高等概率论逐页精讲

Advanced Probability Theory

高等概率论 · 逐页精讲

写给数学基础薄弱的同学:课件原页对照、零基础补课、公式推导、老师板书逐条解读、例子与自测

怎么用这个网站

  1. 左右对照。左边固定显示课件原页(点击可放大,看清老师的手写),右边是中文精讲。
  2. 每页同一个顺序。这一页在讲什么 → 先补基础 → 课件原文逐句精读 → 老师板书在说什么 → 图解 → 例子 → 推导 → 常见疑问 → 小结与自测。顶部的「本页小标题」可以直接跳转。
  3. 做练习。作业与小测每道题一页:先看「这道题在问什么」和「思路」,自己试着写,再对照「完整解答」和「原解答逐行对照」(原解答的笔误与错误都在这里订正)。每个练习的目录页末尾有「原解答问题速览」,讲义页末尾的「相关练习」告诉你这一页的知识在哪些题里用到。
  4. 边读边查。正文里带虚线的术语,鼠标停留(手机上点一下)就会弹出白话解释;右上角「搜索」或按 / 可以搜全站,点开结果会自动定位到匹配的文字。
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  1. 第 1 讲 测度与积分 Measure and Integration for Probability

    先弄清「哪些集合可以谈概率」(σ-代数),再把「长度」推广成测度,最后建立勒贝格积分,并学会用 MCT、Fatou 引理、DCT 判断极限和积分能不能交换。

    精讲 47 / 47 页 已看懂 0 / 47 页
  2. 第 2 讲 随机变量、期望与不等式 Random Variables, Expectation, and Inequalities

    随机变量是可测映射,期望就是对概率测度的积分;再用 CDF、分位数、矩和各种不等式把期望与尾概率算出来、估出来。

    精讲 32 / 32 页 已看懂 0 / 32 页
  3. 第 3 讲 Borel–Cantelli、收敛与 Radon–Nikodym Borel–Cantelli, Sequence Convergence, and Radon–Nikodym

    事件会不会发生无穷多次、随机变量的几种收敛方式、什么条件下期望可以取极限,以及换测度(重要性抽样)怎么做。

    精讲 47 / 47 页 已看懂 0 / 47 页
  4. 第 4 讲 乘积测度与独立性 Product Measure and Independence

    两个概率空间怎样拼成一个联合空间(乘积 σ-代数与乘积测度),二重积分什么时候能拆成两次单重积分(Fubini–Tonelli),以及独立性的精确定义:联合分布等于边缘分布的乘积;最后看多元正态分布里「协方差为 0」为什么等价于独立。

    精讲 21 / 21 页 已看懂 0 / 21 页

作业与小测

每道题单独一页:左边是解答原页里这道题所在的部分,右边是中文精讲。讲题目在考什么、需要的基础、完整的证明思路,逐行对照并订正原解答,最后有拓展延伸和自测。

  1. 作业 1 Borel–Cantelli 引理、概率不等式与收敛定理 Homework 1 (with solutions)

    12 道题:用 Borel–Cantelli 引理判断事件会不会发生无穷多次,依测度收敛的运算,积分不等式及其等号条件,以及 Fatou 引理、控制收敛定理的典型用法与反例。

    精讲 12 / 12 题 已看懂 0 / 12 题
  2. 作业 2 收敛方式、大数定律、中心极限定理与鞅 Homework 2 (with solutions)

    12 道题:Lᵖ 收敛的判别与乘积的收敛,由中心极限定理推出大数定律,Glivenko–Cantelli 定理,高维球面上的正态近似,相依序列的大数定律,随机项数的中心极限定理,以及分支过程、赌徒破产中的鞅与可选停止定理。

    精讲 12 / 12 题 已看懂 0 / 12 题
  3. 小测 1 收敛定理与两种收敛方式 Quiz 1 (with solutions)

    4 道题:叙述 Fatou 引理与控制收敛定理,并用前者证明后者;几乎处处收敛时,「L¹ 收敛」等价于「绝对值的积分收敛」;Lᵖ 收敛下积分上界的保持。

    精讲 4 / 4 题 已看懂 0 / 4 题
  4. 小测 2 收敛方式与一致可积 Quiz 2 (with solutions)

    4 道题:Lᵖ 收敛推不出几乎必然收敛;一致可积的定义与等价刻画;独立随机变量序列的极限只能是常数。

    精讲 4 / 4 题 已看懂 0 / 4 题
基础补课集合、函数、上确界、极限、级数、可数性……测度论需要的最少背景,一次讲清。 术语表中英对照 + 白话解释,并标出每个术语第一次出现在哪一页。 关于本站内容从哪里来、怎样写成、怎样使用和反馈问题,以及隐私说明。