22 Scheffé 引理：逐点收敛再加上总质量收敛，积分误差就趋于 0 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

对非负函数：若 $f_{n} \to f$ 几乎处处，并且总质量也收敛， $\int f_{n} d μ \to \int f d μ < \infty ，$ 那么误差的总面积 $\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0 。$ 不需要任何控制函数。对概率密度来说，总质量都是 1，条件自动成立：密度逐点收敛，就推出所有事件的概率一致地收敛。

这是第 3 部分「期望与密度的收敛」的第四页。

第 19 页的尖峰 $n 1_{[0, 1/ n]}$ 说明：只有逐点收敛，质量可能从一个零概率集「逃走」，积分不跟着收敛。
第 20 页–第 21 页给出第一种补救：加一个共同的可积上界（控制收敛）。
本页给出第二种补救，专门针对非负函数：不用找上界，只要检查总质量没有丢。这对概率密度特别方便，因为密度的总质量天然是 1。
下一页第 23 页证明本定理；第 24 页把它翻译成「事件概率的误差」；第 25 页用一个具体例子把误差精确算出来。

先补基础

基础补课一般测度空间 (S, 𝓜, μ) 上的积分

第 1 讲的积分是对任意测度空间写的（第 12 页、第 33 页）。本页的 $(S, M, μ)$ 可以是：

实轴上的长度： $S = R ，$ $μ = λ$ （勒贝格测度）， $\int f d λ$ 就是通常的面积 $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x ；$
计数测度： $S = {0, 1, 2, \dots} ，$ $μ (A)$ 是 $A$ 里元素的个数，此时 $\int f d μ = \sum_{k} f (k)$ （积分就是求和）；
概率空间： $μ = P ，$ 积分就是期望 $E 。$

同一个定理对这三种情况同时成立，这就是用抽象的 $(S, M, μ)$ 写定理的好处。

基础补课几乎处处收敛与积分误差

$f_{n} \to f$ $μ$ -几乎处处（a.e.）：使 $f_{n} (x) \neq \to f (x)$ 的点组成一个 $μ$ -零测集（第 43 页）。例：在 $R$ 上，只在有理数点不收敛也算几乎处处收敛，因为有理数可数，长度为 0。
积分误差 $\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ ：$ 两条曲线之间夹着的总面积。它趋于 0 叫 $L^{1}$ 收敛（第 20 页）。
例：在 $R$ 上， $f_{n} = 1_{[0, 1 + 1/ n]} ，$ $f = 1_{[0, 1]} ，$ 两者只在 $(1, 1 + \frac{1}{n}]$ 上不同，差为 1，所以 $\int ∣ f_{n} - f ∣ d λ = \frac{1}{n} \to 0 。$

基础补课概率密度

对测度 $μ$ 的概率密度：可测函数 $f \geq 0 ，$ 满足 $\int f d μ = 1 。$ 它定义了一个概率 $P (A) = \int_{A} f d μ$ （第 17 页；为什么这确实是概率，见第 26 页）。
例： $(0, 1)$ 上的均匀密度 $f = 1 ；$ 标准正态密度 $φ (x) = \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2} ；$ 参数为 $λ$ 的指数密度 $λ e^{- λ x}$ （ $x \geq 0 ）。$
离散情形也算：掷骰子的分布列 $p (k) = \frac{1}{6}$ （ $k = 1, \dots, 6 ）$ 就是对计数测度的密度， $\sum_{k} p (k) = 1 。$

基础补课第 1 讲的三个交换工具（回顾）

Fatou 引理（第 41 页）： $f_{n} \geq 0$ 时 $\int lim inf_{n} f_{n} \leq lim inf_{n} \int f_{n} 。$ 若 $f_{n} \to f$ a.e.，就是 $\int f \leq lim inf_{n} \int f_{n} ：$ 取极限时质量只会丢，不会多。
控制收敛定理 DCT（第 44 页定理 36）： $f_{n} \to f$ a.e.，且 $∣ f_{n} ∣ \leq g 、$ $\int g < \infty ，$ 则 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$
线性与 $∣ \int h ∣ \leq \int ∣ h ∣$ （第 43 页命题 35）：对可积函数成立。

课件原文逐句精读

课件原文Scheffé's lemma

Theorem 16 (Nonnegative Scheffé lemma)

Probability densities

中文翻译

（标题：Scheffé 引理）

定理 16（非负函数的 Scheffé 引理）

概率密度

Scheffé's lemma：以美国统计学家 Henry Scheffé 命名的引理（他在 1947 年用它研究密度的收敛）。lemma 是引理，指一个常被引用的辅助结论。
Theorem 16：定理 16，编号接着第 20 页的定理 15。
Nonnegative：非负的。这个版本要求所有函数都非负；对可正可负的函数，条件要改写（见下面的「更多细节」）。
Probability densities：概率密度。这是定理 16 最重要的特例，课件把它单列为一个小标题。
两个标签下都留白，下面补全。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Theorem 16 (Nonnegative Scheffé lemma)｜定理 16（非负 Scheffé 引理）

定理 16（非负 Scheffé 引理）

设 $(S, M, μ)$ 是测度空间， $f_{n}, f : S \to [0, \infty)$ 是可测函数。若

$f_{n} \to f$ $μ$ -几乎处处，
$\int f_{n} d μ \to \int f d μ < \infty ，$

则

\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0.

因此对每个 $A \in M ，$ $\int_{A} f_{n} d μ - \int_{A} f d μ \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ d μ ，$ 右边与 $A$ 无关并趋于 0：所有 $\int_{A} f_{n} d μ$ 一致地收敛到 $\int_{A} f d μ 。$

逐个看：

$f_{n}, f \geq 0 ，$ 取有限值：非负防止正负抵消（见下面「两个条件各防止什么」的最后一条）；有限值保证 $∣ f_{n} - f ∣$ 处处有定义（不出现 $\infty - \infty ）。$
条件 1（几乎处处收敛）：和 DCT 一样的收敛要求。
条件 2（总质量收敛）：把 DCT 的「共同可积上界」换成了「总面积对得上」。 $\int f < \infty$ 不能省。
结论： $L^{1}$ 收敛。最后一句里的不等式来自 $∣ \int_{A} (f_{n} - f) ∣ \leq \int_{A} ∣ f_{n} - f ∣ \leq \int ∣ f_{n} - f ∣$ （第 43 页命题 35； $n$ 足够大时 $\int f_{n} < \infty ，$ 相减合法）。
条件 2 其实也是必要的：若 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ 取 $A = S$ 就得到 $\int f_{n} \to \int f 。$ 所以对非负且几乎处处收敛的函数列，

\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0 ⟺ \int f_{n} d μ \to \int f d μ .

人话版：总账对上，明细就对上

把 $f_{n}$ 想成沙子在地面上的堆积高度。几乎处处收敛说「每个位置的沙堆高度最终接近 $f 」；$ Fatou 说「极限时沙子只会丢，不会凭空多出来」。条件 2 说「总沙量也没有丢」。既然每个位置都不会多出沙子，总量又一点没少，那就没有地方能藏着丢掉的沙子——所以每处的误差加起来也趋于 0。

推导证明思路（完整证明见下一页）

关键是「公共部分」 $min (f_{n}, f) ：$ 它被 $f$ 压住， $f$ 可积，所以可以对它用 DCT，得到 $\int min (f_{n}, f) \to \int f 。$ 再用恒等式 $∣ f_{n} - f ∣ = f_{n} + f - 2 min (f_{n}, f)$ 积分，三项分别趋于 $\int f 、$ $\int f 、$ $2 \int f ，$ 相减得 0。详见第 23 页。

两个条件各防止什么

条件 2 防止「质量逃走」。 只有条件 1 不够：

尖峰（第 19 页）：在 $[0, 1]$ 上 $f_{n} = n 1_{[0, 1/ n]} \to 0$ 几乎处处，但 $\int f_{n} = 1 \neq \to 0 。$ $\int ∣ f_{n} - 0∣ = 1 ，$ 结论失败。质量挤进越来越窄的区间，最后躲进零测集 ${0} 。$
滑走的方块（第 1 讲）：在 $R$ 上 $f_{n} = 1_{[n, n + 1]} \to 0$ 处处，但 $\int f_{n} = 1 \neq \to 0 。$ 质量一路滑向无穷远。

两次都是 Fatou 的不等号严格：极限的质量 $0$ 小于 $lim inf \int f_{n} = 1 。$ 条件 2 正好排除这种情况。

动手试一试尖峰：条件 1 成立、条件 2 失败

拖动 $n ：$ 每一点的值最终变成 0（条件 1 成立），面积却始终是 1，不收敛到极限函数的面积 0（条件 2 失败）。这就是 Scheffé 引理必须要求总质量收敛的原因。

条件 1 防止「质量来回搬家」。 只有条件 2 也不够：

在 $[0, 1]$ 上令 $f_{n} (x) = 1 + sin (2 πn x) ，$ $f = 1 。$ $f_{n} \geq 0 ，$ 并且 $\int_{0}^{1} f_{n} d x = 1 + 0 = 1 = \int f ，$ 条件 2 成立（ $sin$ 在 $n$ 个完整周期上积分为 0）。
但 $f_{n}$ 不逐点收敛：它在 0 和 2 之间越来越快地振荡。积分误差

\int_{0}^{1} ∣ f_{n} - f ∣ d x = \int_{0}^{1} ∣ sin (2 πn x) ∣ d x = \frac{1}{2 πn} \int_{0}^{2 πn} ∣ sin u ∣ d u = \frac{1}{2 πn} \cdot 4 n = \frac{2}{π} \approx 0.64

对每个 $n$ 都一样，不趋于 0。这里用了换元 $u = 2 πn x ，$ 以及 $∣ sin u ∣$ 在每个长 $2 π$ 的周期上积分为 4。质量总量不变，只是被反复搬来搬去。

非负性防止「正负抵消」。 去掉非负，条件 1、2 都成立也不行：

在 $[0, 1]$ 上令 $f_{n} = n 1_{(0, 1/ n]} - n 1_{(1/ n, 2/ n]} ，$ $f = 0 。$ 对每个 $x > 0 ，$ 当 $\frac{2}{n} < x$ 时 $f_{n} (x) = 0 ，$ 又 $f_{n} (0) = 0 ，$ 所以处处收敛到 0； $\int f_{n} = 1 - 1 = 0 = \int f 。$
但 $\int ∣ f_{n} ∣ = 1 + 1 = 2 。$ 正的尖峰和负的尖峰在总积分里抵消了，掩盖了巨大的误差。

$\int f < \infty$ 防止「无穷等于无穷」。 在 $R$ 上令 $f = 1 ，$ $f_{n} = 1 + 1_{[n, n + 1]} 。$ 处处 $f_{n} \to f ，$ $\int f_{n} = \infty = \int f ，$ 形式上「总质量收敛」；但 $\int ∣ f_{n} - f ∣ = 1 。$ 总质量无穷时，「对得上」不包含任何信息。

一般（可正可负）版本

设 $f_{n}, f$ 是实值可测函数， $f_{n} \to f$ $μ$ -a.e.，且 $\int ∣ f_{n} ∣ d μ \to \int ∣ f ∣ d μ < \infty ，$ 则 $\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0 。$

证明思路：对非负函数 $∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ - ∣ f_{n} - f ∣$ 用 Fatou（三角不等式保证它非负，几乎处处收敛到 $2∣ f ∣ ）：$

\int 2∣ f ∣ \leq n lim inf \int (∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ - ∣ f_{n} - f ∣) = 2 \int ∣ f ∣ - n lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣,

消去有限数 $2 \int ∣ f ∣ ，$ 得 $lim sup_{n} \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq 0 。$ 非负时 $∣ f_{n} ∣ = f_{n} ，$ 就回到定理 16。上面「正负抵消」的反例里 $\int ∣ f_{n} ∣ = 2 \neq \to 0 ，$ 正好不满足这个版本的条件。

Probability densities｜概率密度

推论（密度的 Scheffé 引理）

设 $f_{n} 、$ $f$ 都是对 $μ$ 的概率密度（可测、非负、取有限值、 $\int f_{n} d μ = \int f d μ = 1 ），$ 记 $P_{n} (A) = \int_{A} f_{n} d μ ，$ $P (A) = \int_{A} f d μ 。$ 若 $f_{n} \to f$ $μ$ -几乎处处，则

\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0, A \in M sup P_{n} (A) - P (A) \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0.

为什么是推论：条件 2 变成「 $1 \to 1 」，$ 自动成立。所以对密度来说，逐点收敛单独就够了。这和一般函数（尖峰）形成鲜明对比。
尖峰为什么不是反例： $n 1_{[0, 1/ n]}$ 确实是 $[0, 1]$ 上的密度（积分为 1），但它的极限 $0$ 不是密度（积分为 0）。推论要求极限 $f$ 也是密度：一旦极限的总质量也是 1，就没有质量可以「逃走」。
概率语言：若随机变量 $X_{n}$ 有密度 $f_{n} ，$ $X$ 有密度 $f ，$ 且 $f_{n} \to f$ a.e.，则对所有博雷尔集 $B$ 同时有 $P (X_{n} \in B) \to P (X \in B) ，$ 误差有一个与 $B$ 无关的上界。
常数可以更好：第 24 页会证明 $sup_{A} ∣ P_{n} (A) - P (A) ∣$ 恰好等于 $\frac{1}{2} \int ∣ f_{n} - f ∣ d μ ，$ 并找出取到最大误差的事件。

例子

例 1：指数密度 λₙ = 1 + 1/n——把积分误差算出来

令 $f_{n} (x) = λ_{n} e^{- λ_{n} x} ，$ $f (x) = e^{- x}$ （ $x \geq 0 ；$ $x < 0$ 时都为 0）， $λ_{n} = 1 + \frac{1}{n} \to 1 。$

条件：都是密度（ $\int_{0}^{\infty} λ e^{- λ x} d x = 1 ）。$ 对每个 $x \geq 0 ，$ $λ_{n} e^{- λ_{n} x} \to e^{- x}$ （指数函数连续）。推论给出 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$

精确计算：

交点： $f_{n} (x) > f (x) ⟺ ln λ_{n} - λ_{n} x > - x ⟺ x < x_{n}^{*} := \frac{ln λ _{n}}{λ _{n} - 1}$ （取对数，再用 $λ_{n} > 1$ 移项）。
交点左边 $f_{n} > f ：$

\int_{0}^{x_{n}^{*}} (f_{n} - f) d x = (1 - e^{- λ_{n} x_{n}^{*}}) - (1 - e^{- x_{n}^{*}}) = e^{- x_{n}^{*}} - e^{- λ_{n} x_{n}^{*}} .

交点右边 $f > f_{n} ：$ $\int_{x_{n}^{*}}^{\infty} (f - f_{n}) d x = e^{- x_{n}^{*}} - e^{- λ_{n} x_{n}^{*}} ，$ 和第 2 步一样大。
合起来： $\int ∣ f_{n} - f ∣ d x = 2 (e^{- x_{n}^{*}} - e^{- λ_{n} x_{n}^{*}}) 。$

$n$	$λ_{n}$	交点 $x_{n}^{*}$	$\int ∣ f_{n} - f ∣$
1	2	$ln 2 \approx 0.693$	$2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = 0.5$
2	1.5	0.811	0.296
10	1.1	0.953	0.070
100	1.01	0.995	0.0073

误差确实趋于 0。第 3 步里「两边一样大」不是巧合：两个密度的总面积都是 1，多出来的必须等于少掉的。这正是第 24 页的「正部与负部」。

例 2：离散密度——二项分布逼近泊松分布

取 $S = {0, 1, 2, \dots} ，$ $μ$ 为计数测度，于是积分就是求和。令 $p_{n} (k) = (k n) (\frac{1}{n})^{k} (1 - \frac{1}{n})^{n - k}$ （ $k \leq n ；$ $k > n$ 时为 0），这是二项分布 $Bin (n, \frac{1}{n})$ 的分布列； $p (k) = e^{- 1} / k!$ 是均值为 1 的泊松分布的分布列。

逐点收敛（微积分事实 $(1 - \frac{1}{n})^{n} \to e^{- 1} ，$ 这里当作已知结论使用）：固定 $k ，$

p_{n} (k) = \to 1 \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{n ^{k}} \cdot \frac{1}{k !} \cdot \to e^{- 1} (1 - \frac{1}{n})^{n} \cdot \to 1 (1 - \frac{1}{n})^{- k} \to \frac{e ^{- 1}}{k !} = p (k) .

Scheffé：两者都是计数测度下的密度（和为 1），推论给出 $\sum_{k} ∣ p_{n} (k) - p (k) ∣ \to 0 。$ 数值： $n = 10$ 时约 0.059， $n = 100$ 时约 0.0056， $n = 1000$ 时约 0.00055。
含义：对任何整数集合 $B$ （比如「偶数」「大于 3」）， $P (Bin \in B) - P (Poi \in B)$ 都不超过这个和。只验证了每个点的概率收敛，却同时控制了所有事件。

例 3：Scheffé 能用、DCT 不能用

在 $[0, 1]$ 上依次排开互不相交的区间 $I_{2}, I_{3}, \dots ，$ $I_{n}$ 的长度为 $\frac{1}{n ^{2}}$ （总长 $\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n ^{2}} \approx 0.645 < 1 ，$ 放得下）。令 $f_{n} = 1 + n 1_{I_{n}} ，$ $f = 1 。$

每个 $x$ 至多属于一个 $I_{n} ，$ 所以最终 $f_{n} (x) = 1 ：$ 处处收敛。 $\int f_{n} = 1 + \frac{1}{n} \to 1 = \int f 。$ Scheffé 给出 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0$ （直接算也是 $\frac{1}{n} ）。$
但没有可积的控制函数：任何控制函数都 $\geq sup_{n} f_{n} = 1 + \sum_{n} n 1_{I_{n}} ，$ 其积分为 $1 + \sum_{n} n \cdot \frac{1}{n ^{2}} = 1 + \sum_{n} \frac{1}{n} = \infty 。$ DCT 用不上。

推导：一步一步来

从 Fatou 的角度理解定理 16。 设 $f_{n} \geq 0 ，$ $f_{n} \to f$ a.e.

Fatou 总给出 $\int f \leq lim inf_{n} \int f_{n} ：$ 质量最多丢失 $lim inf_{n} \int f_{n} - \int f 。$
条件 2 说丢失量是 0。
但「总量没丢」本身只是关于一个数的信息，结论却是关于整个函数的：误差面积 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$ 把两者连起来的，是「公共部分」 $min (f_{n}, f)$ 和下一页的恒等式。

为什么说结论是「一致」的。 对固定的 $A ，$ $\int_{A} f_{n} \to \int_{A} f$ 叫「逐个事件收敛」；而定理给出的是 $sup_{A} \int_{A} f_{n} - \int_{A} f \to 0 ，$ 即同一个 $N$ 对所有事件同时管用。「条件 1 防止质量搬家」里的 $1 + sin (2 πn x)$ 就能说明两者的差别：对每个固定的区间 $A = [0, a] ，$ $\int_{0}^{a} sin (2 πn x) d x = \frac{1 - c o s ( 2 πna )}{2 πn} \to 0 ；$ 但取 $A_{n} = {x : sin (2 πn x) > 0}$ （随 $n$ 变化的事件）， $\int_{A_{n}} (f_{n} - f) = \frac{1}{π}$ 始终不变。

常见疑问与易错点

易错点问：Scheffé 引理和控制收敛定理是什么关系？

答：两者都在「几乎处处收敛」之外补一个条件，补的东西不同。DCT 补「共同可积上界」，允许变号；Scheffé 补「总质量收敛」，要求非负。谁也不包含谁：例 3 中 Scheffé 能用、DCT 不能用；对可正可负、被常数 1 控制的函数列，DCT 能用，而非负 Scheffé 不适用。证明上，Scheffé 是借 DCT 完成的（第 23 页）。

易错点问：密度只要逐点收敛就够了，这和尖峰矛盾吗？

答：不矛盾。尖峰的极限 $0$ 不是密度，总质量从 1 掉到了 0，条件 2 不成立。推论要求极限也是密度。如果只知道 $f_{n}$ 是密度且逐点收敛到某个 $f ，$ 由 Fatou 只能得到 $\int f \leq 1 ；$ 必须另外确认 $\int f = 1 。$

易错点问：为什么定理里要写 ∫f < ∞？

答：因为证明里要从 $\int f_{n} + \int f - 2 \int min (f_{n}, f)$ 里做减法，有限才能相减。反例： $R$ 上 $f = 1 、$ $f_{n} = 1 + 1_{[n, n + 1]} ，$ 「 $\infty \to \infty 」$ 成立，误差却恒为 1。对概率密度这一条自动满足。

易错点问：几乎处处收敛和逐点收敛在这里有区别吗？

答：没有实质区别。零测集上改动函数值不影响任何积分（第 43 页），所以只要求在零测集之外收敛。例如 $Uniform (0, 1 + \frac{1}{n})$ 的密度 $\frac{n}{n + 1} 1_{(0, 1 + 1/ n)}$ 在点 $x = 1$ 处收敛到 1，而 $Uniform (0, 1)$ 的密度 $1_{(0, 1)}$ 在 1 处是 0；只差一个点，仍是几乎处处收敛，定理照样适用。

小结与自测

小结本页小结

定理 16： $f_{n}, f \geq 0$ 可测， $f_{n} \to f$ a.e.， $\int f_{n} \to \int f < \infty$ $\Rightarrow$ $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ 从而 $sup_{A} ∣ \int_{A} f_{n} - \int_{A} f ∣ \to 0 。$
条件 2 防止质量逃走（尖峰、滑走的方块）；条件 1 防止质量搬家（ $1 + sin 2 πn x ）；$ 非负防止正负抵消； $\int f < \infty$ 防止 $\infty = \infty 。$
在非负、几乎处处收敛的前提下： $L^{1}$ 收敛 ⟺ 总质量收敛。
概率密度：总质量都是 1，逐点收敛就推出所有事件概率一致收敛（但极限必须也是密度）。
证明（下一页）：对公共部分 $min (f_{n}, f) \leq f$ 用 DCT。

自测

1. 在 $[0, 1]$ 上令 $f_{n} (x) = (1 + \frac{1}{n}) x^{1/ n} 。$ 验证 $f_{n}$ 是密度且逐点收敛到 $f = 1$ （ $x \in (0, 1] ），$ 并说明 $\int_{0}^{1} ∣ f_{n} - 1∣ d x \to 0 。$

点开看答案

$\int_{0}^{1} x^{1/ n} d x = \frac{1}{1 + 1/ n} ，$ 乘以 $1 + \frac{1}{n}$ 得 1，且 $f_{n} \geq 0 ，$ 所以是密度。对 $x \in (0, 1] ，$ $x^{1/ n} \to x^{0} = 1 ，$ $1 + \frac{1}{n} \to 1 ，$ 故 $f_{n} (x) \to 1 ；$ 只有 $x = 0$ 一点例外，长度为 0。 $f = 1$ 也是密度，由推论 $\int ∣ f_{n} - 1∣ \to 0 。$

2. 在 $R$ 上 $f_{n} = 1_{[n, n + 1]} ，$ $f = 0 。$ 定理 16 的哪个条件不满足？结论成立吗？

点开看答案

条件 1 满足（每个 $x$ 在 $n > x$ 后 $f_{n} (x) = 0 ）；$ 条件 2 不满足： $\int f_{n} = 1 \neq \to 0 = \int f 。$ 结论也不成立： $\int ∣ f_{n} - 0∣ = 1 。$ 质量滑向了无穷远。

3. 判断：若 $f_{n} 、$ $f$ 都是 $R$ 上的概率密度，且除有理数点外 $f_{n} (x) \to f (x) ，$ 则对每个博雷尔集 $B$ 都有 $\int_{B} f_{n} \to \int_{B} f 。$

点开看答案

正确。有理数可数，长度为 0，所以 $f_{n} \to f$ 几乎处处。由推论， $sup_{B} ∣ \int_{B} f_{n} - \int_{B} f ∣ \leq \int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ 每个 $B$ 当然都收敛，而且是一致收敛。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
概率密度	density	满足 P(X ∈ B) = ∫_B f(x) dx 的函数 f；有密度等价于 CDF 绝对连续。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
计数测度	counting measure	μ(A) = A 中元素的个数（无限集记为 ∞）。在 ℕ 上对它积分就是求和。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
Scheffé 引理	Scheffé's lemma	非负可积的 fₙ → f 几乎处处，且 ∫fₙ → ∫f < ∞，则 ∫\|fₙ − f\| → 0。概率密度逐点收敛，分布就在全变差意义下收敛。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
三角不等式	triangle inequality	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\|：分两段走的总路程不会比直接走更短。推广有 \|∫f\| ≤ ∫\|f\|、E\|X + Y\| ≤ E\|X\| + E\|Y\|，以及 Lᵖ 范数的 Minkowski 不等式。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
一致收敛	uniform convergence	所有点上的最大差距 supₓ \|fₙ(x) − f(x)\| → 0。比逐点收敛强：不允许某些点收敛得特别慢。