30 示性函数与简单函数：积分的「原子」 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

先挑最简单的可测函数：只取有限个值的函数（简单函数）。它们都能用「开关函数」 $1_{A}$ 搭出来。对它们，积分只需一个最朴素的公式：每个取值 × 取这个值的集合有多大，再全部加起来。

上一页第 29 页说明了哪些函数有资格被积分（可测函数）。但一般的可测函数可能很复杂，没法直接算面积。
这一页的策略是「先从积木开始」：
1. 定义 21：示性函数 $1_{A} ，$ 最小的积木；
2. 定义 22：非负简单函数，用有限块积木搭成的「台阶」；
3. 定义 23：简单函数的积分，台阶的面积；
4. 推论 24：积木 $1_{A}$ 的积分恰好是 $μ (A) 。$
之后第 31 页、第 32 页检查这个积分定义是否合理，第 33 页再用「从下方逼近」把积分推广到一般的非负可测函数。
在概率里，这一页的公式就是离散随机变量的期望 $E [X] = \sum_{k} x_{k} P (X = x_{k}) ，$ 推论 24 就是 $E [1_{A}] = P (A) 。$

先补基础

基础补课求和符号 Σ

$\sum_{k = 1}^{r} c_{k}$ 读作「 $k$ 从 1 到 $r ，$ 把 $c_{k}$ 加起来」，也就是 $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{r} 。$
下标 $k$ 只是计数用的名字，换成 $i 、$ $j$ 意思不变。
例： $\sum_{k = 1}^{3} k^{2} = 1 + 4 + 9 = 14 。$

基础补课函数的值域、「不同的值」

函数 $s$ 的值域（range）是它实际取到的所有值组成的集合 ${s (x) : x \in S} 。$
值域有限： $s$ 总共只取有限多个不同的值。比如掷骰子时「点数是偶数记 1，奇数记 0」这个函数，值域是 ${0, 1} 。$
distinct values 指「互不相同的值」：把重复的值只算一次。例如 $s$ 在 $1, 2, 3$ 三个点上分别取 $5, 5, 7 ，$ 那么它的不同的值只有 $5$ 和 $7$ 两个。

基础补课函数的加法与数乘（逐点运算）

两个函数相加、函数乘以常数，都是逐点进行的： $(a 1_{A} + b 1_{B}) (x) = a 1_{A} (x) + b 1_{B} (x) 。$
所以 $\sum_{k = 1}^{r} a_{k} 1_{A_{k}}$ 是一个函数，它在点 $x$ 的值是 $\sum_{k} a_{k} 1_{A_{k}} (x) 。$
例： $A = [0, 2] ，$ $B = [1, 3] ，$ $g = 1_{A} + 1_{B} 。$ 在 $x = 0.5$ 处只有 $1_{A}$ 等于 1， $g (0.5) = 1 ；$ 在 $x = 1.5$ 处两个都等于 1， $g (1.5) = 2 ；$ 在 $x = 5$ 处都为 0， $g (5) = 0 。$

基础补课分割：两两不交、并起来是全体

一族集合 $A_{1}, \dots, A_{r}$ 叫作 $S$ 的一个分割（partition），如果它们两两不交（任意两个没有公共点）并且并起来恰好是 $S$ 。
通俗地说：把 $S$ 里的每个点恰好分进一个格子，不遗漏、不重复。
例： ${1, 2, 3} 、$ ${4, 5} 、$ ${6}$ 是 ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 的一个分割。

基础补课带 ∞ 的算术

测度可以等于 $\infty$ （例如整条实数轴的长度），所以要约定含 $\infty$ 的运算：

对 $a \geq 0 ：$ $a + \infty = \infty ；$
对 $a > 0 ：$ $a \cdot \infty = \infty ；$
特别约定： $0 \cdot \infty = 0$ （为什么这样约定，下面精读定义 23 时细讲）。
注意： $\infty - \infty$ 没有定义，所以我们暂时只处理非负函数，保证求和时只做加法、不做减法。

课件原文逐句精读

课件原文Definition 21 (Indicator)

1_{A} (x) := {1, 0, x \in A, x \in / A . (A \in S) .

中文翻译

定义 21（示性函数） 对 $A \in S ，$ 定义 $1_{A} (x) = 1$ （当 $x \in A ），$ $1_{A} (x) = 0$ （当 $x \in / A ）。$

Indicators are the atomic measurable functions｜示性函数是最基本的可测函数

示性函数（indicator function） $1_{A}$ 像一个开关：点在 $A$ 里就亮（取 1），不在就灭（取 0）。读作「 $A$ 的示性函数」。
它把集合变成函数：知道 $1_{A}$ 就知道 $A$ （ $A$ 就是 $1_{A}$ 取 1 的那些点），反之亦然。
定义后面括号里的 $(A \in S)$ 要求 $A$ 可测。原因在第 29 页例 3： $1_{A}$ 是可测函数当且仅当 $A \in S 。$ 所以只有可测集的示性函数才能进入积分。
蓝条标题说它们是 atomic（原子的）：下面会看到，所有简单函数都由示性函数乘上常数再相加得到，就像分子由原子组成。

课件原文Definition 22 (Nonnegative simple function)

A measurable function $s : S \to [0, \infty)$ is a nonnegative simple function if its range is finite. If its distinct values are $a_{1}, \dots, a_{r}$ , then its canonical representation is

s = k = 1 \sum r a_{k} 1_{A_{k}}, A_{k} = {s = a_{k}}, S = k = 1 ⋃ r A_{k} .

中文翻译

定义 22（非负简单函数） 一个可测函数 $s : S \to [0, \infty) ，$ 如果它的值域是有限集，就称为非负简单函数。若它互不相同的取值是 $a_{1}, \dots, a_{r} ，$ 那么它的标准表示是

s = k = 1 \sum r a_{k} 1_{A_{k}}, A_{k} = {s = a_{k}}, S = k = 1 ⋃ r A_{k} .

逐个条件看：

measurable（可测）：保证每个 $A_{k}$ 都是可测集，后面才能算 $μ (A_{k}) 。$
$s : S \to [0, \infty)$ ：取值非负并且有限（注意右端是圆括号，不含 $\infty ）。$ 非负是为了求和时只做加法；不取 $\infty$ 是为了让「台阶的高度」都是普通的数。
range is finite（值域有限）：函数只取有限个不同的值，所以图像是有限级「台阶」。这就是 simple（简单）的含义。
$A_{k} = {s = a_{k}}$ ：第 $k$ 个格子装的是「取值恰好为 $a_{k}$ 的所有点」。因为 $s$ 可测，由第 29 页推导第 5 步， ${s = a_{k}}$ 是可测集。
$S = ⋃_{k = 1}^{r} A_{k}$ ：每个点都取某一个值，所以落在某一个格子里；不同的值对应不同的格子，所以格子两两不交。于是 $A_{1}, \dots, A_{r}$ 构成 $S$ 的一个分割。
为什么 $s = \sum a_{k} 1_{A_{k}}$ 成立：任取一点 $x ，$ 它恰好落在一个格子 $A_{j}$ 里，于是右边只有 $1_{A_{j}} (x) = 1 ，$ 其余都是 0，右边等于 $a_{j} ；$ 而左边 $s (x)$ 按 $A_{j}$ 的定义也等于 $a_{j} 。$ 两边在每个点都相等。
canonical（标准） 的意思：这种写法由 $s$ 唯一确定（除了各项的先后顺序）。因为「不同的值有哪些」和「每个值由哪些点取到」都是 $s$ 自己决定的，没有选择的余地。

定义 22（非负简单函数与标准表示）

可测函数 $s : S \to [0, \infty)$ 若只取有限个值，称为非负简单函数（simple function）。设它的全部不同取值为 $a_{1}, \dots, a_{r} ，$ 令 $A_{k} = {s = a_{k}} ，$ 则 $A_{1}, \dots, A_{r}$ 是 $S$ 的可测分割，并且

s = k = 1 \sum r a_{k} 1_{A_{k}} (标准表示) .

课件原文Definition 23 (Simple integral)

\int_{S} s d μ := k = 1 \sum r a_{k} μ (A_{k}), 0 \cdot \infty := 0.

中文翻译

定义 23（简单积分） 对标准表示为 $s = \sum_{k = 1}^{r} a_{k} 1_{A_{k}}$ 的非负简单函数，定义它的积分为 $\int_{S} s d μ = \sum_{k = 1}^{r} a_{k} μ (A_{k}) ，$ 并约定 $0 \cdot \infty = 0 。$

读法： $\int_{S} s d μ$ 读作「 $s$ 在 $S$ 上关于 $μ$ 的积分」。 $\int_{S}$ 表示在整个空间上积分， $s$ 是被积函数， $d μ$ 说明用哪把尺子（哪个测度）量。老师在 $d μ$ 和右边的 $μ (A_{k})$ 下面都画了双线，就是在对应这两处：左边写 $d μ ，$ 右边就用 $μ$ 去量每个格子。
公式的意思：第 $k$ 级台阶的高度是 $a_{k} ，$ 底座是集合 $A_{k} ，$ 底座的「宽度」是 $μ (A_{k}) ；$ 这一级的面积是「高 × 宽」 $= a_{k} μ (A_{k}) ；$ 所有台阶面积加起来就是积分。
和黎曼积分的区别（回忆第 26 页）：黎曼的台阶底座只能是区间；这里的底座 $A_{k}$ 可以是任何可测集，比如有理数集。
可能等于 $\infty$ ：若某个 $a_{k} > 0$ 而 $μ (A_{k}) = \infty ，$ 这一项就是 $\infty ，$ 积分等于 $\infty 。$ 因为每一项都 $\geq 0 ，$ 不会出现 $\infty - \infty ，$ 所以积分总是有定义的，值在 $[0, \infty]$ 中。

0 · ∞ := 0｜为什么这样约定

会在哪里遇到：函数在一个测度为无穷的集合上取值 0。例如在整条实数轴上（勒贝格测度）取 $s = 1_{[0, 1]} ，$ 它的标准表示是 $1 \cdot 1_{[0, 1]} + 0 \cdot 1_{R ∖ [0, 1]} ，$ 第二项是「高度 0 × 宽度 $\infty 」。$
为什么取 0：一个高度为 0 的矩形，不管底有多宽，面积都应该是 0。如果不这样约定，连「处处为 0 的函数」在实数轴上的积分都没法定义，那就太荒唐了。
一致性：有了这个约定， $\int 1_{[0, 1]} d Leb = 1 \cdot 1 + 0 \cdot \infty = 1 ，$ 正好是区间长度，符合直觉。
提醒：这只是乘积数值的约定，不是求极限的规则。例如 $n \cdot \frac{1}{n} = 1 ，$ 当 $n \to \infty$ 时它的极限是 1，不是 $0 \cdot \infty$ 的「0」。

课件原文Corollary 24 (Indicator identity)

For $A \in S$ , $\int_{S} 1_{A} d μ = μ (A)$ .

中文翻译

推论 24（示性函数恒等式） 对 $A \in S ，$ 有 $\int_{S} 1_{A} d μ = μ (A) 。$

意思：积木 $1_{A}$ 的积分就是集合 $A$ 的测度。积分是测度的推广：测度量「集合」，积分量「函数」，而示性函数把两者连起来。
概率版本： $E [1_{A}] = P (A) ，$ 「事件 $A$ 发生的次数（0 或 1）的期望 = 事件的概率」。这是概率论里最常用的恒等式之一。
证明见下面板书第 5–7 条和「推导」一节。

推论 24（示性函数恒等式）

对每个可测集 $A \in S ，$ $\int_{S} 1_{A} d μ = μ (A) 。$

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

在定义 22 中把 simple function 圈了出来。
在标准表示上方写：classify of the range（意思是「按值域分类」，即 classify by the range）。
把 $s = \sum_{k = 1}^{r} a_{k} 1_{A_{k}}$ 左边的 $s$ 圈出，又把右边的和式 $\sum_{k = 1}^{r} a_{k} 1_{A_{k}}$ 整体圈出；从这个圈画一条箭头，一直指到定义 23 中 $\int_{S} s d μ$ 里的 $s 。$
把 $\int_{S} s d μ$ 整体圈出；在 $d μ$ 下面画双线，在右边的 $μ (A_{k})$ 下面也画双线。
在推论 24 右上方写： $1_{A} = 1 \cdot 1_{A} + 0 \cdot 1_{A}$ （最后一项的下标看起来是 $A ，$ 没有写补集记号；按数学意思应为 $A^{c} ）。$
在推论 24 的 $\int_{S} 1_{A} d μ$ 中， $1_{A}$ 下面画了双线。
在推论 24 下面写： $= μ (A) + 0 = μ (A)$ . #

第 1–2 条「按值域分类」：这是标准表示的核心思想。不要按「 $x$ 在哪一段」来切 $S$ （那是黎曼的切法），而是按「 $s (x)$ 取哪个值」把点分组：取值 $a_{1}$ 的点放进 $A_{1} ，$ 取值 $a_{2}$ 的点放进 $A_{2} \dots\dots$ 先看值，再找点，这正是勒贝格积分的精神。

第 3 条的箭头：提醒你积分定义里的 $s$ 必须先写成标准表示 $\sum a_{k} 1_{A_{k}} ，$ 然后才能套用公式 $\sum a_{k} μ (A_{k})$ ——公式里的 $a_{k}$ 和 $A_{k}$ 就是从标准表示里读出来的。

第 4 条的双线：左边的 $d μ$ 和右边的 $μ (A_{k})$ 是同一个 $μ 。$ 换一个测度（比如从长度换成某个概率），同一个函数的积分就会变。

第 5–7 条：推论 24 的证明。老师把 $1_{A}$ 看成取两个值 1 和 0 的简单函数：取 1 的点组成 $A ，$ 取 0 的点组成 $A^{c} 。$ 所以它的标准表示是 $1_{A} = 1 \cdot 1_{A} + 0 \cdot 1_{A^{c}} 。$ 套用定义 23：

\int_{S} 1_{A} d μ = 1 \cdot μ (A) + 0 \cdot μ (A^{c}) = μ (A) + 0 = μ (A) .

中间的「 $+ 0 」$ 正是用到了约定 $0 \cdot \infty = 0 ：$ 即使 $μ (A^{c}) = \infty ，$ 这一项也是 0。末尾的 # 是老师表示「证明完毕」的记号。

例子

例 1：掷骰子的奖金——简单积分就是期望

$S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ，$ $S = 2^{S} ，$ 每个点的概率是 $\frac{1}{6}$ （即 $μ = P ）。$ 游戏规则：掷出 1、2、3 不给钱，掷出 4、5 给 2 元，掷出 6 给 10 元。奖金函数 $s$ 的不同取值是 $0, 2, 10 ，$ 标准表示为

s = 0 \cdot 1_{{1, 2, 3}} + 2 \cdot 1_{{4, 5}} + 10 \cdot 1_{{6}} .

按定义 23：

\int_{S} s d P = 0 \cdot \frac{3}{6} + 2 \cdot \frac{2}{6} + 10 \cdot \frac{1}{6} = 0 + \frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.33.

这正是中学学过的「期望奖金」 $\sum (奖金) \times (概率) 。$ 测度论的积分就是期望的推广。

例 2：按值合并——两段不相连的台阶合进同一个格子

在 $([0, 3], B, Leb)$ 上，令 $s (x) = 1$ （ $0 \leq x < 1 ），$ $s (x) = 3$ （ $1 \leq x < 2 ），$ $s (x) = 1$ （ $2 \leq x \leq 3 ）。$

不同的值只有 $1$ 和 $3$ 两个（值 1 虽然出现在两段上，只算一个值）。
$A_{1} = {s = 1} = [0, 1) \cup [2, 3] ，$ 长度 $1 + 1 = 2 ；$ $A_{2} = {s = 3} = [1, 2) ，$ 长度 $1 。$
标准表示： $s = 1 \cdot 1_{[0, 1) \cup [2, 3]} + 3 \cdot 1_{[1, 2)} 。$
积分： $\int s d Leb = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 5 。$

用画图核对：三个矩形面积分别是 $1 \times 1 、$ $3 \times 1 、$ $1 \times 1 ，$ 和为 5，一致。注意标准表示的格子 $A_{1}$ 不是一个区间，这正是「按值域分类」和黎曼切法的不同。

例 3：底座是有理数集的台阶

在 $([0, 1], B, Leb)$ 上，令 $s (x) = 2$ （ $x$ 是有理数）， $s (x) = 5$ （ $x$ 是无理数）。

标准表示： $s = 2 \cdot 1_{Q \cap [0, 1]} + 5 \cdot 1_{[0, 1] ∖ Q} 。$
$Leb (Q \cap [0, 1]) = 0$ （可数集是零测集，见第 28 页），所以 $Leb ([0, 1] ∖ Q) = 1 - 0 = 1 。$
积分： $2 \cdot 0 + 5 \cdot 1 = 5 。$

这个函数处处不连续，黎曼积分不存在：任何一小段区间里既有有理数也有无理数，所以每一格上的最低值都是 2、最高值都是 5，下和永远是 2、上和永远是 5，夹不到一起（和第 28 页的狄利克雷函数是同一个道理）。但简单积分毫不费力。

例 4：0 · ∞ 的约定在起作用

在 $(R, B, Leb)$ 上， $s = 4 \cdot 1_{[0, \frac{1}{2}]} 。$ 它的不同取值是 $4$ 和 $0 ：$

\int_{R} s d Leb = 4 \cdot Leb ([0, \frac{1}{2}]) + 0 \cdot Leb (R ∖ [0, \frac{1}{2}]) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \infty = 2 + 0 = 2.

没有 $0 \cdot \infty = 0$ 这条约定，这个一眼就能看出等于 2 的积分都算不出来。

例子反例：这些都不是非负简单函数

$f (x) = x$ （ $0 \leq x \leq 1 ）：$ 取了无穷多个不同的值，值域不是有限集。
$1_{V} ，$ $V$ 是维塔利集（第 21 页）：只取 0 和 1，但不可测，不满足定义里的 measurable。
$h = 1_{[0, 1]} - 1_{[2, 3]} ：$ 取了负值 $- 1 ，$ 不是「非负」简单函数。
$g = \infty \cdot 1_{{0}}$ （在 0 处取 $\infty ，$ 其余为 0）：取值 $\infty$ 不在 $[0, \infty)$ 里。

推导：一步一步来

推导证明思路

推论 24：把 $1_{A}$ 写成标准表示，直接套定义 23；要单独处理 $A = \emptyset$ 和 $A = S$ 这两种「只取一个值」的特殊情况。

设 $A \in S 。$ 按 $1_{A}$ 的值域分三种情况：

$A \neq = \emptyset$ 且 $A \neq = S$ ： $1_{A}$ 恰好取两个值 1 和 0。 ${1_{A} = 1} = A ，$ ${1_{A} = 0} = A^{c} ，$ 两者都可测（ $A^{c}$ 可测是因为 σ-代数对补集封闭）。标准表示为 $1 \cdot 1_{A} + 0 \cdot 1_{A^{c}} ，$ 由定义 23， $\int_{S} 1_{A} d μ = 1 \cdot μ (A) + 0 \cdot μ (A^{c}) = μ (A),$ 其中 $0 \cdot μ (A^{c}) = 0$ 对 $μ (A^{c})$ 有限或无穷都成立（后者用约定 $0 \cdot \infty = 0 ）。$
$A = S$ ： $1_{S}$ 只取一个值 1，标准表示是 $1 \cdot 1_{S} ，$ 积分 $= 1 \cdot μ (S) = μ (S) = μ (A) 。$
$A = \emptyset$ ： $1_{\emptyset}$ 只取一个值 0，标准表示是 $0 \cdot 1_{S} ，$ 积分 $= 0 \cdot μ (S) = 0$ （又用到 $0 \cdot \infty = 0 ，$ 如果 $μ (S) = \infty ）。$ 而 $μ (\emptyset) = 0$ （测度的定义，第 12 页），所以积分 $= μ (A) 。$

三种情况都得到 $\int_{S} 1_{A} d μ = μ (A) 。$

反过来：有限个可测格子上的台阶函数一定是简单函数

设 $A_{1}, \dots, A_{r}$ 是 $S$ 的可测分割， $a_{1}, \dots, a_{r} \geq 0$ 互不相同， $s = \sum_{k} a_{k} 1_{A_{k}} 。$ 那么 $s$ 可测：对每个实数 $a ，$

{s > a} = k : a_{k} > a ⋃ A_{k},

即「取值大于 $a$ 的那几个格子」的并，这是有限个可测集的并，所以可测。它只取 $a_{1}, \dots, a_{r}$ 这有限个值，于是它是非负简单函数。所以，「非负简单函数」和「可测格子上的有限台阶」是同一回事。

常见疑问与易错点

易错点问：标准表示里的 a₁, …, a_r 要从小到大排吗？A_k 可以是空集吗？

答：不用排序，求和与先后顺序无关。 $A_{k}$ 不会是空集： $a_{k}$ 是 $s$ 实际取到的值，所以至少有一个点取这个值。但如果你自己随手写 $s = \sum_{i} c_{i} 1_{C_{i}}$ （不是标准表示），里面的集合就可能为空、可能重叠、同一个值也可能重复出现——这种一般写法的积分是否还等于 $\sum c_{i} μ (C_{i}) ，$ 正是下一页第 31 页和再下一页第 32 页要回答的问题。

易错点问：0 · ∞ = 0 是不是说明「无穷乘以零等于零」在所有地方都成立？

答：不是。它只是积分定义里的数值约定，理由是「高为 0 的矩形面积为 0」。它不能用来算极限： $n \cdot \frac{1}{n}$ 的极限是 1， $n^{2} \cdot \frac{1}{n}$ 的极限是 $\infty ，$ 都不是 0。遇到「一个因子趋于 0、另一个趋于 $\infty 」$ 的极限，必须具体分析。

易错点问：为什么要求简单函数非负？负的台阶不行吗？

答：如果允许负值，某一项可能是 $+ \infty$ （正的高度 × 无穷宽），另一项是 $- \infty ，$ 和就变成没有意义的 $\infty - \infty 。$ 先只处理非负函数，积分永远是 $[0, \infty]$ 里一个确定的数；带符号的函数到第 33 页的板书再用「正部减负部」来处理。

易错点问：简单积分和中学的「期望」有什么关系？

答：当 $μ = P$ 是概率测度、 $s = X$ 是只取有限个值的随机变量时， $\int X d P = \sum_{k} x_{k} P (X = x_{k}) ，$ 正是离散型期望的公式（例 1）。测度论的积分把这个公式推广到了取无穷多个值、甚至不可数多个值的随机变量上。

小结与自测

小结本页小结

示性函数 $1_{A} ：$ 在 $A$ 上取 1，其余取 0；它可测当且仅当 $A$ 可测。
非负简单函数：可测、非负、只取有限个值；标准表示 $s = \sum_{k} a_{k} 1_{A_{k}}$ 按「取哪个值」把 $S$ 分成可测格子 $A_{k} = {s = a_{k}} ，$ 写法唯一。
简单积分 $\int s d μ = \sum_{k} a_{k} μ (A_{k}) ：$ 每级台阶的「高 × 底座测度」之和，值在 $[0, \infty]$ 中。
约定 $0 \cdot \infty = 0 ：$ 高为 0 的部分不贡献面积；它只是数值约定，不是极限规则。
$\int 1_{A} d μ = μ (A) ；$ 概率版本 $E [1_{A}] = P (A) 。$

自测

1. 在 $(R, B, Leb)$ 上，写出 $s = 1_{[0, 2]} + 1_{[1, 3]}$ 的标准表示，并按定义 23 计算 $\int s d Leb 。$

点开看答案

逐段看 $s$ 的值：在 $[0, 1)$ 上只有第一个示性函数为 1， $s = 1 ；$ 在 $[1, 2]$ 上两个都为 1， $s = 2 ；$ 在 $(2, 3]$ 上只有第二个为 1， $s = 1 ；$ 其余地方 $s = 0 。$ 不同的值是 $0, 1, 2 ：$ $A_{0} = R ∖ [0, 3] ，$ $A_{1} = [0, 1) \cup (2, 3] ，$ $A_{2} = [1, 2] 。$ 标准表示 $s = 0 \cdot 1_{A_{0}} + 1 \cdot 1_{A_{1}} + 2 \cdot 1_{A_{2}} ，$ 积分 $= 0 \cdot \infty + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4 。$ （它恰好等于 $Leb ([0, 2]) + Leb ([1, 3]) = 2 + 2 ，$ 这是下一页要证明的「与写法无关」的一个实例。）

2. 掷一颗均匀骰子， $A = {2, 4, 6} 。$ 求 $\int 1_{A} d P ，$ 并用一句话说明它的概率含义。

点开看答案

由推论 24， $\int 1_{A} d P = P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} 。$ 含义：「掷出偶数」这个事件的示性变量（掷出偶数记 1，否则记 0）的期望，等于掷出偶数的概率。

3. 在 $([0, 1], B, Leb)$ 上， $s (x) = ⌊ 3 x ⌋$ （ $⌊ y ⌋$ 表示不超过 $y$ 的最大整数）。它是非负简单函数吗？若是，求它的积分。

点开看答案

是。 $s$ 只取 $0, 1, 2, 3$ 四个值： ${s = 0} = [0, \frac{1}{3}) ，$ ${s = 1} = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) ，$ ${s = 2} = [\frac{2}{3}, 1) ，$ ${s = 3} = {1} ，$ 都是区间或单点，可测。积分 $= 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot 0 = 1 。$ 注意单点 ${1}$ 的长度为 0，所以取值 3 对积分没有贡献。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
分割	partition	把区间 [a,b] 用分点 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b 切成小段。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
标准表示	canonical representation	把简单函数写成 Σ aₖ 𝟏_{Aₖ}，其中 aₖ 各不相同、Aₖ = {s = aₖ}。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
狄利克雷函数	Dirichlet function	在有理点取 1、无理点取 0 的函数；黎曼不可积，勒贝格积分为 0。
维塔利集	Vitali set	用选择公理造出的「坏」集合，证明了不可能给 ℝ 的所有子集定义长度。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。