11 生成的 σ-代数：只添加「被迫加入」的集合 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

你手里有几个「一定要当事件」的集合（比如「第 1 次正面」，或者所有区间）。它们自己通常凑不成 σ-代数。生成的 σ-代数 $σ (C)$ 就是：把它们放进去，再把 σ-代数的规则逼着你加入的集合加进去，多一个都不加。它是包含这些集合的最小的 σ-代数。

上一页第 10 页说：σ-代数不能总是取最大的 $2^{Ω} ，$ 要「够用但不太大」。那具体怎么选？最常见的做法是：

先列出你必须能谈概率的基本事件，组成一个族 $C ；$
取包含 $C$ 的最小 σ-代数，记作 $σ (C) 。$

这一页给出 $σ (C)$ 的精确定义（定义 4），并证明它确实是「最小」的（命题 5）。老师的板书举了两个例子：有限的 $σ ({A}) ，$ 和整讲最重要的博雷尔 σ-代数 $B (R) ，$ 并由此引出随机变量的分布函数（CDF）。本页属于第 1 部分「概率空间与可测事件」。

先补基础

基础补课花体字母 𝒞、𝒢：集合族

$C 、$ $G$ 和 $F$ 一样，是集合族（元素是 $Ω$ 的子集）。 $C$ 取自 collection（收集），代表「你想要的那些基本集合」； $G$ 代表「某一个 σ-代数」。
$C \subseteq 2^{Ω} ：$ $C$ 的每个成员都是 $Ω$ 的子集。
$C \subseteq G ：$ $C$ 的每个成员也都是 $G$ 的成员，即「 $G$ 包含了所有你想要的集合」。

基础补课一堆集合族的交集

如果有很多个集合族 $G_{1}, G_{2}, \dots$ （甚至无穷多个），它们的交集 $⋂ {G_{1}, G_{2}, \dots}$ 由「同时属于每一个 $G_{i} 」$ 的集合组成。
例： $Ω = {1, 2, 3} ，$ $G_{1} = {\emptyset, {1}, {2, 3}, Ω} ，$ $G_{2} = 2^{Ω} 。$ 交集是 ${\emptyset, {1}, {2, 3}, Ω} ，$ 因为这四个集合在两个族里都有，而 ${2}$ 只在 $G_{2}$ 里。
写法 $⋂ {G : G 满足某条件} ：$ 先把所有满足条件的 $G$ 收集起来，再取它们的交集。

基础补课「最小」是什么意思

在集合族之间，用「包含」比大小： $G \subseteq H$ 就说 $G$ 比 $H$ 小（或一样）。
「包含 $C$ 的最小 σ-代数」：它自己是包含 $C$ 的 σ-代数；而且任何别的包含 $C$ 的 σ-代数都包含它。
注意：这比「元素个数最少」要求更强——它必须被每一个竞争者包含。

基础补课有理数 ℚ 与区间 (−∞, q]

有理数 $Q ：$ 能写成分数 $\frac{m}{n}$ （ $m, n$ 是整数， $n \neq = 0 ）$ 的数，如 $\frac{1}{2} 、$ $- 3 、$ $0.75 。$ $2 、$ $π$ 不是有理数。
有理数可数（能排成一列），而且稠密：任何两个不同实数之间都夹着有理数。
$(- \infty, q] = {x \in R : x \leq q} ：$ 所有不超过 $q$ 的实数，是一条「向左无限延伸、右端含 $q 」$ 的射线。

课件原文逐句精读

课件原文Definition 4 (Generated sigma-algebra)

Definition 4 (Generated sigma-algebra)　For a family $C \subseteq 2^{Ω}$ , define

σ (C) := ⋂ {G : G is a sigma-algebra on Ω, C \subseteq G} .

The collection is nonempty because $2^{Ω}$ is one of its members.

Proposition 5 (Minimality)　 $σ (C)$ is a sigma-algebra containing $C$ , and if $C \subseteq G$ and $G$ is a sigma-algebra, then $σ (C) \subseteq G$ .

（说明：定义 4 的公式、命题 5 的后半句「 $C \subseteq G ，$ $G$ is a σ-algebra then $σ (C) \subseteq G 」$ 是老师当堂手写的，其余为印刷。）

中文翻译

定义 4（生成的 σ-代数）　对集合族 $C \subseteq 2^{Ω} ，$ 定义

σ (C) := ⋂ {G : G 是 Ω 上的 σ - 代数，且 C \subseteq G} .

这一堆 σ-代数不是空的，因为 $2^{Ω}$ 就是其中一员。

命题 5（最小性）　 $σ (C)$ 是一个包含 $C$ 的 σ-代数；并且，若 $G$ 是 σ-代数且 $C \subseteq G ，$ 则 $σ (C) \subseteq G 。$

Definition 4｜定义：把所有「合格候选人」取交集

一步一步读这个公式：

候选人：所有满足两个条件的 $G$ ——① $G$ 是 $Ω$ 上的 σ-代数；② $G$ 包含 $C$ 的每个成员。每个候选人都是「一种满足你要求的事件族」。
取交集：只保留「每个候选人都有」的集合。
为什么这样就「只加被迫加入的」：如果某个集合 $E$ 在 $σ (C)$ 里，那么每个候选人都含 $E$ ——无论你怎么选 σ-代数，只要它包含 $C ，$ 就躲不开 $E 。$ 这就是标题「adds exactly what is forced」（恰好添加被迫加入的东西）。
为什么不直接列出来：在 $R$ 这样的空间上， $σ (C)$ 里的集合多得无法一一列出。「取交集」的写法绕开了列举，却给出了精确的定义。

老师在印刷的 $2^{Ω}$ 上画了圈：提醒你 $C$ 是 $2^{Ω}$ 的一部分，而 $2^{Ω}$ 本身也会是候选人之一（下一句）。

The collection is nonempty because 2^Ω is one of its members｜候选人至少有一个

为什么要特意说「非空」？因为对一个候选人都没有的空集合取交集，没有明确的意义（「属于每一个候选人」的条件对空集合来说是空话，任何东西都满足）。
为什么 $2^{Ω}$ 是候选人：第 10 页证明过 $2^{Ω}$ 是 σ-代数；而 $C$ 的成员都是 $Ω$ 的子集，当然都在 $2^{Ω}$ 里。两个条件都满足。
所以交集总是良好定义的，而且 $σ (C) \subseteq 2^{Ω} 。$

Proposition 5 (Minimality)｜最小性

命题 5 有三层意思（证明在下面「推导」一节）：

$σ (C)$ 是 σ-代数：一堆 σ-代数的交集还是 σ-代数。这一点不是显然成立的——一般来说，两个 σ-代数的并就不一定是 σ-代数（例 4）。
它包含 $C$ ：每个候选人都包含 $C ，$ 所以交集也包含 $C 。$
它最小（老师手写的后半句）：任何包含 $C$ 的 σ-代数 $G$ 都是候选人之一，而交集总被每个参与者包含，所以 $σ (C) \subseteq G 。$

定义 4 与命题 5（生成的 σ-代数）

对 $C \subseteq 2^{Ω} ，$ 由 $C$ 生成的 σ-代数 $σ (C)$ 是所有包含 $C$ 的 σ-代数的交集。它满足：

$σ (C)$ 是 σ-代数，且 $C \subseteq σ (C) ；$
若 $G$ 是 σ-代数且 $C \subseteq G ，$ 则 $σ (C) \subseteq G 。$

也就是说， $σ (C)$ 是包含 $C$ 的最小 σ-代数。

人话版怎么求 σ(𝒞)：两边夹

实际计算 $σ (C)$ 时，几乎总用「两边夹」的办法：

上界：猜一个族 $H ，$ 验证它是 σ-代数且包含 $C 。$ 由最小性， $σ (C) \subseteq H 。$
下界：说明 $H$ 的每个成员都是「被迫加入」的——任何包含 $C$ 的 σ-代数都必须含它。于是 $H \subseteq σ (C) 。$
两边合起来， $σ (C) = H 。$ 板书的例 ① 就是这样算的。

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

（印刷的 $2^{Ω}$ 被蓝笔圈出）
$σ (C) := ⋂ {G : G is a simga-alegra on Ω, C \subseteq G}$ .（原文拼作 simga-alegra，即 sigma-algebra）
（命题 5 下方） $C \subseteq G ，$ $G$ is a σ-algebra then $σ (C) \subseteq G$ .
①　 $Ω = {HH, HT, TH, TT}$ 　　 $A = {HH, HT}$ .
$σ (A) = {ϕ, A, A^{c}, Ω}$ .
②　Borel σ-algebra.
$B (R) := σ {(- \infty, q] : q \in Q}$ .
the event ${ω \in Ω : X (ω) \leq x}$ is admissiable.（花括号右下方写着 $x \in R ；$ 集合 ${ω \in Ω : X (ω) \leq x}$ 下画了红线；admissiable 即 admissible）
（红笔）CDF　 $F_{X} (x) = P (X \leq x)$
（红笔，右侧） ${ω \in Ω : a < X (ω) \leq b}$
（红笔） $= {ω \in Ω : X (ω) \leq b}$
（红笔） $- {ω \in Ω : X (ω) \leq a}$ .
（蓝笔，左下） $(Ω, F, P)$

第 1–3 行：定义与最小性

就是上面讲过的定义 4 和命题 5，老师把印刷课件空着的公式补全了。

第 4–5 行：例 ①，由一个集合生成的 σ-代数

老师写的 $σ (A)$ 是简写，严格应写 $σ ({A}) ：$ 生成元是只含一个集合 $A$ 的族。用「两边夹」验证 $σ ({A}) = {\emptyset, A, A^{c}, Ω} ：$

上界：第 9 页板书已经验证 $H = {\emptyset, A, A^{c}, Ω}$ 是 σ-代数，而且它含 $A 。$ 由最小性， $σ ({A}) \subseteq H 。$
下界：任取一个含 $A$ 的 σ-代数 $G 。$ 它必须含 $Ω$ （规则 1），含 $A^{c}$ （对 $A$ 用规则 2），含 $\emptyset = Ω^{c}$ （对 $Ω$ 用规则 2）。所以 $H$ 的四个成员都是被迫加入的， $H \subseteq G ；$ 对每个候选人都成立，所以 $H \subseteq σ ({A}) 。$
合起来： $σ ({A}) = {\emptyset, A, A^{c}, Ω} 。$ 它就是第 9 页、第 10 页里「只看第 1 次硬币」的信息。

这个例子说明：「我只关心 $A 」$ 这句话，自动决定了事件族—— $A$ 本身、它的反面、必然事件、不可能事件，恰好这四个，一个不多。

第 6–7 行：例 ②，博雷尔 σ-代数

博雷尔 σ-代数（Borel sigma-algebra） $B (R)$ 是 $R$ 上最常用的事件族。老师的定义是

B (R) := σ ({(- \infty, q] : q \in Q}),

即由所有「右端点是有理数的左射线」生成的 σ-代数。

为什么用射线 $(- \infty, q]$ ：「 $X \leq q 」$ 是关于一个数最基本的问题。只要这些问题都能回答，σ-代数的规则会迫使其他问题也能回答。
为什么只用有理数 $q$ 就够了：有理数可数，便于操作；而且端点是无理数的射线也会被迫加入。例如取一列从上方逼近 $2 \approx 1.41421$ 的有理数 $q_{1} = 1.5 ，$ $q_{2} = 1.42 ，$ $q_{3} = 1.415 ，$ $q_{4} = 1.4143 ，\dots\dots，$ 则 $(- \infty, 2] = ⋂_{n \geq 1} (- \infty, q_{n}] ，$ 是可数交，必在 $B (R)$ 里（推导一节有详细论证）。
它里面有什么：所有区间（开、闭、半开）、单点、有理数集 $Q 、$ 所有开集和闭集，以及它们反复做可数次运算得到的集合。你能具体写出来的实数集合，几乎都在里面。
它不是 $2^{R}$ ：维塔利集就不在里面（第 21 页、第 23 页）。这正好解决了第 10 页红框的问题。
常见的等价定义：由所有开区间生成，或由所有开集生成，得到的是同一个 σ-代数。不同教材写法不同，结果一样。

第 8 行：{X ≤ x} 必须是事件

这里 $X : Ω \to R$ 是一个随机变量（第 5 页：把结局翻译成数字的函数）。老师用红线划出集合 ${ω \in Ω : X (ω) \leq x} ，$ 常简写为 ${X \leq x} ，$ 意思是「 $X$ 的取值不超过 $x 」$ 这件事。

is admissible：对每个实数 $x$ （花括号下的 $x \in R ），$ 这个集合都必须在 $F$ 里，否则连「 $X \leq x$ 的概率」都没法问。
这其实就是「随机变量必须可测」的要求（第 29 页会正式定义可测函数）。它和第 7 行的联系是： ${X \leq x}$ 就是「 $X$ 落在射线 $(- \infty, x]$ 里」，而这些射线正是博雷尔 σ-代数的生成元。

第 9 行：分布函数 CDF

F_{X} (x) = P (X \leq x), x \in R .

CDF 是 cumulative distribution function（累积分布函数，简称分布函数）的缩写。「累积」是说：从 $- \infty$ 一路累加到 $x$ 为止的概率。
第 8 行保证了右边有定义。
第 2 讲会系统讲 CDF。这里老师想说明：CDF 能算出 $X$ 落在任何区间里的概率——见第 10–12 行。

第 10–12 行：区间事件 = 两个射线事件相减

{a < X \leq b} = {X \leq b} ∖ {X \leq a} (a < b) .

老师用减号「 $- 」$ 表示差集，标准写法是 $∖ 。$ 为什么成立：

$X \leq b$ 且不是 $X \leq a ，$ 就是 $X \leq b$ 且 $X > a ，$ 即 $a < X \leq b 。$
两个射线事件都在 $F$ 里（第 8 行），差集还在 $F$ 里（第 9 页结论 4），所以区间事件也是事件。
算概率： $a < b$ 时 ${X \leq a} \subseteq {X \leq b} ，$ 所以 ${X \leq b}$ 是 ${X \leq a}$ 与 ${a < X \leq b}$ 的不交并。由可加性，

P (a < X \leq b) = P (X \leq b) - P (X \leq a) = F_{X} (b) - F_{X} (a) .

第 13 行：回到三件套

最后老师写下 $(Ω, F, P) ：$ 生成的 σ-代数告诉我们怎么选中间那一项 $F 。$ 下一页第 12 页把整个三件套正式定义为概率空间。

例子

例 1：两个单点生成了全部子集

$Ω = {1, 2, 3} ，$ $C = {{1}, {2}} 。$ 逐个找「被迫加入」的集合：

规则 1： $Ω = {1, 2, 3} 。$ 补集得 $\emptyset 。$
补集： ${1}^{c} = {2, 3} ，$ ${2}^{c} = {1, 3} 。$
并集： ${1} \cup {2} = {1, 2} ，$ 再取补集 ${1, 2}^{c} = {3} 。$
到这里已经有了 $\emptyset 、$ ${1} 、$ ${2} 、$ ${3} 、$ ${1, 2} 、$ ${1, 3} 、$ ${2, 3} 、$ $Ω ，$ 这是全部 $2^{3} = 8$ 个子集。

它们都是被迫的，而 $2^{Ω}$ 是 σ-代数，所以 $σ (C) = 2^{Ω} 。$ 直观：知道「是不是 1」「是不是 2」，就能推出「是不是 3」，于是每个点都分辨得出来。

例 2：由一个「分块」生成

$Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ （骰子）， $C = {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} ，$ 三块互不重叠、拼起来是 $Ω 。$

上界：令 $H$ ＝「若干块的并」组成的族（包括一块都不选的 $\emptyset$ 和全选的 $Ω ），$ 共 $2^{3} = 8$ 个集合，如 ${1, 2} \cup {5, 6} = {1, 2, 5, 6} 。$ 几块的并的补集是其余块的并，几块的并的并还是几块的并，所以 $H$ 是 σ-代数，且含 $C 。$
下界：每个「若干块的并」都是 $C$ 中成员的有限并，任何含 $C$ 的 σ-代数都必须含它。
所以 $σ (C) = H ，$ 共 8 个集合。它分辨不了 1 和 2（它们总在同一块里）。这对应「只告诉你点数是 1–2、3–4 还是 5–6」的信息。

例 3：博雷尔集里有什么

按「被迫加入」的思路，验证下列集合都在 $B (R)$ 里：

$(0, 1] = (- \infty, 1] ∖ (- \infty, 0] ：$ 两个生成元的差集。
单点 ${\frac{1}{2}} = ⋂_{n \geq 1} (\frac{1}{2} - \frac{1}{n}, \frac{1}{2}] ：$ 可数多个左开右闭区间的交（每个区间都像第 1 条那样得到）。
开区间 $(0, 1) = ⋃_{n \geq 2} (0, 1 - \frac{1}{n}] ：$ 可数并。
$Q ：$ 有理数可数， $Q = ⋃_{k} {q_{k}} ，$ 是可数多个单点的并。
无理数全体 $R ∖ Q ：$ $Q$ 的补集。

每一步只用了 σ-代数的规则，所以这些集合都是「被迫加入」的。

例 4（反例）：两个 σ-代数的并，不一定是 σ-代数

$Ω = {1, 2, 3} ，$ $G_{1} = {\emptyset, {1}, {2, 3}, Ω} ，$ $G_{2} = {\emptyset, {2}, {1, 3}, Ω} ，$ 两个都是 σ-代数。它们的并 $G_{1} \cup G_{2}$ 含 ${1}$ 和 ${2} ，$ 却不含 ${1} \cup {2} = {1, 2} ，$ 不是 σ-代数。所以定义 4 用的是交集而不是并集：交集保持 σ-代数的性质，并集不一定。

例 5：分布函数的具体计算

抛两次公平硬币， $X$ ＝正面次数，取值 0、1、2，概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4} 。$

${X \leq 0.5} = {TT} ，$ ${X \leq 1} = {TT, HT, TH} ，$ 都在 $2^{Ω}$ 里，是事件。
分布函数： $F_{X} (x) = 0$ （ $x < 0 ），$ $\frac{1}{4}$ （ $0 \leq x < 1 ），$ $\frac{3}{4}$ （ $1 \leq x < 2 ），$ $1$ （ $x \geq 2 ）。$
用第 10–12 行的公式： $P (0 < X \leq 1) = F_{X} (1) - F_{X} (0) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} ，$ 正是「恰好一次正面」的概率。

动手试一试动手试一试：点一点，看 σ(𝒞) 长什么样

在 $Ω = {1, 2, 3, 4}$ 上，点击数字把它放进（或移出）生成集 $C_{1} 、$ $C_{2} 。$ 演示会先找出「原子」——对 $C_{1} 、$ $C_{2}$ 的「属于 / 不属于」完全相同的点归成一块，这是 $σ (C)$ 里无法再切分的最小事件；然后列出 $σ (C)$ 的全部成员：恰好是原子的所有可能的并，共 $2^{原子个数}$ 个。试试：只让 $C_{1} = {1, 2}$ 时，原子是 ${1, 2}$ 和 ${3, 4} ，$ 得到 ${\emptyset, {1, 2}, {3, 4}, Ω}$ 这 4 个集合；再让 $C_{2} = {2, 3} ，$ 原子变成 ${1}, {2}, {3}, {4} ，$ σ-代数一下子变成全部 16 个子集。

推导：一步一步来

推导证明思路

命题 5 的关键是：一堆 σ-代数的交集仍是 σ-代数。逐条检查三条规则：每条规则在每个候选人里都成立，所以在交集里也成立。最小性则几乎是定义本身。最后补上「无理端点的射线也在 $B (R)$ 里」的论证。

记所有候选人（包含 $C$ 的 σ-代数）组成的集合为 $Γ ，$ 于是 $σ (C) = ⋂_{G \in Γ} G ：$ 一个集合属于 $σ (C) ，$ 当且仅当它属于每个 $G \in Γ 。$

第 1 步： $σ (C)$ 满足规则 1。 每个 $G \in Γ$ 都是 σ-代数，都含 $Ω 。$ 所以 $Ω$ 属于每个候选人， $Ω \in σ (C) 。$

第 2 步：满足规则 2。 设 $E \in σ (C) 。$ 任取候选人 $G ：$ $E \in G$ （因为 $E$ 属于每个候选人），而 $G$ 是 σ-代数，所以 $E^{c} \in G 。$ $G$ 是任取的，所以 $E^{c}$ 属于每个候选人， $E^{c} \in σ (C) 。$

第 3 步：满足规则 3。 设 $E_{1}, E_{2}, \dots \in σ (C) 。$ 任取候选人 $G ：$ 每个 $E_{n} \in G ，$ 而 $G$ 对可数并封闭，所以 $⋃_{n} E_{n} \in G 。$ 对每个候选人都成立，所以 $⋃_{n} E_{n} \in σ (C) 。$

第 4 步：包含 $C 。$ 每个候选人都包含 $C ，$ 所以 $C$ 的每个成员属于每个候选人， $C \subseteq σ (C) 。$

第 5 步：最小性。 设 $G$ 是任意一个包含 $C$ 的 σ-代数。那么 $G \in Γ ，$ 是参与取交集的一员。交集里的集合属于每个参与者，当然属于 $G ，$ 所以 $σ (C) \subseteq G 。$

补充：任意实数 $x$ 的射线 $(- \infty, x]$ 都在 $B (R)$ 里。

对每个 $n ，$ 区间 $(x, x + \frac{1}{n})$ 里有有理数（有理数稠密），取一个记为 $q_{n} 。$ 于是 $x < q_{n} < x + \frac{1}{n} 。$
断言： $(- \infty, x] = ⋂_{n \geq 1} (- \infty, q_{n}] 。$
- 若 $y \leq x ，$ 则 $y \leq x < q_{n}$ 对每个 $n$ 成立， $y$ 在每条射线里，所以在交集里。
- 若 $y > x ，$ 取 $n$ 足够大使 $\frac{1}{n} < y - x ，$ 则 $q_{n} < x + \frac{1}{n} < y ，$ $y$ 不在 $(- \infty, q_{n}]$ 里，所以不在交集里。
每个 $(- \infty, q_{n}]$ 是生成元，交集是可数交，由第 9 页结论 3， $(- \infty, x] \in B (R) 。$

常见疑问与易错点

易错点问：σ(𝒞) 是不是就是「把 𝒞 的成员做一两次补、并运算」得到的集合？

答：在有限的例子里，反复做几轮运算确实能得到全部。但在 $R$ 上，做一轮可数并、可数交后又会产生新集合，再做一轮又有新的……这个过程可能要进行「无穷多轮」都停不下来。定义 4 用「取所有候选人的交集」一步到位，避开了这个麻烦。

易错点问：σ(𝒞) 会不会比 𝒞 大很多？

答：会，而且通常如此。例 1 里 $C$ 只有 2 个集合， $σ (C)$ 却有 8 个；博雷尔 σ-代数由可数多条射线生成，却包含了几乎所有你能写出来的实数集合。但它依然不等于 $2^{R} 。$

易错点问：σ(𝒞) 一定比 𝒞 大吗？

答：不一定。如果 $C$ 本身已经是 σ-代数，那么它自己就是最小的候选人， $σ (C) = C 。$ 例如 $σ ({\emptyset, A, A^{c}, Ω}) = {\emptyset, A, A^{c}, Ω} 。$

易错点问：为什么是「取交集」，而不是「取并集」？

答：交集保持 σ-代数的性质（推导一节第 1–3 步），并集不保持（例 4）。而且我们要的是「最小」：交集只保留每个候选人都有的，自然最小。

小结与自测

小结本页小结

$σ (C)$ ＝所有包含 $C$ 的 σ-代数的交集；因为 $2^{Ω}$ 是候选人，这个交集总有意义。
命题 5： $σ (C)$ 是包含 $C$ 的最小 σ-代数，只含「被迫加入」的集合。
计算方法「两边夹」：找一个含 $C$ 的 σ-代数做上界，再说明其成员都是被迫的。例： $σ ({A}) = {\emptyset, A, A^{c}, Ω} 。$
博雷尔 σ-代数 $B (R) = σ {(- \infty, q] : q \in Q} ，$ 含所有区间、单点、 $Q$ 等，但不是 $2^{R} 。$
随机变量要求 ${X \leq x} \in F ；$ 分布函数 $F_{X} (x) = P (X \leq x) ，$ 且 $P (a < X \leq b) = F_{X} (b) - F_{X} (a) 。$

自测

1. $Ω = {1, 2, 3, 4} ，$ 求 $σ ({{1}}) 。$

点开看答案

${\emptyset, {1}, {2, 3, 4}, Ω} 。$ 上界：这四个集合组成的族是 σ-代数且含 ${1} 。$ 下界：任何含 ${1}$ 的 σ-代数都必须含 $Ω 、$ ${1}^{c} = {2, 3, 4} 、$ $\emptyset 。$

2. 判断：若 $C_{1} \subseteq C_{2} ，$ 则 $σ (C_{1}) \subseteq σ (C_{2}) 。$

点开看答案

正确。 $σ (C_{2})$ 是 σ-代数，且包含 $C_{2} ，$ 从而包含 $C_{1} 。$ 由最小性（对 $C_{1}$ 用命题 5）， $σ (C_{1}) \subseteq σ (C_{2}) 。$ 直观：想要的基本事件越多，被迫加入的也越多。

3. 用博雷尔 σ-代数的规则说明闭区间 $[0, 1]$ 在 $B (R)$ 里。

点开看答案

$[0, 1] = (- \infty, 1] ∖ (- \infty, 0) ，$ 而 $(- \infty, 0) = ⋃_{n \geq 1} (- \infty, - \frac{1}{n}]$ 是可数多条（端点为有理数的）射线的并，在 $B (R)$ 里； $(- \infty, 1]$ 是生成元。差集仍在 σ-代数里，所以 $[0, 1] \in B (R) 。$ 另一种写法： $[0, 1] = {0} \cup (0, 1] ，$ 两块都在（例 3），并集也在。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
生成的 σ-代数	generated sigma-algebra	包含给定集合族的最小 σ-代数 σ(𝒞)：只加入「被逼着加入」的集合。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
集合族	family of sets	元素本身都是集合的集合，例如事件族 𝓕。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
稠密	dense	任何一小段区间里都能找到它的点，例如有理数在实数轴上稠密。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
维塔利集	Vitali set	用选择公理造出的「坏」集合，证明了不可能给 ℝ 的所有子集定义长度。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
差集	set difference	在 A 里但不在 B 里的元素，记作 A \ B，等于 A ∩ Bᶜ。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
并集	union	至少属于其中一个集合的元素全体，A ∪ B 对应「A 或 B」。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。