17 绝对连续正是「有密度」的条件 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

随机变量什么时候有密度（可以写成 $P (X \in B) = \int_{B} f (x) d x ）？$ 答案是：当且仅当它的 CDF 绝对连续——比「连续」更强的一种连续：很多个小区间的总长度很小时，CDF 在这些区间上的总增量也很小。此时密度就是 CDF 的导数。

位置：第 2 部分「用 CDF 计算期望」的后半段。前几页（第 12 页–第 16 页）只用 CDF 算期望，从不假设密度；这一页回答：密度到底什么时候存在。
为什么需要：中学和大一的概率课默认「连续型随机变量有密度」。但下面两页会看到，存在 CDF 处处连续、却没有密度的随机变量（康托尔分布，第 19 页）。所以「连续」不是正确的条件，「绝对连续」才是。
后面怎么用：第 20 页会把任意分布拆成「原子 + 有密度 + 既无原子又无密度」三部分，本页给出的是中间那一部分的刻画。第 3 讲的 Radon–Nikodym 定理（第 27 页）是本页的抽象推广。

先补基础

基础补课密度是什么意思

说随机变量 $X$ 有（勒贝格）密度 $f ，$ 是指存在非负可积函数 $f ，$ 使对每个博雷尔集 $B ：$

P (X \in B) = \int_{B} f (x) d x .

特别地取 $B = (- \infty, x] ：$ $F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t 。$ 直观上， $f (x) d x$ 是「 $X$ 落在 $x$ 附近长度为 $d x$ 的小区间里」的概率。密度存在时，每个单点的概率都是 0（单点长度为 0），所以有原子（跳跃）的分布一定没有密度。

基础补课三种「连续」，一种比一种强

连续：在每一点， $x$ 变化一点， $F (x)$ 也只变化一点。
一致连续：同一个精度要求 $δ$ 对所有位置都管用（只看一个小区间）。
绝对连续：同一个 $δ$ 对「有限多个互不相交的小区间，总长度 $< δ 」$ 都管用——这些区间可以散落在各处，个数可以很多。

绝对连续 ⇒ 一致连续 ⇒ 连续（取只有一个区间的情形即可看出第一个箭头）；反过来都不成立。

基础补课微积分基本定理（回顾）

若 $F$ 连续可导，则 $F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} F^{'} (x) d x 。$ 本页的「勒贝格版」把条件从「连续可导」放宽到「绝对连续」，结论只要求 $F^{'}$ 几乎处处存在。

课件原文逐句精读

课件原文Absolute continuity is exactly the condition behind a density

Definition 16 (Absolutely continuous function) A function $F : R \to R$ is absolutely continuous if, for every $ε > 0$ , there exists $δ > 0$ such that every finite pairwise disjoint collection of intervals $(a_{k}, b_{k})$ satisfying

k \sum (b_{k} - a_{k}) < δ

also satisfies

k \sum ∣ F (b_{k}) - F (a_{k}) ∣ < ε .

Lebesgue FTC used below Such an $F$ has an a.e. derivative satisfying （留白） Conversely, an indefinite integral of an $L^{1}$ function is absolutely continuous.

Theorem 17 (CDF-density equivalence) A real random variable $X$ has a Lebesgue density if and only if $F_{X}$ is absolutely continuous. In that case $f_{X} = F_{X}^{'}$ almost everywhere.

中文翻译

定义 16（绝对连续函数） 函数 $F : R \to R$ 叫绝对连续的，如果对每个 $ε > 0 ，$ 都存在 $δ > 0 ，$ 使得任何有限个两两不交的区间 $(a_{k}, b_{k}) ，$ 只要总长度 $\sum_{k} (b_{k} - a_{k}) < δ ，$ 就有 $\sum_{k} ∣ F (b_{k}) - F (a_{k}) ∣ < ε 。$

下面要用的勒贝格微积分基本定理 这样的 $F$ 几乎处处有导数，并且满足（留白）。反过来，一个 $L^{1}$ 函数的不定积分是绝对连续的。

定理 17（CDF–密度等价） 实值随机变量 $X$ 有勒贝格密度，当且仅当 $F_{X}$ 绝对连续。此时 $f_{X} = F_{X}^{'}$ 几乎处处成立。

Definition 16｜逐句拆开

for every ε > 0, there exists δ > 0：一场「你出题、我应答」的游戏：你要求总增量小于 $ε ，$ 我能找到一个总长度门槛 $δ 。$
every finite pairwise disjoint collection of intervals：区间个数不限（但有限），彼此不重叠，可以散落在实数轴上任何地方。
$\sum_{k} (b_{k} - a_{k}) < δ$ ：这些区间的总长度小于 $δ 。$
$\sum_{k} ∣ F (b_{k}) - F (a_{k}) ∣ < ε$ ： $F$ 在这些区间上的总增量（取绝对值相加）小于 $ε 。$

一句话：「在总长度很小的地方， $F$ 不可能攒下很多增长。」 对 CDF 来说， $F (b_{k}) - F (a_{k}) = P (a_{k} < X \leq b_{k}) ，$ 所以这句话就是「总长度很小的一堆区间，总概率也很小」——这正是「概率按长度摊开」的意思。

Lebesgue FTC｜补全留白

留白处应是勒贝格版微积分基本定理的公式，见下一节定理卡片。

Theorem 17｜两件事

等价：有密度 ⟺ CDF 绝对连续。
公式：密度就是 CDF 的导数， $f_{X} = F_{X}^{'}$ （几乎处处——密度在零测集上改值无所谓，第 43 页）。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定理勒贝格微积分基本定理（Lebesgue FTC，当作已知结论使用）

若 $F : R \to R$ 绝对连续，则 $F$ 几乎处处可导， $F^{'}$ 在每个有界区间上可积，并且 $F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} F^{'} (x) d x 对所有 a < b .$
反过来，若 $f \in L^{1} (R)$ （或在每个有界区间上可积），则不定积分 $G (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$ （或 $\int_{a}^{x} f ）$ 是绝对连续的，并且 $G^{'} = f$ 几乎处处。

这个定理的证明需要实分析里的「勒贝格微分定理」，超出本课范围，课件也说是 used below（下面直接使用）。我们只需理解它的意思：绝对连续的函数，正好是「某个可积函数的积分」。

定理 17（CDF–密度等价）

设 $X$ 是实值随机变量， $F_{X}$ 是它的 CDF。则 $X$ 有勒贝格密度 $⟺ F_{X}$ 绝对连续。此时 $f_{X} = F_{X}^{'}$ 几乎处处。

推导证明思路

⇐：用 FTC 第 1 条， $F_{X}$ 的增量等于 $F_{X}^{'}$ 的积分，所以 $F_{X}^{'}$ 就是密度（还要检查它非负、总积分为 1，并从区间推广到所有博雷尔集）。⇒：有密度时 $F_{X}$ 是密度的不定积分，用 FTC 第 2 条。

（⇐）设 $F = F_{X}$ 绝对连续。

由 FTC， $F^{'}$ 几乎处处存在，且 $F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} F^{'} 。$
$F^{'} \geq 0$ ： $F$ 单调不减，差商 $\frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} \geq 0 ，$ 极限也 $\geq 0$ （不可导的零测集上令 $F^{'} = 0 ）。$
总积分为 1：令 $a \to - \infty 、$ $b \to + \infty ，$ 左边 $F (b) - F (a) \to 1 - 0 = 1 ；$ 右边 $\int_{a}^{b} F^{'} ↑ \int_{R} F^{'}$ （非负函数，单调收敛定理第 36 页）。所以 $\int_{R} F^{'} = 1 。$
两个测度在区间上相同：定义 $ν (B) = \int_{B} F^{'} (x) d x 。$ 它是概率测度（非负、可数可加由 MCT 保证、总质量为 1），并且对每个 $(a, b] ：$ $ν ((a, b]) = \int_{a}^{b} F^{'} = F (b) - F (a) = P (a < X \leq b) .$
推广到所有博雷尔集：两个概率测度在所有 $(a, b]$ 上相等，那么在 $B (R)$ 上处处相等（第 8 页「CDF 决定分布」用的就是这个事实）。所以 $P (X \in B) = \int_{B} F^{'} ，$ $F^{'}$ 就是密度。

（⇒）设 $X$ 有密度 $f 。$

$F (x) = P (X \leq x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t ，$ 是可积函数 $f$ 的不定积分（ $\int_{R} f = 1 < \infty ）。$
由 FTC 第 2 条， $F$ 绝对连续，并且 $F^{'} = f$ 几乎处处。 $■$

不用 FTC 第 2 条，直接看出「有密度 ⇒ 绝对连续」

关键是一个「积分的绝对连续性」：对可积的 $f \geq 0$ 和任意 $ε > 0 ，$ 存在 $δ > 0 ，$ 使 $Leb (A) < δ$ 时 $\int_{A} f < ε 。$

截断：令 $f_{M} = min (f, M) 。$ 由 MCT， $\int (f - f_{M}) \to 0$ （ $M \to \infty ），$ 取 $M$ 使 $\int (f - f_{M}) < ε /2 。$
取 $δ = ε / (2 M) 。$ 若 $Leb (A) < δ ，$ 则 $\int_{A} f \leq \int_{A} f_{M} + \int (f - f_{M}) < M δ + ε /2 = ε 。$

把 $A$ 取成 $⋃_{k} (a_{k}, b_{k}) ，$ 就得到 $\sum_{k} (F (b_{k}) - F (a_{k})) = \int_{A} f < ε ，$ 这正是定义 16。

图解

人话版用「沙子」想象绝对连续

把概率想成撒在实数轴上的沙子， $F (x)$ 是 $x$ 左边沙子的总量。

有密度：沙子均匀或不均匀地「铺」开，每一小段的沙子量 ≈ 密度 × 长度。总长度很小的一堆区间，装的沙子也很少——绝对连续。
有原子：某一点上堆了一座「小沙丘」（正概率）。用一个极短的区间罩住这一点，沙子量不会变小——不连续，更不绝对连续。
康托尔分布（第 19 页）：沙子全部撒在一个总长度为 0 的「尘埃」集合上，没有一处堆成沙丘（所以 CDF 连续），但用总长度任意小的一堆区间就能罩住全部沙子——连续但不绝对连续。

例子

例 1：均匀分布——绝对连续，密度为 1

$X \sim Unif (0, 1) ：$ $F (x) = 0$ （ $x < 0 ），$ $= x$ （ $0 \leq x < 1 ），$ $= 1$ （ $x \geq 1 ）。$

对任意区间， $∣ F (b) - F (a) ∣ \leq b - a$ （斜率不超过 1）。所以取 $δ = ε ：$ 总长度 $< ε$ 时总增量 $< ε 。$ 绝对连续。✓
$F^{'} (x) = 1$ （ $0 < x < 1 ），$ $= 0$ （ $x < 0$ 或 $x > 1 ），$ 在 0 和 1 两点不可导（零测集）。所以密度 $f = 1_{(0, 1)} ，$ 与熟悉的结果一致。

例 2：指数分布——绝对连续

$F (x) = 1 - e^{- λ x}$ （ $x \geq 0 ），$ $0$ （ $x < 0 ）。$ $F^{'} (x) = λ e^{- λ x} \leq λ ，$ 所以 $∣ F (b) - F (a) ∣ \leq λ (b - a) ，$ 取 $δ = ε / λ$ 即可。密度 $f (x) = λ e^{- λ x} 1_{{x > 0}}$ （第 15 页）。

一般地：导数有界（「利普希茨」）的 CDF 一定绝对连续。

例 3（反例）：有跳跃——没有密度

第 13 页的混合型 CDF 在 0 处从 0 跳到 $\frac{1}{2} 。$ 取 $ε = \frac{1}{4} ：$ 不管 $δ$ 多小，单个区间 $(- δ /2, δ /2)$ 的长度 $< δ ，$ 增量却 $\geq \frac{1}{2} > ε 。$ 所以不绝对连续，由定理 17， $X$ 没有密度——这和第 13 页说的「 $P (X = 0) = \frac{1}{2} > 0 ，$ 所以不可能有密度」一致。

例 4（预告）：连续却不绝对连续——康托尔函数

康托尔函数 $F$ （第 19 页）连续、单调，在 $[0, 1]$ 上从 0 升到 1。但它的全部增长都发生在康托尔集 $C$ 上（第 18 页）。第 $n$ 步时， $C$ 被 $2^{n}$ 个长度为 $3^{- n}$ 的闭区间盖住，总长度 $(2/3)^{n}$ 可以小于任何 $δ ，$ 而 $F$ 在这些区间上的总增量是 1（整个增长都在里面）。所以取 $ε = \frac{1}{2}$ 时找不到 $δ$ ——不绝对连续，没有密度。

常见疑问与易错点

易错点问：「连续型随机变量」不就是有密度的随机变量吗？

答：在很多入门教材里是这么定义的，但严格地说，「CDF 连续」和「有密度」不是一回事。CDF 连续只说明没有原子；有密度还要求概率不能集中在零测集上。康托尔分布就是「连续但没有密度」的例子（第 19 页）。正确的说法是：有密度 ⟺ CDF 绝对连续。

易错点问：密度唯一吗？为什么说「几乎处处」？

答：在一个零测集上改变 $f$ 的值， $\int_{B} f$ 完全不变（第 43 页），所以密度只在「几乎处处」的意义下唯一。例如均匀分布的密度可以写 $1_{(0, 1)} ，$ 也可以写 $1_{[0, 1]} ，$ 两者都对。

易错点问：定义里为什么要「有限个、两两不交」的区间？

答：如果区间可以重叠，同一段长度会被重复计数，总长度的门槛失去意义。「有限个」是为了让求和是普通的有限和；事实上换成可数个也等价。关键在于允许多个区间——只看一个区间时，就退化成一致连续，康托尔函数也满足，无法排除它。

小结与自测

小结本页小结

绝对连续：任何总长度 $< δ$ 的有限个不交区间， $F$ 的总增量 $< ε 。$ 它比连续、一致连续都强。
勒贝格 FTC：绝对连续 ⟺ 是可积函数的不定积分；此时 $F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} F^{'} 。$
定理 17： $X$ 有密度 ⟺ $F_{X}$ 绝对连续，且 $f_{X} = F_{X}^{'}$ 几乎处处。
有跳跃 ⇒ 不连续 ⇒ 没有密度；康托尔函数连续但不绝对连续 ⇒ 也没有密度。

自测

1. $F (x) = x^{2}$ （ $0 \leq x \leq 1 ），$ $x < 0$ 时为 0， $x > 1$ 时为 1。它是某个随机变量的 CDF 吗？有密度吗？密度是什么？

点开看答案

单调不减、右连续、两端为 0 和 1，是 CDF。在 $[0, 1]$ 上 $∣ F (b) - F (a) ∣ = (b + a) (b - a) \leq 2 (b - a) ，$ 取 $δ = ε /2$ 即绝对连续，所以有密度 $f (x) = F^{'} (x) = 2 x$ （ $0 < x < 1 ），$ 其余为 0。验证： $\int_{0}^{1} 2 x d x = 1 。$

2. 判断：若 CDF 在每一点都连续，则随机变量一定有密度。

点开看答案

错误。连续只保证没有原子。康托尔分布的 CDF 处处连续，却没有密度（概率全部集中在测度为 0 的康托尔集上）。

3. 设 $X$ 有密度 $f 。$ 用定义说明 $P (X = c) = 0$ 对每个 $c$ 成立。

点开看答案

$P (X = c) = \int_{{c}} f (x) d x 。$ 单点 ${c}$ 的勒贝格测度为 0，非负函数在零测集上的积分为 0（第 43 页零支撑原则），所以 $P (X = c) = 0 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
Radon–Nikodym 导数	Radon–Nikodym derivative	Q ≪ P 时存在 L = dQ/dP ≥ 0，使 Q(A) = ∫_A L dP；它是「换测度的密度」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
康托尔集	Cantor set	反复挖掉中间三分之一得到的集合：不可数，但长度为 0。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。