23 凸函数在每一点都有支撑线 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

开区间上的（取实数值的）凸函数，在它图像上的每一个点，都能找到一条过这个点的直线，使整条图像都在这条直线的上方。这条直线叫支撑线。下一页的 Jensen 不等式，就是「对这条直线取期望」。

位置：第 4 部分「变换、乘积与和的界」的第一页。这一部分要控制三类期望：变换 $E φ (X) 、$ 乘积 $E ∣ X Y ∣ 、$ 和 $∥ X + Y ∥_{p} 。$ 本页是控制「变换」的工具。
为什么需要：随机变量 $X$ 代入一个弯曲的函数 $φ$ 后， $E φ (X)$ 很难直接算；但直线好算： $E [b + a X] = b + a E X 。$ 支撑线把「弯的」换成「直的」，而且方向是对的（直线在下方），于是得到一个不等式。
本页内容：课件印出了引理的完整陈述，留白的是证明。证明的核心是一条几何事实：凸函数的弦的斜率单调递增。

先补基础

基础补课凸函数是什么

函数 $φ : I \to R$ 叫凸函数（convex function），如果对 $I$ 中任意两点 $x, y$ 和任意 $λ \in [0, 1] ，$ $φ (λ x + (1 - λ) y) \leq λ φ (x) + (1 - λ) φ (y) .$
几何意思： $λ x + (1 - λ) y$ 是 $x$ 与 $y$ 之间的一个点（ $λ = 1$ 在 $x ，$ $λ = 0$ 在 $y ，$ $λ = \frac{1}{2}$ 在中点）。左边是这一点处图像的高度，右边是连接 $(x, φ (x))$ 和 $(y, φ (y))$ 的弦在这一点的高度。凸 = 弦总在图像上方（或重合），图像像一只碗。
例子： $x^{2} 、$ $∣ x ∣ 、$ $e^{x}$ 在 $R$ 上是凸的； $- lo g x 、$ $\frac{1}{x}$ 在 $(0, \infty)$ 上是凸的；直线 $b + a x$ 也是凸的（弦与图像重合）。
反例： $x 、$ $lo g x$ 是凹函数（concave，弦在图像下方， $- φ$ 是凸的）； $sin x$ 在 $R$ 上既不凸也不凹。
判别法（微积分结论，当作已知）：若 $φ$ 在开区间上二阶可导且 $φ^{''} \geq 0 ，$ 则 $φ$ 凸。例： $(e^{x})^{''} = e^{x} > 0 ，$ $(- lo g x)^{''} = \frac{1}{x ^{2}} > 0 。$

基础补课开区间：每一点两边都有「余地」

开区间是形如 $(α, β)$ 的区间， $- \infty \leq α < β \leq + \infty ，$ 不含端点。例： $(0, 1) 、$ $(0, \infty) 、$ $R = (- \infty, \infty) 。$
关键性质：对开区间里的任何一点 $m ，$ 左右两边都还有 $I$ 的点（比如 $m$ 与 $α$ 的中点、 $m$ 与 $β$ 的中点，端点是无穷时取 $m \pm 1 ）。$
$[0, 1) 、$ $[0, \infty)$ 不是开区间：点 $0$ 左边没有区间里的点。下面会看到，支撑线恰恰可能在这种端点上失败。

基础补课弦的斜率、单侧导数

过 $(x, φ (x))$ 与 $(y, φ (y))$ 的弦，斜率是 $\frac{φ ( y ) - φ ( x )}{y - x} ，$ 与两点的先后顺序无关。
右导数 $φ_{+}^{'} (m) = lim_{y ↓ m} \frac{φ ( y ) - φ ( m )}{y - m} ：$ 从右边逼近 $m$ 时弦斜率的极限；左导数 $φ_{-}^{'} (m)$ 从左边逼近。可导就是左右导数相等。
例： $∣ x ∣$ 在 $0$ 处，右边的弦斜率都是 $\frac{∣ y ∣}{y} = 1 ，$ 左边都是 $- 1 ，$ 所以 $φ_{+}^{'} (0) = 1 、$ $φ_{-}^{'} (0) = - 1 ，$ 不可导（有一个「尖角」）。
上确界、下确界（回顾）：有上界的非空实数集一定有上确界（实数的确界原理，当作已知），有下界的非空实数集一定有下确界。

课件原文逐句精读

课件原文Every finite convex function has a supporting line

Lemma 23 (Supporting lemma) Let $I \subseteq R$ be an open interval and let $φ : I \to R$ be convex. For every $m \in I$ , there exists $a \in R$ such that

φ (x) \geq φ (m) + a (x - m), x \in I .

中文翻译

蓝条标题：每个取有限值的凸函数都有支撑线。

引理 23（支撑线引理） 设 $I \subseteq R$ 是开区间， $φ : I \to R$ 是凸函数。则对每个 $m \in I ，$ 存在 $a \in R ，$ 使得

φ (x) \geq φ (m) + a (x - m), x \in I .

引理 23（支撑线引理）

设 $I \subseteq R$ 是开区间， $φ : I \to R$ 是凸函数。则对每个 $m \in I ，$ 存在实数 $a ，$ 使得对所有 $x \in I$ 都有 $φ (x) \geq φ (m) + a (x - m) 。$

① Let I ⊆ ℝ be an open interval｜为什么要「开」区间

开区间保证 $m$ 的左右两边都有定义域里的点，证明第 3 步要用它来保证两个单侧斜率都是有限数。
如果 $m$ 是闭区间的端点，支撑线可能不存在（例 4： $- x$ 在 $0$ 处，切线是竖直的，斜率「等于 $- \infty 」，$ 不是实数）。

② φ : I → ℝ be convex｜标题里的 finite 是什么意思

$φ$ 的取值在 $R$ 里，也就是每一点的函数值都是有限实数，不允许取 $+ \infty 。$ 这就是标题 finite convex function 里 finite（有限）的意思。
在更一般的凸分析里，凸函数允许取 $+ \infty ，$ 那时支撑线可能在「有限与无限的交界处」失败；本课不讨论这种情形。

③ For every m ∈ I, there exists a ∈ ℝ｜斜率 a 依赖于 m

每个点 $m$ 都有自己的斜率 $a$ （记作 $a_{m}$ 更清楚），不同的点一般斜率不同。
$a$ 必须是实数，所以支撑线不能是竖直线。
$a$ 不一定唯一：在 $φ$ 有尖角的点，一整段斜率都可以（例 2）。

④ φ(x) ≥ φ(m) + a(x − m), x ∈ I｜不等式在说什么

右边 $ℓ (x) = φ (m) + a (x - m)$ 是一条直线：过点 $(m, φ (m)) 、$ 斜率为 $a 。$
不等式说：整条图像（对所有 $x \in I ，$ 不只是 $m$ 附近）都在这条直线上方，并且在 $x = m$ 处两者相等。这种「在一点接触、处处在下方」的直线就叫支撑线（supporting line）。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

推导证明思路

凸函数有一条关键性质：从 $m$ 出发的弦，另一端越往右，斜率越大。于是 $m$ 左边的所有弦斜率都不超过 $m$ 右边的所有弦斜率；在两者之间取一个数 $a$ （例如右导数），这条斜率为 $a$ 的直线就在图像下方。

第 1 步：三弦引理（弦的斜率单调）。 设 $x < y < z$ 都在 $I$ 中，则

\frac{φ ( y ) - φ ( x )}{y - x} \leq \frac{φ ( z ) - φ ( x )}{z - x} \leq \frac{φ ( z ) - φ ( y )}{z - y} .

（左、中、右分别是弦 $x y 、$ $x z 、$ $yz$ 的斜率。）

证明：令 $λ = \frac{z - y}{z - x} ，$ 则 $λ \in (0, 1) ，$ $1 - λ = \frac{y - x}{z - x} ，$ 并且

λ x + (1 - λ) z = \frac{( z - y ) x + ( y - x ) z}{z - x} = \frac{y ( z - x )}{z - x} = y .

由凸性， $φ (y) \leq λ φ (x) + (1 - λ) φ (z) 。$

两边减去 $φ (x) ：$ $φ (y) - φ (x) \leq (1 - λ) (φ (z) - φ (x)) = \frac{y - x}{z - x} (φ (z) - φ (x)) ，$ 再除以 $y - x > 0 ，$ 得到左边的不等式。
用 $φ (z)$ 减去两边： $φ (z) - φ (y) \geq φ (z) - λ φ (x) - (1 - λ) φ (z) = λ (φ (z) - φ (x)) = \frac{z - y}{z - x} (φ (z) - φ (x)) ，$ 再除以 $z - y > 0 ，$ 得到右边的不等式。

第 2 步：从 $m$ 出发的弦斜率单调不减。 对 $x \in I 、$ $x \neq = m ，$ 令

s (x) = \frac{φ ( x ) - φ ( m )}{x - m}

（连接 $m$ 与 $x$ 的弦的斜率）。断言： $x < y$ （都不等于 $m ）$ 时 $s (x) \leq s (y) 。$ 分三种位置，每种都用一次第 1 步：

$x < y < m ：$ 对三点 $x < y < m ，$ 「中 $\leq$ 右」给出 $\frac{φ ( m ) - φ ( x )}{m - x} \leq \frac{φ ( m ) - φ ( y )}{m - y} ，$ 即 $s (x) \leq s (y) 。$
$x < m < y ：$ 对三点 $x < m < y ，$ 「左 $\leq$ 右」给出 $\frac{φ ( m ) - φ ( x )}{m - x} \leq \frac{φ ( y ) - φ ( m )}{y - m} ，$ 即 $s (x) \leq s (y) 。$
$m < x < y ：$ 对三点 $m < x < y ，$ 「左 $\leq$ 中」给出 $\frac{φ ( x ) - φ ( m )}{x - m} \leq \frac{φ ( y ) - φ ( m )}{y - m} ，$ 即 $s (x) \leq s (y) 。$

第 3 步：左斜率都不超过右斜率，取出两个有限的界。 因为 $I$ 是开区间， $m$ 左边有点 $u \in I ，$ 右边有点 $v \in I 。$ 令

a^{-} := sup {s (x) : x \in I, x < m}, a^{+} := in f {s (y) : y \in I, y > m} .

由第 2 步，每个左斜率 $s (x)$ 都不超过每个右斜率 $s (y) 。$ 所以左边的集合非空（含 $s (u) ）$ 且以 $s (v)$ 为上界， $a^{-}$ 是有限实数；右边的集合非空（含 $s (v) ）$ 且以 $s (u)$ 为下界， $a^{+}$ 是有限实数。
每个右斜率 $s (y)$ 都是左边集合的上界，所以 $a^{-} \leq s (y) ；$ 这说明 $a^{-}$ 是右边集合的下界，于是 $a^{-} \leq a^{+} 。$
由第 2 步的单调性， $y ↓ m$ 时 $s (y)$ 单调下降到 $a^{+} ，$ 所以 $a^{+}$ 就是右导数 $φ_{+}^{'} (m) ；$ 同样 $a^{-} = φ_{-}^{'} (m)$ 是左导数。

第 4 步：任取 $a \in [a^{-}, a^{+}] ，$ 验证支撑线不等式。 例如取 $a = a^{+} = φ_{+}^{'} (m) 。$

$x > m$ 时： $s (x) \geq a^{+} \geq a ，$ 即 $\frac{φ ( x ) - φ ( m )}{x - m} \geq a 。$ 两边乘以 $x - m > 0$ （不等号方向不变）： $φ (x) - φ (m) \geq a (x - m) 。$
$x < m$ 时： $s (x) \leq a^{-} \leq a ，$ 即 $\frac{φ ( x ) - φ ( m )}{x - m} \leq a 。$ 两边乘以 $x - m < 0$ （不等号反向）： $φ (x) - φ (m) \geq a (x - m) 。$
$x = m$ 时：两边都等于 $φ (m) 。$

三种情况合起来，就是 $φ (x) \geq φ (m) + a (x - m)$ 对所有 $x \in I$ 成立。证毕。

补充：可用的斜率恰好是 $[a^{-}, a^{+}] 。$ 若 $a > a^{+} ，$ 由下确界的定义，有某个 $y > m$ 使 $s (y) < a ，$ 即 $φ (y) < φ (m) + a (y - m) ，$ 不等式在 $y$ 处失败；若 $a < a^{-} ，$ 同样在某个 $x < m$ 处失败。所以： $φ$ 在 $m$ 可导时，支撑线唯一，就是切线（ $a = φ^{'} (m) ）；$ 在尖角处， $[a^{-}, a^{+}]$ 里的每个斜率都行。

顺带得到：开区间上的凸函数一定连续（下一页要用）

取 $u < m < v$ 都在 $I$ 中。对 $x \in (u, v) 、$ $x \neq = m ，$ 由第 2 步的单调性， $s (u) \leq s (x) \leq s (v) ，$ 所以 $∣ s (x) ∣ \leq K := max (∣ s (u) ∣, ∣ s (v) ∣) ，$ 即

∣ φ (x) - φ (m) ∣ \leq K ∣ x - m ∣, x \in (u, v) .

$x \to m$ 时右边趋于 0，所以 $φ$ 在 $m$ 连续。 $m$ 是任意的，所以 $φ$ 在整个 $I$ 上连续。连续函数是博雷尔可测的（开集的原像是开集），所以对随机变量 $X ，$ $φ (X)$ 也是随机变量（第 4 页的「复合保持可测」）。注意这里又用到了「开区间」：端点处凸函数可以不连续，例如 $[0, 1]$ 上 $φ (x) = 0$ （ $x < 1 ）、$ $φ (1) = 1$ 是凸的，却在 1 处跳跃。

图解

图解：弦的斜率一路变大，支撑线夹在左右斜率之间

课件这里没有图，可以在纸上画 $φ (x) = x^{2} 、$ $m = 1 ：$

画出抛物线，标出点 $M = (1, 1) 。$
从 $M$ 向左连弦：到 $(- 1, 1)$ 斜率是 $0 ，$ 到 $(0, 0)$ 斜率是 $1 ；$ 向右连弦：到 $(2, 4)$ 斜率是 $3 ，$ 到 $(3, 9)$ 斜率是 $4 。$ 一般地 $s (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1 ：$ 另一端越往右，斜率越大（第 2 步）。
左边的斜率都小于 2，右边的都大于 2，夹在中间的只有 $a = 2 。$ 画出过 $M 、$ 斜率为 2 的直线 $ℓ (x) = 2 x - 1 ：$ 它在 $M$ 处与抛物线相切，其余地方都在抛物线下方。
再画 $∣ x ∣$ 在 $0$ 处：左边的弦斜率都是 $- 1 ，$ 右边的都是 $1 ，$ 中间有一整段 $[- 1, 1] 。$ 过原点、斜率在 $[- 1, 1]$ 里的每条直线都「撑」在尖角下面，像一把扇子。

一句话：支撑线就是在接触点处「从下面托住」图像的直线；光滑处只有一条（切线），尖角处有一整扇。

例子

例 1：x² 在 m = 1 处——支撑线就是切线

$φ (x) = x^{2} ，$ $m = 1 。$ 第 2 步的 $s (x) = x + 1 ，$ 所以 $a^{-} = sup_{x < 1} (x + 1) = 2 ，$ $a^{+} = in f_{y > 1} (y + 1) = 2 ，$ 唯一可用的斜率是 $a = 2 = φ^{'} (1) 。$ 支撑线 $ℓ (x) = 1 + 2 (x - 1) = 2 x - 1 。$ 验证：

x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} \geq 0 对所有 x \in R .

例 2：|x| 在 0 处——斜率不唯一

$φ (x) = ∣ x ∣ ，$ $m = 0 ，$ $s (x) = \frac{∣ x ∣}{x} ：$ $x < 0$ 时为 $- 1 ，$ $x > 0$ 时为 $1 。$ 所以 $a^{-} = - 1 ，$ $a^{+} = 1 ，$ 每个 $a \in [- 1, 1]$ 都行： $∣ x ∣ \geq a x$ 对所有 $x$ 成立（例如 $a = \frac{1}{2} ：$ $x \geq 0$ 时 $x \geq \frac{x}{2} ，$ $x < 0$ 时 $- x > 0 > \frac{x}{2} ）。$

超出这个范围就不行：取 $a = 2 ，$ 在 $x = 1$ 处要求 $1 \geq 2 ，$ 不成立。

例 3：eˣ 的支撑线给出 eˣ ≥ 1 + x

$φ (x) = e^{x}$ 可导， $m = 0$ 处的支撑线斜率 $a = φ^{'} (0) = 1 ，$ 引理 23 给出

e^{x} \geq 1 + x 对所有 x \in R .

这是分析和概率里最常用的不等式之一。在一般的点 $m ：$ $e^{x} \geq e^{m} (1 + (x - m)) 。$

例 4（反例）：闭区间的端点上可能没有支撑线

$φ (x) = - x$ 在 $[0, \infty)$ 上是凸的（ $x$ 是凹的）。在端点 $m = 0$ 处，若有支撑线，就要求 $- x \geq a x$ 对所有 $x > 0$ 成立，也就是 $a \leq - \frac{1}{x}$ 对所有 $x > 0$ 成立。但 $x ↓ 0$ 时 $- \frac{1}{x} \to - \infty ，$ 没有任何实数 $a$ 满足。图像在 0 处的切线是竖直的。

引理 23 要求开区间，正好排除了这种情形：在 $I = (0, \infty)$ 上，每个 $m > 0$ 都有支撑线，斜率 $a = - \frac{1}{2 m} 。$ 验证： $- x \geq - m - \frac{x - m}{2 m} ⟺ 2 m x \leq m + x ⟺ (x - m)^{2} \geq 0 。$

例 5（反例）：不凸的函数没有支撑线

$φ (x) = - x^{2} ，$ $m = 0 。$ 若 $- x^{2} \geq a x$ 对所有 $x$ 成立： $a \geq 0$ 时取 $x = 1 ，$ 得 $- 1 \geq a \geq 0 ，$ 矛盾； $a < 0$ 时取 $x = - 1 ，$ 得 $- 1 \geq - a > 0 ，$ 矛盾。所以没有支撑线。凹函数反过来有「从上面压住」的直线。

常见疑问与易错点

易错点问：支撑线和切线是一回事吗？

答：不完全是。在可导的点，支撑线唯一，就是切线（例 1）。在尖角处没有切线，但支撑线仍然存在，而且有很多条（例 2）。所以引理 23 不要求 $φ$ 可导，这是它比「切线」好用的地方： $∣ x ∣ 、$ $max (x, 0)$ 这类带尖角的函数在概率和金融里很常见。

易错点问：非凸函数的切线也在图像下方吗？

答：不一定。 $φ (x) = x^{3}$ 在 $0$ 处的切线是 $y = 0 ，$ 但 $x < 0$ 时 $x^{3} < 0 ，$ 图像跑到了切线下面。「切线处处在图像下方」正是凸函数的特征：凸 ⇔ 每一点都有支撑线（反方向的证明：若每点都有支撑线，则 $φ$ 是一族直线的上确界，而直线的上确界是凸的）。

易错点问：证明第 4 步里，为什么 x < m 时不等号会反过来？

答：因为两边乘了一个负数 $x - m < 0 。$ 例如 $\frac{5}{- 1} \leq - 3$ （即 $- 5 \leq - 3 ），$ 两边乘以 $- 1$ 得 $5 \geq 3 。$ 这一步是整个证明最容易写错的地方：左边的弦斜率「偏小」，乘上负数后恰好变成「函数值偏大」。

易错点问：为什么强调「对所有 x ∈ I」而不只是 m 附近？

答：Jensen 不等式要把 $x$ 换成随机变量 $X (ω) ，$ 而 $X$ 可能取到 $I$ 里离 $m$ 很远的值。如果不等式只在 $m$ 附近成立，就没法对所有 $ω$ 同时使用。凸性保证了「局部托住」自动变成「全局托住」，这正是第 2 步斜率单调的威力。

小结与自测

小结本页小结

引理 23：开区间 $I$ 上的实值凸函数 $φ ，$ 在每个 $m \in I$ 处都有支撑线： $φ (x) \geq φ (m) + a (x - m)$ 对所有 $x \in I$ 成立。
证明的核心：三弦引理 ⇒ 从 $m$ 出发的弦斜率单调不减 ⇒ 左斜率 $\leq$ 右斜率；取 $a \in [φ_{-}^{'} (m), φ_{+}^{'} (m)] 。$
「开区间」保证两个单侧斜率都有限；端点处可能失败（ $- x$ 在 0）。可导处支撑线唯一（切线），尖角处不唯一（ $∣ x ∣$ 在 0）。
副产品：开区间上的凸函数连续，从而博雷尔可测。

自测

1. 求 $φ (x) = max (x, 2 x)$ 在 $m = 0$ 处所有可用的支撑线斜率。

点开看答案

$x > 0$ 时 $max (x, 2 x) = 2 x ，$ $x < 0$ 时 $max (x, 2 x) = x 。$ 所以右边的弦斜率 $s (y) = 2 ，$ 左边的 $s (x) = 1 ，$ $a^{-} = 1 ，$ $a^{+} = 2 ，$ 可用的斜率恰好是 $a \in [1, 2] 。$

2. 求 $φ (x) = \frac{1}{x}$ 在 $I = (0, \infty)$ 上、 $m = 1$ 处的支撑线，并验证它在图像下方。

点开看答案

$φ^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} ，$ $a = φ^{'} (1) = - 1 ，$ 支撑线 $ℓ (x) = 1 - (x - 1) = 2 - x 。$ 验证：对 $x > 0 ，$ $\frac{1}{x} \geq 2 - x ⟺ 1 \geq 2 x - x^{2}$ （两边乘以 $x > 0 ）$ $⟺ (x - 1)^{2} \geq 0 ，$ 成立。

3. 判断：「证明第 3 步如果去掉『 $I$ 是开区间』， $a^{-}$ 和 $a^{+}$ 仍然都是有限实数。」

点开看答案

错。若 $m$ 是左端点， $m$ 左边没有点， $a^{-} = sup \emptyset$ 不是有限数，而且 $a^{+}$ 可能是 $- \infty ：$ 例 4 中 $m = 0 ，$ $s (y) = \frac{- y}{y} = - \frac{1}{y} ，$ $a^{+} = in f_{y > 0} (- \frac{1}{y}) = - \infty ，$ 找不到实数斜率。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
凸函数	convex function	图像上任意两点连线都在图像上方的函数，例如 x²、eˣ。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
Jensen 不等式	Jensen's inequality	φ 凸时 φ(E X) ≤ E φ(X)，例如 (E X)² ≤ E X²。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
凹函数	concave function	−φ 是凸函数时，φ 叫凹函数：任意两点间的弦都在图像下方，例如 log x、√x。对凹函数，Jensen 不等式反向：E φ(X) ≤ φ(E X)。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
原像	preimage	f⁻¹(B) 是「所有被 f 送进 B 的输入」组成的集合，可测性就是用原像定义的。