18 康托尔集及其二进编码：不可数，长度却为 0 · 第2讲

这一页在讲什么

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从 $[0, 1]$ 开始，一遍遍挖掉每段中间的三分之一，剩下的点组成康托尔集 $C 。$ 它的总长度是 0，却有不可数多个点——因为每个点都对应一串 0/1 的无穷序列（这就是标题里的「二进编码」）。

位置：第 2 部分，为下一页的反例做准备。第 17 页说「有密度 ⟺ CDF 绝对连续」；第 19 页要造一个 CDF 连续、却没有密度的分布，它需要一个「点多到不可数、长度却为 0」的集合来存放全部概率——康托尔集正好合适。
要澄清的误解：直觉上「长度为 0 的集合，点很少（可数个）」。康托尔集说明这是错的：零测集可以不可数。
第 1 讲的回顾：可数集一定是零测集（第 17 页、第 23 页）；本页给出反方向的反例。

先补基础

基础补课三进制小数

就像十进制小数 $0. d_{1} d_{2} d_{3} \dots$ 表示 $\sum_{k} d_{k} 1 0^{- k} ，$ 三进制小数 $0. t_{1} t_{2} t_{3} \dots_{(3)}$ （每个 $t_{k} \in {0, 1, 2} ）$ 表示

x = k \geq 1 \sum \frac{t _{k}}{3 ^{k}} = \frac{t _{1}}{3} + \frac{t _{2}}{9} + \frac{t _{3}}{27} + \dots .

第一位 $t_{1}$ 告诉你 $x$ 在 $[0, 1]$ 的哪个三分之一里： $t_{1} = 0$ 在 $[0, \frac{1}{3}] ，$ $t_{1} = 1$ 在 $[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] ，$ $t_{1} = 2$ 在 $[\frac{2}{3}, 1] 。$
例： $\frac{1}{3} = 0.1000 \dots_{(3)} = 0.0222 \dots_{(3)}$ （和十进制的 $0.1 = 0.0999 \dots$ 一样，有些数有两种写法）； $\frac{1}{4} = 0.020202 \dots_{(3)}$ （因为 $\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{1 - 1/9} = \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{8} = \frac{1}{4} ）。$

基础补课二进制与 0/1 序列

二进制小数 $0. b_{1} b_{2} b_{3} \dots_{(2)} = \sum_{k} b_{k} 2^{- k}$ （ $b_{k} \in {0, 1} ）$ 能表示 $[0, 1]$ 里的每个数。所有无穷 0/1 序列 $(b_{1}, b_{2}, \dots)$ 组成的集合记作 ${0, 1}^{N} 。$ 它是不可数的（第 7 页的无穷次抛硬币就是它；对角线论证见那一页的「展开」卡片，或基础补课 · 可数与不可数）。

基础补课闭集

「闭集」可以简单理解为「包含了自己所有边界点」的集合，例如闭区间 $[a, b] 。$ 闭集的交仍是闭集，有限个闭区间的并也是闭集。闭集都是博雷尔集，所以可以谈测度。

课件原文逐句精读

课件原文The Cantor set and its binary encoding

Definition 18 (Middle-thirds Cantor set) Start with $C_{0} = [0, 1]$ . To obtain $C_{n + 1}$ , delete the open middle third of every interval in $C_{n}$ , keeping all endpoints. Thus

C_{1} C_{2} = [0, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, 1], = [0, \frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, \frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9}, 1] .

Define $C := ⋂_{n \geq 0} C_{n}$ . Each $C_{n}$ contains $2^{n}$ disjoint closed intervals of length $3^{- n}$ . Hence $C$ is closed, and

0 \leq Leb (C) \leq Leb (C_{n}) = (2/3)^{n} \to 0.

中文翻译

定义 18（三分康托尔集） 从 $C_{0} = [0, 1]$ 开始。要得到 $C_{n + 1} ，$ 就把 $C_{n}$ 中每个区间的开的中间三分之一删掉，保留所有端点。于是 $C_{1} = [0, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, 1] ，$ $C_{2} = [0, \frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, \frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9}, 1] 。$

定义 $C := ⋂_{n \geq 0} C_{n} 。$ 每个 $C_{n}$ 由 $2^{n}$ 个互不相交、长度为 $3^{- n}$ 的闭区间组成。因此 $C$ 是闭集，并且 $0 \leq Leb (C) \leq Leb (C_{n}) = (2/3)^{n} \to 0 。$

（后面的「二进编码」课件留白，见下一节。）

delete the open middle third, keeping all endpoints｜每一步做什么

open middle third（开的中间三分之一）：从 $[0, 1]$ 删掉 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) ，$ 不含端点 $\frac{1}{3}, \frac{2}{3} ，$ 所以端点留下。
每一步，每个剩下的区间都一分为三、删掉中间那份、保留两边两份：区间个数翻倍，每段长度变成原来的 $\frac{1}{3} 。$

步数 $n$	区间个数	每段长度	总长度 $Leb (C_{n})$	这一步删掉的总长度
0	1	1	1	—
1	2	$1/3$	$2/3$	$1/3$
2	4	$1/9$	$4/9$	$2/9$
3	8	$1/27$	$8/27$	$4/27$
$n$	$2^{n}$	$3^{- n}$	$(2/3)^{n}$	$2^{n - 1} / 3^{n}$

Define C := ⋂ Cₙ｜康托尔集是什么

$C$ 是所有步都没被删掉的点。 $C_{0} \supseteq C_{1} \supseteq C_{2} \supseteq \dots$ 一层层缩小。
$C$ 是闭集：每个 $C_{n}$ 是有限个闭区间的并，是闭集；闭集的交还是闭集。
$Leb (C) = 0$ ： $C \subseteq C_{n} ，$ 测度单调（第 12 页），所以 $Leb (C) \leq (2/3)^{n}$ 对每个 $n$ 成立，只能是 0。（也可以用从上连续第 14 页： $Leb (C_{n}) ↓ Leb (C) 。）$
被删掉的总长度： $\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \dots = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - 2/3} = 1 ，$ 全部长度都被删光了。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

命题康托尔集的二进编码

三进制刻画： $x \in C$ 当且仅当 $x$ 有一个三进制展开 $x = \sum_{k \geq 1} t_{k} 3^{- k} ，$ 其中每一位 $t_{k} \in {0, 2}$ （不出现 1）。
与 0/1 序列一一对应：映射 $Φ : {0, 1}^{N} \to C, (b_{1}, b_{2}, \dots) \mapsto k \geq 1 \sum \frac{2 b _{k}}{3 ^{k}}$ 是双射（把三进制数字里的 2 换成 1，就得到二进制数字）。
因此 $C$ 不可数，但 $Leb (C) = 0 。$

推导证明思路

第 $k$ 步删掉的正是「第 $k$ 位三进制数字只能是 1」的那些点，所以留下来的点每一位都可以选 0 或 2；而「每一位二选一」的方式和 0/1 序列一样多。

第 1 步（第一位）： $x \in [0, 1]$ 的第一位三进制数字 $t_{1}$ 决定它在哪个三分之一里。删掉的开区间 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ 里的点，第一位只能是 1（没有别的写法）；留下的 $[0, \frac{1}{3}]$ 可以写成 $t_{1} = 0 ，$ $[\frac{2}{3}, 1]$ 可以写成 $t_{1} = 2 。$ 端点 $\frac{1}{3} = 0.0222 \dots_{(3)}$ 也能避开 1。所以 $x \in C_{1} ⟺$ 有一个展开使 $t_{1} \in {0, 2} 。$

第 2 步（逐位归纳）：在 $C_{1}$ 的每个小区间里重复同样的论证，第二位 $t_{2}$ 决定在这个小区间的哪个三分之一里，删掉的中间三分之一恰好是 $t_{2}$ 只能为 1 的点。一般地， $x \in C_{n} ⟺$ 有展开使 $t_{1}, \dots, t_{n} \in {0, 2} 。$ 对所有 $n$ 取交，就得到第 1 条。

第 3 步（双射）：

映射 $Φ$ 把 $(b_{k})$ 送到三进制数字为 $t_{k} = 2 b_{k} \in {0, 2}$ 的数，由第 1 条它落在 $C$ 里。
满射： $C$ 里每个点都有只含 0、2 的展开，令 $b_{k} = t_{k} /2$ 即可。
单射：两个只含 0、2 的不同序列，在第一个不同的位置 $k$ 上，一个是 0、一个是 2；后面所有位的差最多是 $\sum_{j > k} 2 \cdot 3^{- j} = 3^{- k} ，$ 而第 $k$ 位造成的差是 $2 \cdot 3^{- k} ，$ 所以两个数之差至少是 $2 \cdot 3^{- k} - 3^{- k} = 3^{- k} > 0 ，$ 两数不同。

第 4 步（不可数）： ${0, 1}^{N}$ 不可数， $Φ$ 是双射，所以 $C$ 不可数。 $■$

图解

图解：前三步挖去的区间

用数轴想象（每一行是一步，粗线是留下的部分）：

$C_{0} ：$ $[0, 1]$ 整条线。
$C_{1} ：$ $[0, \frac{1}{3}]$ 与 $[\frac{2}{3}, 1]$ 两段，中间的 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ 空了。
$C_{2} ：$ 四段 $[0, \frac{1}{9}] 、$ $[\frac{2}{9}, \frac{1}{3}] 、$ $[\frac{2}{3}, \frac{7}{9}] 、$ $[\frac{8}{9}, 1] ，$ 每段长 $\frac{1}{9} 。$
$C_{3} ：$ 八段，每段长 $\frac{1}{27} 。$

每往下一行，每段都「掰成两半、扔掉中间」。课件上没有画图，这张想象图就是定义 18 的全部内容。注意：留下来的点越来越「稀」，但永远不会被删光——每一步的端点永远留下。

例子

例 1：哪些点在康托尔集里？

$0 、$ $1 、$ $\frac{1}{3} 、$ $\frac{2}{3} 、$ $\frac{1}{9} 、$ $\frac{2}{9} \dots\dots：$ 所有步骤的端点都在 $C$ 里（它们从不被删掉），这样的点有可数多个。
$\frac{1}{4} = 0.020202 \dots_{(3)} ：$ 每一位都是 0 或 2，所以 $\frac{1}{4} \in C 。$ 但它不是任何一步的端点（端点都是 $\frac{m}{3 ^{n}}$ 的形式）。所以康托尔集里不只有端点。
$\frac{1}{2} = 0.1111 \dots_{(3)} ：$ 第一位就是 1，而且没有别的写法，所以 $\frac{1}{2} \in / C$ （它在第一步就被删掉了）。

例 2：用编码读出位置

序列 $b = (1, 0, 1, 0, \dots)$ （交替）对应 $x = Φ (b) = \frac{2}{3} + \frac{2}{27} + \frac{2}{243} + \dots = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - 1/9} = \frac{3}{4} 。$ 验证： $\frac{3}{4} = 0.2020 \dots_{(3)} ，$ 每一位都是 0 或 2，确实在 $C$ 里。读法：第 1 位是 1（二进制）→「走右边的三分之一」，第 2 位是 0 →「在其中走左边的三分之一」……编码就是一份「每一步往左还是往右」的路线图。

例 3：长度与点数的对比

集合	点的个数	勒贝格测度
有理数 $Q \cap [0, 1]$	可数	0
康托尔集 $C$	不可数	0
$[0, 1]$	不可数	1

所以「测度为 0」和「可数」不是一回事：可数 ⇒ 测度 0，但测度 0 ⇏ 可数。

常见疑问与易错点

易错点问：每一步都删掉了点，最后会不会什么都不剩？

答：不会。每一步删的是开区间，所有端点都永远保留，所以 $C$ 至少包含可数多个端点；由二进编码，它甚至有不可数多个点。「长度被删光」和「点被删光」是两回事。

易错点问：既然 C 的长度为 0，为什么它能「装下」不可数多个点？

答：长度是对集合的「宽度」的度量，不是对点数的计数。单个点长度为 0；可数多个点用 $ε / 2^{n}$ 的技巧也能盖住；康托尔集说明，即使不可数多个点，只要排列得足够「稀疏」，也能被总长度任意小的区间盖住（第 $n$ 步的 $2^{n}$ 段，总长 $(2/3)^{n} ）。$

易错点问：为什么编码要用 0 和 2，而不是 0 和 1？

答：三进制数字 1 恰好对应「被删掉的中间三分之一」，所以康托尔集里的点不用数字 1；剩下的两种选择 0、2 与二进制的 0、1 一一对应。这就是标题 binary encoding（二进编码）的意思。

小结与自测

小结本页小结

康托尔集 $C = ⋂_{n} C_{n} ：$ 每步删掉每段的开的中间三分之一； $C_{n}$ 有 $2^{n}$ 段、每段长 $3^{- n} 。$
$C$ 是闭集， $Leb (C) \leq (2/3)^{n} \to 0 ，$ 所以测度为 0；删掉的总长度恰好是 1。
二进编码： $x \in C ⟺$ 三进制展开只用 0 和 2；把 2 换成 1 得到与 ${0, 1}^{N}$ 的双射，所以 $C$ 不可数。
零测集可以不可数——这是下一页构造「连续但无密度」分布的关键。

自测

1. $C_{3}$ 有几段？总长度是多少？它比 $C_{2}$ 少了多长？

点开看答案

$2^{3} = 8$ 段，每段长 $\frac{1}{27} ，$ 总长度 $\frac{8}{27} 。$ $C_{2}$ 总长 $\frac{4}{9} = \frac{12}{27} ，$ 所以第 3 步删掉了 $\frac{4}{27} 。$

2. $\frac{1}{10}$ 在康托尔集里吗？（提示： $\frac{1}{10}$ 在 $[0, \frac{1}{9}]$ 吗？）

点开看答案

$\frac{1}{9} \approx 0.111 > \frac{1}{10} = 0.1 ，$ 所以 $\frac{1}{10} \in [0, \frac{1}{9}] ，$ 前两步都留下了。再看第 3 步： $[0, \frac{1}{9}]$ 被分成 $[0, \frac{1}{27}] 、$ $(\frac{1}{27}, \frac{2}{27}) 、$ $[\frac{2}{27}, \frac{1}{9}] ，$ 而 $\frac{1}{27} \approx 0.037 ，$ $\frac{2}{27} \approx 0.074 ，$ $0.1$ 落在 $[\frac{2}{27}, \frac{1}{9}] ，$ 留下。继续下去需要算三进制： $\frac{1}{10} = 0.00220022 \dots_{(3)}$ （循环节 0022），每一位都是 0 或 2，所以 $\frac{1}{10} \in C 。$

3. 判断：测度为 0 的集合一定只有可数多个点。

点开看答案

错误。康托尔集测度为 0，但通过二进编码与 ${0, 1}^{N}$ 一一对应，是不可数集。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
康托尔集	Cantor set	反复挖掉中间三分之一得到的集合：不可数，但长度为 0。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
从上连续	continuity from above	集合一层层变小（Eₙ ↓ E）且 μ(E₁) < ∞ 时，μ(Eₙ) → μ(E)。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。