34 只要可测，就能用递增的简单函数逼近 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

对任何非负可测函数 $f ，$ 都能写出一列具体的台阶 $s_{1} \leq s_{2} \leq s_{3} \leq \dots ，$ 在每个点上从下方一步步爬到 $f 。$ 做法很朴素：把 $f$ 的值截到不超过 $n ，$ 再向下取整到 $2^{- n}$ 的整数倍。

上一页第 33 页把 $\int f$ 定义成「所有下方台阶的积分的上确界」。可「所有台阶」太多了，没法一个个检查。
本页（定理 29）说：只要 $f$ 可测（不需要连续、不需要有界），就能造出一列递增的台阶 $s_{n} ↑ f 。$ 标题里的 alone（仅仅）强调的就是：可测这一个条件就够了。
这就是第 33 页板书里预告的 $s_{n} 。$ 有了它，自然要问： $\int s_{n}$ 会不会递增地趋于 $\int f ？$ 老师在板书最后提出了这个问题，答案是第 5 部分的第一个大定理——单调收敛定理（第 36 页）。
这是第 4 部分「勒贝格积分」的最后一页，下一页第 35 页是第 5 部分的路线图。

先补基础

基础补课数列的极限与「递增收敛」↑

数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ 收敛到 $L$ （记 $a_{n} \to L ）：$ 只要 $n$ 足够大， $a_{n}$ 和 $L$ 的距离可以小于任意给定的正数 $ε 。$ 例： $a_{n} = 1 - \frac{1}{n} \to 1 。$
$a_{n} \to + \infty ：$ 只要 $n$ 足够大， $a_{n}$ 可以超过任意给定的大数。例： $a_{n} = n \to \infty 。$
递增（单调不减）： $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \dots 。$ 注意允许相等，例如 $0, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \dots$ 也算递增。
$a_{n} ↑ L ：$ 数列递增并且收敛到 $L 。$ 递增数列总有极限（有界时是它的上确界，无界时是 $+ \infty ），$ 而且极限就是 $sup_{n} a_{n} 。$
函数列逐点递增收敛 $s_{n} ↑ f$ （pointwise）：对每个固定的点 $x ，$ 数列 $s_{1} (x), s_{2} (x), \dots$ 递增并收敛到 $f (x) 。$

基础补课二进网格 2⁻ⁿ 与向下取整

$2^{- n} = \frac{1}{2 ^{n}} ：$ $n = 1, 2, 3$ 时是 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8} 。$ 「二进」（dyadic）就是以 2 为底的意思。
$2^{- n}$ 的整数倍 $0, 2^{- n}, 2 \cdot 2^{- n}, \dots$ 在数轴上排成一张等距网格。 $n$ 每加 1，格子一分为二，旧网格的点都还在新网格里（例如 $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} ）。$
向下取整 $⌊ y ⌋ ：$ 不超过 $y$ 的最大整数。 $⌊ 2.7 ⌋ = 2 ，$ $⌊ 3 ⌋ = 3 ，$ $⌊ 0.4 ⌋ = 0 。$
「 $y$ 向下取整到 $2^{- n}$ 的倍数」就是 $2^{- n} ⌊ 2^{n} y ⌋ ：$ 在网格上找不超过 $y$ 的最近格点。例： $y = 0.7 ，$ $n = 2 ：$ $2^{2} \cdot 0.7 = 2.8 ，$ $⌊ 2.8 ⌋ = 2 ，$ 结果是 $\frac{2}{4} = 0.5 。$ 它和 $y$ 的差满足 $0 \leq y - 2^{- n} ⌊ 2^{n} y ⌋ < 2^{- n} 。$

基础补课截断 f ∧ n

$f \land n = min (f, n) ：$ 把 $f$ 高于 $n$ 的部分削平成 $n$ （记号 $\land$ 见第 33 页）。例： $f (x) = 5$ 时， $f \land 3 = 3 ，$ $f \land 7 = 5 ；$ $f (x) = + \infty$ 时， $f \land n = n 。$

课件原文逐句精读

课件原文Considering increasing sequence of functions

Considering increasing sequence of functions.

Theorem 29 If $f : S \to [0, \infty]$ is measurable, there are nonnegative measurable simple functions $s_{n}$ such that $s_{n} ↑ f$ pointwise.

中文翻译

考虑递增的函数列。

定理 29 若 $f : S \to [0, \infty]$ 可测，则存在非负可测简单函数 $s_{n} ，$ 使得 $s_{n}$ 逐点递增收敛到 $f 。$

Considering increasing sequence of functions：从这里开始，主角从「单个台阶」换成「一列越来越高的台阶」。
measurable（老师在 measurable simple functions 下画了线）：条件和结论里都出现了「可测」。条件里 $f$ 可测，结论里每个 $s_{n}$ 也可测——下面会看到，前者正是后者的原因。
$s_{n} ↑ f$ pointwise：在每个点上， $s_{n} (x)$ 递增并趋于 $f (x) ；$ 包括 $f (x) = + \infty$ 的点，那里 $s_{n} (x) \to + \infty 。$

定理 29（可测函数的递增简单逼近）

若 $f : S \to [0, \infty]$ 可测，则存在非负可测简单函数列 $s_{1} \leq s_{2} \leq \dots ，$ 使得对每个 $x \in S ，$ $s_{n} (x) ↑ f (x) 。$

Canonical dyadic approximation｜标准的二进逼近

课件原文Canonical dyadic approximation

Define

s_{n} := 2^{- n} k = 1 \sum n 2^{n} 1_{{f \geq k 2^{- n}}} .

At each point, $s_{n}$ is $f \land n$ rounded down to the nearest multiple of $2^{- n}$ .

中文翻译

标准的二进逼近 定义 $s_{n} = 2^{- n} \sum_{k = 1}^{n 2^{n}} 1_{{f \geq k 2^{- n}}} 。$ 在每个点上， $s_{n}$ 就是 $f \land n$ 向下取整到 $2^{- n}$ 的最近整数倍。

这个公式要从两个角度看懂。

角度一：数格子（公式怎么算）。 固定一个点 $x 。$ 求和式里的第 $k$ 项 $1_{{f \geq k 2^{- n}}} (x)$ 在「 $f (x) \geq k 2^{- n} 」$ 时为 1，否则为 0。所以

s_{n} (x) = 2^{- n} \times # {k \in {1, 2, \dots, n 2^{n}} : k 2^{- n} \leq f (x)},

即「 $f (x)$ 下方（含恰好等于）有几个网格点 $2^{- n}, 2 \cdot 2^{- n}, \dots ，$ 每个贡献 $2^{- n} 」。$ $k$ 最多到 $n 2^{n} ，$ 对应的网格点是 $n 2^{n} \cdot 2^{- n} = n ，$ 所以最多数到高度 $n 。$

角度二：取整（课件的解释）。

若 $f (x) < n ：$ 满足 $k 2^{- n} \leq f (x)$ 的正整数 $k$ 恰好是 $1, 2, \dots, ⌊ 2^{n} f (x)⌋ ，$ 一共 $⌊ 2^{n} f (x)⌋$ 个，所以 $s_{n} (x) = 2^{- n} ⌊ 2^{n} f (x)⌋ ：$ $f (x)$ 向下取整到网格上。
若 $f (x) \geq n$ （包括 $f (x) = \infty ）：$ 所有 $k = 1, \dots, n 2^{n}$ 都满足， $s_{n} (x) = 2^{- n} \cdot n 2^{n} = n ：$ 被截在高度 $n$ 。

两种情况合起来就是 $s_{n} = 2^{- n} ⌊ 2^{n} (f \land n)⌋ ，$ 正是「 $f \land n$ 向下取整到 $2^{- n}$ 的倍数」。老师在 $s_{n} 、$ $f \land n$ 下画双线、圈出 $2^{- n} ，$ 就是在点明这三个要素：逼近函数、截断、网格大小。

为什么要截断 $\land n ？$ 如果不截断， $2^{- n} ⌊ 2^{n} f ⌋$ 在 $f$ 无界时会取无穷多个值（比如 $f (x) = x$ 在 $[0, \infty)$ 上），就不是简单函数了；在 $f = \infty$ 的点上更是没法取整。截在 $n$ 之后， $s_{n}$ 只取 $0, 2^{- n}, 2 \cdot 2^{- n}, \dots, n$ 这 $n 2^{n} + 1$ 个值。而随着 $n$ 增大，截断高度也在升高，所以最终不会丢掉任何高度。

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

在定理 29 的 measurable simple functions 下画线。
在 At each point… 一句中， $s_{n}$ 和 $f \land n$ 下画双线， $2^{- n}$ 被圈出。
We check:
1. ${f \geq k 2^{- n}}$ is measurable, sum is finite, $s_{n}$ is simple are measurable.（are 应为 and： $s_{n}$ 是简单的且可测。）
2. Increasing gives $0 \leq s_{n} \leq s_{n + 1} \leq f$
3. If $f (x) < \infty$ , we have $0 < f (x) - s_{n} (x) < 2^{- n}$ .
If $f (x) = \infty$ , then $s_{n} (x) = n$ .
Hence, $s_{n} ↑ f$ p.w. For every $x \in R$ , can we have $\int s_{n} (x) d μ ↑ \int f (x) d μ$ ?

老师分三条检验定理 29 的结论，最后提出一个问题。逐条讲：

第 1 条： $s_{n}$ 是可测的简单函数。

${f \geq k 2^{- n}}$ 可测： $f$ 可测，由第 29 页的等价检验， ${f \geq a}$ 对每个实数 $a$ 都可测，取 $a = k 2^{- n}$ 即可。这里用到了 $f$ 可测，也只用到了这一点。
于是每个 $1_{{f \geq k 2^{- n}}}$ 是可测的示性函数（第 29 页例 3）。
sum is finite：一共 $n 2^{n}$ 项，有限和。由第 32 页，非负系数的有限线性组合仍是非负简单函数。所以 $s_{n}$ 简单且可测。

第 2 条：递增，且不超过 $f 。$ $0 \leq s_{n} \leq s_{n + 1} \leq f$ 包含三件事，证明见「推导」一节：

$s_{n} \geq 0 ：$ 它是非负项之和；
$s_{n} \leq f ：$ 向下取整不会超过原数，截断也不会超过原数，所以 $s_{n} \leq f \land n \leq f ；$
$s_{n} \leq s_{n + 1} ：$ 网格变细一倍、截断高度升高 1，取整结果只会上升或不变。

第 3 条：收敛。 分两种点：

$f (x) < \infty ：$ 老师写的是 $0 < f (x) - s_{n} (x) < 2^{- n} 。$ 这里有两处需要修正：（a）左边应为 $\leq ，$ 因为当 $f (x)$ 恰好是网格点时误差为 0，例如 $f (x) = \frac{1}{2} 、$ $n \geq 1$ 时 $s_{n} (x) = \frac{1}{2} ；$ （b）这个误差估计只在 $n > f (x)$ 时成立—— $n \leq f (x)$ 时 $s_{n} (x) = n ，$ 误差 $f (x) - n$ 可能很大（例如 $f (x) = 10 ，$ $s_{1} (x) = 1 ，$ 误差为 9）。正确的说法是：当 $n > f (x)$ 时， $0 \leq f (x) - s_{n} (x) < 2^{- n} 。$ 因为 $f (x)$ 是有限数， $n$ 迟早会超过它，此后误差小于 $2^{- n} \to 0 ，$ 所以 $s_{n} (x) \to f (x) 。$
$f (x) = \infty ：$ 对每个 $n$ 都有 $f (x) \geq n ，$ 所以 $s_{n} (x) = n \to \infty = f (x) 。$

第 4 条：提出新问题。 Hence（因此） $s_{n} ↑ f$ p.w.（pointwise，逐点）。老师接着问：函数逐点递增趋于 $f ，$ 那么积分是否也递增趋于 $\int f$ ？（板书写的 for every $x \in R$ 是指「在每个点上都有 $s_{n} (x) ↑ f (x) 」；$ 积分里写成 $s_{n} (x) 、$ $f (x)$ 只是把自变量标了出来。）

已经能说的部分：每个 $s_{n} \in S_{f} ，$ 所以 $\int s_{n} \leq \int f ；$ 又由第 32 页的单调性 $\int s_{n} \leq \int s_{n + 1} 。$ 所以 $\int s_{n}$ 递增、有极限，并且极限 $\leq \int f 。$
还不能说的部分：极限是否等于 $\int f ？$ $\int f$ 是所有下方台阶的上确界，而我们只用了一列特殊的台阶，会不会有别的台阶比这一列都高出一截？这正是单调收敛定理（第 36 页、第 37 页）要证明的：不会，等号成立。

图解

图解：水平切层——二进逼近的几何图像（借用第 26 页右图）

这张图来自第 26 页，画的正是本页公式的几何意义：

曲线是 $f$ 的图像，虚线是一排等距的水平线，高度分别是 $2^{- n}, 2 \cdot 2^{- n}, 3 \cdot 2^{- n}, \dots$ （二进网格）。
每条水平线和曲线交于两个圆点。两个圆点之间的线段，就是集合 ${f \geq k 2^{- n}}$ ——曲线高于第 $k$ 条线的那些点。在这个驼峰形的例子里它是一个区间；对一般的可测函数，它可以是任意可测集（这正是勒贝格的「底座换成可测集」）。
相邻两条线之间涂色的那一层，厚度是 $2^{- n} ，$ 底座是 ${f \geq k 2^{- n}} 。$ 一层的面积 = 厚度 × 底座的测度 $= 2^{- n} μ ({f \geq k 2^{- n}}) 。$ （图中下面几层涂绿色、上面几层涂蓝色，只是为了让层次看得清楚，课件没有赋予颜色别的含义。）
把所有层叠起来，就是台阶函数 $s_{n} = 2^{- n} \sum_{k} 1_{{f \geq k 2^{- n}}} ；$ 由第 32 页的线性和推论 24，它的积分就是各层面积之和： $\int s_{n} d μ = 2^{- n} k = 1 \sum n 2^{n} μ ({f \geq k 2^{- n}}) .$
最顶上那一小块（最高水平线以上、曲线以下）没有被任何一层盖住，这就是误差。 $n$ 加 1，水平线加密一倍，漏掉的部分越来越少。

所以二进逼近就是「横着切片、按层求和」，与黎曼积分的「竖着切条」形成对照。

例子

例 1：f(x) = x 在 [0,1] 上，写出 s₁、s₂、s₃ 的每一级台阶

$f \leq 1 ，$ 所以对 $n \geq 1$ 截断 $\land n$ 不起作用， $s_{n} (x) = 2^{- n} ⌊ 2^{n} x ⌋ 。$

函数	台阶（区间：取值）	积分
$s_{1}$	$[0, \frac{1}{2}) ：$ $0 ；$ $[\frac{1}{2}, 1) ：$ $\frac{1}{2} ；$ ${1} ：$ $1$	$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
$s_{2}$	$[0, \frac{1}{4}) ：$ $0 ；$ $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) ：$ $\frac{1}{4} ；$ $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}) ：$ $\frac{1}{2} ；$ $[\frac{3}{4}, 1) ：$ $\frac{3}{4} ；$ ${1} ：$ $1$	$\frac{0 + 1 + 2 + 3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$
$s_{3}$	$[\frac{k}{8}, \frac{k + 1}{8}) ：$ $\frac{k}{8}$ （ $k = 0, 1, \dots, 7 ）；$ ${1} ：$ $1$	$\frac{0 + 1 + \dots + 7}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{28}{64} = \frac{7}{16}$

（单点 ${1}$ 的长度为 0，对积分没有贡献。）

用公式核对 $s_{1} ：$ $s_{1} = \frac{1}{2} (1_{{x \geq \frac{1}{2}}} + 1_{{x \geq 1}}) = \frac{1}{2} 1_{[\frac{1}{2}, 1]} + \frac{1}{2} 1_{{1}} 。$ 在 $[\frac{1}{2}, 1)$ 上是 $\frac{1}{2} ，$ 在 $x = 1$ 处是 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 ，$ 和表中一致。

积分 $\frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{7}{16}$ 就是 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2 ^{n + 1}} ，$ 递增趋于 $\frac{1}{2} = \int_{0}^{1} x d x$ （与第 33 页例 1 一致）。

在一个固定点上看：取 $x = 0.7 。$

$n$	$2^{n} \cdot 0.7$	向下取整	$s_{n} (0.7)$	误差 $0.7 - s_{n} (0.7)$	误差上界 $2^{- n}$
1	1.4	1	0.5	0.2	0.5
2	2.8	2	0.5	0.2	0.25
3	5.6	5	0.625	0.075	0.125
4	11.2	11	0.6875	0.0125	0.0625
5	22.4	22	0.6875	0.0125	0.03125

数列 $0.5, 0.5, 0.625, 0.6875, 0.6875, \dots$ 递增（有时原地不动），误差始终小于 $2^{- n} ，$ 趋于 0。

例 2：f(x) = x² 在 [0,1] 上——台阶的底座不再等宽

这次用「切层」公式算积分。 ${x^{2} \geq c} = [c, 1]$ （ $0 \leq c \leq 1 ），$ 长度 $1 - c 。$

$n = 1 ：$ $s_{1} = \frac{1}{2} (1_{{x^{2} \geq \frac{1}{2}}} + 1_{{x^{2} \geq 1}}) 。$ 台阶： $[0, \frac{2}{2})$ 上为 0， $[\frac{2}{2}, 1)$ 上为 $\frac{1}{2} ，$ $x = 1$ 处为 1。积分 $\frac{1}{2} [(1 - 0.5) + (1 - 1)] \approx \frac{1}{2} \times 0.2929 \approx 0.146 。$
$n = 2 ：$ 层高 $\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, 1 ，$ 底座 $[\frac{1}{2}, 1] 、$ $[\frac{2}{2}, 1] 、$ $[\frac{3}{2}, 1] 、$ ${1} 。$ 台阶： $[\frac{1}{2}, 0.707)$ 上为 $\frac{1}{4} ，$ $[0.707, 0.866)$ 上为 $\frac{1}{2} ，$ $[0.866, 1)$ 上为 $\frac{3}{4} 。$ 积分 $\frac{1}{4} [0.5 + 0.2929 + 0.1340 + 0] \approx 0.232 。$
$n = 3 ：$ $\int s_{3} = \frac{1}{8} \sum_{k = 1}^{8} (1 - k /8) \approx \frac{1}{8} \times 2.235 \approx 0.279 。$

$0.146, 0.232, 0.279, \dots$ 递增趋向 $\frac{1}{3} \approx 0.333 = \int_{0}^{1} x^{2} d x 。$ 注意底座的分界点 $\frac{2}{2} 、$ $\frac{3}{2}$ 不是等距的：台阶按函数值等分，底座随函数形状而定，这就是「按值域切」的效果。

例 3：截断在起作用——无界函数和取 ∞ 的点

（1）在 $[0, \infty)$ 上取 $f (x) = x ，$ 看点 $x = 5 ：$ $s_{1} (5) = 1 ，$ $s_{2} (5) = 2 ，$ $s_{3} (5) = 3 ，$ $s_{4} (5) = 4 ，$ $s_{5} (5) = 5 ，$ $s_{6} (5) = 5, \dots 。$ 前几步被截在高度 $n ，$ 从 $n = 5$ 起就一直等于 5。

（2）在 $[0, 1]$ 上取 $f (x) = 1/ x ，$ $f (0) = \infty ：$ $s_{n} (0) = n \to \infty = f (0) ，$ 这就是板书第 3 条的第二种情况。

（3）如果不截断： $2^{- 1} ⌊ 2 x ⌋$ 在 $[0, \infty)$ 上取值 $0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots ，$ 有无穷多个，不是简单函数。截断保证了「简单」，递增的截断高度保证了「不丢高度」。

例子反例：网格不嵌套时，递增会失败

如果用 $\frac{1}{n}$ 的网格代替 $2^{- n} ，$ 即 $t_{n} = \frac{1}{n} ⌊ n (f \land n)⌋ ，$ 看 $f (x) = \frac{1}{2} ：$ $t_{2} = \frac{1}{2} ⌊ 1 ⌋ = \frac{1}{2} ，$ 而 $t_{3} = \frac{1}{3} ⌊ 1.5 ⌋ = \frac{1}{3} < \frac{1}{2} 。$ 数列下降了。原因是 $\frac{1}{3}$ 的网格不包含 $\frac{1}{2}$ 这个点。二进网格每次一分为二，新网格包含旧网格，向下取整才只升不降。

动手试一试动手试一试：台阶一级一级往上长

拖动 $n ：$ 橙色台阶就是 $s_{n} ，$ 蓝色曲线是 $f 。$ 观察三件事：①台阶高度只能是 $2^{- n}$ 的整数倍；②灰色虚线是截断高度 $y = n ，$ $f$ 高于它的部分被削平（选 $1/ x$ 时最明显）；③ $n$ 每加 1，台阶只会升高、不会降低，所以 $s_{1} \leq s_{2} \leq \dots ，$ 并且下方显示的 $\int s_{n}$ 一路增大、逼近 $\int f$ ——这正是后面用单调收敛定理（第 36 页）的前提。

推导：一步一步来

推导证明思路

用取整形式 $s_{n} = 2^{- n} ⌊ 2^{n} (f \land n)⌋$ 逐点验证。可测性来自 ${f \geq k 2^{- n}}$ 可测；递增来自「网格嵌套 + 截断高度上升」；收敛来自「误差小于一格」。

固定一个点 $x ，$ 记 $y = f (x) \in [0, \infty] 。$

第 1 步：取整公式。 若 $y < n ，$ 满足 $k 2^{- n} \leq y$ 的正整数 $k$ 是 $1, \dots, ⌊ 2^{n} y ⌋$ （因为 $⌊ 2^{n} y ⌋ \leq 2^{n} y < n 2^{n} ，$ 这些 $k$ 都在求和范围内），所以 $s_{n} (x) = 2^{- n} ⌊ 2^{n} y ⌋ 。$ 若 $y \geq n ，$ 全部 $n 2^{n}$ 个 $k$ 都满足， $s_{n} (x) = n 。$

第 2 步： $0 \leq s_{n} (x) \leq y 。$ 若 $y < n ，$ $⌊ 2^{n} y ⌋ \leq 2^{n} y ，$ 两边乘 $2^{- n}$ 得 $s_{n} (x) \leq y ；$ 若 $y \geq n ，$ $s_{n} (x) = n \leq y 。$ 非负性来自各项非负。

第 3 步： $s_{n} (x) \leq s_{n + 1} (x) 。$ 分三种情况：

$y \geq n + 1 ：$ $s_{n} (x) = n < n + 1 = s_{n + 1} (x) 。$
$n \leq y < n + 1 ：$ $s_{n} (x) = n 。$ 而 $2^{n + 1} n$ 是整数且 $\leq 2^{n + 1} y ，$ 所以 $⌊ 2^{n + 1} y ⌋ \geq 2^{n + 1} n ，$ 即 $s_{n + 1} (x) \geq n 。$
$y < n ：$ 记 $m = ⌊ 2^{n} y ⌋ ，$ 则 $m \leq 2^{n} y ，$ 所以 $2 m \leq 2^{n + 1} y 。$ $2 m$ 是不超过 $2^{n + 1} y$ 的整数，而 $⌊ 2^{n + 1} y ⌋$ 是最大的这样的整数，所以 $⌊ 2^{n + 1} y ⌋ \geq 2 m 。$ 于是 $s_{n + 1} (x) = 2^{- (n + 1)} ⌊ 2^{n + 1} y ⌋ \geq 2^{- (n + 1)} \cdot 2 m = 2^{- n} m = s_{n} (x) 。$

第 4 步：收敛。

$y < \infty ：$ 取 $n > y ，$ 由第 1 步 $s_{n} (x) = 2^{- n} ⌊ 2^{n} y ⌋ ，$ 而 $⌊ 2^{n} y ⌋ \leq 2^{n} y < ⌊ 2^{n} y ⌋ + 1 ，$ 两边乘 $2^{- n}$ 得 $s_{n} (x) \leq y < s_{n} (x) + 2^{- n} ，$ 即 $0 \leq y - s_{n} (x) < 2^{- n} 。$ $n \to \infty$ 时 $2^{- n} \to 0 ，$ 所以 $s_{n} (x) \to y 。$
$y = \infty ：$ 每个 $n$ 都有 $y \geq n ，$ $s_{n} (x) = n \to \infty 。$

第 5 步：可测、简单（板书第 1 条）已在上面讲过。

综合： $s_{n}$ 是非负可测简单函数，且在每个点上 $s_{n} (x) ↑ f (x) ，$ 定理 29 得证。

补充：有界时误差是「一致」的

若 $f \leq M$ （ $M$ 是某个常数），那么当 $n > M$ 时，每个点上都有 $0 \leq f (x) - s_{n} (x) < 2^{- n} ，$ 误差上界与 $x$ 无关，这叫一致收敛。无界时就不一定了：例 3（1）中，对固定的 $n ，$ 总有点 $x > n$ 使误差 $x - n$ 任意大。定理 29 只保证逐点收敛，而逐点收敛已经够单调收敛定理使用。

常见疑问与易错点

易错点问：定理 29 需要 f 连续或有界吗？

答：都不需要。唯一用到的是 ${f \geq k 2^{- n}}$ 可测，也就是 $f$ 可测。反过来，第 36 页的板书会证明：可测函数列的逐点递增极限仍然可测。所以对非负函数，「可测」恰好等于「能被可测简单函数从下方递增逼近」。

易错点问：递增逼近意味着 s_n 每一步都严格变大吗？

答：不是。「递增」允许相等：例 1 中 $s_{1} (0.7) = s_{2} (0.7) = 0.5 ，$ $s_{4} (0.7) = s_{5} (0.7) = 0.6875 。$ 在网格点上（如 $f (x) = \frac{1}{2} ），$ 从某一步起 $s_{n} (x)$ 就一直等于 $f (x) ，$ 误差恰好是 0。这也是板书 $0 < f (x) - s_{n} (x)$ 应改成 $\leq$ 的原因。

易错点问：有了 s_n ↑ f，是不是马上就有 ∫s_n ↑ ∫f？

答：目前只能证明 $lim \int s_{n} \leq \int f$ （见板书第 4 条的讲解）。等号成立需要单调收敛定理，它的证明（第 36 页、第 37 页）要用到测度的从下连续性（第 13 页）。要当心：逐点收敛本身并不保证积分收敛，第 39 页会给出反例；单调性在这里是关键。

易错点问：为什么叫「canonical」（标准的）逼近？

答：因为它是一个固定的公式，不需要做任何选择：给定 $f ，$ $s_{n}$ 就唯一确定。这样的具体构造在证明中非常方便，比如第 38 页证明积分的可加性时，就直接取 $f 、$ $g$ 的二进逼近。

小结与自测

小结本页小结

定理 29：每个非负可测函数 $f$ 都是一列非负可测简单函数的逐点递增极限： $s_{n} ↑ f 。$
二进逼近 $s_{n} = 2^{- n} \sum_{k = 1}^{n 2^{n}} 1_{{f \geq k 2^{- n}}} ：$ 先截断 $f \land n ，$ 再向下取整到 $2^{- n}$ 的倍数。
三条检验：可测简单（因为 ${f \geq k 2^{- n}}$ 可测）； $0 \leq s_{n} \leq s_{n + 1} \leq f$ （网格嵌套、截断上升）； $n > f (x)$ 时误差 $< 2^{- n} ，$ $f (x) = \infty$ 时 $s_{n} (x) = n 。$
几何图像：横着切层， $\int s_{n} = 2^{- n} \sum_{k} μ ({f \geq k 2^{- n}}) 。$
留下的问题： $\int s_{n} ↑ \int f$ 吗？答案见单调收敛定理（第 36 页）。

自测

1. $f (x) = x$ 在 $[0, 1]$ 上，求 $s_{1} (0.3) 、$ $s_{2} (0.3) 、$ $s_{3} (0.3) 、$ $s_{5} (0.3) 。$

点开看答案

$s_{n} (0.3) = 2^{- n} ⌊ 2^{n} \times 0.3 ⌋ 。$ $n = 1 ：$ $⌊ 0.6 ⌋ = 0 ，$ 得 0； $n = 2 ：$ $⌊ 1.2 ⌋ = 1 ，$ 得 $0.25 ；$ $n = 3 ：$ $⌊ 2.4 ⌋ = 2 ，$ 得 $0.25 ；$ $n = 5 ：$ $⌊ 9.6 ⌋ = 9 ，$ 得 $\frac{9}{32} = 0.28125 。$ 数列递增，误差都小于 $2^{- n} 。$

2. 设 $f$ 恒等于 5。写出 $s_{1}, \dots, s_{6}$ 的值，并说明从哪一步起 $s_{n} = f 。$

点开看答案

5 是每个 $2^{- n}$ 的整数倍，所以取整不改变它， $s_{n} = 5 \land n ：$ $s_{1} = 1 ，$ $s_{2} = 2 ，$ $s_{3} = 3 ，$ $s_{4} = 4 ，$ $s_{5} = 5 ，$ $s_{6} = 5 。$ 从 $n = 5$ 起 $s_{n} = f 。$ 前几步的误差来自截断，而不是取整。

3. 在 $([0, 2], B, Leb)$ 上取 $f (x) = x 。$ 用切层公式 $\int s_{1} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{2} Leb ({f \geq \frac{k}{2}})$ 计算 $\int s_{1} ，$ 再直接按台阶核对。

点开看答案

${x \geq \frac{1}{2}} = [\frac{1}{2}, 2] ，$ 长度 $1.5 ；$ ${x \geq 1} = [1, 2] ，$ 长度 $1 。$ 所以 $\int s_{1} = \frac{1}{2} (1.5 + 1) = 1.25 。$ 直接看台阶： $s_{1} = f \land 1$ 向下取整到 $\frac{1}{2}$ 的倍数，在 $[0, \frac{1}{2})$ 上为 0， $[\frac{1}{2}, 1)$ 上为 $\frac{1}{2} ，$ $[1, 2]$ 上为 1（被截断）。积分 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot 1 = 1.25 ，$ 一致。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
一致收敛	uniform convergence	所有点上的最大差距 supₓ \|fₙ(x) − f(x)\| → 0。比逐点收敛强：不允许某些点收敛得特别慢。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
从下连续	continuity from below	集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。