28 反过来不成立：狄利克雷函数 · 第1讲

这一页在讲什么

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狄利克雷函数在有理点取 1、无理点取 0。黎曼积分对它无能为力（上下和永远差 1）；勒贝格积分却一步算出结果：它只在一个零测集（有理数）上等于 1，所以积分是 0。这说明勒贝格积分严格更强。

上一页（第 27 页）证明了「黎曼可积 ⇒ 勒贝格可积」。这一页给出反例说明「勒贝格可积 ⇏ 黎曼可积」，并演示第 26 页所说的「把零测行为单独隔离」。

先补基础

基础补课有理数与无理数的稠密性

有理数：能写成分数 $p / q$ 的数，如 $\frac{1}{2} 、$ $0.75 、$ $3 。$ 全体记作 $Q 。$
无理数：不能写成分数的实数，如 $2 、$ $π 。$
稠密：任何一段区间 $(c, d)$ （不论多短）里既有有理数也有无理数。例如 $(0.1, 0.1001)$ 里有有理数 $0.10005 ，$ 也有无理数 $0.1 + \frac{2}{100000} 。$

基础补课示性函数的积分

对可测集 $A ，$ $\int 1_{A} d m = m (A) ：$ 示性函数的积分就是集合的测度（第 30 页的推论 24）。直观上，它是「高为 1、底为 $A 」$ 的一块台阶的面积。

课件原文逐句精读

课件原文Counterexample 19 (Dirichlet function)

Let

f = 1_{Q \cap [0, 1]} .

中文翻译

反例 19（狄利克雷函数） 令 $f = 1_{Q \cap [0, 1]} ，$ 即 $x \in [0, 1]$ 为有理数时 $f (x) = 1 ，$ 为无理数时 $f (x) = 0 。$

f (x) = {1, 0, x \in [0, 1] 且 x 是有理数, x \in [0, 1] 且 x 是无理数 .

这个函数处处不连续：任何一点附近，函数值都在 0 和 1 之间来回跳。它的图像根本画不出来（看起来像 $y = 0$ 和 $y = 1$ 两条「虚线」重叠）。

老师板书在说什么

老师板书板书转写

① $U (f, P) = 1 ，$ $L (f, P) = 0 ，$ $U (f, P) - L (f, P) = 1 。$ This is not Riemann-integrable.

② $Q \cap [0, 1]$ is countable, it is Lebesgue measurable，and ${q_{1}, q_{2}, \dots} ，$ $Leb ({q_{i}}) = 0 ，$ null set！

$\int_{[0, 1]} f d Leb = Leb ([0, 1] \cap Q) = 0 。$

Lebesgue measure.

老师分两步：① 说明黎曼积分失败；② 说明勒贝格积分成功并算出值。

第 ① 步：为什么不是黎曼可积

任取一个分割 $P ，$ 看其中任意一格 $I_{j} = [x_{j - 1}, x_{j}]$ （长度 $> 0 ）。$
由稠密性， $I_{j}$ 里有有理数，所以 $M_{j} = sup_{I_{j}} f = 1 ；$ 也有无理数，所以 $m_{j} = in f_{I_{j}} f = 0 。$
于是

U (f, P) = j \sum 1 \cdot ∣ I_{j} ∣ = 1, L (f, P) = j \sum 0 \cdot ∣ I_{j} ∣ = 0, U - L = 1.

这对每一个分割都成立， $U - L$ 永远是 1，不可能小于 $ε = \frac{1}{2} 。$ 按达布判别（第 25 页）， $f$ 不是黎曼可积的。

第 ② 步：勒贝格积分怎么算

$Q \cap [0, 1]$ 是可数集，可以排成 ${q_{1}, q_{2}, \dots} 。$
每个单点的勒贝格测度为 0： $Leb ({q_{i}}) = 0$ （第 18 页例 1）。
可数可加： $Leb (Q \cap [0, 1]) = \sum_{i} Leb ({q_{i}}) = 0 ，$ 是零测集（null set，老师打了感叹号）。零测集可测（第 20 页例 1）。
$f = 1_{Q \cap [0, 1]}$ 是可测集的示性函数，积分就是测度：

\int_{[0, 1]} f d Leb = Leb ([0, 1] \cap Q) = 0.

最后一行 Lebesgue measure 提醒：这里的 $Leb$ 就是第 3 部分造出来的勒贝格测度 $m 。$

例子

例 1：概率的说法

在 $[0, 1]$ 上均匀随机取一点 $X 。$ 「 $X$ 是有理数」的概率是多少？

P (X \in Q) = E [1_{Q} (X)] = \int_{[0, 1]} 1_{Q \cap [0, 1]} d m = 0.

随机取一个实数，几乎一定是无理数。这正是勒贝格积分在概率里的意义：期望就是勒贝格积分，而它能处理这种「处处跳」的函数。

例 2：改动零测集不影响勒贝格积分

$g (x) = x^{2}$ 与 $h (x) = x^{2} + 1_{Q \cap [0, 1]} (x)$ 只在有理点上不同。 $h$ 处处不连续，不是黎曼可积；但

\int_{[0, 1]} h d m = \int_{[0, 1]} x^{2} d m + \int_{[0, 1]} 1_{Q \cap [0, 1]} d m = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3} .

（这里用到了积分的线性，第 32 页、第 43 页。）勒贝格积分对「零测集上的改动」完全不敏感。

例 3（对照）：托梅函数——在有理点也不连续，却是黎曼可积的

定义 $[0, 1]$ 上的托梅函数（Thomae's function，也叫「爆米花函数」）：

t (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{q}, 0, x = \frac{p}{q} 是有理数，且 \frac{p}{q} 已约到最简、 q \geq 1, x 是无理数 .

例如 $t (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} ，$ $t (\frac{1}{3}) = t (\frac{2}{3}) = \frac{1}{3} ，$ $t (0.25) = \frac{1}{4} ，$ $t (\frac{2}{2}) = 0 。$

不连续点：在每个有理点 $\frac{p}{q} ，$ 函数值是 $\frac{1}{q} > 0 ，$ 但它旁边有无理点（函数值 0）挤得任意近，所以在有理点不连续。在无理点 $x$ 却是连续的：分母小于某个 $Q$ 的有理数只有有限个，离 $x$ 有一段距离；在比这段距离更近的地方，函数值都小于 $\frac{1}{Q} 。$
不连续点集合 $= Q \cap [0, 1] ，$ 是零测集。按第 27 页的论证（「振幅至少为 $η$ 的格子总长 $\leq (U - L) / η 」$ 反过来也成立：有界函数的不连续点集若是零测集，它就黎曼可积）， $t$ 是黎曼可积的，而且积分为 0。
和狄利克雷函数的差别：狄利克雷函数在每一点都不连续，不连续点集合是整个 $[0, 1] ，$ 测度为 1，不是零测集，所以黎曼不可积。

结论：决定黎曼可积的，不是「不连续点多不多（可不可数）」，而是不连续点集合的测度是不是 0。这正是勒贝格测度给黎曼积分画出的边界。

推导：一步一步来

推导证明思路

要证明 $Q \cap [0, 1]$ 是零测集，只要对任意 $ε > 0 ，$ 找到一组可数个区间盖住它、总长度不超过 $ε$ （外测度的定义，第 18 页）。

第 1 步：把有理数排成一列。 $Q \cap [0, 1]$ 可数，写成 ${q_{1}, q_{2}, q_{3}, \dots} 。$ 例如按分母从小到大、同分母按分子从小到大排： $0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \dots$

第 2 步：给第 $n$ 个有理数一个很短的区间。 取

I_{n} = (q_{n} - \frac{ε}{2 ^{n + 1}}, q_{n} + \frac{ε}{2 ^{n + 1}}), ∣ I_{n} ∣ = \frac{ε}{2 ^{n}} .

每个 $q_{n}$ 都在自己的 $I_{n}$ 里，所以 $Q \cap [0, 1] \subseteq ⋃_{n} I_{n} 。$

第 3 步：算总长度。 用几何级数 $\sum_{n \geq 1} 2^{- n} = 1 ：$

n = 1 \sum \infty ∣ I_{n} ∣ = n = 1 \sum \infty \frac{ε}{2 ^{n}} = ε .

第 4 步：取下确界。 外测度是所有覆盖总长度的下确界，所以 $m^{*} (Q \cap [0, 1]) \leq ε 。$ $ε$ 可以任意小，只能 $m^{*} (Q \cap [0, 1]) = 0 。$ 外测度为 0 的集合都是勒贝格可测的零测集。

第 5 步：代入积分。 示性函数的积分等于集合的测度（第 30 页），所以 $\int_{[0, 1]} 1_{Q \cap [0, 1]} d m = 0 。$

两种积分对狄利克雷函数的「处理方式」对照：

	黎曼（达布）	勒贝格
台阶的底	只能是区间	可以是任意可测集
对有理点的处理	每个区间都含有理点，上确界总是 1	把全部有理点单独作为一块底，它的测度是 0
上下两边的差	恒为 1，永远缩不小	不需要上下夹，直接算出 $1 \cdot m (Q \cap [0, 1]) + 0 \cdot m (无理数) = 0$
结论	不可积	可积，积分为 0

常见疑问与易错点

易错点问：有理数在 [0,1] 里「到处都是」，为什么测度却是 0？

答：「稠密」和「测度大」是两回事。稠密说的是「每段区间里都有」，测度说的是「总长度」。有理数只有可数个，每个点可以用越来越短的区间盖住（第 $n$ 个用长度 $ε / 2^{n} ），$ 总长度任意小。

易错点问：黎曼积分为什么「看不见」有理数的测度是 0？

答：黎曼的台阶只能建在区间上，而每个区间里都有有理数，所以每格的上确界都是 1——黎曼没有办法把「有理数」和「无理数」分开处理。勒贝格可以直接以 $Q \cap [0, 1]$ 为底（第 26 页），这就是「把零测行为隔离出来」。

小结与自测

小结本页小结

狄利克雷函数 $1_{Q \cap [0, 1]} ：$ 每格上确界 1、下确界 0， $U - L = 1 ，$ 不是黎曼可积。
$Q \cap [0, 1]$ 可数 ⇒ 零测集 ⇒ 勒贝格积分 $= m (Q \cap [0, 1]) = 0 。$
所以「勒贝格可积 ⇏ 黎曼可积」：勒贝格积分严格更强。
勒贝格积分不受零测集上改动的影响。

自测

1. 求 $\int_{[0, 2]} 1_{Q} d m$ 和 $\int_{[0, 1]} 1_{[0, 1] ∖ Q} d m 。$

点开看答案

$Q \cap [0, 2]$ 可数，测度 0，第一个积分是 0。 $[0, 1] ∖ Q$ 是无理数部分，测度 $= 1 - 0 = 1 ，$ 第二个积分是 1。

2. 判断：一个函数处处不连续，它的勒贝格积分就不存在。

点开看答案

错误。狄利克雷函数处处不连续，但勒贝格可积，积分为 0。勒贝格积分只要求可测，不要求连续。

3. 托梅函数和狄利克雷函数都在所有有理点不连续，为什么一个黎曼可积、一个不可积？

点开看答案

托梅函数只在有理点不连续，不连续点集合 $Q \cap [0, 1]$ 是零测集，所以黎曼可积（积分为 0）；狄利克雷函数在每一点都不连续，不连续点集合是整个 $[0, 1] ，$ 测度为 1，所以黎曼不可积。判断黎曼可积要看不连续点集合的测度是否为 0。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
狄利克雷函数	Dirichlet function	在有理点取 1、无理点取 0 的函数；黎曼不可积，勒贝格积分为 0。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
稠密	dense	任何一小段区间里都能找到它的点，例如有理数在实数轴上稠密。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
分割	partition	把区间 [a,b] 用分点 a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b 切成小段。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
振幅	oscillation	函数在一小段上的「最高值减最低值」M − m，衡量函数在那里抖动得多厉害。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
外测度	outer measure	用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
勒贝格可测	Lebesgue measurable	能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。