16 乔丹容量：用有限个区间从里、从外逼近 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

想量一个集合 $E$ 有多「长」？用有限个区间去逼近它：从里面塞（塞进去的区间总长越大越好），得到内容量 $J_{*} (E) ；$ 从外面盖（盖住它的区间总长越小越好），得到外容量 $J^{*} (E) 。$ 两者相等，就说 $E$ 是乔丹可测的，这个共同值就是它的「长度」 $J (E) 。$

这是第 2 部分「从乔丹容量到外测度」的第一页。第 1 部分我们知道了：概率是定义在 σ-代数上的、可数可加的测度（第 12 页），而 $[0, 1]$ 上的均匀分布需要一个「长度」。问题是：怎么把「长度」从区间推广到更复杂的集合？

历史上第一个办法是乔丹容量（Jordan content，也有人叫乔丹测度）。它的想法很朴素，和中学「用小方格数面积」一样：从里、从外用有限个区间去逼近。它和黎曼积分完全配套（定理 11）。

但老师在板书里用红圈强调了它的软肋：它只用 finite interval approximation（有限个区间的逼近）。下一页第 17 页会看到，这让它连 $[0, 1]$ 里的有理数这么「简单」的集合都量不了；再下一页第 18 页把「有限个」换成「可数个」，得到勒贝格外测度。

先补基础

基础补课上确界 sup 与下确界 inf（本页的关键工具）

上界：若集合 $A$ 里的每个数都 $\leq M ，$ 就说 $M$ 是 $A$ 的一个上界。例： $A = [0, 1) ，$ 那么 1、2、100 都是上界。

上确界 $sup A$ （supremum，读作「sup」）：最小的上界。例：

$sup [0, 1) = 1 。$ 1 是上界；任何比 1 小的数 $1 - ε$ 都不是上界，因为 $A$ 里有比它大的数（例如 $1 - \frac{ε}{2} ）。$
注意 1 不在 $[0, 1)$ 里。所以 $sup$ 不一定是集合里的最大数——集合可能没有最大数，但上确界照样存在。
$sup {1 - \frac{1}{n} : n = 1, 2, \dots} = sup {0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots} = 1 。$
若集合有最大数，上确界就是这个最大数： $sup {1, 2, 3} = 3 。$

下确界 $in f A$ （infimum，读作「inf」）：最大的下界，与上确界对称。例： $in f (0, 1] = 0 ，$ $in f {\frac{1}{n} : n \geq 1} = 0 ，$ $in f {2, 5, 7} = 2 。$

逼近性质（后面反复用）：若 $s = in f A$ 是有限数，那么对任意 $ε > 0 ，$ 都能在 $A$ 里找到一个数 $a < s + ε 。$ 理由： $s + ε$ 比 $s$ 大，而 $s$ 已经是最大的下界，所以 $s + ε$ 不是下界，即 $A$ 里有比它小的数。上确界把方向反过来：若 $s = sup A$ 是有限数， $s - ε$ 比最小的上界 $s$ 还小，所以不是上界，即 $A$ 里有比它大的数，总能找到 $a > s - ε 。$

基本事实：非空、有上界的实数集合一定有上确界（这是实数的基本性质，承认即可）。

基础补课有界集合、区间与长度

有界（bounded）：能被某个有限区间 $[- M, M]$ 装下。 $[0, 5] 、$ ${1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots}$ 有界； $[0, \infty) 、$ $N$ 无界。
有界区间： $[a, b] 、$ $(a, b) 、$ $[a, b) 、$ $(a, b] ，$ 其中 $a \leq b$ 是有限数。它的长度都是 $b - a ，$ 端点含不含不影响长度。
单点 ${a} = [a, a]$ 也算一个（退化的）区间，长度 0。

基础补课示性函数 𝟏_E

$1_{E} (x) = 1$ （若 $x \in E ），$ $1_{E} (x) = 0$ （若 $x \in / E ）。$ 例： $E = [1, 2]$ 时， $1_{E} (1.5) = 1 ，$ $1_{E} (3) = 0 。$ 它的图像是「在 $E$ 上高度为 1、别处为 0」的台阶，所以它下面的面积就应该等于 $E$ 的长度——这就是定理 11 的直觉。

课件原文逐句精读

课件原文Elementary sets

Elementary sets are $\emptyset$ and finite disjoint unions of bounded intervals; their content is the sum of component lengths.

中文翻译

初等集是空集，以及有限个、两两不交、有界的区间的并；它们的容量（content）是各组成区间的长度之和。

Elementary sets｜初等集：乔丹用来逼近的「积木」

老师圈出了三个关键词：

finite（有限个）：只能用有限多个区间。这是乔丹容量的根本限制，也是下一页出问题的根源。
disjoint（两两不交）：区间之间不重叠，这样「总长度＝各段长度之和」才不会重复计算。任何有限个有界区间的并（哪怕有重叠）都能重新切成不重叠的几段，所以这不是真正的限制。
bounded（有界）：每个区间都是有限长的，不能用 $(- \infty, 0]$ 这种射线。

记号：初等集 $K$ 的容量写作 $∣ K ∣ 。$ 例： $K = [0, 1] \cup (2, 2.5] \cup {4} ，$ $∣ K ∣ = 1 + 0.5 + 0 = 1.5 。$

老师在旁边手写了初等集的一般形状： $⋃_{k = 1}^{N} R_{k} ，$ 其中 $R_{k} = (a_{k}, b_{k}]$ 是一段区间，于是 $∣ ⋃_{k} R_{k} ∣ = \sum_{k} (b_{k} - a_{k})$ （区间两两不交时）。

课件原文Definition 10 (Jordan inner and outer content)

Definition 10 (Jordan inner and outer content)　For bounded $E \subseteq R$ ,

J_{*} (E) := sup {∣ K ∣ : K \subseteq E, K elementary}, J^{*} (E) := in f {∣ O ∣ : E \subseteq O, O elementary} .

$E$ is Jordan measurable when $J_{*} (E) = J^{*} (E)$ ; the common value is $J (E)$ .

中文翻译

定义 10（乔丹内容量与外容量）　对有界集合 $E \subseteq R ，$

J_{*} (E) := sup {∣ K ∣ : K \subseteq E, K 是初等集}, J^{*} (E) := in f {∣ O ∣ : E \subseteq O, O 是初等集} .

当 $J_{*} (E) = J^{*} (E)$ 时，称 $E$ 乔丹可测，共同的值记作 $J (E) 。$

Definition 10｜内容量与外容量

内容量 $J_{*} (E)$ （inner content，下标星号读作「下星」）：

考虑所有塞在 $E$ 里面的初等集 $K$ （ $K \subseteq E ）；$
看它们的总长 $∣ K ∣$ 能大到什么程度；
取上确界。它是「从里面能确定属于 $E$ 的长度」。

外容量 $J^{*} (E)$ （outer content，上标星号读作「上星」）：

考虑所有盖住 $E$ 的初等集 $O$ （ $E \subseteq O ）；$
看它们的总长 $∣ O ∣$ 能小到什么程度；
取下确界。它是「从外面最省地盖住 $E$ 需要的长度」。

为什么要求 $E$ 有界：无界集合（比如 $[0, \infty) ）$ 无法被有限个有界区间盖住，外容量无从定义。

为什么用 sup 和 inf，而不是 max 和 min：最好的那个初等集常常不存在。例如 $E = (0, 1) ：$ 里面可以塞 $[0.01, 0.99] 、$ $[0.001, 0.999] \dots\dots$ 长度越来越接近 1，却没有哪一个恰好等于 1（ $[0, 1]$ 塞不进去，因为 0 和 1 不在 $E$ 里）。上确界正好处理「无限逼近但达不到」的情况： $J_{*} ((0, 1)) = 1 。$

总有 $J_{*} (E) \leq J^{*} (E)$ ：任取塞在里面的 $K$ 和盖在外面的 $O ，$ 有 $K \subseteq E \subseteq O ，$ 所以 $∣ K ∣ \leq ∣ O ∣$ （小的初等集总长不超过大的）。每个 $∣ K ∣$ 都不超过每个 $∣ O ∣ ，$ 取上确界和下确界后仍然 $J_{*} (E) \leq J^{*} (E) 。$

乔丹可测（老师在 Jordan measurable 下画了波浪线）：里外两个逼近「夹住」了同一个数，这时 $E$ 的长度才有明确的答案 $J (E) 。$

定义 10（乔丹容量）

初等集：空集，或有限个两两不交的有界区间之并，其容量 $∣ K ∣$ 为各区间长度之和。对有界 $E \subseteq R ：$

内容量 $J_{*} (E) = sup {∣ K ∣ : K \subseteq E, K 初等} ；$
外容量 $J^{*} (E) = in f {∣ O ∣ : E \subseteq O, O 初等} 。$

总有 $J_{*} (E) \leq J^{*} (E) 。$ 若二者相等，称 $E$ 乔丹可测，记 $J (E) = J_{*} (E) = J^{*} (E) 。$

课件原文Theorem 11 (Jordan–Riemann correspondence)

Theorem 11 (Jordan–Riemann correspondence)　For $E \subseteq [a, b]$ , $E$ is Jordan measurable if and only if $1_{E}$ is Riemann integrable. In that case,

J (E) = \int_{a}^{b} 1_{E} (x) d x .

中文翻译

定理 11（乔丹—黎曼对应）　设 $E \subseteq [a, b] 。$ $E$ 乔丹可测，当且仅当 $1_{E}$ 黎曼可积。此时 $J (E) = \int_{a}^{b} 1_{E} (x) d x 。$

Theorem 11｜乔丹容量与黎曼积分是一回事

黎曼积分（Riemann integral）：大学微积分里的定积分。它的做法是把 $[a, b]$ 切成有限个小区间，用「每段上的最小值 × 段长」求和（下和）和「每段上的最大值 × 段长」求和（上和）去夹面积；夹得住，就叫黎曼可积（第 25 页会讲清楚）。
对 $1_{E}$ 来说：某一小段上的最小值是 1，当且仅当这一段整个在 $E$ 里；最大值是 1，当且仅当这一段碰到了 $E 。$ 所以下和＝完全落在 $E$ 里的小段总长（一个塞在里面的初等集），上和＝碰到 $E$ 的小段总长（一个盖住 $E$ 的初等集）。
于是「下和与上和夹住同一个数」和「内容量与外容量相等」说的是同一件事，这就是定理 11。
意义：乔丹容量和黎曼积分同出一源，都建立在「有限个区间」之上。它们会一起成功，也会一起失败：第 17 页的有理数集不是乔丹可测的，对应地第 28 页的狄利克雷函数 $1_{Q \cap [0, 1]}$ 不是黎曼可积的。

定理 11（乔丹—黎曼对应）

设 $E \subseteq [a, b] 。$ 则 $E$ 乔丹可测 $⟺$ $1_{E}$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积；并且此时 $J (E) = \int_{a}^{b} 1_{E} (x) d x 。$

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下、从左到右的顺序）

第一句印刷文字中，finite、disjoint、bounded 分别被蓝笔圈出，intervals; their content is the 下画了蓝线；定义 10 第一行的 elementary 下画了蓝线；Jordan measurable 下画了波浪线。
（定义 10 右侧） $E = ⋃_{k = 1}^{N} R_{k} ，$ $R_{k} = (a_{k}, b_{k}]$
（左下）一幅图：画了横轴、纵轴；一块蓝色的不规则区域，标着 $E ；$ $E$ 里面用红色画了许多小矩形拼成的块； $E$ 外面用青绿色画了一圈较大的矩形，把 $E$ 盖住。
（红笔） $J_{*} (E) = sup {∣ ⋃_{k = 1}^{n} R_{k} ∣, ⋃_{k = 1}^{n} R_{k} \subseteq E}$ .
（青绿笔） $J^{*} (E) = in f {∣ ⋃_{k = 1}^{n} R_{k} ∣, ⋃_{k = 1}^{n} R_{k} \supseteq E}$ .
（右侧，蓝笔）Jordan measure built on
（红圈圈住）finite interval approximation.
（右侧一个方框里，蓝笔） $μ_{J}^{*} (⋃ A_{k}) \leq \sum μ_{J}^{*} (A_{k}) ，$ $A_{k}$ sets.
$μ_{J}^{*} (E + t) = μ_{J}^{*} (E) ，$ $E \subseteq R ，$ $t \in R$ .

第 2 行：初等集长什么样

$⋃_{k = 1}^{N} R_{k} ，$ $R_{k} = (a_{k}, b_{k}] ：$ 有限个（ $N$ 个）左开右闭的区间。这里的 $E$ 指「一个初等集」，和定义 10 里被测量的 $E$ 不是同一个（写成 $K$ 或 $O$ 更不容易混淆）。用左开右闭区间的好处是：相邻的 $(0, 1]$ 和 $(1, 2]$ 恰好不重叠、拼起来又没有缝，切分起来很方便。

第 3–5 行：里外夹逼的图（详见「图解」一节）

红色小矩形塞在 $E$ 里（对应 $J_{*} ），$ 青绿色矩形盖在 $E$ 外（对应 $J^{*} ）。$ 红、青绿两个公式就是定义 10 用「有限个 $R_{k}$ 的并」重新写了一遍，颜色和图里一一对应。

第 6–7 行：乔丹测度的根基——有限区间逼近

老师用红圈把 finite interval approximation 圈起来，意思是：乔丹的一切都建立在「有限个区间」上。这是它的优点（简单、直观、和黎曼积分配套），也是它的死穴（见第 17 页）。

第 8–9 行：外容量的两条性质

老师把 $J^{*}$ 写成 $μ_{J}^{*}$ （下标 J 表示 Jordan，上标 $*$ 表示「外」）。方框里写了它的两条性质：

次可加性： $μ_{J}^{*} (⋃_{k} A_{k}) \leq \sum_{k} μ_{J}^{*} (A_{k}) 。$ 把几块分别盖住，拼起来就盖住了整体，所以整体的最省覆盖不会比各块之和更贵。注意：对乔丹外容量，这只对有限个 $A_{k}$ 成立。对可数多个会失败： $Q \cap [0, 1]$ 是可数多个单点的并，每个单点外容量为 0，和为 0，可第 17 页会算出 $J^{*} (Q \cap [0, 1]) = 1 。$ 老师这里没写求和范围，读的时候要理解成有限和。
平移不变： $μ_{J}^{*} (E + t) = μ_{J}^{*} (E) 。$ 把集合整体挪动 $t ，$ 盖住它的初等集也跟着挪，长度不变。

证明见「推导」一节。这两条性质在第 18 页的勒贝格外测度里都会保留，而且次可加性会被加强到可数个。

图解

图解：红块从里面塞，青绿块从外面盖

坐标轴与蓝色区域：老师在平面上画图（二维的「面积」比一维的「长度」好画），蓝色曲线围成的区域就是要测量的集合 $E 。$ 一维的情形完全一样，只是矩形换成区间。
红色小矩形：全都在 $E$ 内部，拼成一个「内逼近」。它们的总面积 $\leq E$ 的面积。换更多、更小的红矩形，可以把 $E$ 的内部填得更满，总面积变大。所有这些总面积的上确界就是内容量 $J_{*} (E)$ （下方红色公式）。
青绿色矩形：比较大，合起来盖住了整个 $E ，$ 包括边界。它们的总面积 $\geq E$ 的面积。换更小、更贴边的矩形，覆盖越来越省。所有覆盖总面积的下确界就是外容量 $J^{*} (E)$ （下方青绿色公式）。
读图的要点：红与青绿之间的「缝隙」集中在 $E$ 的边界附近。边界越「好」（像这里的光滑曲线），缝隙就能挤到任意小， $J_{*} = J^{*} ，$ $E$ 乔丹可测。如果 $E$ 的边界「很胖」、到处都是边界（例如有理数集，每个点都是边界点），缝隙永远挤不掉——那就是第 17 页的情形。
每种颜色都只用有限个矩形：这正是右边红圈里的 finite interval approximation。

例子

例 1：区间和有限个区间的并

$E = [0, 1] ：$ $K = [0, 1]$ 自己就塞得进去， $J_{*} \geq 1 ；$ $O = [0, 1]$ 自己就盖得住， $J^{*} \leq 1 。$ 又 $J_{*} \leq J^{*} ，$ 所以 $J_{*} = J^{*} = 1 ，$ $J ([0, 1]) = 1 。$
$E = (0, 1) ：$ 塞进去的 $K = [\frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n}]$ 长度 $1 - \frac{2}{n} \to 1 ，$ 所以 $J_{*} \geq 1 ；$ $O = [0, 1]$ 盖得住， $J^{*} \leq 1 。$ 所以 $J ((0, 1)) = 1 。$ 端点不影响长度。
$E = [0, 1] \cup [2, 2.5] ：$ 和第 1 条一样， $K = E$ 自己就塞得进去， $O = E$ 自己就盖得住；两段不重叠，长度相加得 $1 + 0.5 = 1.5 ，$ 所以 $J_{*} = J^{*} = 1.5 ，$ $J (E) = 1.5 。$

例 2：一个可数集，却是乔丹可测的

$E = {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots}$ （无穷多个点，都在 $[0, 1]$ 里）。

内容量：任何非退化的区间里都有不属于 $E$ 的点，塞进去的初等集只能由单点组成，长度 0。所以 $J_{*} (E) = 0 。$
外容量：任给 $ε > 0$ （比如 $0.01 ）。$ 区间 $[0, ε]$ 盖住了所有 $\frac{1}{n} \leq ε$ 的点（ $n \geq \frac{1}{ε} ），$ 只剩有限个点 $\frac{1}{n} > ε$ 没盖住（ $ε = 0.01$ 时是 $1, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{99} ，$ 共 99 个）。给这有限个点每个套一个很短的小区间，总长再加不超过 $ε 。$ 于是有一个初等集 $O \supseteq E ，$ $∣ O ∣ \leq 2 ε 。$ $ε$ 任意小，所以 $J^{*} (E) = 0 。$
结论： $J_{*} = J^{*} = 0 ，$ $E$ 乔丹可测， $J (E) = 0 。$ 关键在于这些点越来越挤向 0，一个区间 $[0, ε]$ 就能一口气盖住几乎所有点。

例 3（反例预告）：有理数集不是乔丹可测的

$E = Q \cap [0, 1]$ （ $[0, 1]$ 里的全体有理数）。任何非退化的区间里都有无理数，所以塞在里面的初等集只能由单点组成， $J_{*} (E) = 0 ；$ 而任何盖住 $E$ 的有限个区间，必须把整个 $[0, 1]$ 盖住（除去有限个点），所以 $J^{*} (E) = 1 。$ $0 \neq = 1 ，$ 不是乔丹可测的。详细论证是下一页第 17 页的主题。

推导：一步一步来

推导证明思路

证明方框里的两条性质。次可加性：先用「下确界的逼近性质」为每一块找一个几乎最省的覆盖，再把这些覆盖拼起来。平移不变：覆盖和被覆盖的集合一起平移，所有候选长度完全不变。

性质 1（有限次可加性）：对有界集合 $A_{1}, A_{2} ，$ $J^{*} (A_{1} \cup A_{2}) \leq J^{*} (A_{1}) + J^{*} (A_{2}) 。$ （有限个的情形逐次用两个的情形即可。）

任取 $ε > 0 。$ 由下确界的逼近性质，存在初等集 $O_{1} \supseteq A_{1} ，$ $∣ O_{1} ∣ < J^{*} (A_{1}) + ε ；$ 同样存在 $O_{2} \supseteq A_{2} ，$ $∣ O_{2} ∣ < J^{*} (A_{2}) + ε 。$
$O_{1} \cup O_{2}$ 是有限个有界区间的并，重新切成不重叠的几段后仍是初等集，而且它盖住 $A_{1} \cup A_{2} 。$
两个初等集并起来，总长不超过各自总长之和（重叠的部分只算一次）： $∣ O_{1} \cup O_{2} ∣ \leq ∣ O_{1} ∣ + ∣ O_{2} ∣ 。$
由外容量的定义（下确界不超过任何一个候选值）：

J^{*} (A_{1} \cup A_{2}) \leq ∣ O_{1} \cup O_{2} ∣ \leq ∣ O_{1} ∣ + ∣ O_{2} ∣ < J^{*} (A_{1}) + J^{*} (A_{2}) + 2 ε .

这对每个 $ε > 0$ 都成立。一个数如果对任意小的 $ε$ 都小于 $c + 2 ε ，$ 它就不超过 $c$ （否则取 $ε$ 为差值的四分之一即得矛盾）。所以 $J^{*} (A_{1} \cup A_{2}) \leq J^{*} (A_{1}) + J^{*} (A_{2}) 。$

为什么这个论证推不到可数个：第 2 步要求把覆盖拼起来仍是初等集，而初等集只允许有限个区间。可数多个覆盖拼起来就不是初等集了，论证在这里断掉。第 18 页的外测度允许可数个区间，这一步才能走通。

性质 2（平移不变）： $J^{*} (E + t) = J^{*} (E) 。$

若初等集 $O \supseteq E ，$ 则 $O + t$ 也是初等集（每个区间挪动 $t ），$ 且 $O + t \supseteq E + t ，$ 长度 $∣ O + t ∣ = ∣ O ∣$ （区间 $[a, b]$ 挪成 $[a + t, b + t] ，$ 长度仍是 $b - a ）。$
反过来，盖住 $E + t$ 的初等集 $O^{'} ，$ 挪回 $- t$ 就盖住 $E ，$ 长度不变。
所以「盖住 $E$ 的初等集的长度」和「盖住 $E + t$ 的初等集的长度」是同一堆数，下确界相同。

定理 11 的一个方向（黎曼可积 ⇒ 乔丹可测）的思路：对 $[a, b]$ 的任意一种切分，上一节说过下和是某个塞在 $E$ 里的初等集的长度（ $\leq J_{*} (E) ），$ 上和是某个盖住 $E$ 的初等集的长度（ $\geq J^{*} (E) ）。$ 所以

下和 \leq J_{*} (E) \leq J^{*} (E) \leq 上和 .

黎曼可积意味着可以让「上和 − 下和」任意小，于是 $J^{*} (E) - J_{*} (E)$ 也任意小，只能等于 0，而且两者都等于积分值。另一个方向需要把初等集的端点加进切分里，思路相同，这里不展开。

常见疑问与易错点

易错点问：sup 就是最大值吗？

答：不一定。最大值必须属于集合，上确界不必。 ${1 - \frac{1}{n}}$ 没有最大值，上确界是 1。定义 10 用 sup / inf，正是因为「最好的初等集」经常不存在，只能无限逼近（例 1 第 2 条）。

易错点问：为什么初等集要求「有限个」区间？允许无穷多个不是更灵活吗？

答：乔丹（以及黎曼）的时代就是这样定义的，因为有限个区间的长度之和不需要任何极限就能算。允许可数个区间正是勒贝格的改进（第 18 页），它让「次可加性」对可数个集合也成立，从而能处理有理数集这类集合。

易错点问：乔丹外容量对可数个集合也是次可加的吗？

答：不是。老师方框里的不等式要理解成有限个 $A_{k} 。$ 反例： $Q \cap [0, 1] = ⋃_{n} {q_{n}} ，$ 每个 $J^{*} ({q_{n}}) = 0 ，$ 但 $J^{*} (Q \cap [0, 1]) = 1 > 0 + 0 + \dots$ （第 17 页）。

易错点问：可数集都不是乔丹可测的吗？

答：不是。例 2 的 ${1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots}$ 是可数集，却乔丹可测（容量 0）。关键不在「可数」，而在「稠密」：有理数在 $[0, 1]$ 里到处都有，有限个区间盖住它就必须盖住整个 $[0, 1] 。$

小结与自测

小结本页小结

初等集：有限个两两不交的有界区间之并，容量＝长度之和。
内容量 $J_{*} (E) ：$ 塞在里面的初等集长度的上确界；外容量 $J^{*} (E) ：$ 盖在外面的初等集长度的下确界；总有 $J_{*} \leq J^{*} 。$
两者相等时 $E$ 乔丹可测， $J (E)$ 为共同值；定理 11：这等价于 $1_{E}$ 黎曼可积，且 $J (E) = \int_{a}^{b} 1_{E} 。$
乔丹外容量有限次可加、平移不变；但只对有限个集合次可加。
根本限制：只用有限个区间逼近（老师红圈），因此量不了 $Q \cap [0, 1]$ （第 17 页）。

自测

1. 求 $sup {\frac{n}{n + 1} : n \geq 1}$ 和 $in f {\frac{n}{n + 1} : n \geq 1} ，$ 它们属于这个集合吗？

点开看答案

集合是 ${\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots} ，$ 递增并逼近 1。上确界是 1（每项都 $< 1 ，$ 又能任意接近 1），不属于集合；下确界是 $\frac{1}{2}$ （第一项，也是最小项），属于集合。

2. 求 $E = [0, 2] \cup {5}$ 的内容量和外容量。它乔丹可测吗？

点开看答案

塞进去： $[0, 2] \cup {5}$ 本身就是初等集（区间加一个单点），长度 $2 + 0 = 2 ，$ 所以 $J_{*} \geq 2 ；$ 盖住：同一个初等集盖住自己， $J^{*} \leq 2 。$ 所以 $J_{*} = J^{*} = 2 ，$ 乔丹可测， $J (E) = 2 。$

3. 判断：对任何有界集合 $E ，$ 都有 $J_{*} (E) \leq J^{*} (E) 。$ 给出理由。

点开看答案

正确。任取塞在里面的初等集 $K \subseteq E$ 和盖在外面的初等集 $O \supseteq E ，$ 有 $K \subseteq O ，$ 所以 $∣ K ∣ \leq ∣ O ∣ 。$ 于是每个 $∣ K ∣$ 都是「所有 $∣ O ∣ 」$ 的下界，从而 $∣ K ∣ \leq J^{*} (E) ；$ 再对 $K$ 取上确界， $J_{*} (E) \leq J^{*} (E) 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
乔丹容量	Jordan content	用有限个区间从里、从外逼近一个集合；两边逼近值相等时才有定义。
外测度	outer measure	用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
初等集	elementary set	有限个有界区间的不交并；它的「长度」就是各区间长度之和。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
狄利克雷函数	Dirichlet function	在有理点取 1、无理点取 0 的函数；黎曼不可积，勒贝格积分为 0。
次可加性	subadditivity	并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。
平移不变性	translation invariance	把集合整体平移，测度不变：μ(E + t) = μ(E)。长度就有这个性质。
稠密	dense	任何一小段区间里都能找到它的点，例如有理数在实数轴上稠密。