08 概率的分配必须尊重可数拆分（可数可加性） · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

概率就是给每个事件分配一个「重量」。分配要守两条规矩：总重量是 1；把一个事件切成可数多块、两两不重叠的小块，整体的重量必须等于各块重量之和。

前两页搭好了「事件」：第 6 页说事件是 $Ω$ 的子集，第 7 页用可数并、可数交写出了「至少一次正面」「无穷多次正面」这类事件，并在最后问了一句 assign the mass?（质量怎么分配？）。这一页回答：分配可以千变万化，但必须遵守两条规则——规范性和可数可加性。

标题里的 decomposition 是「拆分」：一件事拆成若干不重叠的部分，概率就按部分相加。老师在板书最后用 $[0, 1]$ 上的均匀分布说明：这种相加只能对可数多块要求，对不可数多块会出矛盾。

这两条规则后面会被正式写进测度与概率空间的定义（第 12 页），而「可数并还得是事件」的要求会在下一页第 9 页变成 σ-代数的定义。本页属于第 1 部分「概率空间与可测事件」。

先补基础

基础补课概率是一个「输入集合、输出数字」的函数

$P$ 读作「P」（概率 probability 的首字母，用空心体写）。 $P (A)$ 读作「事件 $A$ 的概率」。
输入是事件（一个集合），输出是 0 到 1 之间的数。写成 $P : F \to [0, 1] ：$ 它只对事件族 $F$ 里的集合有定义（第 6 页）。
例：两次抛公平硬币， $P ({HH}) = \frac{1}{4} ，$ $P ({HH, HT}) = \frac{1}{2} 。$

基础补课两两不交（pairwise disjoint）

一列集合 $A_{1}, A_{2}, \dots$ 两两不交：任取两个不同的下标 $i \neq = j ，$ 都有 $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset 。$ 也就是任意两块都没有公共元素。
例： ${1}, {2, 3}, {4}$ 两两不交。
反例： ${1, 2}, {2, 3}, {3, 1}$ 不是两两不交（ ${1, 2} \cap {2, 3} = {2} ），$ 尽管三个一起的交集是空集。「两两不交」要求每一对都不交，比「整体的交为空」严格得多。
不交的并常叫「拆分」：若 $A = ⋃_{n} A_{n}$ 且 $A_{n}$ 两两不交，就说把 $A$ 拆成了 $A_{1}, A_{2}, \dots$ 这些块。

基础补课级数：无穷多个数相加

$\sum_{n \geq 1} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ 的意思：先算前 $m$ 项的和 $s_{m} = a_{1} + \dots + a_{m}$ （部分和），看 $m$ 越来越大时 $s_{m}$ 逼近什么。
例： $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ 的部分和 $s_{m} = 1 - 2^{- m} ，$ 逼近 1，所以和为 1。
例： $1 + 1 + 1 + \dots$ 的部分和是 $m ，$ 越来越大，和为 $+ \infty 。$
所有项都 $\geq 0$ 时，部分和只增不减，所以和要么是一个有限数，要么是 $+ \infty ；$ 而且怎么调换顺序，和都不变。概率都是非负的，所以本页的求和不会出麻烦。
注意：级数要求把项排成一列（第 1 项、第 2 项……），也就是只能对可数多项求和。

基础补课单点集与 [0,1] 上的均匀分布

单点集 ${x} ：$ 只含一个元素 $x$ 的集合。
「在 $[0, 1]$ 上均匀地随机取一个点」（uniform probability）的意思：取到的点落在一个子区间里的概率等于这个子区间的长度，即 $P ([a, b]) = b - a$ （ $0 \leq a \leq b \leq 1 ）。$ 例： $P ([0, \frac{1}{2}]) = \frac{1}{2} ，$ $P ([0.2, 0.3]) = 0.1 。$

课件原文逐句精读

课件原文Normalization and countable additivity

Normalization and countable additivity　On the admissible event family, a probability assignment satisfies $P (Ω) = 1$ and, for pairwise disjoint events $A_{1}, A_{2}, \dots$ ,

P (n \geq 1 ⋃ A_{n}) = n \geq 1 \sum P (A_{n})

Finite atomic model

（说明：课件印刷的句子到「 $A_{1}, A_{2}, \dots$ ,」为止，下面这个公式是老师当堂手写补上的；Finite atomic model 是印刷的粗体小标题，后面的内容也是手写。）

中文翻译

规范性与可数可加性　在可接受的（老师旁注：允许的）事件族上，一个概率分配满足 $P (Ω) = 1 ；$ 并且对于两两不交的事件 $A_{1}, A_{2}, \dots ，$ 有

P (n \geq 1 ⋃ A_{n}) = n \geq 1 \sum P (A_{n}) .

有限原子模型

Normalization and countable additivity｜规范性与可数可加性

这是本页的粗体小标题，点出两条规则的名字。逐句来读：

「On the admissible event family」：概率只对事件族里的集合定义。 老师在 admissible 上方写了中文旁注（推测为「允许」），并在 admissible event family 下画了线： $P (A)$ 只对 $A \in F$ 有意义。不在 $F$ 里的子集，根本不问它的概率（第 6 页例 2）。

「a probability assignment」：一个概率分配。 就是一个函数 $P : F \to [0, 1] ，$ 给每个事件一个数。可以有很多种分配（公平硬币、不公平硬币……），只要守下面两条规则。

第一条，规范性（normalization）： $P (Ω) = 1 。$

为什么： $Ω$ 包含所有结局，每次试验必然发生（第 6 页），「一定发生」就记作 100%。
它还起「定标」的作用：总量定为 1，其他事件的概率就是「占总量的比例」。如果去掉这条，剩下的规则同样适用于长度、面积、个数，这就是一般的测度（第 12 页），允许总量不是 1，甚至是 $\infty 。$

第二条，可数可加性（countable additivity）。 条件和结论分开看：

条件： $A_{1}, A_{2}, \dots$ 两两不交（老师在这几个字下画了线）。块与块之间没有重叠。如果有重叠，重叠的部分会被重复计数。例如两次抛币， $A = {HH, HT} 、$ $B = {HH, TH}$ 都含 HH， $P (A) + P (B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 ，$ 而 $P (A \cup B) = \frac{3}{4} ，$ 多出来的 $\frac{1}{4}$ 正是 HH 被算了两次。
结论：整体的概率＝各块概率之和。左边的 $⋃_{n \geq 1} A_{n}$ 是「至少一块发生」，右边是一个级数。
为什么是「可数」多块，而不只是有限多块？ 因为第 7 页里那些最自然的事件（至少一次正面、无穷多次正面）本来就是无穷多个事件拼成的。只有有限可加性，这些事件的概率根本算不出来（见下面例 2）。
为什么不要求「不可数」多块？ 老师在板书最后专门演示了：要求不可数可加会导出 $1 = 0$ （见「老师板书在说什么」）。

定义概率分配的两条基本规则

设 $F$ 是可接受的事件族。函数 $P : F \to [0, 1]$ 称为一个概率分配（后面正式称为概率测度，第 12 页），如果

规范性： $P (Ω) = 1 ；$
可数可加性：对任意一列两两不交的事件 $A_{1}, A_{2}, \dots \in F ，$ 都有 $P (⋃_{n \geq 1} A_{n}) = \sum_{n \geq 1} P (A_{n}) 。$

Finite atomic model｜有限原子模型

这是印刷的第二个粗体小标题，后面由老师手写 $\sum_{ω \in Ω} P (ω) = 1 。$

原子（atom）：最小、不能再分的块。在有限样本空间里，就是单点事件 ${ω} 。$
有限原子模型： $Ω$ 只有有限个结局，给每个结局一个重量 $p (ω) = P ({ω}) \geq 0 ，$ 要求加起来是 1：

ω \in Ω \sum p (ω) = 1.

那么任何事件的概率都由原子决定： $P (A) = \sum_{ω \in A} p (ω) 。$ 理由： $A$ 是它的单点 ${ω}$ （ $ω \in A ）$ 的并，这些单点两两不交，只有有限个，用可加性即可。
这就是中学「古典概率」的来源：若 $Ω$ 有 $k$ 个结局且等可能， $p (ω) = \frac{1}{k} ，$ 于是 $P (A) = \frac{A 中结局的个数}{k} 。$

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

印刷文字上的标记：admissible 上方写了两个中文字（字迹潦草，推测为「允许」），并有一小竖线指向 admissible；admissible event family 下画了蓝线；pairwise disjoint events $A_{1}, A_{2}, \dots$ 下画了蓝线。
$P (⋃_{n \geq 1} A_{n}) = \sum_{n \geq 1} P (A_{n})$
Two tossing ${HH, HT, HT, TT}$ 　　 $P ({H, \cdot}) = \frac{1}{2}$
（印刷的 Finite atomic model 右边） $\sum_{ω \in Ω} P (ω) = 1$
For uniform prob. on $[0, 1] ，$ $P ({x}) = 0$
$P ([0, 1]) = 1 ，$ $[0, 1] = ⋃_{x \in [0, 1]} {x}$
$1 = P [0, 1] \neq = \sum_{x \in [0, 1]} P ({x}) = 0$ （中间的「 $\neq = 」$ 是红笔写的：一个被划掉的等号）

第 2 行：可数可加性的公式

课件印刷的句子停在「 $A_{1}, A_{2}, \dots$ ,」，老师把规则的公式手写补全。读法见上一节。

第 3 行：两次抛币，一个最简单的「按块相加」

老师写的样本空间里 HT 出现了两次，这是笔误：应为 ${HH, HT, TH, TT}$ （和第 6 页一样）。
$P ({H, \cdot})$ 里的「 $\cdot 」$ 是「随便什么」的意思： ${H, \cdot}$ 表示「第 1 次是 H，第 2 次随便」，也就是 ${HH, HT} 。$
公平硬币下每个结局重量 $\frac{1}{4} 。$ ${HH, HT}$ 拆成两个不交的原子 ${HH} 、$ ${HT} ，$ 所以

P ({H, \cdot}) = P ({HH}) + P ({HT}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} .

第 4 行：有限原子模型

有限原子模型只需要检查一件事：所有原子的重量加起来是 1。两次抛币里 $\frac{1}{4} \times 4 = 1 ，$ 合格。

第 5–7 行：为什么只要求「可数」可加——[0,1] 上的均匀分布

这是本页最重要的板书。老师的论证分三步：

每个单点的概率都是 0（第 5 行）。理由：任取一个很小的正数 $ε ，$ 点 $x$ 落在区间 $[x - ε, x + ε]$ 里，这个区间与 $[0, 1]$ 的公共部分长度不超过 $2 ε 。$ 「 ${x}$ 发生」比「落在这个小区间里」更难，所以 $P ({x}) \leq 2 ε 。$ $ε$ 可以任意小，而概率不能是负数，只能 $P ({x}) = 0 。$
$[0, 1]$ 是它所有点的不交并（第 6 行）： $[0, 1] = ⋃_{x \in [0, 1]} {x} ，$ 不同的单点当然不相交；而且 $P ([0, 1]) = 1$ （规范性）。
如果对不可数多块也能相加，就会得到 $1 = P ([0, 1]) = \sum_{x \in [0, 1]} P ({x}) = \sum 0 = 0 ，$ 荒谬。所以老师用红笔把等号划掉，写成 $\neq =$ （第 7 行）。

结论：可加性不能对不可数多块要求。可数可加性只对「能排成一列」的块生效； $[0, 1]$ 是不可数的（它的点不能排成一列），所以第 6 行的并不在可数可加性的管辖范围内，公理本身没有矛盾。

这也回答了第 7 页最后的问题：不可数空间上每个点的概率都可以是 0，但整体概率是 1。概率不能「逐点相加」，只能直接分配给集合。

例子

例 1：两次抛币——不交就能相加，重叠就不能直接加

公平硬币，每个结局重量 $\frac{1}{4} 。$

「恰好一次正面」＝ ${HT} \cup {TH} ，$ 两块不交，概率 $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} 。$
「至少一次正面」＝ ${HH} \cup {HT} \cup {TH} ，$ 三块两两不交，概率 $\frac{3}{4} 。$
错误做法：把「至少一次正面」写成 $A \cup B$ （第 1 次正面、第 2 次正面），直接算 $P (A) + P (B) = 1 。$ 错在 $A \cap B = {HH} \neq = \emptyset ，$ 不满足「两两不交」，HH 被算了两次。
正确做法：先拆成不交的块， $A \cup B = A \cup (B ∖ A) ，$ 其中 $B ∖ A = {TH} ，$ 所以 $P (A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} 。$

例 2：可数可加性真正派上用场——无穷次抛币中「至少一次正面」

沿用第 7 页的无穷次抛公平硬币， $H_{n}$ ＝「第 $n$ 次正面」。把「至少一次正面」按第一次正面出现在第几次拆开：

F_{n} = {第 1, \dots, n - 1 次都是反面，第 n 次是正面}, n = 1, 2, 3, \dots

两两不交：一条序列的「第一次正面」只有一个位置，不可能同时属于 $F_{2}$ 和 $F_{5} 。$
拼起来正好是「至少一次正面」：至少有一次正面，就有第一次正面，它在某个第 $n$ 次，于是属于 $F_{n} ；$ 反之属于某个 $F_{n}$ 当然至少有一次正面。所以 $⋃_{n \geq 1} H_{n} = ⋃_{n \geq 1} F_{n} 。$
每块的概率： $F_{n}$ 规定了前 $n$ 次的具体结果（ $n - 1$ 个 T 加一个 H），公平硬币下概率为 $(\frac{1}{2})^{n} 。$
用可数可加性：

P (n \geq 1 ⋃ H_{n}) = n \geq 1 \sum P (F_{n}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1.

如果只有「有限可加」，我们只能算出前 $m$ 块之和 $1 - 2^{- m} ，$ 却无权说「无穷多块合起来的概率就是它们的极限 1」。正是可数可加性把这一步合法化了。

例 3（反例）：在全体正整数里「等可能地」选一个数，是不可能的

想在 $Ω = {1, 2, 3, \dots}$ 上让每个数一样可能，设 $p (k) = c$ （对所有 $k$ 相同）。 $Ω$ 是单点 ${1}, {2}, \dots$ 的可数不交并，由两条规则，

1 = P (Ω) = k \geq 1 \sum p (k) = c + c + c + \dots .

若 $c > 0 ，$ 右边是 $+ \infty ，$ 不等于 1；
若 $c = 0 ，$ 右边是 $0 ，$ 也不等于 1。

两种情况都矛盾。结论：满足可数可加性的「正整数上的均匀分布」不存在。可数可加性不是一句空话，它会排除掉一些看起来很自然的分配。

例 4：可数原子模型——抛到第一次正面为止

记录「抛了几次才第一次出现正面」， $Ω = {1, 2, 3, \dots} ，$ 由例 2 知 $p (k) = (\frac{1}{2})^{k} ，$ 且 $\sum_{k} p (k) = 1 ，$ 合格。

求「抛了偶数次」的概率：它是 ${2}, {4}, {6}, \dots$ 的可数不交并，所以

P ({2, 4, 6, \dots}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3} .

（这里用了等比级数求和：首项 $a 、$ 公比 $r$ （ $0 \leq r < 1 ）$ 的等比级数之和是 $\frac{a}{1 - r} 。）$

推导：一步一步来

推导证明思路

所有常用的概率性质，都能从这两条规则推出来。技巧只有一个：把集合拆成两两不交的块，再用可加性。下面依次推出 $P (\emptyset) = 0 、$ 有限可加性、补集公式、单调性。

性质 1： $P (\emptyset) = 0 。$

取 $A_{1} = Ω ，$ $A_{2} = A_{3} = \dots = \emptyset 。$ 它们两两不交（空集和谁都不交），并集是 $Ω 。$
由可数可加性： $P (Ω) = P (Ω) + P (\emptyset) + P (\emptyset) + \dots 。$
左边是 1，右边是 $1 + (P (\emptyset) + P (\emptyset) + \dots) 。$ 两边减去有限数 1，得 $P (\emptyset) + P (\emptyset) + \dots = 0 。$
无穷多个相同的非负数加起来是 0，这个数只能是 0。所以 $P (\emptyset) = 0 。$

性质 2（有限可加性）：若 $A_{1}, \dots, A_{m}$ 两两不交，则 $P (A_{1} \cup \dots \cup A_{m}) = P (A_{1}) + \dots + P (A_{m}) 。$

补上 $A_{m + 1} = A_{m + 2} = \dots = \emptyset ，$ 这一列仍两两不交、并集不变。用可数可加性，再用性质 1，后面的项全是 0。

性质 3（补集公式）： $P (A^{c}) = 1 - P (A) 。$

$Ω = A \cup A^{c} ，$ 且 $A \cap A^{c} = \emptyset 。$ 由性质 2 和规范性， $1 = P (A) + P (A^{c}) ，$ 移项即得。例：两次抛币， $P (至少一次正面) = 1 - P ({TT}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} ，$ 与例 1 一致。

性质 4（单调性）：若 $A \subseteq B ，$ 则 $P (A) \leq P (B) 。$

$B = A \cup (B ∖ A) ，$ 两块不交，所以 $P (B) = P (A) + P (B ∖ A) \geq P (A) ，$ 因为概率非负。板书第 5 行「 $P ({x}) \leq 2 ε 」$ 用的正是单调性： ${x}$ 包含于那个小区间。

性质 5（有限原子模型的公式）： $P (A) = \sum_{ω \in A} p (ω) 。$

有限集 $A = {ω_{1}, \dots, ω_{k}}$ 是 ${ω_{1}}, \dots, {ω_{k}}$ 的不交并，由性质 2 即得。

常见疑问与易错点

易错点问：概率为 0 的事件就是不可能发生的吗？

答：不是。在 $[0, 1]$ 上均匀取点，每个单点的概率都是 0，但每次总有某一个点被取到。「不可能事件」是 $\emptyset$ （里面没有结局）；「概率为 0 的事件」可以非空。在有限原子模型里，如果每个原子重量都 $> 0 ，$ 两者才一致。

易错点问：为什么不干脆要求「任意多块都可加」？

答：板书第 5–7 行已经证明这会导出 $1 = 0 ：$ $[0, 1]$ 是不可数多个单点的不交并，每个单点概率为 0。所以只能要求可数可加。反过来，只要求有限可加又太弱，算不出例 2 那种「无穷多块拼成」的事件的概率，也推不出第 13 页、第 14 页的连续性。「可数」恰好是既够用又不自相矛盾的那一档。

易错点问：可数可加性里的并集一定是事件吗？

答：必须是，否则左边 $P (⋃_{n} A_{n})$ 就没有定义。这正是第 9 页要求事件族对可数并封闭（σ-代数）的原因：规则要能用，事件族就得配合。

易错点问：概率和测度有什么区别？

答：测度只保留可数可加性（和 $μ (\emptyset) = 0 ），$ 不要求总量是 1，值可以是 $\infty ，$ 例如整条实数轴的长度。概率就是「总量为 1 的测度」。第 12 页会把这两个定义并排写出来。

小结与自测

小结本页小结

概率 $P$ 只对事件族 $F$ 里的集合定义，满足规范性 $P (Ω) = 1$ 和可数可加性：两两不交时 $P (⋃_{n} A_{n}) = \sum_{n} P (A_{n}) 。$
「两两不交」防止重复计数；「可数」让无穷多块拼成的事件（如「至少一次正面」）也能算概率。
有限原子模型：给每个结局一个重量，总和为 1， $P (A) = \sum_{ω \in A} p (ω) 。$
$[0, 1]$ 上的均匀分布：每个单点概率为 0，但 $P ([0, 1]) = 1 ；$ 所以可加性不能对不可数多块要求。
由两条规则可推出： $P (\emptyset) = 0 、$ 有限可加、 $P (A^{c}) = 1 - P (A) 、$ 单调性。

自测

1. 掷一颗公平骰子，用可加性计算「点数是质数」的概率，并写出你用到的拆分。

点开看答案

质数有 2、3、5，事件 ${2, 3, 5} = {2} \cup {3} \cup {5} ，$ 三块两两不交，每块概率 $\frac{1}{6} ，$ 所以概率为 $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} 。$

2. 判断：对任意两个事件 $A 、$ $B ，$ 都有 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) 。$

点开看答案

错误。只有 $A \cap B = \emptyset$ 时才成立。反例：两次抛币， $A$ ＝第 1 次正面、 $B$ ＝第 2 次正面， $P (A) + P (B) = 1 ，$ 但 $P (A \cup B) = \frac{3}{4} ，$ 因为 HH 被算了两次。正确的一般公式是 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) 。$

3. 在 $[0, 1]$ 上均匀取点，求「取到的数是有理数」的概率。提示：有理数可以排成一列。

点开看答案

$Q \cap [0, 1]$ 是可数的，可以排成 $q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dots ，$ 于是它是单点 ${q_{1}}, {q_{2}}, \dots$ 的可数不交并。每个单点概率为 0，由可数可加性，概率 $= 0 + 0 + \dots = 0 。$ 注意这里可以用可加性，因为块数是可数的；而板书里 $[0, 1]$ 的块数不可数，不能用。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
部分和	partial sum	级数 a₁ + a₂ + … 的前 n 项之和 Sₙ = a₁ + … + aₙ；级数的值就是 Sₙ 在 n → ∞ 时的极限。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
有限可加性	finite additivity	两两不交的有限个集合，并集的测度等于各自测度之和。可数可加性是它的加强版：可数无穷多个集合也成立。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
并集	union	至少属于其中一个集合的元素全体，A ∪ B 对应「A 或 B」。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。