振幅 oscillation）。可积的要求是所有格的振幅乘格宽加起来很小。换句话说：允许个别格子振幅大，只要这些格子总宽度很小。这句话是下一页、下下页（第 27 页）论证的关键。

例子

例 1：f(x) = x² 在 [0,1] 上，等分 n 段

第 $j$ 段是 $[\frac{j - 1}{n}, \frac{j}{n}] 。$ $x^{2}$ 递增，所以最低值在左端、最高值在右端： $m_{j} = (\frac{j - 1}{n})^{2} ，$ $M_{j} = (\frac{j}{n})^{2} 。$

U - L = j = 1 \sum n [(\frac{j}{n})^{2} - (\frac{j - 1}{n})^{2}] \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} [(\frac{n}{n})^{2} - 0] = \frac{1}{n} .

（中间是「叠缩求和」：相邻项相消，只剩首尾。）要 $U - L < ε ，$ 取 $n > 1/ ε$ 即可，所以 $x^{2}$ 黎曼可积，积分是 $\frac{1}{3} 。$ $n = 4$ 时： $L = \frac{0 + 1 + 4 + 9}{64} = \frac{14}{64} \approx 0.219 ，$ $U = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{64} = \frac{30}{64} \approx 0.469 ，$ 真值 $\frac{1}{3}$ 夹在中间。

例 2：有一个跳跃的函数也可积

$f (x) = 0$ （ $x < \frac{1}{2} ），$ $f (x) = 1$ （ $x \geq \frac{1}{2} ）。$ 任何分割里，只有包含 $\frac{1}{2}$ 的那一格振幅是 1，其余格振幅是 0。所以 $U - L = 1 \times (那一格的宽度) 。$ 把那一格取得很窄， $U - L$ 就任意小——可积，积分是 $\frac{1}{2} 。$ 一个跳跃点「占的宽度」可以任意小，不妨碍可积。

动手试一试拖动滑块：段数越多，上下和越接近

蓝色是下和（矮矩形），蓝色加橙色是上和（高矩形），橙色部分的面积就是 $U - L$ 。选「有一个跳跃的函数」时，注意只有跳跃点所在的那一格是厚的；段数增加，这一格变窄，橙色总面积仍然趋于 0。

例 3（反例预告）：处处跳跃的函数

狄利克雷函数 $1_{Q \cap [0, 1]}$ （有理点取 1、无理点取 0）：任何一格里都既有有理数又有无理数，所以每格 $M_{j} = 1 、$ $m_{j} = 0 ，$ $U - L = 1$ 永远不会变小——不是黎曼可积。详见第 28 页。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么用上下确界，而不是每段随便取一个点的函数值？

答：随便取点得到的是「黎曼和」，它的值夹在 $L$ 和 $U$ 之间。用上下确界得到的是最保守的两个估计：如果连最保守的上下估计都能夹紧，那么任意取点的黎曼和也一定收敛到同一个值。用达布和，判别条件更简洁。

易错点问：分割加细后，上下和会怎样变化？

答：在原分割里再插入分点（叫「加细」），下和只会变大或不变，上和只会变小或不变。理由：把一格 $I_{j}$ 切成两半，每一半上的下确界都不小于整格的下确界 $m_{j}$ （小区间上的最低值不会比大区间更低），所以两半的矮矩形面积之和 $\geq m_{j} ∣ I_{j} ∣ ；$ 上确界方向相反：每一半上的上确界都不大于整格的上确界 $M_{j}$ （小区间上的最高值不会比大区间更高），所以两半的高矩形面积之和 $\leq M_{j} ∣ I_{j} ∣ ，$ 上和只会变小或不变。所以加细就是让上下台阶向真实面积两头夹紧。这也说明：任何一个下和都不超过任何一个上和（把两个分割合并，加细后比较即可）。

易错点问：为什么定义里要求 f 有界？

答：否则达布和根本算不出来。例如 $f (x) = \frac{1}{x}$ （ $0 < x \leq 1 ），$ $f (0) = 0 ：$ 包含 0 的那一格上 $f$ 没有上界， $M_{1} = \infty ，$ 上和 $U = \infty ，$ 判别条件无从谈起。微积分里的「反常积分」 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = lim_{ε \to 0} \int_{ε}^{1} \frac{d x}{x} = 2$ 是另外用极限补出来的定义。勒贝格积分则可以直接处理这种无界的非负函数（第 33 页），不需要额外的极限步骤，结果同样是 2。

易错点问：黎曼可积要求函数连续吗？

答：不要求。例 2 有跳跃也可积。真正的条件是：不连续点「不能太多」——准确说，不连续点组成的集合必须是零测集（第 26 页的板书、第 27 页）。

小结与自测

小结本页小结

分割 $P$ 把 $[a, b]$ 切成区间小格 $I_{j} ；$ 每格取下确界 $m_{j} 、$ 上确界 $M_{j} 。$
下和 $L = \sum m_{j} ∣ I_{j} ∣ ，$ 上和 $U = \sum M_{j} ∣ I_{j} ∣ ，$ 真面积夹在中间。
黎曼可积 ⟺ 对任意 $ε > 0$ 存在分割使 $U - L < ε 。$
每格内的振幅被「忽略」，只要求振幅大的格子总宽度小。

自测

1. $f (x) = 2 x$ 在 $[0, 1]$ 上等分 2 段，求 $L$ 和 $U 。$

点开看答案

两段 $[0, \frac{1}{2}] 、$ $[\frac{1}{2}, 1] ，$ 宽都是 $\frac{1}{2} 。$ $f$ 递增： $m_{1} = 0 ，$ $M_{1} = 1 ，$ $m_{2} = 1 ，$ $M_{2} = 2 。$ $L = (0 + 1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} ，$ $U = (1 + 2) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} 。$ 真值 $\int_{0}^{1} 2 x d x = 1$ 在中间。

2. 常数函数 $f \equiv c$ 的 $U - L$ 是多少？它黎曼可积吗？

点开看答案

每格 $M_{j} = m_{j} = c ，$ 所以 $U - L = 0 ，$ 对任何分割都成立，黎曼可积，积分是 $c (b - a) 。$

3. 判断：只要函数有一个不连续点，就不是黎曼可积的。

点开看答案

错误。例 2 在 $x = \frac{1}{2}$ 处跳跃，仍然黎曼可积。只有一个不连续点时，包含它的那一格可以取得任意窄。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
达布和	Darboux sums	每小段取函数的下确界（或上确界）乘以长度再求和；上下和夹住黎曼积分。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
分割	partition	把区间 [a,b] 用分点 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b 切成小段。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
振幅	oscillation	函数在一小段上的「最高值减最低值」M − m，衡量函数在那里抖动得多厉害。
狄利克雷函数	Dirichlet function	在有理点取 1、无理点取 0 的函数；黎曼不可积，勒贝格积分为 0。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。