32 换测度下的期望换算：𝔼_ℚ X = 𝔼_ℙ[X L] · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

在 $Q$ 下求平均，等于在 $P$ 下对「 $X$ 乘以权重 $L 」$ 求平均： $E_{Q} X = E_{P} [X L] ，$ 其中 $L = \frac{d Q}{d P} 。$ 这是换测度最常用的一个公式，第 5 部分的重要性抽样全靠它。

定义里只说了事件的概率怎么换： $Q (A) = E_{P} [L 1_{A}] 。$ 这一页把它推广到任意随机变量的期望。
证明走的是测度论里的「标准四步」：示性函数 → 简单函数 → 非负可测函数 → 可积函数。这一页完成前两步（课件小标题 Proof: simple functions），下一页第 33 页完成后两步。
第 31 页第 6 步已经在两点空间上验证过这个公式；这一页说明它在任何概率空间上都成立。

先补基础

基础补课𝔼_ℚ 是什么

$E_{Q} X$ 表示「按概率 $Q$ 求 $X$ 的期望」，也就是勒贝格积分 $\int_{Ω} X d Q$ （第 5 页）。
同一个随机变量 $X$ （同一个函数），在 $P$ 和 $Q$ 下期望一般不同，因为两个概率给各个结局的权重不同。
例：均匀骰子 $P$ 下点数的期望是 3.5；在第 26 页例 1 的灌铅骰子 $Q$ 下，大点数更容易出现，期望会更大（下面例 1 算出来是 $\frac{13}{3} \approx 4.33 ）。$

基础补课简单函数与标准表示回顾

非负简单函数（第 30 页）：只取有限个值的非负可测函数。若它的不同取值是 $a_{1}, \dots, a_{r} ，$ 令 $A_{k} = {X = a_{k}} ，$ 则 $X = \sum_{k = 1}^{r} a_{k} 1_{A_{k}}$ （标准表示）， $A_{1}, \dots, A_{r}$ 两两不交、并起来是 $Ω 。$
它的积分定义为 $\int X d μ = \sum_{k = 1}^{r} a_{k} μ (A_{k}) ，$ 对任何测度 $μ$ 都适用，所以 $E_{Q} X = \sum_{k} a_{k} Q (A_{k}) 。$
特例： $\int 1_{A} d μ = μ (A)$ （第 30 页推论 24）。

基础补课可积与约定 0 · ∞ = 0

$X$ 在 $Q$ 下可积（记作 $X \in L^{1} (Q) ）$ 指 $E_{Q} ∣ X ∣ < \infty$ （第 43 页）。可积时 $E_{Q} X$ 是一个有限的实数。
非负的 $X$ 可以取值 $+ \infty ，$ 期望也可以是 $+ \infty 。$ 乘积 $X L$ 里若出现「 $\infty \times 0 」，$ 按测度论约定算作 0（第 30 页）。

课件原文逐句精读

课件原文课件印刷文字

Proposition 21 (Expectation conversion)

Proof: simple functions

中文翻译

命题 21（期望换算）

证明：简单函数

Proposition（命题）：一个重要程度介于「定理」和「引理」之间的结论。
Expectation conversion：期望的「换算」，像货币换算一样—— $Q$ 下的期望可以换成 $P$ 下的期望来算，汇率就是 $L 。$
Proof: simple functions：证明先对简单函数做。这是积分理论里的惯例：积分本来就是从简单函数一步步搭起来的（第 30 页–第 33 页），所以关于积分的等式也从简单函数开始证。
蓝条标题 Change of measure in expectations：期望中的换测度。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Proposition 21 (Expectation conversion)｜命题 21（期望换算）

命题 21（期望换算）

设 $P 、$ $Q$ 是 $(Ω, F)$ 上的概率测度， $Q ≪ P ，$ $L = \frac{d Q}{d P} 。$

对每个 $F$ -可测函数 $X : Ω \to [0, \infty] ，$ $E_{Q} X = E_{P} [X L] (两边可以同时为 + \infty) .$
对每个 $F$ -可测函数 $X : Ω \to R ：$ $X \in L^{1} (Q)$ 当且仅当 $X L \in L^{1} (P) ，$ 并且此时 $E_{Q} X = E_{P} [X L] 。$

逐条理解：

符号记忆：把 $Q (A) = \int_{A} L d P$ 写成「 $d Q = L d P 」，$ 那么 $\int X d Q = \int X L d P ，$ 就像把 $d Q$ 换元一样。这只是助记，严格的理由是下面的证明。
第 1 条不需要任何可积条件：只要 $X \geq 0$ 可测，等式就在 $[0, \infty]$ 里成立。特别地， $E_{Q} X = \infty$ 当且仅当 $E_{P} [X L] = \infty$ 。
第 2 条处理有正有负的 $X$ ：先要保证期望有意义（可积），而「 $X$ 在 $Q$ 下可积」恰好等价于「 $X L$ 在 $P$ 下可积」。
取 $X = 1_{A}$ 就回到密度的定义 $Q (A) = E_{P} [L 1_{A}] 。$ 所以命题 21 是定义的推广。
为什么有用：如果 $Q$ 下的分布难算、 $P$ 下好算（或者反过来），就可以换过去算。第 5 部分会利用它「从一个概率里抽样，去估计另一个概率下的期望」。

Proof: simple functions｜证明：简单函数

推导证明思路

先对示性函数 $X = 1_{A}$ 验证（就是密度的定义）；再利用两边对 $X$ 都是线性的，推广到非负简单函数 $X = \sum_{k} a_{k} 1_{A_{k}} 。$

第 1 步：示性函数。 设 $A \in F ，$ $X = 1_{A} 。$

E_{Q} 1_{A} = Q (A) = E_{P} [L 1_{A}] = E_{P} [1_{A} L] . （示性函数的积分等于集合的测度） （ L 是 Q 关于 P 的密度）

第一行的依据是第 1 讲第 30 页的推论 24，第二行的依据是第 27 页的定理 18。

第 2 步：非负简单函数。 设 $X = \sum_{k = 1}^{r} a_{k} 1_{A_{k}}$ 是标准表示， $a_{k} \geq 0 ，$ $A_{k} \in F 。$

E_{Q} X = k = 1 \sum r a_{k} Q (A_{k}) = k = 1 \sum r a_{k} E_{P} [1_{A_{k}} L] = E_{P} [k = 1 \sum r a_{k} 1_{A_{k}} L] = E_{P} [X L] . （简单函数积分的定义，对测度 Q ） （第 1 步，对每个 k ） （非负函数积分的线性）

逐行的理由：

第一行： $X$ 是简单函数， $Q$ 下的积分按定义就是「每个值 × 取这个值的集合的 $Q$ -概率」再求和（第 30 页）。
第二行：把第 1 步用在每个 $A_{k}$ 上。
第三行：每个 $1_{A_{k}} L$ 是非负可测函数（不一定是简单函数，因为 $L$ 可以取无穷多个值），系数 $a_{k} \geq 0 。$ 非负可测函数的积分满足 $\int (a f + b g) = a \int f + b \int g$ （ $a, b \geq 0 ，$ 第 38 页），反复使用即可把有限和搬进积分里。
第四行： $\sum_{k} a_{k} 1_{A_{k}} = X ，$ 所以被积函数就是 $X L 。$

于是命题 21 第 1 条对所有非负简单函数成立。

接下来：标准四步的后两步

步骤	对象	关键工具	在哪一页
1	示性函数 $1_{A}$	密度的定义	本页
2	非负简单函数	两边都是线性的	本页
3	非负可测函数	简单函数逼近 + 单调收敛定理	第 33 页
4	可积函数（有正有负）	拆成正部减负部	第 33 页

这套「四步走」在测度论里反复出现，下次见到「对所有可测函数成立」的积分等式，都可以先想想能不能这样证。

例子

例 1：灌铅骰子的期望点数

$Ω = {1, \dots, 6} ，$ $P$ 均匀， $L (ω) = \frac{2 ω}{7} ，$ 于是 $Q ({ω}) = \frac{ω}{21}$ （第 26 页例 1）。取 $X (ω) = ω$ （点数）。

直接在 $Q$ 下算： $E_{Q} X = \sum_{ω = 1}^{6} ω \cdot \frac{ω}{21} = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{21} = \frac{91}{21} = \frac{13}{3} \approx 4.33 。$
用命题 21 在 $P$ 下算： $E_{P} [X L] = \frac{1}{6} \sum_{ω = 1}^{6} ω \cdot \frac{2 ω}{7} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2 \times 91}{7} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} 。$
两者相等，而且都大于均匀骰子的 3.5：权重 $L$ 在大点数上更大，把平均值往上拉。

例 2：一个两级台阶函数（简单函数的情形）

$Ω = [0, 1] ，$ $P = λ ，$ $L (x) = 2 x 。$ 取简单函数 $X = 3 1_{[0, 1/2]} + 1 \cdot 1_{(1/2, 1]} 。$

直接： $Q ([0, \frac{1}{2}]) = \int_{0}^{1/2} 2 x d x = \frac{1}{4} ，$ $Q ((\frac{1}{2}, 1]) = \frac{3}{4} ，$ 所以 $E_{Q} X = 3 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2} 。$
换算： $E_{P} [X L] = \int_{0}^{1/2} 3 \cdot 2 x d x + \int_{1/2}^{1} 1 \cdot 2 x d x = 3 \times \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2} 。$
这正是第 2 步的计算：每一级台阶的 $Q$ -概率，都等于那一段上 $L$ 的 $P$ -积分。

例 3：换测度可以改变「期望是否有限」

$Ω = (0, 1] ，$ $P = λ 。$

取 $L (x) = 2 x ，$ $X (x) = \frac{1}{x} ：$ $E_{P} X = \int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = \infty ，$ 但 $E_{Q} X = E_{P} [X L] = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \cdot 2 x d x = 2 。$ 权重 $L$ 在 0 附近很小，把 $X$ 的「爆炸」压住了。
反过来取 $L (x) = \frac{1}{2 x} ，$ $X (x) = \frac{1}{x} ：$ $E_{P} X = \int_{0}^{1} x^{- 1/2} d x = 2 ，$ 但 $E_{Q} X = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x} = \infty 。$ 权重在 0 附近很大，把 $X$ 放大成了不可积。
所以命题 21 第 2 条的条件要看「 $X L$ 是否 $P$ -可积」，而不是「 $X$ 是否 $P$ -可积」。第 36 页开始的例子会反复碰到这件事。

推导：一步一步来

推导证明思路

命题 21 的一个常用推论： $Q$ 下的方差也能在 $P$ 下算。

设 $X^{2} L \in L^{1} (P)$ （等价地， $X \in L^{2} (Q) ，$ 即 $E_{Q} X^{2} < \infty ）。$

由命题 21 第 1 条（用于非负函数 $X^{2} ）：$ $E_{Q} X^{2} = E_{P} [X^{2} L] 。$
因为 $∣ X ∣ \leq \frac{1 + X ^{2}}{2}$ （由 $(∣ X ∣ - 1)^{2} \geq 0$ 展开得到）， $X$ 在 $Q$ 下也可积，于是由第 2 条： $E_{Q} X = E_{P} [X L] 。$
方差的定义 $Var_{Q} (X) = E_{Q} X^{2} - (E_{Q} X)^{2} ，$ 代入得 $Var_{Q} (X) = E_{P} [X^{2} L] - (E_{P} [X L])^{2} .$
例： $L (x) = 2 x 、$ $X (x) = x$ 时， $E_{P} [X^{2} L] = \int_{0}^{1} x^{2} \cdot 2 x d x = \frac{1}{2} ，$ $E_{P} [X L] = \int_{0}^{1} 2 x^{2} d x = \frac{2}{3} ，$ 所以 $Var_{Q} (X) = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18} 。$

第 39、44 页计算重要性抽样估计量的方差，用的就是这种「在哪个概率下算更方便就在哪里算」的思路。

常见疑问与易错点

易错点问：𝔼_ℚ X 是不是等于 𝔼_ℙ X 乘以 𝔼_ℙ L？

答：不是。 $E_{P} [X L]$ 是「乘积的期望」，一般不等于「期望的乘积」 $E_{P} X \cdot E_{P} L = E_{P} X 。$ 如果真的相等， $E_{Q} X$ 就总等于 $E_{P} X ，$ 换测度就没有意义了。例 1 中 $E_{Q} X = \frac{13}{3} \neq = 3.5 = E_{P} X 。$

易错点问：绝对连续 ℚ ≪ ℙ 在证明里哪里用到了？

答：用在「 $L$ 存在」这一步。第 1 步写 $Q (A) = E_{P} [L 1_{A}]$ 时，需要定理 18（第 27 页）给出的密度 $L ，$ 而定理 18 的条件正是 $Q ≪ P 。$ 没有绝对连续，就没有 $L ，$ 公式也无从谈起。

易错点问：为什么第 3 行要强调 ind_{A_k} L 不一定是简单函数？

答：因为能用的线性性要选对。简单函数的线性（第 32 页）只对简单函数成立； $1_{A_{k}} L$ 一般取无穷多个值，所以要用非负可测函数的线性（第 38 页，它本身是用 MCT 证出来的）。细节上的「用对工具」是严格证明的一部分。

小结与自测

小结本页小结

命题 21： $Q ≪ P 、$ $L = \frac{d Q}{d P}$ 时，非负可测 $X$ 满足 $E_{Q} X = E_{P} [X L]$ （可同为 $\infty ）；$ $X \in L^{1} (Q) ⟺ X L \in L^{1} (P) ，$ 此时等式同样成立。
助记： $d Q = L d P 。$
本页证明了前两步：示性函数（密度的定义）→ 非负简单函数（线性）；下一页用 MCT 和正负部完成其余两步。
换测度会改变期望是否有限：要看 $X L$ 在 $P$ 下是否可积。

自测

1. 用命题 21 说明 $E_{Q} [1] = 1 。$

点开看答案

取 $X \equiv 1$ （非负）， $E_{Q} 1 = E_{P} [1 \cdot L] = E_{P} L = 1 。$ 这与 $Q (Ω) = 1$ 一致。

2. 在第 31 页的两点空间上（ $p = \frac{1}{4} ，$ $q = \frac{3}{4} ，$ $L = (3, \frac{1}{3}) ），$ 取 $X (ω_{1}) = 2 ，$ $X (ω_{2}) = 6 。$ 用 $E_{P} [X^{2} L]$ 计算 $E_{Q} X^{2} ，$ 并直接核对。

点开看答案

$E_{P} [X^{2} L] = \frac{1}{4} \times (4 \times 3) + \frac{3}{4} \times (36 \times \frac{1}{3}) = 3 + 9 = 12 。$ 直接： $E_{Q} X^{2} = \frac{3}{4} \times 4 + \frac{1}{4} \times 36 = 3 + 9 = 12 。$ 一致。

3. 设 $A 、$ $B$ 是不相交的事件， $X = 1_{A} + 2 1_{B} 。$ 把 $E_{Q} X$ 写成关于 $P$ 的积分，并说明用到了哪一步。

点开看答案

$X$ 是非负简单函数，由第 2 步 $E_{Q} X = Q (A) + 2 Q (B) = E_{P} [L 1_{A}] + 2 E_{P} [L 1_{B}] = E_{P} [(1_{A} + 2 1_{B}) L] 。$ 用到了第 1 步（示性函数）和非负函数积分的线性。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
重要性抽样	importance sampling	从另一个更合适的分布抽样，再乘以权重纠正，从而减小估计的方差。
换测度	change of measure	用 E_Q[X] = E_P[X · dQ/dP] 在两个概率之间换算期望。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
标准表示	canonical representation	把简单函数写成 Σ aₖ 𝟏_{Aₖ}，其中 aₖ 各不相同、Aₖ = {s = aₖ}。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。