06 事件：把满足某个性质的结果收集起来 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

「第一次是正面」是一句关于结局的性质。把所有满足这句话的样本点装进一个袋子，就得到 $Ω$ 的一个子集，这个子集就叫事件。事件「发生」，意思是真正被实现的那个 $ω$ 落在这个袋子里。

上一页（第 5 页）做了第一件事：把所有完整结局列出来，组成样本空间 $Ω 。$ 这一页做第二件事：说清楚我们平时说的「事件」（比如「至少一次正面」）在数学里到底是什么东西。

答案很朴素：事件就是 $Ω$ 的子集。这一步看起来平淡，却非常关键，因为它把「语言里的判断句」变成了「可以做运算的集合」：

「且」变成交集 $\cap ，$ 「或」变成并集 $\cup ，$ 「不」变成补集 $A^{c} ；$
于是「至少一次正面」「从不出现正面」「出现无穷多次正面」这些复杂说法，都能用集合运算一步步搭出来。下一页第 7 页的板书就在做这件事。

定义里还埋了一个伏笔：不是所有子集都自动算事件，要先固定一个「可接受的事件族」 $F 。$ $F$ 要满足什么规则，到第 9 页（σ-代数）才正式规定；为什么不干脆让所有子集都算事件，是第 10 页的话题。本页属于第 1 部分「概率空间与可测事件」。

先补基础

基础补课属于 ∈ 与包含于 ⊆

$ω \in A$ 读作「 $ω$ 属于 $A 」：$ $ω$ 是集合 $A$ 里的一个元素。 $\in /$ 表示不属于。
$A \subseteq Ω$ 读作「 $A$ 包含于 $Ω 」，$ 也说「 $A$ 是 $Ω$ 的子集」： $A$ 的每一个元素都在 $Ω$ 里。
例： $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 。$ $2 \in Ω$ （2 是一个元素）； ${2, 4, 6} \subseteq Ω$ （这是一个集合，它的元素 2、4、6 都在 $Ω$ 里）。
易混：写「 $2 \subseteq Ω 」$ 是错的（2 是数，不是集合）；写「 ${2} \in Ω 」$ 也是错的（ $Ω$ 的元素是数，不是集合）。正确的是 $2 \in Ω$ 和 ${2} \subseteq Ω 。$
空集 $\emptyset$ 是一个元素也没有的集合。任何集合都以空集和它自己为子集： $\emptyset \subseteq Ω ，$ $Ω \subseteq Ω 。$

基础补课用性质描述集合：{ω ∈ Ω : …}

写法 ${ω \in Ω : ω 满足某性质}$ 读作「 $Ω$ 中所有满足该性质的 $ω$ 组成的集合」，冒号读作「使得」。
例： ${ω \in {1, \dots, 6} : ω 是偶数} = {2, 4, 6} 。$
求这种集合的办法就是逐个检查：把 $Ω$ 里的每个元素拿来试一遍，满足的留下，不满足的扔掉。

基础补课四种集合运算（本页的主角）

设 $A, B \subseteq Ω 。$

交集 $A \cap B = {ω : ω \in A 且 ω \in B} ：$ 两个集合都属于。
并集 $A \cup B = {ω : ω \in A 或 ω \in B} ：$ 至少属于其中一个（两个都属于也算）。
补集 $A^{c} = {ω \in Ω : ω \in / A} ：$ $Ω$ 里不属于 $A$ 的那些元素。补集总是相对于 $Ω$ 来说的。
差集 $A ∖ B = {ω : ω \in A 且 ω \in / B} ：$ 在 $A$ 里但不在 $B$ 里。它等于 $A \cap B^{c} 。$
例： $Ω = {1, \dots, 6} ，$ $A = {2, 4, 6} ，$ $B = {4, 5, 6} 。$ 则 $A \cap B = {4, 6} ，$ $A \cup B = {2, 4, 5, 6} ，$ $A^{c} = {1, 3, 5} ，$ $A ∖ B = {2} 。$
如果 $A \cap B = \emptyset ，$ 就说 $A$ 与 $B$ 不相交（disjoint）。

基础补课集合族、花体字母与幂集 2^Ω

集合族（family of sets）：元素本身是集合的集合。例如 ${\emptyset, {1}, {1, 2}}$ 是一个集合族，它有 3 个元素，每个元素都是一个集合。
课件用花体字母 $F$ （读作「花体 F」）表示事件族。本课的约定是三层，一层装一层：小写 $ω$ 是样本点；大写 $A, B$ 是事件（样本点的集合）；花体 $F$ 是事件族（事件的集合）。
幂集 $2^{Ω} ：$ $Ω$ 的所有子集组成的集合族。若 $Ω$ 有 $n$ 个元素，每个元素都有「放进子集 / 不放」两种选择，一共 $2^{n}$ 个子集，所以记作 $2^{Ω} 。$ 例： $2^{{H, T}} = {\emptyset, {H}, {T}, {H, T}} ，$ 共 $2^{2} = 4$ 个。
当且仅当（英文 iff、precisely when，符号 $⟺ ）：$ 两边同真同假。一边成立，另一边一定成立；一边不成立，另一边一定不成立。

课件原文逐句精读

课件原文Definition 2 (Event)

A property of outcomes is represented by a subset $A \subseteq Ω$ . Once an admissible event family $F$ has been fixed, the events in the probability model are exactly the sets $A \in F$ . The event $A$ occurs precisely when the realized outcome satisfies $ω \in A$ .

中文翻译

定义 2（事件） 结局的一个性质，用一个子集 $A \subseteq Ω$ 来表示。一旦固定了一个可接受的事件族 $F ，$ 概率模型中的事件就恰好是那些集合 $A \in F 。$ 事件 $A$ 发生，当且仅当被实现的结局 $ω$ 满足 $ω \in A 。$

这个定义一共三句话，分别回答三个问题：事件长什么样？哪些子集算事件？事件「发生」是什么意思？

① A property of outcomes is represented by a subset A ⊆ Ω｜性质用子集来表示

性质（property）：一句对每个结局都能判断「对 / 错」的话。比如抛两次硬币，「第一次是正面」这句话对结局 HH 为真，对结局 TH 为假。
用子集表示（represented by a subset）：把所有让这句话为真的结局收集起来，得到

A = {ω \in Ω : ω 具有这个性质} \subseteq Ω.

为什么可以这样替换？因为在这个模型里，一句性质的全部信息就是「它对哪些结局成立」。知道了这个集合，就知道这句话在每个可能世界里是真是假；反过来，给一个子集 $A ，$ 也能读出一句性质「被实现的结局属于 $A 」。$ 所以性质和子集是一一对应的。
这样做的好处：判断句没法直接「计算」，集合却可以求交、并、补。于是事件的逻辑变成了集合的运算。
一个细节：不同的说法可能对应同一个子集。例如掷骰子时，「是偶数」和「是 2 的倍数」都对应 ${2, 4, 6} 。$ 在模型里它们就是同一个事件，因为模型只关心「哪些结局满足」。

② Once an admissible event family ℱ has been fixed, the events are exactly the sets A ∈ ℱ｜先固定可接受的事件族

事件族（event family） $F ：$ 由 $Ω$ 的一些子集组成的集合族，它事先规定好「哪些子集有资格被叫作事件」。admissible 的意思是「被允许的、合格的」。
exactly（恰好）：属于 $F$ 的子集都是事件，不属于 $F$ 的子集都不是事件，一个不多，一个不少。
注意两个符号的层次不同： $A \subseteq Ω$ 说的是「 $A$ 由样本点组成」； $A \in F$ 说的是「 $A$ 这个集合本身是事件族里的一员」。
老师在课件上把 $F$ 圈了出来，又在 sets 下面画了波浪线，就是在强调两件事：事件是集合；而且必须是 $F$ 里的集合。

为什么要多此一举，不让每个子集都当事件？

在有限的 $Ω$ 上（比如抛两次硬币），通常就取 $F = 2^{Ω} ，$ 所有子集都是事件，没有任何问题。本页板书就是这样做的。
在不可数的 $Ω$ 上（比如在 $[0, 1]$ 里随机取一个点），如果要求所有子集都有「长度 / 概率」，并且满足合理的规则，会推出矛盾（维塔利定理，第 21 页）。所以只能挑一部分「好的」子集当事件。
$F$ 还可以用来表示「信息」：一个只能看到部分信息的观察者，能判断的事件更少（第 10 页会讲）。

至于 $F$ 至少要满足哪些规则（例如「 $A$ 是事件，那么『 $A$ 不发生』也应该是事件」），留到第 9 页的 σ-代数定义。

③ The event A occurs precisely when the realized outcome satisfies ω ∈ A｜事件「发生」的意思

回顾第 5 页：每次试验恰好实现一个结局 $ω 。$
事件 $A$ 发生（occurs），就是这个被实现的 $ω$ 属于 $A ；$ $ω \in / A$ 就是 $A$ 没有发生。
因此，同一次试验里可以同时发生很多个事件，只要它们都包含这个 $ω 。$ 例如实现了 HH，那么「第一次正面」「第二次正面」「至少一次正面」「两次结果相同」全都发生了。被实现的结局只有一个，发生的事件可以有很多个。
两个极端： $Ω$ 包含所有结局，每次都发生，叫必然事件； $\emptyset$ 不含任何结局，永远不发生，叫不可能事件。

定义 2（事件）

设 $Ω$ 是样本空间， $F$ 是事先固定的一族 $Ω$ 的子集（可接受的事件族）。 $F$ 中的每个集合 $A$ 称为一个事件。若被实现的样本点 $ω$ 满足 $ω \in A ，$ 就说事件 $A$ 发生；若 $ω \in / A ，$ 就说 $A$ 不发生。

人话版「性质 ↔ 集合」对照词典

有了定义 2，语言里的每一种说法都能翻译成集合。右栏是翻译成立的理由，全都来自上面「先补基础」里的运算定义和定义 2 的第三句。

语言里的说法	集合写法	理由
$A$ 发生	$ω \in A$	定义 2 第三句
$A$ 且 $B$ （两个都发生）	$A \cap B$	$ω \in A \cap B$ 恰好意味着 $ω \in A$ 且 $ω \in B$
$A$ 或 $B$ （至少一个发生）	$A \cup B$	$ω \in A \cup B$ 恰好意味着 $ω \in A$ 或 $ω \in B$
非 $A$ （ $A$ 不发生）	$A^{c}$	$ω \in A^{c}$ 恰好意味着 $ω \in / A$
$A$ 发生但 $B$ 不发生	$A ∖ B = A \cap B^{c}$	「且」加上「非」
只要 $A$ 发生， $B$ 就一定发生	$A \subseteq B$	$A$ 里的结局都在 $B$ 里
$A 、$ $B$ 不可能同时发生	$A \cap B = \emptyset$	没有结局同时属于两者
一定发生 / 不可能发生	$Ω$ / $\emptyset$	包含全部结局 / 不含任何结局

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

印刷定义上的标记： $F$ 被蓝笔圈了出来；「the sets $A \in F 」$ 里的 sets 下面画了两道蓝色波浪线。
2 coins　 $Ω_{coin} := {HH, HT, TH, TT}$ 　 $= F = 2^{{H, T}}$
$A := {HH, HT} ，$ $B := {HH, TH} 。$ 红点标记： $A$ 的两个结局都在第 1 个字母下点了红点； $B$ 的两个结局都在第 2 个字母下点了红点。
$A \subseteq Ω_{coin} ，$ $B \subseteq Ω_{coin}$ .
$A$ : event for 1st $=$ H.
$B$ : event for 2nd $=$ H
$A^{c} ，$ $A \cap B ，$ $A \cup B ；$ 从 $A \cup B$ 向下画了一个箭头，写着 at least one is head.

老师用一个最小的例子——抛两次硬币——把定义 2 的三句话各演示了一遍。下面逐行讲。

第 1 行：两次抛币的样本空间，以及事件族

2 coins：抛两次硬币（或者同时抛两枚能区分的硬币）。
$Ω_{coin}$ 有 4 个结局。HT 表示「第 1 次 H（正面）、第 2 次 T（反面）」。顺序是有意义的：HT 和 TH 是两个不同的结局。
后半行老师想说的是：事件族取成全部子集（有限样本空间的标准做法）。但写法有笔误，要这样改正：
1. 老师写的是 $2^{{H, T}} ，$ 这是抛一次硬币的幂集，只有 4 个元素 $\emptyset, {H}, {T}, {H, T} ，$ 里面连 $A = {HH, HT}$ 都没有。
2. 应为 $F = 2^{Ω_{coin}} ，$ 即 $Ω_{coin}$ 的全部子集，共 $2^{4} = 16$ 个。
3. 中间那个「 $= 」$ 也不能读成「 $Ω_{coin}$ 等于 $F 」：$ $Ω_{coin}$ 是结局的集合， $F$ 是子集的集合，两者层次不同。把它理解成「另外，取事件族 $F = 2^{Ω_{coin}} 」$ 即可。

为了让你看清 $2^{Ω_{coin}}$ 到底是什么，这里把 16 个子集全部列出，并配上它们表示的性质：

元素个数	子集	个数	可以代表的性质（举例）
0	$\emptyset$	1	不可能事件
1	${HH} ，$ ${HT} ，$ ${TH} ，$ ${TT}$	4	${TT} ：$ 两次都是反面
2	${HH, HT} ，$ ${HH, TH} ，$ ${HH, TT} ，$ ${HT, TH} ，$ ${HT, TT} ，$ ${TH, TT}$	6	${HH, TT} ：$ 两次相同； ${HT, TH} ：$ 恰好一次正面
3	${HH, HT, TH} ，$ ${HH, HT, TT} ，$ ${HH, TH, TT} ，$ ${HT, TH, TT}$	4	${HH, HT, TH} ：$ 至少一次正面
4	$Ω_{coin}$	1	必然事件

合计 $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4} ，$ 和「每个结局选或不选」的计数一致。

第 2–5 行：把性质变成子集

第 4 行说 $A$ 是「第 1 次为 H」这个事件（event for 1st $=$ H）。求 $A$ 的办法就是逐个检查 4 个结局的第 1 个字母：HH 是 H，留下；HT 是 H，留下；TH 是 T，扔掉；TT 是 T，扔掉。所以 $A = {HH, HT} 。$ 老师在第 1 个字母下点的红点，标的正是「被检查的那个位置」。
第 5 行的 $B$ 是「第 2 次为 H」。这次检查第 2 个字母（红点也点在第 2 个字母下），留下 HH 和 TH，所以 $B = {HH, TH} 。$
第 3 行 $A \subseteq Ω_{coin} 、$ $B \subseteq Ω_{coin} ：$ 它们的元素都是合法结局，所以是子集。又因为 $F$ 取了全部子集， $A, B \in F ，$ 所以 $A 、$ $B$ 是事件（定义 2 第二句）。
注意 HH 同时属于 $A$ 和 $B 。$ 如果被实现的是 HH， $A$ 和 $B$ 同时发生。这正是「结局只有一个，事件可以同时发生很多个」。

第 6 行：用集合运算造出新事件

老师写了三个新事件，并特别给 $A \cup B$ 配了中文意思 at least one is head（至少一次是正面）。逐个算：

$A^{c} = Ω_{coin} ∖ A = {TH, TT} 。$ 它表示「第 1 次不是正面」，也就是「第 1 次是反面」。
$A \cap B = {HH} 。$ 只有 HH 同时出现在 $A$ 和 $B$ 里，表示「第 1 次正面且第 2 次正面」，也就是两次都是正面。
$A \cup B = {HH, HT, TH} 。$ 把 $A$ 和 $B$ 的元素合在一起（HH 只写一次）。为什么它表示「至少一次正面」？因为 $ω \in A \cup B$ 的意思是「第 1 次是 H 或第 2 次是 H」，而「两次里至少有一次 H」说的正是同一件事。

把 4 个结局逐个代入，列成一张「真值表」（「是」表示该结局属于这个集合）：

结局 $ω$	第 1 次	第 2 次	$A$	$B$	$A^{c}$	$A \cap B$	$A \cup B$
HH	H	H	是	是	否	是	是
HT	H	T	是	否	否	否	是
TH	T	H	否	是	是	否	是
TT	T	T	否	否	是	否	否

读法：竖着看一列，就是这个事件包含哪些结局；横着看一行，就是「如果实现的是这个结局，哪些事件发生了」。例如实现了 TH，那么 $B 、$ $A^{c} 、$ $A \cup B$ 发生， $A$ 和 $A \cap B$ 不发生。

老师没写、但顺着往下想非常有用的一个： $(A \cup B)^{c} = {TT} ，$ 意思是「不是至少一次正面」，也就是「一次正面都没有」。它恰好等于 $A^{c} \cap B^{c} = {TH, TT} \cap {HT, TT} = {TT} 。$ 这就是德摩根律，下面「推导」一节会证明它，第 9 页还会用到它。

例子

例 1：掷骰子——把性质翻译成集合，再看哪些事件发生

$Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ，$ $F = 2^{Ω} 。$

「点数是偶数」：逐个检查，得 $E = {2, 4, 6} 。$
「点数大于 3」：得 $G = {4, 5, 6} 。$
「是偶数且大于 3」： $E \cap G = {4, 6} 。$
「是偶数或大于 3」： $E \cup G = {2, 4, 5, 6} 。$
「不是偶数」： $E^{c} = {1, 3, 5} 。$
「大于 3 但不是偶数」： $G ∖ E = {5} 。$

现在假设这次掷出的是 $ω = 5 。$ 逐个判断 $5$ 属不属于上面的集合： $5 \in / E ，$ $5 \in G ，$ $5 \in / E \cap G ，$ $5 \in E \cup G ，$ $5 \in E^{c} ，$ $5 \in G ∖ E 。$ 所以发生的事件是 $G 、$ $E \cup G 、$ $E^{c} 、$ $G ∖ E ，$ 没发生的是 $E$ 和 $E \cap G 。$

例 2（反例）：事件族变小后，有的子集就不是事件

还是掷骰子，但换一个场景：你看不到骰子，只有朋友告诉你「单」还是「双」。你能判断的只有 4 件事：什么都不说（ $\emptyset$ 不会发生、 $Ω$ 一定发生）、「是单数」、「是双数」。于是取

F_{单双} = {\emptyset, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, Ω} .

${6}$ 当然是 $Ω$ 的子集，性质「点数为 6」也说得通；但 ${6} \in / F_{单双} ，$ 所以在这个模型里， ${6}$ 不是事件，不能问它的概率。
这就是定义 2 第二句「一旦固定了事件族，事件就恰好是 $F$ 里的集合」的含义：子集 ≠ 事件，要看 $F 。$
顺便验证： $F_{单双}$ 里任一集合的补集还在里面（ ${1, 3, 5}^{c} = {2, 4, 6} ，$ $\emptyset^{c} = Ω ），$ 任意两个的并集也还在里面。这种「运算后不跑出去」的性质，就是第 9 页要求 $F$ 满足的规则。

例 3：不可数的样本空间也一样用集合表示事件

在 $[0, 1]$ 里随机取一个实数， $Ω = [0, 1] 。$

「取到的数小于 $\frac{1}{2} 」$ 对应 $[0, \frac{1}{2}) 。$
「取到的数在 $0.2$ 和 $0.3$ 之间（含端点）」对应 $[0.2, 0.3] 。$
「取到的数恰好是 $\frac{1}{3} 」$ 对应单点集 ${\frac{1}{3}} 。$
「取到有理数」对应 $Q \cap [0, 1]$ （ $Q$ 是全体有理数，即能写成分数的数）。

这些都还是「性质 ↔ 子集」。区别在于： $[0, 1]$ 的子集多到无法一一列举，而且其中有一些「坏」子集没法合理地定义长度。所以这里的 $F$ 不能取 $2^{[0, 1]} ，$ 而要取后面构造的勒贝格可测集（第 23 页）。

推导：一步一步来

推导证明思路

要证明两个集合相等，标准做法是「追元素」：任取一个 $ω ，$ 证明「 $ω$ 属于左边」和「 $ω$ 属于右边」同真同假。每一步都只用交、并、补的定义。下面用这个办法证明德摩根律，以及「包含关系 ↔ 蕴含」。

结论 1（德摩根律）： $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} 。$ 用语言说：「不是（ $A$ 或 $B ）」$ 等于「不是 $A$ 并且不是 $B 」。$

ω \in (A \cup B)^{c} ⟺ ω \in / A \cup B （补集的定义） ⟺ 「 ω \in A 或 ω \in B 」不成立 （并集的定义） ⟺ ω \in / A 且 ω \in / B （「至少一个」不成立，就是「一个都不」） ⟺ ω \in A^{c} 且 ω \in B^{c} （补集的定义） ⟺ ω \in A^{c} \cap B^{c} （交集的定义）

每一行都是「当且仅当」，所以两边包含的元素完全一样，两个集合相等。换成两次抛币的语言：「不是至少一次正面」＝「第 1 次不是正面，并且第 2 次也不是正面」＝ ${TT} ，$ 和上面板书一节算出的结果一致。

同样的方法可以证明另一半： $(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c} ，$ 即「不是两次都正面」＝「至少有一次不是正面」。检验： $(A \cap B)^{c} = {HH}^{c} = {HT, TH, TT} ，$ 而 $A^{c} \cup B^{c} = {TH, TT} \cup {HT, TT} = {HT, TH, TT} ，$ 确实相同。

结论 2：若 $A \subseteq B ，$ 则「 $A$ 发生」蕴含「 $B$ 发生」。

设 $A$ 发生。按定义 2 第三句，被实现的 $ω$ 满足 $ω \in A 。$
因为 $A \subseteq B ，$ $A$ 的每个元素都在 $B$ 里，所以 $ω \in B 。$
再按定义 2 第三句， $B$ 发生。

例： $A \cap B = {HH} \subseteq A \cup B 。$ 「两次都正面」发生时，「至少一次正面」当然也发生。

常见疑问与易错点

易错点问：事件和结局（样本点）是一回事吗？

答：不是。结局 HH 是 $Ω$ 的元素；事件 ${HH}$ 是只含这一个元素的子集，写法上多了一对花括号。每次试验恰好一个结局被实现，却可以有很多个事件同时发生（例如实现 HH 时， $A 、$ $B 、$ $A \cap B 、$ $A \cup B 、$ $Ω$ 都发生）。只含一个结局的事件 ${ω}$ 常叫「基本事件」。

易错点问：「A 或 B」包括两个都发生的情况吗？

答：包括。数学里的「或」是可兼的： $ω \in A \cup B$ 只要求至少属于一个。所以 HH 属于 $A \cup B ，$ 这正是板书写 at least one（至少一个）而不是 exactly one（恰好一个）的原因。如果想表达「恰好一个发生」，要写成 $(A ∖ B) \cup (B ∖ A) ，$ 在两次抛币里是 ${HT, TH} 。$

易错点问：每个子集都能代表一个性质，为什么还要 ℱ？

答：在有限样本空间上，确实可以取 $F = 2^{Ω} ，$ 所有子集都当事件。但到了 $[0, 1]$ 这样不可数的样本空间，如果坚持让所有子集都有概率，同时要求概率满足可数可加（第 8 页）和平移不变，就会导出矛盾（第 21 页、第 22 页）。此外， $F$ 还能刻画「信息的多少」（例 2、第 10 页）。所以定义里先留一个位置给 $F 。$

易错点问：补集 Aᶜ 是相对于什么取的？

答：永远相对于样本空间 $Ω ：$ $A^{c} = Ω ∖ A 。$ 同一个 $A = {HH, HT} ，$ 在 $Ω_{coin}$ 里的补集是 ${TH, TT} ；$ 如果样本空间换了，补集也会跟着变。所以写补集之前，一定要先弄清 $Ω$ 是什么。

易错点问：∅ 和 Ω 算事件吗？

答：算（只要它们在 $F$ 里；第 9 页的 σ-代数会保证这一点）。 $\emptyset$ 里没有任何结局，所以无论实现哪个 $ω ，$ 都有 $ω \in / \emptyset ，$ 它永不发生； $Ω$ 包含所有结局，每次都发生。

小结与自测

小结本页小结

一句关于结局的性质 ↔ 满足它的所有结局组成的子集 $A \subseteq Ω 。$
先固定可接受的事件族 $F ；$ 恰好 $F$ 里的集合才叫事件。有限 $Ω$ 上通常取 $F = 2^{Ω} 。$
事件 $A$ 发生 ⟺ 被实现的 $ω \in A 。$ 结局只有一个，同时发生的事件可以有很多个。
翻译词典：且 ↔ 交 $\cap ，$ 或（可兼）↔ 并 $\cup ，$ 非 ↔ 补 $A^{c} ，$ 「 $A$ 导致 $B 」$ ↔ $A \subseteq B 。$
两次抛币： $A = {HH, HT}$ （第 1 次正面）， $B = {HH, TH}$ （第 2 次正面）， $A \cup B$ 是「至少一次正面」， $A \cap B$ 是「两次都正面」。

自测

1. 抛两次硬币。写出「两次结果相同」对应的集合。如果实现的是 $ω = TH ，$ 这个事件发生了吗？

点开看答案

逐个检查 4 个结局：HH 相同，HT 不同，TH 不同，TT 相同，所以集合是 ${HH, TT} 。$ 因为 $TH \in / {HH, TT} ，$ 按定义 2 第三句，这个事件没有发生。

2. 用板书里的 $A 、$ $B$ 和集合运算，写出「恰好一次正面」，并算出它包含哪些结局。

点开看答案

「恰好一次正面」＝「第 1 次正面且第 2 次不是」或「第 1 次不是且第 2 次是」，即 $(A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B) 。$ 计算： $B^{c} = {HT, TT} ，$ $A \cap B^{c} = {HT} ；$ $A^{c} = {TH, TT} ，$ $A^{c} \cap B = {TH} 。$ 并起来是 ${HT, TH} 。$

3. 判断：在例 2 的事件族 $F_{单双} = {\emptyset, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, Ω}$ 下，「点数小于 3」是一个事件。

点开看答案

错误。「点数小于 3」对应子集 ${1, 2} ，$ 它不在 $F_{单双}$ 里。按定义 2，只有 $F$ 里的集合才是事件，所以在这个模型里它不是事件。直观上：只知道单双的人，无法判断点数是否小于 3（例如知道「是单数」时，可能是 1，也可能是 3 或 5）。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
并集	union	至少属于其中一个集合的元素全体，A ∪ B 对应「A 或 B」。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
差集	set difference	在 A 里但不在 B 里的元素，记作 A \ B，等于 A ∩ Bᶜ。
集合族	family of sets	元素本身都是集合的集合，例如事件族 𝓕。
幂集	power set	一个集合的所有子集组成的集合族，记作 2^Ω；n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
德摩根律	De Morgan's laws	「并的补 = 补的交」「交的补 = 补的并」，把「非（A 或 B）」变成「非 A 且非 B」。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
勒贝格可测	Lebesgue measurable	能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
平移不变性	translation invariance	把集合整体平移，测度不变：μ(E + t) = μ(E)。长度就有这个性质。

结局 $ω$	第 1 次	第 2 次	$A$	$B$	$A^{c}$	$A \cap B$	$A \cup B$
HH	H	H	是	是	否	是	是
HT	H	T	是	否	否	否	是
TH	T	H	否	是	是	否	是
TT	T	T	否	否	是	否	否

结局 $ω$	第 1 次	第 2 次	$A$	$B$	$A^{c}$	$A \cap B$	$A \cup B$
HH	H	H	是	是	否	是	是
HT	H	T	是	否	否	否	是
TH	T	H	否	是	是	否	是
TT	T	T	否	否	是	否	否

结局 $ω$	第 1 次	第 2 次	$A$	$B$	$A^{c}$	$A \cap B$	$A \cup B$
HH	H	H	是	是	否	是	是
HT	H	T	是	否	否	否	是
TH	T	H	否	是	是	否	是
TT	T	T	否	否	是	否	否