06 乘积 σ-代数：由所有「可测矩形」生成 · 第4讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

要在 $Ω_{1} \times Ω_{2}$ 上谈概率，先要规定哪些子集「可以谈概率」。自然的出发点是可测矩形 $A_{1} \times A_{2}$ （ $A_{1} \in F_{1} ，$ $A_{2} \in F_{2} ）。$ 但矩形的并、补一般不再是矩形，所以矩形本身凑不成 σ-代数。办法是取包含所有可测矩形的最小 σ-代数，记作 $F_{1} \otimes F_{2} ，$ 叫乘积 σ-代数。

位置：第 1 部分「乘积测度」的第一个正式定义，回答「乘积空间上的事件是哪些」。
为什么从矩形出发：「第一个坐标落在 $A_{1} 、$ 第二个坐标落在 $A_{2} 」$ 正是矩形 $A_{1} \times A_{2} 。$ 乘积测度要给它的值是 $P_{1} (A_{1}) P_{2} (A_{2})$ （第 7 页），所以矩形必须在事件族里。
后面怎么用：第 7 页在 $F_{1} \otimes F_{2}$ 上定义乘积测度，第 8 页用截口计算它；第 3 部分用它谈 $(X, Y)$ 的联合分布。

先补基础

基础补课σ-代数与生成的 σ-代数（回顾）

σ-代数（第 9 页）：包含全集、对补集和可数并封闭的子集族。
生成的 σ-代数 $σ (C)$ （第 11 页）：包含集族 $C$ 的最小 σ-代数，等于所有包含 $C$ 的 σ-代数的交集。它只添加「为了满足 σ-代数的规则而被迫加入」的集合。
例： $R$ 上的博雷尔 σ-代数 $B (R)$ 是由所有开区间生成的 σ-代数（第 11 页）。

基础补课矩形的运算规律

对 $A_{1}, B_{1} \subseteq Ω_{1} ，$ $A_{2}, B_{2} \subseteq Ω_{2} ：$

交： $(A_{1} \times A_{2}) \cap (B_{1} \times B_{2}) = (A_{1} \cap B_{1}) \times (A_{2} \cap B_{2}) 。$ 两个矩形的交还是矩形（在平面上画两个长方形重叠的部分看看）。
补： $(A_{1} \times A_{2})^{c} = (A_{1}^{c} \times Ω_{2}) \cup (A_{1} \times A_{2}^{c}) ，$ 右边两块不相交。点 $(ω_{1}, ω_{2})$ 不在矩形里，要么第一个坐标不在 $A_{1} ，$ 要么第一个坐标在 $A_{1}$ 而第二个坐标不在 $A_{2} 。$
并：两个矩形的并一般不是矩形（例如两个不挨着的正方形）。

基础补课投影（坐标映射）

$π_{1} (ω_{1}, ω_{2}) = ω_{1} ，$ $π_{2} (ω_{1}, ω_{2}) = ω_{2} 。$ 它们的原像是「条带」： $π_{1}^{- 1} (A_{1}) = A_{1} \times Ω_{2}$ （竖条）， $π_{2}^{- 1} (A_{2}) = Ω_{1} \times A_{2}$ （横条）。矩形就是一个竖条和一个横条的交： $A_{1} \times A_{2} = (A_{1} \times Ω_{2}) \cap (Ω_{1} \times A_{2}) 。$

课件原文逐句精读

课件原文Produce measure

Definition (Product σ-algebra).（留白）
The product of $(A_{1}, F_{1})$ and $(A_{2}, F_{2})$ is the measurable space（留白）
Remark that Cartesian product of two σ-algebras is not a σ-algebra in general.

中文翻译

蓝条标题：乘积测度。

定义（乘积 σ-代数）.（课件留白）
$(A_{1}, F_{1})$ 与 $(A_{2}, F_{2})$ 的乘积是可测空间（课件留白）
注意：两个 σ-代数的笛卡尔积，一般不是 σ-代数。

蓝条标题 Produce measure 是笔误，应为 Product measure。
第二条里的 $A_{1}, A_{2}$ 应理解为两个空间 $Ω_{1}, Ω_{2} ：$ 后面几页都用 $(Ω_{i}, F_{i}) ，$ 这里换字母是笔误，读作「 $(Ω_{1}, F_{1})$ 与 $(Ω_{2}, F_{2})$ 的乘积」。
measurable space：可测空间，即「集合 + 它上面的一个 σ-代数」，还没有放测度。
Cartesian product of two σ-algebras：指集族 ${A_{1} \times A_{2} : A_{1} \in F_{1}, A_{2} \in F_{2}} ，$ 也就是所有可测矩形组成的集合，有时记作 $F_{1} \times F_{2} 。$

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定义（可测矩形与乘积 σ-代数）

设 $(Ω_{1}, F_{1}) 、$ $(Ω_{2}, F_{2})$ 是两个可测空间。

形如 $A_{1} \times A_{2}$ （ $A_{1} \in F_{1} ，$ $A_{2} \in F_{2} ）$ 的集合叫可测矩形（measurable rectangle）。
由所有可测矩形生成的 σ-代数

F_{1} \otimes F_{2} := σ ({A_{1} \times A_{2} : A_{1} \in F_{1}, A_{2} \in F_{2}})

叫乘积 σ-代数（product σ-algebra）。3. $(Ω_{1} \times Ω_{2}, F_{1} \otimes F_{2})$ 叫 $(Ω_{1}, F_{1})$ 与 $(Ω_{2}, F_{2})$ 的乘积可测空间。

记号 $\otimes$ 读作「张量积」或直接读「乘积」，用来和「矩形的集合」 $F_{1} \times F_{2}$ 区分： $F_{1} \times F_{2}$ 只是一堆矩形， $F_{1} \otimes F_{2}$ 是它生成的 σ-代数。

例子注记的证明：可测矩形全体一般不是 σ-代数

取 $Ω_{1} = Ω_{2} = {0, 1} ，$ $F_{1} = F_{2}$ 取全部子集。 ${0} \times {0}$ 和 ${1} \times {1}$ 都是可测矩形，它们的并 ${(0, 0), (1, 1)}$ 却不是矩形：

假设 ${(0, 0), (1, 1)} = A \times B ；$
由 $(0, 0) \in A \times B$ 得 $0 \in A 、$ $0 \in B ；$ 由 $(1, 1) \in A \times B$ 得 $1 \in A 、$ $1 \in B ；$
于是 $(0, 1) \in A \times B ，$ 可 $(0, 1)$ 不在左边的集合里，矛盾。

所以可测矩形全体对并集不封闭，不是 σ-代数。类似地， ${0} \times {0}$ 的补集是三个点组成的「L 形」，也不是矩形。这就是要取生成的 σ-代数的原因。

两个基本性质

命题 1（乘积 σ-代数 = 让两个投影都可测的最小 σ-代数）

$F_{1} \otimes F_{2} = σ (π_{1}, π_{2}) ，$ 即包含所有竖条 $A_{1} \times Ω_{2}$ 和横条 $Ω_{1} \times A_{2}$ 的最小 σ-代数。

证明：记 $G = σ ({A_{1} \times Ω_{2}} \cup {Ω_{1} \times A_{2}}) 。$

竖条、横条本身是可测矩形（另一边取全集），所以 $G \subseteq F_{1} \otimes F_{2} 。$
反过来，每个矩形 $A_{1} \times A_{2} = (A_{1} \times Ω_{2}) \cap (Ω_{1} \times A_{2})$ 是 $G$ 中两个集合的交，属于 $G ；$ $F_{1} \otimes F_{2}$ 是包含所有矩形的最小 σ-代数，所以 $F_{1} \otimes F_{2} \subseteq G 。$ $■$

意义：在乘积空间上，「可测」的要求不多不少，刚好够让「读出第一个坐标」「读出第二个坐标」都是可测映射（随机变量）。

命题 2（平面的博雷尔集 = 乘积 σ-代数）

$B (R^{2}) = B (R) \otimes B (R) 。$ 这里 $B (R^{2})$ 是由平面上所有开集生成的 σ-代数。

证明：

⊇：投影 $π_{1} : R^{2} \to R$ 连续，所以对开区间 $I ，$ $π_{1}^{- 1} (I) = I \times R$ 是平面开集。由第 29 页的「检验生成元就够了」，对每个博雷尔集 $A_{1} ，$ $A_{1} \times R \in B (R^{2}) ；$ 把投影换成取第二个坐标的 $π_{2} ，$ 同样得到 $R \times A_{2} \in B (R^{2}) 。$ 于是每个可测矩形（两者之交）都在 $B (R^{2})$ 里，从而 $B (R) \otimes B (R) \subseteq B (R^{2}) 。$
⊆：平面上每个开集 $G$ 都是可数多个「有理端点的开矩形」 $(a, b) \times (c, d)$ 的并：对 $G$ 中每一点，都能找到一个端点为有理数、含这一点且整个落在 $G$ 里的小开矩形，而这样的矩形只有可数多个。每个开矩形都是可测矩形，所以 $G \in B (R) \otimes B (R) ；$ 开集生成 $B (R^{2}) ，$ 故 $B (R^{2}) \subseteq B (R) \otimes B (R) 。$ $■$

意义：随机向量 $(X, Y) : Ω \to R^{2}$ 用哪个 σ-代数都一样。并且 $(X, Y)$ 可测，当且仅当 $X 、$ $Y$ 都是随机变量： ${(X, Y) \in A_{1} \times A_{2}} = {X \in A_{1}} \cap {Y \in A_{2}} ，$ 矩形的原像可测，再用「检验生成元就够了」即可。

例子

例 1：两颗骰子——σ-代数比矩形多得多

$Ω_{1} = Ω_{2} = {1, \dots, 6} ，$ $F_{1} = F_{2}$ 取全部子集。

每个单点 ${(i, j)} = {i} \times {j}$ 都是可测矩形，任何子集都是有限个单点的并，所以 $F_{1} \otimes F_{2}$ 是 ${1, \dots, 6}^{2}$ 的全部 $2^{36} \approx 6.9 \times 1 0^{10}$ 个子集。
而可测矩形只有 $(2^{6} - 1)^{2} + 1 = 3970$ 个（两边都非空的矩形 $63 \times 63$ 个，再加上空集）。
例如「点数之和等于 7」 $= {(1, 6), (2, 5), \dots, (6, 1)}$ 不是矩形，但它是 6 个单点矩形的并，在 $F_{1} \otimes F_{2}$ 里。

例 2：第 4 页的对角线是乘积可测的

单位正方形里的对角线 $D_{0} = {(x, x) : 0 \leq x \leq 1} 。$ 把 $[0, 1]$ 等分成 $n$ 段，对角线被 $n$ 个小正方形盖住：

D_{0} = n = 1 ⋂ \infty k = 1 ⋃ n [\frac{k - 1}{n}, \frac{k}{n}] \times [\frac{k - 1}{n}, \frac{k}{n}] .

对角线上的点 $(x, x)$ 对每个 $n$ 都落在某个小正方形里，所以属于右边。
若 $x \neq = y ，$ 取 $n$ 大到 $\frac{1}{n} < ∣ x - y ∣ ，$ 则 $x, y$ 不可能在同一段里， $(x, y)$ 不在第 $n$ 个并集里。右边由矩形经过有限并、可数交得到，所以 $D_{0} \in B (R) \otimes B (R) ，$ 第 4 页里谈 $P ((U, U) \in D)$ 是合法的。

例 3：半平面 {x < y}

${(x, y) : x < y} = ⋃_{q \in Q} ((- \infty, q) \times (q, \infty)) ：$ 若 $x < y ，$ 在两者之间取一个有理数 $q ，$ 点 $(x, y)$ 就在对应的矩形里；反过来，矩形里的点都满足 $x < q < y 。$ 可数个矩形的并，所以它在乘积 σ-代数里。概率里常用它： $P (X < Y)$ 就是 $(X, Y)$ 落在这个集合里的概率。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不干脆取 Ω₁ × Ω₂ 的全部子集？

答：有限空间里可以（例 1 正是如此）。但在 $R^{2}$ 上，全部子集太多，面积这样的测度没法定义在每个子集上（一维的情形见第 1 讲维塔利定理第 21 页）。取由矩形生成的 σ-代数，集合足够多（包含所有开集、闭集、对角线、圆盘），又不至于多到无法定义测度。

易错点问：F₁ ⊗ F₂ 里的集合都能写成矩形的可数并吗？

答：不能。 $F_{1} \otimes F_{2}$ 是经过反复取补、取可数并、可数交得到的，结构可以很复杂。例 2 的对角线就要先并再交。好在我们很少需要写出具体形式：只要知道「矩形在里面，σ-代数的运算不出界」就够了，复杂集合的测度由第 7 页的唯一性定理自动确定。

易错点问：符号 F₁ × F₂ 和 F₁ ⊗ F₂ 有什么区别？

答： $F_{1} \times F_{2}$ 是所有可测矩形组成的集族（一般不是 σ-代数，见上面的注记）； $F_{1} \otimes F_{2}$ 是它生成的 σ-代数。有些教材两者都写成 $F_{1} \times F_{2} ，$ 读的时候要看上下文。

小结与自测

小结本页小结

可测矩形： $A_{1} \times A_{2} ，$ $A_{i} \in F_{i} 。$ 它们对交封闭，但对并、补不封闭，不是 σ-代数。
乘积 σ-代数： $F_{1} \otimes F_{2} = σ (所有可测矩形) ，$ 也等于让两个投影都可测的最小 σ-代数。
平面上 $B (R^{2}) = B (R) \otimes B (R) ；$ 对角线、半平面 ${x < y} 、$ 圆盘都在里面。
课件笔误：Produce → Product； $(A_{i}, F_{i})$ 应为 $(Ω_{i}, F_{i}) 。$

自测

1. 在 ${0, 1}^{2}$ （各取全部子集）上，验证 $({0} \times {0})^{c}$ 等于 $({1} \times {0, 1}) \cup ({0} \times {1}) 。$

点开看答案

左边是除 $(0, 0)$ 外的三个点 $(0, 1), (1, 0), (1, 1) 。$ 右边第一块是 $(1, 0), (1, 1) ，$ 第二块是 $(0, 1) ，$ 合起来正好是这三个点，且两块不交。这就是 $(A_{1} \times A_{2})^{c} = (A_{1}^{c} \times Ω_{2}) \cup (A_{1} \times A_{2}^{c}) 。$

2. 把单位圆盘 ${x^{2} + y^{2} < 1}$ 写成可测矩形的可数并（说明思路即可）。

点开看答案

圆盘是开集。对圆盘里每一点，都能找到一个有理端点的开矩形包含它并且整个落在圆盘里；所有这样的有理矩形只有可数多个，它们的并就是圆盘。

3. 设 $X 、$ $Y$ 是随机变量。为什么 ${X < Y}$ 是事件？

点开看答案

${X < Y} = ⋃_{q \in Q} ({X < q} \cap {Y > q}) ，$ 是可数个事件的交、并，所以属于 $F 。$ 等价地， $(X, Y)$ 可测，而 ${x < y}$ 是平面博雷尔集（例 3）。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
可测矩形	measurable rectangle	形如 A₁ × A₂ 的集合，A₁、A₂ 分别是两个空间里的可测集。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
乘积 σ-代数	product σ-algebra	由所有可测矩形生成的 σ-代数，记作 F₁ ⊗ F₂；它也是让两个坐标映射都可测的最小 σ-代数。
乘积空间	product space	笛卡尔积 Ω₁ × Ω₂，配上乘积 σ-代数（以及乘积测度）。
乘积测度	product measure	在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
截口	slice (section)	固定一个坐标、把二维集合或函数「切一刀」：A_ω₁ = {ω₂ : (ω₁, ω₂) ∈ A}，f_ω₁(ω₂) = f(ω₁, ω₂)。
联合分布	joint law (joint distribution)	随机向量 (X, Y) 在平面上的分布：对每个平面博雷尔集 B 给出 P((X, Y) ∈ B)。只知道边缘分布不能确定它。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
生成的 σ-代数	generated sigma-algebra	包含给定集合族的最小 σ-代数 σ(𝒞)：只加入「被逼着加入」的集合。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
原像	preimage	f⁻¹(B) 是「所有被 f 送进 B 的输入」组成的集合，可测性就是用原像定义的。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
笛卡尔积	Cartesian product	A × B 是所有有序对 (a, b) 组成的集合；Aⁿ 是所有长度为 n 的数组。
并集	union	至少属于其中一个集合的元素全体，A ∪ B 对应「A 或 B」。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。