06 分布是推前概率测度 · 第2讲 · 高等概率论逐页精讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

随机变量 $X$ 把 $Ω$ 上的概率「搬运」到取值空间 $S$ 上： $S$ 里的集合 $B$ 分到的概率，就是「 $X$ 落进 $B 」$ 的概率 $P (X \in B) 。$ 搬过去以后得到的这个 $S$ 上的概率测度，叫 $X$ 的分布（law / distribution），记作 $L (X) = P \circ X^{- 1} 。$

位置：第 1 部分第 3 页。第 4 页定义了随机变量，第 5 页定义了期望（在 $Ω$ 上积分）；本页把视角从 $Ω$ 换到取值空间 $S 。$
为什么需要： $Ω$ 往往很复杂（一整条价格路径、无穷次抛硬币……），而且我们通常根本不知道它具体长什么样。统计学家能观察到的只是「 $X$ 取各种值的概率」，也就是分布。下一页第 7 页会证明：算 $E g (X)$ 只需要分布，不需要 $Ω$ 。
标题里的 pushforward（推前）就是「沿着 $X$ 把 $P$ 往前推」的意思。

先补基础

基础补课复合记号 ∘

$g \circ f$ 读作「 $g$ 圈 $f 」，$ 意思是「先做 $f ，$ 再做 $g 」：$ $(g \circ f) (x) = g (f (x)) 。$
在这里， $X^{- 1}$ 把 $S$ 的子集 $B$ 变成 $Ω$ 的子集 $X^{- 1} (B) ，$ $P$ 再把它变成一个数。所以 $P \circ X^{- 1}$ 就是「先取原像，再算概率」： $(P \circ X^{- 1}) (B) = P (X^{- 1} (B)) .$

基础补课概率测度要满足什么（回顾）

可测空间 $(S, M)$ 上的概率测度 $μ$ 是一个函数 $μ : M \to [0, 1] ，$ 满足（测度空间）：

$μ (\emptyset) = 0 ，$ $μ (S) = 1 ；$
可数可加性：若 $B_{1}, B_{2}, \dots \in M$ 两两不交（任意两个没有公共元素），则 $μ (⋃_{n} B_{n}) = \sum_{n} μ (B_{n}) 。$

要证明一个东西是概率测度，就逐条检查这两条。

基础补课点质量 δₓ

对 $S$ 中的一点 $x ，$ 定义 $δ_{x} (B) = 1$ （若 $x \in B ），$ $= 0$ （若 $x \in / B ）。$ 它是一个概率测度：把全部质量 1 都放在点 $x$ 上，叫点质量或狄拉克测度（Dirac measure）。例： $δ_{3} ([2, 5]) = 1 ，$ $δ_{3} ((3, 5]) = 0 。$ 有限个点质量的加权和，例如 $\frac{1}{2} δ_{0} + \frac{1}{2} δ_{1} ，$ 表示「以概率 $\frac{1}{2}$ 取 0、以概率 $\frac{1}{2}$ 取 1」。

课件原文逐句精读

课件原文Definition 4 (Law or distribution)

Let $X$ be an $S$ -valued random variable.

中文翻译

定义 4（分布） 设 $X$ 是一个取值于 $S$ 的随机变量。（其余内容课件留白，见下一节。）

Law 和 distribution 是同义词，中文都叫「分布」。英文文献里 law 更常见于测度论写法，distribution 更常见于应用写法。
$S$ -valued random variable：取值于可测空间 $(S, M)$ 的随机元（第 4 页的定义 1）。这里沿用了第 4 页的舞台：概率空间 $(Ω, F, P)$ 和可测空间 $(S, M) 。$

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定义 4（分布）

设 $X : (Ω, F, P) \to (S, M)$ 是随机元。 $X$ 的分布（law, distribution）是 $(S, M)$ 上的集合函数

L (X) := P \circ X^{- 1}, 即 L (X) (B) = P (X^{- 1} (B)) = P (X \in B), B \in M .

它是 $(S, M)$ 上的一个概率测度，也称为 $P$ 在 $X$ 下的推前测度（pushforward measure）。常用记号还有 $P_{X} 、$ $μ_{X} 。$ 若 $L (X) = μ ，$ 写作 $X \sim μ$ （读作「 $X$ 服从 $μ 」）；$ 若两个随机元 $X, Y$ 的分布相同，称它们同分布，写作 $X = d Y 。$

逐条解释：

定义域是 $M$ ：分布只对取值空间里「允许问的集合」给出概率。 $P (X^{- 1} (B))$ 有意义，正是因为 $X$ 可测保证了 $X^{- 1} (B) \in F$ ——这是第 4 页要求可测的第二个回报。
它活在 $S$ 上，不在 $Ω$ 上： $P$ 是 $Ω$ 上的测度， $L (X)$ 是 $S$ 上的测度。对实值随机变量， $L (X)$ 是 $(R, B (R))$ 上的测度。
它丢掉了关于 $Ω$ 的信息：只记录「取值落在哪里的概率」，不记录「是哪个 $ω$ 造成的」。所以不同的随机变量可以有相同的分布（例 2）。

命题（分布是概率测度）

在定义 4 的设定下， $L (X)$ 是 $(S, M)$ 上的概率测度。

推导证明思路

逐条检查概率测度的定义。关键观察只有一个：原像保持「不交」和「并」，所以 $P$ 的可数可加性原封不动地搬到 $S$ 上。

有定义且取值在 $[0, 1]$ ：对 $B \in M ，$ $X^{- 1} (B) \in F$ （ $X$ 可测），所以 $P (X^{- 1} (B))$ 有意义，且在 $[0, 1]$ 里。
空集和全空间： $X^{- 1} (\emptyset) = \emptyset$ （没有 $ω$ 能让 $X (ω)$ 落进空集），所以 $L (X) (\emptyset) = P (\emptyset) = 0 。$ $X^{- 1} (S) = Ω$ （每个 $X (ω)$ 都在 $S$ 里），所以 $L (X) (S) = P (Ω) = 1 。$
原像保持两两不交：设 $B_{1}, B_{2}, \dots$ 两两不交。若某个 $ω$ 同时属于 $X^{- 1} (B_{i})$ 和 $X^{- 1} (B_{j})$ （ $i \neq = j ），$ 则 $X (ω) \in B_{i} \cap B_{j} = \emptyset ，$ 不可能。所以 $X^{- 1} (B_{1}), X^{- 1} (B_{2}), \dots$ 也两两不交。
原像保持并： $X^{- 1} (⋃_{n} B_{n}) = ⋃_{n} X^{- 1} (B_{n})$ （第 4 页基础补课）。
可数可加性： $L (X) (n ⋃ B_{n}) = P (n ⋃ X^{- 1} (B_{n})) = n \sum P (X^{- 1} (B_{n})) = n \sum L (X) (B_{n}) . （第 4 步）（第 3 步不交 + P 的可数可加性）（定义 4 ）$

所以 $L (X)$ 是概率测度。证毕。

分布是「一整个测度」——实际中怎么把它写出来

$L (X)$ 要对每一个博雷尔集 $B$ 给出概率，而博雷尔集多得无法一一列举。实际中有三种常见的「压缩描述」方式，本讲会逐一讲到：

描述方式	适用情形	怎么还原 $P (X \in B)$	在哪一页
列出点质量 $p_{k} = P (X = x_{k})$	离散（只取可数个值）	把 $B$ 里的点的 $p_{k}$ 加起来	本页例 1、例 3
密度 $f$	有密度（绝对连续）	$\int_{B} f (x) d x$	第 17 页
分布函数 $F (x) = P (X \leq x)$	所有实值随机变量	由 $F$ 唯一确定	第 8 页

最后一行最重要：一个普通的单变量函数 $F ，$ 就足以确定整个测度 $L (X)$ 。这就是第 2 部分「用 CDF 计算期望」的出发点。

补充更一般的推前测度

定义 4 的做法不限于概率：对任何可测映射 $T : (Ω, F) \to (S, M)$ 和 $Ω$ 上的任何测度 $μ ，$ 都可以定义 $S$ 上的测度 $μ \circ T^{- 1} ，$ 记作 $T_{#} μ$ （读作「 $T$ 推前 $μ 」）。$ 证明和上面完全一样，只是总质量不一定是 1。分布只是 $μ = P$ 时的特例。

图解

图解：沿着 X 搬运概率

课件这里没有图，可以这样画：

左边画一个椭圆代表 $Ω ，$ 里面的点是结局 $ω ；$ 右边画一条数轴（或一个椭圆）代表 $S 。$
从左边每个 $ω$ 画一根箭头指向右边的 $X (ω) 。$ 可以有很多根箭头指向同一个点（ $X$ 不必一一对应）。
在右边圈出一个集合 $B 。$ 把所有箭头落进 $B$ 的那些 $ω$ 在左边涂上颜色——涂色区域就是 $X^{- 1} (B) 。$
涂色区域的概率 $P (X^{- 1} (B)) ，$ 就是右边 $B$ 分到的概率 $L (X) (B) 。$

形象地说： $Ω$ 上每一小块概率都沿着箭头「流」到 $S$ 上，堆在箭头指向的地方。 $S$ 上某块地方最后堆了多少概率，就是分布在那里的质量。

例子

例 1：掷骰子的分布是 6 个点质量

$Ω = {1, \dots, 6} ，$ 均匀概率， $X (ω) = ω ，$ $S = R 。$ 对任意博雷尔集 $B ，$

L (X) (B) = P (X \in B) = \frac{# ( B \cap { 1 , \dots , 6 })}{6}, 即 L (X) = k = 1 \sum 6 \frac{1}{6} δ_{k} .

例如 $L (X) ([2.5, 4.2]) = P (X \in {3, 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} ，$ $L (X) ((6, \infty)) = 0 。$ 这里 $#$ 表示「元素个数」。

例 2：不同的随机变量，相同的分布

抛一枚公平硬币， $Ω = {H, T} ，$ 各占 $\frac{1}{2} 。$ 令 $X = 1_{{H}}$ （正面记 1）， $Y = 1_{{T}} = 1 - X$ （反面记 1）。

对每个 $ω ，$ $X (ω) \neq = Y (ω) ：$ 两个随机变量处处不相等。
但 $P (X = 1) = P (Y = 1) = \frac{1}{2} ，$ $P (X = 0) = P (Y = 0) = \frac{1}{2} ，$ 所以 $L (X) = L (Y) = \frac{1}{2} δ_{0} + \frac{1}{2} δ_{1} ，$ 同分布。

连续版本： $Ω = (0, 1) ，$ $P = Leb ，$ $U (ω) = ω ，$ $V (ω) = 1 - ω 。$ 对区间 $(a, b] \subseteq (0, 1) ，$ $P (V \in (a, b]) = Leb {ω : a < 1 - ω \leq b} = Leb ([1 - b, 1 - a)) = b - a = P (U \in (a, b]) ，$ 二者都是 $(0, 1)$ 上的均匀分布（它们在所有博雷尔集上也相等，理由见第 8 页「CDF 决定分布」）。

例 3：非一一对应的映射把质量「合并」

掷两颗骰子， $Ω = {1, \dots, 6}^{2} ，$ 36 个结局各占 $\frac{1}{36} 。$ 令 $X (ω_{1}, ω_{2}) = ω_{1} + ω_{2} 。$ 多个结局被 $X$ 送到同一个值，它们的概率在那里合并：

L (X) ({7}) = P ({(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}, L (X) ({2}) = \frac{1}{36} .

$Ω$ 上均匀的概率，推到 $S = {2, \dots, 12}$ 上就不再均匀了。

例 4：常数随机变量的分布是点质量

若 $X (ω) = c$ 对所有 $ω$ 成立，则 $X^{- 1} (B) = Ω$ （若 $c \in B ）$ 或 $\emptyset$ （若 $c \in / B ），$ 所以 $L (X) = δ_{c} 。$

例 5：用一个均匀随机数「造出」伯努利分布

取 $Ω = (0, 1) ，$ $P = Leb ，$ $U (ω) = ω 。$ 固定 $p \in (0, 1) ，$ 令 $X = 1_{{U \leq p}} ，$ 即 $ω \leq p$ 时 $X = 1 ，$ 否则 $X = 0 。$

$X^{- 1} ({1}) = (0, p] ，$ 概率（长度）为 $p ；$ $X^{- 1} ({0}) = (p, 1) ，$ 概率为 $1 - p 。$
所以 $L (X) = (1 - p) δ_{0} + p δ_{1} ，$ 这就是参数为 $p$ 的伯努利分布。

$Ω = (0, 1)$ 上「连续摊开」的概率，被 $X$ 压缩到两个点上。第 14 页的逆变换法会把这个想法推广到任意实值分布：只要一个均匀随机数，加上一个合适的函数，就能造出任何你想要的分布。

例 6：推前可以把质量「摊薄」

仍取 $Ω = (0, 1) ，$ $P = Leb ，$ 令 $X (ω) = 2 ω ，$ 取值于 $(0, 2) 。$ 对 $0 \leq a < b \leq 2 ，$

L (X) ((a, b]) = Leb {ω : a < 2 ω \leq b} = Leb ((\frac{a}{2}, \frac{b}{2}]) = \frac{b - a}{2} .

总质量仍是 1，但被拉伸到长度为 2 的区间上，每单位长度只分到 $\frac{1}{2} ：$ 这是 $(0, 2)$ 上的均匀分布，密度为 $\frac{1}{2} 。$ 推前保持总质量，但可以改变质量的疏密。

常见疑问与易错点

易错点问：分布相同，随机变量就相同吗？

答：不是。例 2 的 $X$ 和 $1 - X$ 处处不相等，却同分布。分布只描述「取值的统计规律」，不描述「在哪个结局上取什么值」。所以「 $X = d Y 」$ 远弱于「 $X = Y 」。$ 反过来， $X = Y$ 几乎必然时，二者一定同分布（它们的原像只在零概率集上不同）。

易错点问：𝓛(X) 和 ℙ 是同一个测度吗？

答：不是，它们住在不同的空间上。 $P$ 的输入是 $Ω$ 的子集（事件）， $L (X)$ 的输入是 $S$ 的子集（取值的集合）。二者靠 $L (X) (B) = P (X^{- 1} (B))$ 联系。写 $P (X \in B)$ 时，括号里其实是 $Ω$ 的子集 ${X \in B} 。$

易错点问：「分布」「分布函数」「密度」是一回事吗？

答：不是，要分清三个层次。

分布 $L (X) ：$ 一个测度，输入是集合 $B ，$ 输出是概率 $P (X \in B) 。$ 每个随机变量都有。
分布函数 $F_{X} (x) = L (X) ((- \infty, x]) ：$ 一个普通函数，输入是数 $x ，$ 输出是概率。只有实值随机变量才有（第 8 页）。它是分布的「压缩记录」，但不丢信息。
密度 $f_{X} ：$ 另一个普通函数，满足 $P (X \in B) = \int_{B} f_{X} 。$ 不是每个随机变量都有：掷骰子没有密度，第 19 页的康托尔分布连续却也没有密度。

中学里常把三者混着叫「分布」，本讲要严格区分。

易错点问：为什么说分布「推前」而不是「拉回」？

答：测度沿着映射的方向走： $X$ 从 $Ω$ 指向 $S ，$ $P$ 也从 $Ω$ 被送到 $S ，$ 所以叫「推前」（push forward）。而集合是逆着映射的方向走的： $S$ 里的 $B$ 被「拉回」成 $Ω$ 里的 $X^{- 1} (B) 。$ 一句话：集合往回拉，测度往前推。

小结与自测

小结本页小结

分布 $L (X) = P \circ X^{- 1} ：$ $S$ 上的集合 $B$ 得到概率 $P (X \in B) 。$
它是 $(S, M)$ 上的概率测度，因为原像保持不交与并， $P$ 的可数可加性被原样搬过去。
分布只保留取值的统计规律，丢掉了 $Ω$ 的细节：不同随机变量可以同分布。
常用例子：常数 $c$ 的分布是 $δ_{c} ；$ 离散随机变量的分布是点质量的加权和。

自测

1. 掷一颗骰子， $Y (ω) = ω mod 3$ （除以 3 的余数）。写出 $L (Y) 。$

点开看答案

$Y (1) = 1, Y (2) = 2, Y (3) = 0, Y (4) = 1, Y (5) = 2, Y (6) = 0 。$ 每个值恰有 2 个结局，概率 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} ，$ 所以 $L (Y) = \frac{1}{3} δ_{0} + \frac{1}{3} δ_{1} + \frac{1}{3} δ_{2} 。$

2. 判断：「若 $X = d Y ，$ 则 $P (X = Y) = 1 。」$

点开看答案

错。例 2 中 $X$ 与 $1 - X$ 同分布，但 $P (X = 1 - X) = 0$ （ $X$ 只取 0 或 1，永远不等于 $1 - X ）。$

3. 在分布是概率测度的证明里，哪一步用到了「 $X$ 可测」？如果 $X$ 不可测会怎样？

点开看答案

第 1 步：需要 $X^{- 1} (B) \in F ，$ $P (X^{- 1} (B))$ 才有定义。若 $X$ 不可测，存在某个 $B \in M$ 使 $X^{- 1} (B) \in / F ，$ 那么 $L (X) (B)$ 根本无法定义， $L (X)$ 就不是 $M$ 上的测度。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
原像	preimage	f⁻¹(B) 是「所有被 f 送进 B 的输入」组成的集合，可测性就是用原像定义的。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
点质量	point mass (Dirac measure)	把全部质量 1 放在一个点上：δ₀(E) = 1 当且仅当 0 ∈ E。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
逆变换法	inverse transform method	U 服从 (0,1) 上的均匀分布时，Q(U) 的分布函数恰好是 F，用来生成任意分布。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。