10 偏差概率可求和：几乎必然收敛最常用的判别法 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

如果对每个容忍度 $ε > 0 ，$ 「第 $n$ 步误差超过 $ε 」$ 的概率加起来是有限数，那么 $X_{n} \to X$ 几乎必然。这就是把第一 Borel–Cantelli 引理（第 4 页）用在误差事件（第 9 页）上，不需要任何独立性。

这是第 2 部分「随机变量的收敛」的第二页。上一页（第 9 页）已经把几乎必然收敛翻译成了一句关于事件的话：

X_{n} \to X a.s. ⟺ 对每个 ε > 0, P (∣ X_{n} - X ∣ > ε i.o.) = 0.

右边「i.o. 的概率为 0」恰好是第一 Borel–Cantelli 引理的结论，而那个引理的条件是「概率之和有限」。把两件事接起来，就得到这一页的推论 7。这一页做三件事：

陈述并证明推论 7：偏差概率可求和 ⇒ 几乎必然收敛；
课件的例子：只知道误差的矩 $E ∣ X_{n} - X ∣^{p}$ 时，先用 Markov 不等式把矩换成概率，再用推论 7；
说明它只是充分条件，并给后面几页做准备：第 11 页马上用它证明 $X_{n} / n \to 0 ，$ 第 16 页用它的加强版从依概率收敛的序列里挑出几乎必然收敛的子列。

先补基础

基础补课推论（corollary）与「可求和」（summable）

推论：由前面已经证明的定理直接推出来的结论，证明通常很短。推论 7 就是由第一 Borel–Cantelli 引理（定理 2，第 4 页）和上一页的命题 B（第 9 页）直接推出的。
可求和：一列非负数 $a_{1}, a_{2}, \dots$ 叫可求和，是说 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} < \infty 。$ 例： $a_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ 可求和（和不超过 2，第 4 页例 1）； $a_{n} = \frac{1}{n}$ 不可求和（调和级数发散，第 5 页）。
比较法：若 $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ 且 $\sum_{n} b_{n} < \infty ，$ 则 $\sum_{n} a_{n} \leq \sum_{n} b_{n} < \infty 。$ 常数倍不改变是否有限： $\sum_{n} c b_{n} = c \sum_{n} b_{n} 。$

基础补课偏差（deviation）与误差事件（回顾）

偏差就是误差 $∣ X_{n} - X ∣ ：$ 第 $n$ 个随机变量离目标 $X$ 有多远。它本身也是随机变量，不同的 $ω$ 上大小不同。
误差事件 ${∣ X_{n} - X ∣ > ε} ：$ 「第 $n$ 步的误差超过容忍度 $ε 」。$ 它属于 $F$ （第 9 页的可测性），所以可以谈它的概率，这个概率就是「偏差概率」。
例： $X_{n} = X + \frac{1}{n}$ 时，误差恒为 $\frac{1}{n} 。$ 取 $ε = 0.1 ：$ $\frac{1}{n} > 0.1$ 当且仅当 $n < 10 ，$ 所以误差事件在 $n \leq 9$ 时是整个 $Ω ，$ 在 $n \geq 10$ 时是空集。

基础补课矩（moment）与 Markov 不等式（第 2 讲）

对随机变量 $Z$ 和 $p > 0 ，$ $E ∣ Z ∣^{p}$ 叫 $Z$ 的 $p$ 阶（绝对）矩。 $p = 1$ 是平均绝对误差， $p = 2$ 是均方误差。
Markov 不等式（第 29 页的广义形式）：对任意 $a > 0 、$ $p > 0 ，$

P (∣ Z ∣ \geq a) \leq \frac{E ∣ Z ∣ ^{p}}{a ^{p}} .

理由：处处有 $a^{p} 1_{{∣ Z ∣ \geq a}} \leq ∣ Z ∣^{p}$ （ $∣ Z ∣ \geq a$ 时左边是 $a^{p} \leq ∣ Z ∣^{p} ；$ 否则左边是 $0 \leq ∣ Z ∣^{p} ）。$ 两边取期望，左边是 $a^{p} P (∣ Z ∣ \geq a) 。$

例：若 $E Z^{2} = 0.01 ，$ 则 $P (∣ Z ∣ \geq 0.5) \leq \frac{0.01}{0.25} = 0.04 。$ 矩小，意味着大误差的概率小。

课件原文逐句精读

课件原文Summable deviation probabilities

Corollary 7 (Summable deviations)

Proof

Example: a summable moment bound

中文翻译

推论 7（偏差可求和）

证明

例：可求和的矩界

Summable deviation probabilities（蓝条标题）：「可求和的偏差概率」。deviation probabilities 指 $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) ，$ summable 指把它们对 $n$ 加起来是有限数。标题已经把推论 7 的条件说出来了。
Corollary 7：推论 7，编号接着第 9 页的定义 6。设定也沿用第 9 页： $X_{n} 、$ $X$ 是同一个概率空间 $(Ω, F, P)$ 上的实值随机变量。
Proof：推论的证明。
Example: a summable moment bound：moment 是「矩」，bound 是「上界」。「可求和的矩界」指条件 $\sum_{n} E ∣ X_{n} - X ∣^{p} < \infty ：$ 误差的矩加起来有限。这个例子说明：不知道误差的具体分布、只知道它的矩时，推论 7 照样能用。
三个标签下面都是留白，下面逐一补全。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Corollary 7 (Summable deviations)｜推论 7（偏差概率可求和）

推论 7（偏差概率可求和）

设 $X_{n} 、$ $X$ 是 $(Ω, F, P)$ 上的实值随机变量。若对每个 $ε > 0 ，$

n = 1 \sum \infty P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) < \infty,

则 $X_{n} \to X$ 几乎必然。

逐个看条件：

「对每个 $ε > 0 」$ ：容忍度越小，误差事件越大（ $ε^{'} < ε$ 时 ${∣ X_{n} - X ∣ > ε} \subseteq {∣ X_{n} - X ∣ > ε^{'}} ），$ 和也越大。所以这个条件的真正分量在很小的 $ε$ 上。证明里会看到，只检查 $ε = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$ 就够了。
「和有限」：不只要求 $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \to 0 ，$ 还要求它趋于 0 得足够快，快到加起来有限。例如 $\frac{1}{n ^{2}} 、$ $2^{- n}$ 可以， $\frac{1}{n}$ 不行。
没有独立性： $X_{1}, X_{2}, \dots$ 之间怎样相关都可以，因为第一 Borel–Cantelli 引理本身不需要独立（第 4 页）。
结论：几乎必然收敛，即不收敛的样本点合起来概率为 0。

人话版直觉：每种容忍度下，平均出错次数都有限

固定 $ε ，$ 令 $N_{ε} = \sum_{n} 1_{{∣ X_{n} - X ∣ > ε}}$ 为「误差超过 $ε$ 的步数」。第 4 页证明二算过： $E N_{ε} = \sum_{n} P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) 。$

推论 7 的条件就是：对每个容忍度，平均出错次数都有限；
平均次数有限，出错次数就几乎必然有限：最后一次出错之后， $X_{n}$ 永远待在以 $X$ 为中心、半宽 $ε$ 的「管子」里（第 9 页的人话版）；
对越来越细的管子都这样，就是收敛。

Proof｜证明

推导证明思路

固定 $ε ，$ 把第一 Borel–Cantelli 引理用在误差事件 ${∣ X_{n} - X ∣ > ε}$ 上，得到「以概率 1 只出错有限次」；再对可数多个 $ε = \frac{1}{k}$ 合起来，用上一页的命题 B（或直接用可数次可加性）得到收敛。

误差事件是事件：对固定的 $ε > 0 ，$ 令 $A_{n}^{ε} = {∣ X_{n} - X ∣ > ε} 。$ $X_{n} - X$ 是随机变量，所以 $A_{n}^{ε} \in F$ （第 9 页的可测性）。
用第一 Borel–Cantelli 引理：由假设， $\sum_{n} P (A_{n}^{ε}) < \infty 。$ 定理 2（第 4 页）对任意一列事件成立，所以

P (∣ X_{n} - X ∣ > ε i.o.) = P (A_{n}^{ε} i.o.) = 0.

对每个 $ε$ 都成立：第 2 步里的 $ε$ 是任取的。由第 9 页的命题 B（「⇐」方向）， $X_{n} \to X$ 几乎必然。

第 3 步也可以不引用命题 B，直接写出来：

P (X_{n} \neq \to X) = P (k \geq 1 ⋃ {∣ X_{n} - X ∣ > \frac{1}{k} i.o.}) \leq k \geq 1 \sum P (∣ X_{n} - X ∣ > \frac{1}{k} i.o.) = k \geq 1 \sum 0 = 0 （第 9 页命题 A ） （可数次可加性） （第 2 步取 ε = \frac{1}{k} ） .

第一个等号是第 9 页的命题 A（不收敛集的误差事件表示），不等号是可数次可加性（第 4 页）。

所以 $P (X_{n} \to X) = 1 。$ 注意这里只用到了 $ε = \frac{1}{k}$ 这可数多个容忍度；正因为是可数个，才能用可数次可加性把它们合起来。

Example: a summable moment bound｜例：矩的和有限

例子课件例：可求和的矩界

命题：若存在某个 $p > 0 ，$ 使

n = 1 \sum \infty E ∣ X_{n} - X ∣^{p} < \infty,

则 $X_{n} \to X$ 几乎必然。

证明：

Markov 不等式把矩换成概率：固定 $ε > 0 ，$ 对 $Z = X_{n} - X 、$ $a = ε$ 用 Markov 不等式（第 29 页）：

P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \leq P (∣ X_{n} - X ∣ \geq ε) \leq \frac{E ∣ X _{n} - X ∣ ^{p}}{ε ^{p}} .

第一个不等号是单调性： ${∣ X_{n} - X ∣ > ε} \subseteq {∣ X_{n} - X ∣ \geq ε} 。$ 2. 对 $n$ 求和：由比较法，

n = 1 \sum \infty P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \leq \frac{1}{ε ^{p}} n = 1 \sum \infty E ∣ X_{n} - X ∣^{p} < \infty.

右边是一个有限数乘以常数 $ε^{- p} ，$ 仍是有限数。3. 用推论 7：第 2 步对每个 $ε > 0$ 成立，所以 $X_{n} \to X$ 几乎必然。

数值例：抛硬币的频率，只看平方数时刻。 设 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots$ 是独立的公平抛硬币（正面 1、反面 0，第 8 页）。令 $R_{i} = 2 ξ_{i} - 1$ （正面记 $+ 1 ，$ 反面记 $- 1 ），$ $S_{m} = R_{1} + \dots + R_{m} 。$ 前 $m$ 次正面的频率是

\frac{ξ _{1} + \dots + ξ _{m}}{m} = \frac{1}{2} + \frac{S _{m}}{2 m},

所以「频率趋于 $\frac{1}{2} 」$ 就是「 $S_{m} / m \to 0 」。$

二阶矩： $S_{m}^{2} = \sum_{i} R_{i}^{2} + \sum_{i \neq = j} R_{i} R_{j} 。$ 每个 $R_{i}^{2} = 1 。$ 对 $i \neq = j ，$ 两次结果相同时 $R_{i} R_{j} = 1 ，$ 不同时为 $- 1 ；$ 由独立性， $P (ξ_{i} = ξ_{j}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} ，$ 所以 $E [R_{i} R_{j}] = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 。$ 于是 $E S_{m}^{2} = m ，$ $E (S_{m} / m)^{2} = \frac{1}{m} 。$
整列不行： $\sum_{m} \frac{1}{m} = \infty ，$ 二阶矩的和发散，命题用不上。
只看 $m = k^{2}$ ：令 $Y_{k} = S_{k^{2}} / k^{2} ，$ 则 $E Y_{k}^{2} = \frac{1}{k ^{2}} ，$ $\sum_{k} \frac{1}{k ^{2}} < \infty 。$ 由命题（ $p = 2 ），$ $Y_{k} \to 0$ 几乎必然：在第 $1, 4, 9, 16, \dots$ 次抛掷时看，正面频率几乎必然趋于 $\frac{1}{2} 。$
具体数字：取 $ε = 0.1 ，$ 第 1 步给出 $P (∣ Y_{k} ∣ > 0.1) \leq \frac{1/ k ^{2}}{0.01} = \frac{100}{k ^{2}} 。$ 于是（可数次可加性，再用第 4 页例 1 的裂项估计 $\sum_{k \geq K} \frac{1}{k ^{2}} \leq \frac{1}{K - 1} ）$

P (存在 k \geq K 使 ∣ Y_{k} ∣ > 0.1) \leq k \geq K \sum \frac{100}{k ^{2}} \leq \frac{100}{K - 1} .

取 $K = 10001 ，$ 右边是 $0.01 ：$ 以至少 99% 的概率，从第 $1000 1^{2} \approx 1 0^{8}$ 次抛掷起，每个平方数时刻的频率都落在 $0.45$ 到 $0.55$ 之间（ $∣ S_{m} / m ∣ \leq 0.1$ 等价于频率与 $\frac{1}{2}$ 相差不超过 $0.05 ）。$

例子

例 1：抛硬币的强大数定律——换成四阶矩，整列都收敛

沿用上面的记号。二阶矩 $\frac{1}{m}$ 加起来发散，但四阶矩衰减得更快：

E S_{n}^{4} = 3 n^{2} - 2 n \leq 3 n^{2}, 所以 E \frac{S _{n}}{n}^{4} \leq \frac{3}{n ^{2}} .

$\sum_{n} \frac{3}{n ^{2}} < \infty ，$ 由课件例的命题（取 $p = 4 ），$ $S_{n} / n \to 0$ 几乎必然，即正面频率几乎必然趋于 $\frac{1}{2}$ 。这就是抛硬币情形的强大数定律。

计算 $E S_{n}^{4}$ ：

每种 $\pm 1$ 组合的概率都是 $2^{- n}$ ： $(R_{1}, \dots, R_{n})$ 取某一组值 $(r_{1}, \dots, r_{n}) ，$ 等于规定了 $n$ 个不同位置上的抛掷结果，概率是 $2^{- n}$ （第 8 页基础补课）。所以期望就是对 $2^{n}$ 种组合取平均。
展开： $S_{n}^{4} = \sum_{i, j, k, l} R_{i} R_{j} R_{k} R_{l} ，$ 下标 $(i, j, k, l)$ 跑遍 $n^{4}$ 种有序组合。
有下标出现奇数次的项，期望为 0：设下标 $a$ 出现 1 次或 3 次。因为 $R_{a}^{2} = 1 ，$ 这一项等于 $R_{a} \cdot W ，$ $W$ 只含其他下标。把每种组合和「只把第 $a$ 位变号」的组合配成一对：两者概率相同（都是 $2^{- n} ），$ $W$ 不变， $R_{a}$ 变号，这一项的值正好相反。所有组合两两抵消，平均为 0。
剩下的项：每个下标都出现偶数次，只有两种情况。
- 四个下标全相同： $n$ 项，每项 $R_{i}^{4} = 1 ；$
- 两个不同的下标 $a \neq = b$ 各出现两次：选 ${a, b}$ 有 $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ 种，再从 4 个位置里选 2 个放 $a$ 有 $6$ 种，共 $3 n (n - 1)$ 项，每项 $R_{a}^{2} R_{b}^{2} = 1 。$
合计： $E S_{n}^{4} = n + 3 n (n - 1) = 3 n^{2} - 2 n 。$ 检查 $n = 2 ：$ $S_{2}$ 以概率 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ 取 $- 2, 0, 2 ，$ $E S_{2}^{4} = \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{1}{4} \cdot 16 = 8 = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 ，$ 一致。

为什么 $p = 2$ 不行、 $p = 4$ 行：Markov 不等式给出 $P (∣ S_{n} / n ∣ > ε) \leq \frac{1}{n ε ^{2}}$ （ $p = 2 ，$ 和发散）或 $\leq \frac{3}{n ^{2} ε ^{4}}$ （ $p = 4 ，$ 和有限）。阶数越高，界衰减得越快，越容易满足可求和。

例 2（反例）：矩趋于 0 但加起来发散，可能根本不收敛

设 $A_{1}, A_{2}, \dots$ 相互独立， $P (A_{n}) = \frac{1}{n} ，$ 令 $X_{n} = 1_{A_{n}} ，$ $X = 0 。$

对每个 $p > 0 ，$ $E ∣ X_{n} ∣^{p} = P (A_{n}) = \frac{1}{n} \to 0 ：$ 矩趋于 0。
但 $\sum_{n} \frac{1}{n} = \infty ，$ 课件例的命题用不上。
事实上由第二 Borel–Cantelli 引理（第 7 页）， $X_{n} = 1$ 发生无穷多次（概率为 1）， $X_{n}$ 不几乎必然收敛到 0（第 9 页例 2）。

所以「可求和」不能放宽成「趋于 0」。

例 3（反例）：推论 7 的逆命题不成立

在 $((0, 1), B, λ)$ 上令 $X_{n} = 1_{(0, 1/ n]} ，$ $X = 0$ （第 5 页、第 9 页例 3）。

对每个 $ω ，$ $n > \frac{1}{ω}$ 之后 $X_{n} (ω) = 0 ，$ 所以 $X_{n} \to 0$ 处处成立。
但对 $0 < ε < 1 ，$ $P (∣ X_{n} ∣ > ε) = P ((0, \frac{1}{n}]) = \frac{1}{n} ，$ 和为 $\infty 。$

所以几乎必然收敛推不出偏差概率可求和。推论 7 只是充分条件，这和第一 Borel–Cantelli 引理的逆不成立（第 5 页）是同一件事。

推导：一步一步来

加强版（推论 7′）：容忍度可以随 $n$ 变小。 若存在正数 $ε_{n} \to 0 ，$ 使

n = 1 \sum \infty P (∣ X_{n} - X ∣ > ε_{n}) < \infty,

则 $X_{n} \to X$ 几乎必然。

令 $A_{n} = {∣ X_{n} - X ∣ > ε_{n}} 。$ 由第一 Borel–Cantelli 引理， $P (A_{n} i.o.) = 0 。$
取 $ω \in / {A_{n} i.o.}$ （这些 $ω$ 合起来概率为 1）。 $ω$ 只落进有限个 $A_{n} ，$ 所以存在 $m ，$ 使所有 $n \geq m$ 都有 $∣ X_{n} (ω) - X (ω) ∣ \leq ε_{n} 。$
由于 $0 \leq ∣ X_{n} (ω) - X (ω) ∣ \leq ε_{n}$ 且 $ε_{n} \to 0 ，$ 夹逼得 $∣ X_{n} (ω) - X (ω) ∣ \to 0 。$

这里只用了一次第一 Borel–Cantelli 引理，不需要对 $k$ 取并。第 16 页的证明正是这样用的：挑子列时让第 $j$ 项满足 $P (∣ X_{n_{k_{j}}} - X ∣ > \frac{1}{j}) \leq 2^{- j} 。$

课件例的另一种证明：用 MCT。

非负随机变量的级数可以和期望交换（MCT，第 36 页；做法同第 4 页证明二第 2 步）：

E [n = 1 \sum \infty ∣ X_{n} - X ∣^{p}] = n = 1 \sum \infty E ∣ X_{n} - X ∣^{p} < \infty.

期望有限的非负随机变量几乎必然有限（第 4 页证明二第 3 步），所以几乎必然有 $\sum_{n} ∣ X_{n} (ω) - X (ω) ∣^{p} < \infty 。$
收敛级数的通项趋于 0，所以 $∣ X_{n} (ω) - X (ω) ∣^{p} \to 0 ，$ 从而 $∣ X_{n} (ω) - X (ω) ∣ \to 0 。$

常见疑问与易错点

易错点问：只对一个 ε（比如 ε = 0.1）验证可和性，够不够？

答：不够。例： $X_{n} = (- 1)^{n} \cdot 0.05$ （常数随机变量）， $X = 0 。$ 取 $ε = 0.1 ，$ $P (∣ X_{n} ∣ > 0.1) = 0 ，$ 和为 0，条件满足；但 $X_{n}$ 在 $\pm 0.05$ 之间来回跳，不收敛。只对一个 $ε$ 成立时，能得到的只是「几乎必然地，误差最终不超过 $ε 」，$ 即 $lim sup_{n} ∣ X_{n} - X ∣ \leq ε ，$ 而不是收敛。

易错点问：推论 7 需要 X_n 相互独立吗？独立性什么时候有用？

答：不需要。第一 Borel–Cantelli 引理不需要独立，推论 7 也不需要；课件例中的 $S_{k^{2}}$ 共用了前面的抛掷结果，高度相关，照样能用。独立性在反方向上有用：若 $X_{n}$ 相互独立、极限 $X = c$ 是常数，且 $X_{n} \to c$ 几乎必然，那么对每个 $ε$ 都有 $\sum_{n} P (∣ X_{n} - c ∣ > ε) < \infty 。$ 否则事件 ${∣ X_{n} - c ∣ > ε}$ 独立且和为无穷，由第二引理（第 7 页）它们发生无穷多次，与收敛矛盾（第 9 页命题 B）。

易错点问：「偏差概率趋于 0」和「偏差概率可求和」有什么区别？

答：前者弱得多。前者是「依概率收敛」（第 14 页），它只说每一步出错的概率越来越小；后者还要求出错概率小得足够快，快到平均出错次数有限。例 2 满足前者、不满足后者，结果确实不几乎必然收敛。

易错点问：矩界里的 p 怎么选？p 越大越好吗？

答：命题对任意 $p > 0$ 成立，选哪个 $p$ 都行，只要 $\sum_{n} E ∣ X_{n} - X ∣^{p} < \infty 。$ 例 1 中 $p = 2$ 不行、 $p = 4$ 行，因为高阶矩给出衰减更快的界。但 $p$ 越大，要求 $E ∣ X_{n} - X ∣^{p}$ 有限就越苛刻：误差的尾巴很重时，高阶矩可能是 $\infty ，$ 这时只能用低阶矩。

小结与自测

小结本页小结

推论 7：对每个 $ε > 0 ，$ $\sum_{n} P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) < \infty$ ⇒ $X_{n} \to X$ a.s.；不需要独立性。
证明：固定 $ε$ 用第一 Borel–Cantelli 引理，得「只出错有限次」；再对可数个 $ε = \frac{1}{k}$ 合起来（第 9 页命题 B）。
课件例：若某个 $p > 0$ 使 $\sum_{n} E ∣ X_{n} - X ∣^{p} < \infty ，$ 由 Markov 不等式 $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \leq E ∣ X_{n} - X ∣^{p} / ε^{p} ，$ 推论 7 给出几乎必然收敛。抛硬币时用四阶矩就得到「频率几乎必然趋于 $\frac{1}{2} 」。$
加强版： $ε_{n} \to 0$ 且 $\sum_{n} P (∣ X_{n} - X ∣ > ε_{n}) < \infty$ 也推出几乎必然收敛（第 16 页要用）。
只是充分条件：逆命题不成立（例 3）；「可求和」不能放宽成「趋于 0」（例 2）。

自测

1. 已知对所有 $ε > 0$ 和所有 $n ，$ $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \leq \frac{1}{ε ^{2} n ^{1.5}} ，$ $X_{n}$ 之间的关系未知。能否断定 $X_{n} \to X$ 几乎必然？

点开看答案

能。固定 $ε ，$ $\sum_{n} \frac{1}{ε ^{2} n ^{1.5}} = \frac{1}{ε ^{2}} \sum_{n} n^{- 1.5} < \infty$ （指数大于 1 的 $p$ -级数收敛），推论 7 的条件对每个 $ε$ 都满足。推论 7 不需要独立性，所以结论成立。

2. 只知道 $E ∣ X_{n} - X ∣ = \frac{1}{n} ，$ 能否断定 $X_{n} \to X$ 几乎必然？

点开看答案

不能。 $\sum_{n} \frac{1}{n} = \infty ，$ 课件例的命题（ $p = 1 ）$ 用不上，而仅凭这个信息两种情况都可能发生：取独立事件 $A_{n} ，$ $P (A_{n}) = \frac{1}{n} ，$ $X_{n} = 1_{A_{n}} ，$ $X = 0 ，$ 由第二 Borel–Cantelli 引理不几乎必然收敛；取 $X_{n} = 1_{(0, 1/ n]}$ （在 $(0, 1)$ 上），它处处收敛到 0。两者的 $E ∣ X_{n} ∣$ 都是 $\frac{1}{n} 。$

3. 在推论 7 的证明里，第一 Borel–Cantelli 引理用在了哪一列事件上？为什么最后只需要 $ε = \frac{1}{k}$ 这些容忍度？

点开看答案

用在 $A_{n}^{ε} = {∣ X_{n} - X ∣ > ε}$ （ $ε$ 固定， $n = 1, 2, \dots ）$ 上。最后要把「每个 $ε$ 都只出错有限次」合成「收敛」，需要对 $ε$ 取并再用可数次可加性，这只对可数多个 $ε$ 行得通；而收敛只要对 $ε = \frac{1}{k}$ 检查就够了（任给 $ε > 0 ，$ 总有 $\frac{1}{k} \leq ε ），$ 所以取 $ε = \frac{1}{k} 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
偏差概率	deviation probability	Xₙ 和目标 X 相差超过 ε 的概率 P(\|Xₙ − X\| > ε)。它趋于 0 就是依概率收敛；对每个 ε 它都可求和时，由 Borel–Cantelli 引理可推出几乎必然收敛。
可求和	summable	非负数列的级数和有限：Σ aₙ < ∞。例如 Σ 1/n² 可求和，Σ 1/n 不可求和（和是 +∞）。
Markov 不等式	Markov's inequality	X ≥ 0 时 P(X ≥ t) ≤ E X / t：期望小，取大值的概率就小。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
次可加性	subadditivity	并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。
阶矩	moment	E[\|X\|ᵖ] 叫 p 阶（绝对）矩；它有限与否反映尾部有多「重」。
强大数定律	strong law of large numbers (SLLN)	独立同分布且 E\|X₁\| < ∞ 时，样本均值 Sₙ/n 几乎必然收敛到 E X₁。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。