16 两个事件、两个随机变量、两个 σ-代数的独立；柱集 · 第4讲

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「独立」有三个层次：两个事件独立、两个随机变量独立、两个 σ-代数独立。三者说的都是同一条乘法规则：同时发生的概率 = 各自概率的乘积。要同时谈很多个（甚至无穷多个）对象的独立，需要把很多个空间乘在一起；在这个大空间里，只限制有限个坐标的集合叫柱集（cylinder set），它是下一页定义「无穷乘积测度」的砖块。

位置：第 3 部分「独立性」（第 16 页–第 21 页）的第一页。
和前面的关系：
- 第 3 讲第 6 页已经定义了一列事件的相互独立，并用于第二 Borel–Cantelli 引理；
- 本讲第 1 部分说明：两个随机变量各自的分布（边缘分布）相同，联合分布可以完全不同（第 4 页的 $(U, U)$ 与 $(U, 1 - U) ）。$ 独立就是一种特殊的联合分布：联合分布等于边缘分布的乘积测度。这一点第 17 页会证明。
本页的任务：
1. 把独立的定义从事件推广到随机变量和 σ-代数；
2. 提出问题「 $n$ 个对象怎么办」；
3. 为回答这个问题，引入无穷乘积空间里的柱集。

先补基础

基础补课概率空间三件套（回顾）

$(Ω, F, P) ：$

$Ω$ 是样本空间，里面每个点 $ω$ 是一次试验的一个可能结局；
$F$ 是 σ-代数（第 9 页），是「可以谈概率的事件」组成的集合；
$P : F \to [0, 1]$ 是概率测度（第 12 页），给每个事件一个 0 到 1 之间的数，满足 $P (Ω) = 1$ 和可数可加性。

注意 $P$ 的定义域是 $F ，$ 不是 $Ω$ 的全部子集。所以凡是要写 $P (\dots)$ 的集合，都必须先确认它在 $F$ 里。

基础补课随机变量决定的事件 {X ∈ C}

随机变量 $X : Ω \to R$ 是可测函数（第 4 页）：对每个博雷尔集 $C \subseteq R ，$ ${X \in C} = {ω : X (ω) \in C} = X^{- 1} (C)$ 都在 $F$ 里。
博雷尔集（Borel set）：由所有区间经过可数次并、交、补得到的集合，例如 $[0, 1] 、$ $(2, \infty) 、$ ${3} 、$ $Q 。$ 它们组成博雷尔 σ-代数 $B (R) 。$
为什么要求 $C$ 是博雷尔集： $X$ 只保证博雷尔集的原像是事件。对一个非博雷尔的怪集合 $C ，$ ${X \in C}$ 可能不在 $F$ 里， $P (X \in C)$ 就没有定义。
记号 $P (X \in C, Y \in D)$ 中的逗号表示「且」： $P ({X \in C} \cap {Y \in D}) 。$

基础补课由随机变量生成的 σ-代数 σ(X)

σ (X) = {X^{- 1} (C) : C \in B (R)} = {{X \in C} : C 是博雷尔集} .

它是 σ-代数：原像保持集合运算， $X^{- 1} (C^{c}) = (X^{- 1} (C))^{c} ，$ $X^{- 1} (⋃_{n} C_{n}) = ⋃_{n} X^{- 1} (C_{n}) ，$ 并且 $X^{- 1} (R) = Ω 。$
含义： $σ (X)$ 是「只看 $X$ 的值就能判断发生没有」的所有事件，可以理解成「 $X$ 携带的信息」。
例：掷骰子， $X$ 是点数， $Z = 1_{{X 为偶数}} 。$ $σ (Z) = {\emptyset, {2, 4, 6}, {1, 3, 5}, Ω} ：$ 知道 $Z ，$ 只能判断「偶数」「奇数」这两类事件；「掷出 6」不在 $σ (Z)$ 里，因为只知道 $Z = 1$ 时分不清是 2、4 还是 6。

基础补课子 σ-代数

若 $G$ 是 σ-代数，并且 $G \subseteq F ，$ 就说 $G$ 是 $F$ 的子 σ-代数（sub-σ-algebra）。 $σ (X)$ 就是一个子 σ-代数。σ-field 和 σ-algebra 是同一个意思（field 是「域」的旧称）。

基础补课很多个空间的乘积 ∏ 与坐标映射

下标集 $Γ$ （读作「大伽马」）：任意一个用来编号的集合，可以是 ${1, 2} 、$ $N ，$ 甚至 $[0, 1] 。$
乘积集合 $\prod_{γ \in Γ} Ω_{γ} ：$ 每个元素 $ω = (ω_{γ})_{γ \in Γ}$ 是「给每个下标 $γ$ 挑一个 $ω_{γ} \in Ω_{γ} 」。$ $Γ = {1, 2}$ 时就是第 6 页的 $Ω_{1} \times Ω_{2} ；$ $Γ = N$ 时就是无穷序列 $(ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}, \dots) 。$
坐标映射（coordinate map，也叫投影） $π_{γ} (ω) = ω_{γ} ：$ 从整个序列里读出第 $γ$ 个坐标。
例：无穷次抛硬币， $Ω_{n} = {H, T} ，$ $\prod_{n \in N} Ω_{n} = {H, T}^{N}$ 是所有正反序列； $π_{3} (HTTHH \dots) = T 。$

课件原文逐句精读

课件原文Independence of two events

Probability space is $(Ω, F, P)$ where $Ω$ is sample space, $F$ is set of events (the $σ$ -algebra) and $P : F \to [0, 1]$ is the probability function.
Two events $A$ and $B$ are independent if $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ . Random variables $X$ and $Y$ are independent if for all sets $C, D$ , we have $P (X \in C, Y \in D) = P (X \in C) P (Y \in D)$ , i.e., the events ${X \in C}$ and ${Y \in D}$ are independent. Two $σ$ -fields $F$ and $G$ are independent if $A$ and $B$ are independent whenever $A \in F$ and $B \in G$ .
How to describe the independence over multiple $n$ events?
Let $(Ω_{i}, F_{i}), i \in N$ , be a sequence of measurable spaces. Let $(\prod_{γ \in Γ} Ω_{γ}, \otimes_{γ \in Γ} F_{γ})$ be its product, a measurable set $B \in F_{γ_{1}} \otimes F_{γ_{2}} \otimes \dots \otimes F_{γ_{n}}$ , let the set $B$ be chosen of the form $B = B_{1} \times \dots \times B_{n}$ , for some $B_{1} \in F_{1}, \dots, B_{n} \in F_{n}$ , the set $C$ is called a (product) cylinder set

中文翻译

蓝条标题：两个事件的独立。

概率空间是 $(Ω, F, P) ，$ 其中 $Ω$ 是样本空间， $F$ 是事件全体（σ-代数）， $P : F \to [0, 1]$ 是概率函数。
两个事件 $A 、$ $B$ 称为独立，如果 $P (A \cap B) = P (A) P (B) 。$ 随机变量 $X$ 和 $Y$ 称为独立，如果对所有集合 $C, D ，$ 都有 $P (X \in C, Y \in D) = P (X \in C) P (Y \in D) ，$ 也就是说事件 ${X \in C}$ 与 ${Y \in D}$ 独立。两个 σ-代数 $F$ 与 $G$ 称为独立，如果只要 $A \in F 、$ $B \in G ，$ $A$ 与 $B$ 就独立。
多个（ $n$ 个）事件的独立该怎样描述？
设 $(Ω_{i}, F_{i}) ，$ $i \in N ，$ 是一列可测空间， $(\prod_{γ \in Γ} Ω_{γ}, \otimes_{γ \in Γ} F_{γ})$ 是它们的乘积。取一个可测集 $B \in F_{γ_{1}} \otimes \dots \otimes F_{γ_{n}} ，$ 并让 $B$ 取 $B = B_{1} \times \dots \times B_{n}$ 的形式（ $B_{1} \in F_{1}, \dots, B_{n} \in F_{n} ），$ 这样的集合 $C$ 称为（乘积）柱集。

Probability space｜概率空间

第一句只是回顾记号。probability function（概率函数）就是概率测度 $P 。$
写 $P : F \to [0, 1]$ 而不是 $P : Ω \to [0, 1] ：$ $P$ 是给事件（集合）打分，不是给单个样本点打分。

Two events A and B are independent｜两个事件、两个随机变量、两个 σ-代数的独立

事件： $P (A \cap B) = P (A) P (B) 。$ 直觉是「知道 $B$ 发生，不改变 $A$ 的概率」： $P (B) > 0$ 时它等价于 $P (A ∣ B) = P (A)$ （第 6 页的「先补基础」）。
随机变量： $X$ 能决定的每个事件 ${X \in C} ，$ 都和 $Y$ 能决定的每个事件 ${Y \in D}$ 独立。这是「无穷多条」乘法规则， $C 、$ $D$ 跑遍所有博雷尔集。
σ-代数： $F$ 里的每个事件都和 $G$ 里的每个事件独立。σ-代数代表「信息」，两个 σ-代数独立就是「两份信息互不相干」。
三者是层层推广的关系：随机变量的独立，就是 $σ (X)$ 与 $σ (Y)$ 的独立（下一节命题 1）；事件的独立，就是 $σ (1_{A})$ 与 $σ (1_{B})$ 的独立（命题 2）。
两处措辞需要改正：
1. 「for all sets $C, D 」$ 应为「for all Borel sets $C, D \subseteq R 」。$ 理由见「先补基础」：只有博雷尔集的原像才保证是事件。
2. 「Two σ-fields $F$ and $G 」$ 里的 $F$ 和第一句概率空间里的 $F$ 撞了名字。这里应当是 $F$ 的两个子 σ-代数，例如写成 $G$ 与 $H$ （ $G, H \subseteq F ）。$ 否则「 $F$ 与 $G$ 独立」会把整个 $F$ 拿来和别的比，而 $F$ 里包含 $G$ 的每个事件 $B ，$ 于是要求 $P (B) = P (B \cap B) = P (B)^{2} ，$ 只有 $G$ 里的事件全是概率 0 或 1 才可能成立。

How to describe the independence over multiple n events?｜n 个事件的独立怎么描述

课件把它作为一个问题抛出来，答案在下一节和第 17 页、第 18 页。简要地说： $n$ 个事件要求任意有限个的交都满足乘法规则（第 6 页），而不只是两两满足。为了把「 $n$ 个独立的试验」放进同一个概率空间里，要用 $n$ 个（甚至无穷多个）空间的乘积，这就引出了最后一句话里的柱集。

Cylinder set｜柱集

这一句话很长，拆开读：

先有一列可测空间 $(Ω_{i}, F_{i}) ，$ 每个代表一次「小试验」。
把它们全部乘在一起，得到乘积可测空间 $(\prod_{γ} Ω_{γ}, \otimes_{γ} F_{γ}) 。$
挑有限个下标 $γ_{1}, \dots, γ_{n} ，$ 在这 $n$ 个坐标组成的有限乘积 $Ω_{γ_{1}} \times \dots \times Ω_{γ_{n}}$ 里取一个可测集 $B ，$ 特别地取成矩形 $B = B_{1} \times \dots \times B_{n} 。$
「只要求这 $n$ 个坐标落在 $B$ 里，其余坐标随便」，这样得到的大空间里的集合叫柱集。

课件这句话里有几处记号不一致，按标准写法改正如下：

$B$ 与 $C$ 混用：课件先选了集合 $B ，$ 结尾却说「the set $C$ is called a cylinder set」， $C$ 从没定义过（并且 $C$ 刚在第二条里被用作博雷尔集）。正确的关系是： $B$ 是有限个坐标空间里的「底」，柱集是大空间里的

C = {ω : (ω_{γ_{1}}, \dots, ω_{γ_{n}}) \in B} .

$B$ 和 $C$ 不在同一个空间里，不能混为一谈。

下标 $i \in N$ 与 $γ \in Γ$ 混用：课件开头说下标是 $i \in N ，$ 接着又用一般的下标集 $Γ 。$ 两种都可以，但要统一。用 $Γ$ 时，应写 $B_{k} \in F_{γ_{k}} ，$ 而不是 $B_{k} \in F_{k} 。$
下一页（第 17 页）的课件取 $Γ = N 、$ $γ_{k} = k ，$ 这时柱集就是 $B_{1} \times \dots \times B_{n} \times Ω_{n + 1} \times Ω_{n + 2} \times \dots 。$

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

三个层次的独立：正式定义

定义（两个事件、两个随机变量、两个 σ-代数的独立）

设 $(Ω, F, P)$ 是概率空间。

事件 $A, B \in F$ 独立，如果 $P (A \cap B) = P (A) P (B) 。$
随机变量 $X, Y : Ω \to R$ 独立，如果对所有博雷尔集 $C, D \subseteq R ，$

P (X \in C, Y \in D) = P (X \in C) P (Y \in D) .

子 σ-代数 $G, H \subseteq F$ 独立，如果对所有 $A \in G 、$ $B \in H ，$ $P (A \cap B) = P (A) P (B) 。$

命题 1（随机变量的独立 = 生成的 σ-代数的独立）

$X$ 与 $Y$ 独立，当且仅当 $σ (X)$ 与 $σ (Y)$ 独立。

推导证明

由「先补基础」， $σ (X)$ 的元素恰好是形如 ${X \in C}$ （ $C$ 博雷尔）的事件， $σ (Y)$ 的元素恰好是 ${Y \in D} 。$

「 $σ (X), σ (Y)$ 独立」说的是：对所有 $A \in σ (X) 、$ $B \in σ (Y) ，$ $P (A \cap B) = P (A) P (B) 。$
把 $A = {X \in C} 、$ $B = {Y \in D}$ 代入，这句话逐字变成定义第 2 条。

两句话说的是同一件事。 $■$

命题 2（事件的独立 = 示性函数的独立）

对事件 $A, B ，$ 下面三条等价：(a) $A, B$ 独立；(b) $σ (1_{A}) = {\emptyset, A, A^{c}, Ω}$ 与 $σ (1_{B}) = {\emptyset, B, B^{c}, Ω}$ 独立；(c) 随机变量 $1_{A}$ 与 $1_{B}$ 独立。

推导证明

$σ (1_{A})$ 是什么： $1_{A}$ 只取 0、1 两个值，所以 ${1_{A} \in C}$ 只有四种可能： $C$ 两个值都不含时是 $\emptyset ；$ 只含 1 时是 $A ；$ 只含 0 时是 $A^{c} ；$ 两个都含时是 $Ω 。$
(b)⇔(c)：命题 1。
(b)⇒(a)：取 $A \in σ (1_{A}) 、$ $B \in σ (1_{B})$ 即可。
(a)⇒(b)：要验证 4×4=16 对事件。含 $\emptyset$ 的对两边都是 0；含 $Ω$ 的对两边相等（例如 $P (Ω \cap B) = P (B) = 1 \cdot P (B) ）；$ 剩下 $A$ 与 $B 、$ $A^{c}$ 与 $B 、$ $A$ 与 $B^{c} 、$ $A^{c}$ 与 $B^{c} 。$ 第一对就是 (a)。第二对：

P (A^{c} \cap B) = P (B) - P (A \cap B) = P (B) - P (A) P (B) = P (A^{c}) P (B),

第一个等号是因为 $B$ 被分成不相交的 $A \cap B$ 与 $A^{c} \cap B 。$ 第三、四对用同样的减法（第 6 页的命题 A）。 $■$

命题 3（独立随机变量的函数仍然独立）

若 $X, Y$ 独立， $f, g : R \to R$ 是博雷尔可测函数，则 $f (X)$ 与 $g (Y)$ 独立。

推导证明

对博雷尔集 $C, D ，$ ${f (X) \in C} = {X \in f^{- 1} (C)} ，$ 其中 $f^{- 1} (C)$ 是博雷尔集（ $f$ 可测）。于是

P (f (X) \in C, g (Y) \in D) = P (X \in f^{- 1} (C), Y \in g^{- 1} (D)) = P (X \in f^{- 1} (C)) P (Y \in g^{- 1} (D)),

最后一步用 $X, Y$ 独立；右边就是 $P (f (X) \in C) P (g (Y) \in D) 。$ $■$

例： $X, Y$ 独立，则 $X^{2}$ 与 $e^{Y}$ 独立， $1_{{X > 0}}$ 与 $∣ Y ∣$ 独立。

How to describe the independence over multiple n events?｜对问题的回答

定义（n 个事件、n 个 σ-代数的独立）

事件 $A_{1}, \dots, A_{n}$ 相互独立，如果对每个至少含两个元素的子集 $J \subseteq {1, \dots, n} ，$

P (j \in J ⋂ A_{j}) = j \in J \prod P (A_{j}) .

子 σ-代数 $G_{1}, \dots, G_{n}$ 相互独立，如果对所有 $A_{1} \in G_{1}, \dots, A_{n} \in G_{n} ，$

P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n}) = P (A_{1}) \dots P (A_{n}) .

第 1 条与第 6 页的定义 3 一致： $n$ 个事件要查 $2^{n} - n - 1$ 个等式；只查两两不够（第 18 页的例子）。
第 2 条为什么只写一个等式就够了？因为每个 $G_{i}$ 都含有 $Ω 。$ 想检查某个子集 $J$ 上的乘法规则，只要对 $i \in / J$ 取 $A_{i} = Ω ：$ 交集里多出来的 $Ω$ 不改变交集，乘积里多出来的 $P (Ω) = 1$ 不改变乘积。所以子集上的等式被「全部 $n$ 个」的等式自动包含。
随机变量 $X_{1}, \dots, X_{n}$ 相互独立，就定义为 $σ (X_{1}), \dots, σ (X_{n})$ 相互独立。第 18 页会写成课件的形式，并推广到任意多个。

为什么要引入乘积空间：要讨论「 $n$ 次独立的试验」，必须先有一个概率空间，让 $n$ 个结果同时住在里面。自然的选择是乘积 $Ω_{1} \times \dots \times Ω_{n} ：$ 一个样本点就是「 $n$ 次试验的结果清单」。若要讨论无穷多次试验（例如第 3 讲的无穷次抛硬币、样本均值的极限），就要无穷乘积 $\prod_{i \in N} Ω_{i} 。$ 在无穷乘积里，最容易计算概率的集合就是只涉及有限个坐标的柱集。

Cylinder set｜柱集：改正后的定义

定义（柱集与乘积 σ-代数）

设 $(Ω_{γ}, F_{γ}) ，$ $γ \in Γ ，$ 是一族可测空间， $Ω = \prod_{γ \in Γ} Ω_{γ} 。$

取有限个互不相同的下标 $γ_{1}, \dots, γ_{n} \in Γ$ 和一个可测集 $B \in F_{γ_{1}} \otimes \dots \otimes F_{γ_{n}} 。$ 集合

C = {ω \in Ω : (ω_{γ_{1}}, \dots, ω_{γ_{n}}) \in B}

称为以 $B$ 为底（base）的柱集。2. 若底是矩形 $B = B_{1} \times \dots \times B_{n}$ （ $B_{k} \in F_{γ_{k}} ），$ 即

C = {ω : ω_{γ_{1}} \in B_{1}, \dots, ω_{γ_{n}} \in B_{n}},

则称 $C$ 为乘积柱集（product cylinder set）。3. 乘积 σ-代数 $⨂_{γ \in Γ} F_{γ}$ 定义为由所有乘积柱集生成的 σ-代数。它也是使所有坐标映射 $π_{γ}$ 都可测的最小 σ-代数。

逐条理解：

「有限个」是关键：柱集只对有限个坐标提要求，其余无穷多个坐标完全自由。
$Γ = N 、$ $γ_{k} = k$ 的情形：乘积柱集就是

B_{1} \times B_{2} \times \dots \times B_{n} \times Ω_{n + 1} \times Ω_{n + 2} \times \dots .

为什么叫「柱」：在三维空间 $R^{3} = R^{2} \times R$ 里，取底 $B$ 为平面上的单位圆盘，柱集 ${(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : (x_{1}, x_{2}) \in B}$ 就是一根沿 $x_{3}$ 方向无限延伸的圆柱：底决定截面形状，第三个坐标随便取。无穷乘积里的柱集是同样的样子，只是「随便取」的方向有无穷多个。
和第 6 页的关系：两个空间时（ $Γ = {1, 2} ），$ 乘积柱集就是可测矩形 $A_{1} \times A_{2} ，$ 乘积 σ-代数就是 $F_{1} \otimes F_{2} 。$ 所以这是第 6 页的直接推广。
最后一句「也是使所有坐标映射可测的最小 σ-代数」：乘积柱集 ${ω_{γ_{1}} \in B_{1}, \dots, ω_{γ_{n}} \in B_{n}} = ⋂_{k = 1}^{n} π_{γ_{k}}^{- 1} (B_{k})$ 是有限个「坐标原像」的交；反过来每个坐标原像 $π_{γ}^{- 1} (B)$ 本身就是只限制一个坐标的乘积柱集。两族集合生成同一个 σ-代数，这和第 6 页的「 $F_{1} \otimes F_{2} = σ (π_{1}, π_{2}) 」$ 是同一个论证。

命题 4（乘积柱集对有限交封闭）

两个乘积柱集的交仍是乘积柱集。用第 8 页的术语：乘积柱集全体是一个 π 系。

推导证明

设 $C = {ω_{γ} \in B_{γ}, γ \in S} ，$ $C^{'} = {ω_{γ} \in B_{γ}^{'}, γ \in S^{'}} ，$ $S, S^{'}$ 是有限下标集。把两者都看成限制 $S \cup S^{'}$ 上的坐标：对 $γ \in S^{'} ∖ S$ 令 $B_{γ} = Ω_{γ} ，$ 对 $γ \in S ∖ S^{'}$ 令 $B_{γ}^{'} = Ω_{γ}$ （「不限制」就是「落在全空间里」）。于是

C \cap C^{'} = {ω_{γ} \in B_{γ} \cap B_{γ}^{'}, γ \in S \cup S^{'}},

$S \cup S^{'}$ 仍是有限集，每个 $B_{γ} \cap B_{γ}^{'} \in F_{γ} ，$ 所以 $C \cap C^{'}$ 是乘积柱集。 $■$

这条性质第 17 页马上要用：两个概率测度只要在乘积柱集上相等，就在整个乘积 σ-代数上相等（π 系唯一性定理，第 8 页）。

例子

例 1：掷两颗骰子，「第一颗是偶数」与「点数和为 7」独立

$Ω = {1, \dots, 6}^{2} ，$ 36 个结局等可能。令 $A = {第一颗为偶数} ，$ $B = {点数和 = 7} 。$

$P (A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ （第一颗 3 种 × 第二颗 6 种）。
$B$ 由 6 个结果组成： $(1, 6) 、$ $(2, 5) 、$ $(3, 4) 、$ $(4, 3) 、$ $(5, 2) 、$ $(6, 1) ，$ 所以 $P (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} 。$
$A \cap B = {(2, 5), (4, 3), (6, 1)} ，$ $P (A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} 。$ 独立。

直觉：不管第一颗掷出几，第二颗都恰好有一个点数能凑成 7，所以知道第一颗的奇偶不改变「和为 7」的概率。

对照（不独立）：把 $B$ 换成 $B^{'} = {点数和 = 8} = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} ，$ $P (B^{'}) = \frac{5}{36} 。$ $A \cap B^{'} = {(2, 6), (4, 4), (6, 2)} ，$ $P (A \cap B^{'}) = \frac{3}{36} ，$ 而 $P (A) P (B^{'}) = \frac{5}{72} = \frac{2.5}{36} ，$ 不相等。原因：第一颗掷出 1 时无论如何凑不出 8，知道第一颗的点数会改变「和为 8」的概率。

例 2：两颗骰子的点数是独立的随机变量；第一颗点数与点数和不独立

令 $X (i, j) = i ，$ $Y (i, j) = j ，$ $S = X + Y 。$

$X, Y$ 独立：对任意 $C, D \subseteq {1, \dots, 6} ，$ ${X \in C, Y \in D} = C \times D$ 有 $∣ C ∣ \cdot ∣ D ∣$ 个结局（ $∣ C ∣$ 表示 $C$ 的元素个数），所以

P (X \in C, Y \in D) = \frac{∣ C ∣ ∣ D ∣}{36} = \frac{∣ C ∣}{6} \cdot \frac{∣ D ∣}{6} = P (X \in C) P (Y \in D) .

对一般的博雷尔集 $C ，$ 只有 $C \cap {1, \dots, 6}$ 起作用，结论相同。

$X, S$ 不独立：取 $C = {1} 、$ $D = {12} 。$ $P (X = 1, S = 12) = 0$ （第一颗是 1 时和最多是 7），而 $P (X = 1) P (S = 12) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36} > 0 。$ 只要找到一对不满足乘法规则的 $C, D ，$ 就足以说明不独立。
σ-代数的语言： $σ (X) = {A \times {1, \dots, 6} : A \subseteq {1, \dots, 6}}$ （只看第一颗能判断的事件，共 $2^{6} = 64$ 个，都是「竖条」）； $σ (Y)$ 由「横条」 ${1, \dots, 6} \times D$ 组成。竖条与横条的交是矩形 $A \times D ，$ 概率 $\frac{∣ A ∣ ∣ D ∣}{36} ，$ 正是乘积。这就是「乘积测度 ⇒ 坐标独立」的最小例子。

例 3：回到 (U, U)——边缘分布一样，独立与否却不同

$U, V$ 都在 $(0, 1)$ 上均匀分布（第 4 页）。

$(U, U)$ ：取 $C = [0, \frac{1}{2}] ，$ $D = (\frac{1}{2}, 1] 。$ $P (U \in C, U \in D) = P (\emptyset) = 0 ，$ 而 $P (U \in C) P (U \in D) = \frac{1}{4} 。$ 不独立：知道第一个坐标，第二个坐标就完全确定了。
$(U, 1 - U)$ ：同样取 $C = [0, \frac{1}{2}] 、$ $D = [0, \frac{1}{2}) 。$ ${U \leq \frac{1}{2}} \cap {1 - U < \frac{1}{2}} = {U \leq \frac{1}{2}} \cap {U > \frac{1}{2}} = \emptyset ，$ 概率 0，而乘积是 $\frac{1}{4} 。$ 不独立。
$U, V$ 独立：联合分布是单位正方形上的面积 $λ \times λ$ （第 7 页）， $P (U \in C, V \in D) = λ (C \cap [0, 1]) \cdot λ (D \cap [0, 1]) ，$ 乘法规则对所有博雷尔集成立。

三个随机点的每个坐标都服从均匀分布，区别全在联合分布。独立是联合分布的一种特殊形式。

例 4：无穷次抛硬币中的柱集与非柱集

$Ω = {H, T}^{N} ，$ 每次公平且相互独立（这样的 $P$ 存在，见第 17 页）。

乘积柱集：「第 1 次正面且第 3 次反面」 $= {H} \times Ω_{2} \times {T} \times Ω_{4} \times Ω_{5} \times \dots 。$ 下标 $γ_{1} = 1, γ_{2} = 3 ，$ 底是 ${H} \times {T} \subseteq Ω_{1} \times Ω_{3} 。$ 概率 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} 。$
柱集但底不是矩形：「前两次结果相同」 $= {ω : (ω_{1}, ω_{2}) \in {HH, TT}} ，$ 底 ${HH, TT}$ 不是矩形，但它是两个矩形的不交并，概率 $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} 。$
不是柱集：「每一次都是正面」 $= ⋂_{n \geq 1} {ω_{1} = \dots = ω_{n} = H}$ 限制了无穷多个坐标，不是柱集。但它是可数个柱集的交，所以在乘积 σ-代数里。它包含于每个 ${ω_{1} = \dots = ω_{n} = H} ，$ 所以概率 $\leq 2^{- n}$ 对所有 $n$ 成立，只能是 $0 。$

常见疑问与易错点

易错点问：检查两个随机变量独立，真的要验证所有博雷尔集 C、D 吗？

答：不必。离散情形（取值可数）只要验证 $P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y)$ 对所有取值 $x, y$ 成立，因为

P (X \in C, Y \in D) = x \in C \sum y \in D \sum P (X = x, Y = y) = x \in C \sum P (X = x) y \in D \sum P (Y = y) .

一般情形只要验证 $P (X \leq x, Y \leq y) = P (X \leq x) P (Y \leq y)$ 对所有实数 $x, y$ 成立，即联合 CDF 等于 CDF 之积。这一步要用 π 系唯一性定理（第 8 页），第 17 页会解释。

易错点问：「独立」和「互斥」一样吗？

答：不一样，几乎相反。概率都为正的两个互斥事件一定不独立，因为 $P (A \cap B) = 0 \neq = P (A) P (B)$ （第 6 页的易错点）。例 3 的 $(U, U)$ 不独立，用的正是两个互斥的事件 ${U \leq \frac{1}{2}} 、$ ${U > \frac{1}{2}} 。$

易错点问：独立是集合本身的性质吗？

答：不是，它取决于概率测度 $P 。$ 同一对坐标映射 $π_{1}, π_{2} ，$ 在乘积测度 $λ \times λ$ 下独立（例 3 的 $U, V ）；$ 在「集中在对角线上」的测度下（ $(U, U)$ 的分布）就不独立。乘积测度正是让坐标独立的那个测度，这是第 17 页的主题。

易错点问：柱集为什么只允许限制有限个坐标？

答：因为有限个坐标的概率我们会算：用有限个空间的乘积测度， $P_{1} (B_{1}) \dots P_{n} (B_{n}) 。$ 限制无穷多个坐标的事件（例如例 4 的「每次都是正面」）不能直接写出概率，要先表示成柱集的可数交、并，再用测度的连续性（第 13 页、第 14 页）去算。先在简单集合上定义、再扩张到生成的 σ-代数，这和第 1 讲构造勒贝格测度的思路一样。

小结与自测

小结本页小结

事件独立： $P (A \cap B) = P (A) P (B) ；$ 随机变量独立：对所有博雷尔集 $C, D ，$ ${X \in C}$ 与 ${Y \in D}$ 独立；σ-代数独立：其中任意两个事件独立。
三者一脉相承： $X, Y$ 独立 ⇔ $σ (X), σ (Y)$ 独立； $A, B$ 独立 ⇔ $1_{A}, 1_{B}$ 独立。独立随机变量的函数仍独立。
$n$ 个事件要求任意子族满足乘法规则； $n$ 个 σ-代数只需写一个等式，因为可以取 $A_{i} = Ω 。$
柱集：在无穷乘积 $\prod Ω_{γ}$ 里只限制有限个坐标的集合 ${(ω_{γ_{1}}, \dots, ω_{γ_{n}}) \in B} ；$ 乘积柱集生成乘积 σ-代数，并且对交封闭。
课件笔误：柱集的底 $B$ 与柱集 $C$ 混用；「all sets $C, D 」$ 应为博雷尔集；与 $G$ 比较的应是子 σ-代数，不是整个 $F 。$

自测

1. 掷两颗骰子， $A = {第一颗是 1 或 2} ，$ $B = {点数和为 7} 。$ $A, B$ 独立吗？

点开看答案

独立。 $P (A) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} ，$ $P (B) = \frac{1}{6} ；$ $A \cap B = {(1, 6), (2, 5)} ，$ $P (A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} 。$

2. 写出 $σ (1_{A}) 。$ 若 $P (A) = 0.3 ，$ $A$ 与自己独立吗？

点开看答案

$σ (1_{A}) = {\emptyset, A, A^{c}, Ω} 。$ $A$ 与自己独立要求 $P (A) = P (A \cap A) = P (A)^{2} ，$ 即 $0.3 = 0.09 ，$ 不成立，所以不独立。只有 $P (A) \in {0, 1}$ 时事件才与自己独立。

3. 在 ${H, T}^{N}$ 中，把「第 2 次和第 5 次都是正面」写成乘积柱集的形式，指出它的底，并求公平独立抛掷下的概率。

点开看答案

$Ω_{1} \times {H} \times Ω_{3} \times Ω_{4} \times {H} \times Ω_{6} \times \dots ，$ 即 ${ω : ω_{2} = H, ω_{5} = H} 。$ 下标 $γ_{1} = 2, γ_{2} = 5 ，$ 底是 ${H} \times {H} \subseteq Ω_{2} \times Ω_{5} 。$ 概率 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
柱集	cylinder set	只对有限个坐标提条件的集合，如 {ω₁ ∈ B₁, …, ωₙ ∈ Bₙ}，其余坐标任取。
乘积测度	product measure	在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
联合分布	joint law (joint distribution)	随机向量 (X, Y) 在平面上的分布：对每个平面博雷尔集 B 给出 P((X, Y) ∈ B)。只知道边缘分布不能确定它。
边缘分布	marginal law	随机向量中单个坐标的分布，例如 P(X ∈ A) = P((X, Y) ∈ A × ℝ)。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
乘积空间	product space	笛卡尔积 Ω₁ × Ω₂，配上乘积 σ-代数（以及乘积测度）。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
原像	preimage	f⁻¹(B) 是「所有被 f 送进 B 的输入」组成的集合，可测性就是用原像定义的。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
乘积 σ-代数	product σ-algebra	由所有可测矩形生成的 σ-代数，记作 F₁ ⊗ F₂；它也是让两个坐标映射都可测的最小 σ-代数。
生成的 σ-代数	generated sigma-algebra	包含给定集合族的最小 σ-代数 σ(𝒞)：只加入「被逼着加入」的集合。
可测矩形	measurable rectangle	形如 A₁ × A₂ 的集合，A₁、A₂ 分别是两个空间里的可测集。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。