高维球面上的均匀分布：每个坐标近似标准正态（Poincaré–Borel）

这道题在问什么

• 考点：多元正态的旋转不变性（第 4 讲 第 19 页）、弱大数定律、连续映射定理（第 3 讲 第 17 页）、Slutsky 定理、依分布收敛。
• 题目本身的笔误：对固定的 $d，$$X^i$ 不可能恰好是正态（它的绝对值不超过 $\sqrt{d}）。$正确的结论是 $d\to \infty$ 时依分布收敛，见下文。
• 出处：Durrett《Probability: Theory and Examples》中关于球面均匀分布的定理；这个结论常被称为 Poincaré–Borel 引理，在统计物理里对应 Maxwell 速度分布。

先补基础

题目与原解答

原解答的思路（左栏）：用提示 (4) 构造 $X，$论证 $\frac{Y}{\Vert Y\Vert }$ 在单位球面上均匀分布；再由弱大数定律 $\frac{1}{d}\sum Y_i^2\to 1$ 和连续映射定理，得到 $X^i\Rightarrow N(0,1)。$思路正确，但有几处笔误，并且漏掉了关键的两步理由（见「原解答逐行对照」）。

思路：怎么想到的

• 直接计算球面均匀分布的坐标分布要用到球面面积的积分，比较麻烦。
• 换个角度：构造一个球面上的均匀随机点。标准正态向量 $Y$ 的分布是旋转不变的，把它的方向 $\frac{Y}{\Vert Y\Vert }$ 取出来，方向也是旋转不变的，于是就是单位球面上的均匀分布（提示 (3)）。
• 放大到半径 $\sqrt{d}：$$X=\sqrt{d}\frac{Y}{\Vert Y\Vert }，$第一个坐标是 $\frac{Y_1}{\sqrt{\frac{1}{d}{\sum }_{i\le d}{Y}_i^2}}。$
• 分母是 $d$ 个 $Y_i^2$ 的平均值，$\mathbb{E}{Y}_i^2=1，$由大数定律趋于 1；分子就是一个标准正态 $Y_1。$于是 $X^1\approx Y_1。$

完整解答

第 1 步（构造）：设 $Y_1,Y_2,\dots$ i.i.d. $N(0,1)。$对每个 $d，$令 $Y^{(d)}=(Y_1,\dots ,Y_d)，$$R_d=\Vert Y^{(d)}\Vert =\sqrt{Y_1^2+\cdots +Y_d^2}。$$\mathbb{P}(R_d=0)=\mathbb{P}(Y_1=\cdots =Y_d=0)=0，$所以几乎必然 $R_d>0。$令

第 2 步（$X_d$ 在半径 $\sqrt{d}$ 的球面上均匀分布）：$\Vert X_d\Vert =\sqrt{d}，$在球面上。设 $O$ 是正交矩阵。由「标准多元正态的旋转不变性」，$O{Y}^{(d)}$ 与 $Y^{(d)}$ 同分布；又 $\Vert O{Y}^{(d)}\Vert =R_d，$所以

（两边是同一个函数 $y\mapsto \sqrt{d}y/\Vert y\Vert$ 作用在同分布的向量上。）所以 $X_d$ 的分布是旋转不变的，由唯一性（提示 (3)），它就是球面上的均匀分布。于是题目中的 $X$ 与这里构造的 $X_d$ 同分布，只需研究 $X_d^1。$

第 3 步（分母趋于 1）：$Y_i^2$ i.i.d.，$\mathbb{E}{Y}_i^2=1。$由弱大数定律，$\frac{R_d^2}{d}=\frac{1}{d}{\sum }_{i=1}^d{Y}_i^2\to 1$ 依概率。$g(v)=\frac{1}{\sqrt{v}}$ 在 $v=1$ 处连续，由连续映射定理，

第 4 步（Slutsky）：$X_d^1=Y_1\cdot W_d。$$Y_1\sim N(0,1)，$与 $d$ 无关，当然依分布收敛到 $N(0,1)；$$W_d\to 1$ 依概率。由 Slutsky 定理（乘法形式），$X_d^1\Rightarrow N(0,1)。$对每个固定的 $i，$$X_d^i=Y_i\cdot W_d，$论证一字不改，同样得到 $X_d^i\Rightarrow N(0,1)。$$■$

一个更强的副产品：第 3 步用强大数定律可以得到 $W_d\to 1$ 几乎必然，于是在这个构造下 $X_d^1=Y_1{W}_d\to Y_1$ 几乎必然。也就是说，可以把所有维数的球面均匀点放在同一个概率空间上，让它们的第一个坐标几乎必然收敛到同一个标准正态变量。

原解答逐行对照

1. 「Let $X^i=Y_i/({\sum }_{i=1}^d{Y}_i^2/d{)}^{1/2}$ ... the random vector is $Y=(Y_1,\cdots ,Y_n)\sim \mathcal{N}(0,I_d)」$：意思是「令 $X^i=Y_i/({\sum }_{i=1}^d{Y}_i^2/d{)}^{1/2}\dots \dots$其中随机向量 $Y=(Y_1,\cdots ,Y_n)$ 服从标准正态分布 $\mathcal{N}(0,I_d)」。$$Y_n$ 应为 $Y_d。$
2. 「Since the uniformly distributed over the surface of the unit sphere is the only distribution which is invariant to rotation ... For any orthogonal matrix $A$, we have $\frac{Y}{\Vert Y{\Vert }_2}{=}_{\mathcal{D}}\frac{AY}{\Vert Y{\Vert }_2}」$：意思是「因为单位球面上的均匀分布是唯一一个旋转不变的分布……对任意正交矩阵 $A，$$\frac{Y}{\Vert Y{\Vert }_2}$ 与 $\frac{AY}{\Vert Y{\Vert }_2}$ 同分布」。结论正确，但这一步需要两个理由，原解答都没有写：① $AY$ 与 $Y$ 同分布（标准正态密度只依赖于 $\Vert y\Vert ，$提示 (1)）；② $\Vert AY\Vert =\Vert Y\Vert$（提示 (2)）。
3. 「Thus $\frac{Y}{\Vert Y{\Vert }_2}=(Y_1/\sum Y_i^2,\cdots ,Y_i/\sum Y_i^2)」$：分母漏了平方根，应为 $Y_1/(\sum Y_i^2{)}^{1/2}。$
4. 「Then $X_n{=}_{\mathcal{D}}\sqrt{d}\frac{Y}{\Vert Y{\Vert }_2}」$：$X_n$ 应为 $X。$正确。
5. 「So we can get $Y_i/(\sum Y_i^2/n{)}^{1/2}{\to }_{\text{weak}}\mathcal{N}(0,1)」$：意思是「于是可以得到 $Y_i/(\sum Y_i^2/n{)}^{1/2}$ 依分布收敛到 $\mathcal{N}(0,1)」$（${\to }_{\text{weak}}$ 就是依分布收敛）。这是要证的结论，放在论证之前写出来了（顺序颠倒）；$n$ 应为 $d。$
6. 「by WLLN, $\sum Y_i^2/d{\to }_{p}1$ ... weo we get $\sum Y_i^2/n{\to }_{\text{weak}}1」$：意思是「由弱大数定律，$\sum Y_i^2/d$ 依概率收敛到 1……所以 $\sum Y_i^2/n$ 依分布收敛到 1」。weo 是 so 的笔误。依概率收敛到常数推出依分布收敛到常数，正确。
7. 「By Continuous Mapping Theorem, $(\sum Y_i^2/n{)}^{-1/2}{\to }_{\text{weak}}1$, hence $Y_i\cdot (\sum Y_i^2/n{)}^{-1/2}{\to }_{\text{weak}}N(0,1)」$：「hence」这一步是 Slutsky 定理，原解答没有点名。注意：仅凭「$U_d\Rightarrow U$ 且 $W_d\Rightarrow 1」$就能推出乘积收敛，正是因为 $W_d$ 的极限是常数（这时依分布收敛等价于依概率收敛）。

例子与数值验证

拓展延伸

常见疑问与易错点

小结与自测