05 期望就是对 ℙ 的勒贝格积分 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

期望不是新东西：它就是第 1 讲的勒贝格积分，只不过积分用的测度是概率 $P$ 。定义分两步：非负随机变量的期望总有定义（可以是 $+ \infty ）；$ 可正可负的随机变量拆成「正部 − 负部」，只要两部分不同时为无穷，期望就有定义。

位置：第 1 部分第 2 页。上一页第 4 页保证了随机变量是可测函数；本页说：可测函数就能积分，积分就是期望。
要解决的问题：中学里的两个公式 $\sum x p (x)$ （离散）和 $\int x f (x) d x$ （有密度）各管一种情形，遇到「既有跳跃又有连续部分」的随机变量（第 13 页）就不够用。本页给出一个统一的定义，两个中学公式都是它的特例。
还要说清的事：期望什么时候不存在？什么叫可积？

先补基础

基础补课回顾：勒贝格积分是怎么造出来的

第 1 讲分三步造积分（测度记为 $μ ，$ 这里 $μ = P ）：$

示性函数： $1_{A} (ω) = 1$ （ $ω \in A ），$ $= 0$ （ $ω \in / A ）。$ 规定 $\int 1_{A} d μ = μ (A)$ （示性函数与简单函数）。
简单函数（只取有限个值的可测函数） $s = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} 1_{A_{i}}$ （ $a_{i} \geq 0 ）：$ 规定 $\int s d μ = \sum_{i} a_{i} μ (A_{i}) ，$ 即「每个台阶的高度 × 台阶底的大小」再相加。
非负可测函数 $Y ：$ $\int Y d μ = sup {\int s d μ : s 简单, 0 \leq s \leq Y} ，$ 即用台阶函数从下面逼近（非负函数的积分）。 $sup$ 读作「上确界」，意思是「最小的上界」；例如 ${1 - \frac{1}{n} : n \geq 1}$ 的上确界是 $1 。$

配套结论：积分是线性的、单调的（ $Y \leq Y^{'}$ 则 $\int Y \leq \int Y^{'} ），$ 并且有单调收敛定理（MCT）： $0 \leq Y_{n} ↑ Y$ 时 $\int Y_{n} ↑ \int Y 。$

基础补课在 [0, ∞] 里怎么做加法和乘法

$[0, \infty]$ 是非负实数再加上一个点 $+ \infty 。$ 约定： $a + \infty = \infty ；$ $a \cdot \infty = \infty$ （ $a > 0 ）；$ $0 \cdot \infty = 0$ （积分理论的标准约定：高度为 $\infty$ 但底为零测集的台阶，面积算 0）。
$\infty - \infty$ 没有定义。这正是下面定义 3 要小心的地方。

基础补课正部与负部

对实数（或扩展实数） $z ，$ 定义

z^{+} = max (z, 0), z^{-} = max (- z, 0) .

例： $z = 3$ 时 $z^{+} = 3 ，$ $z^{-} = 0 ；$ $z = - 2$ 时 $z^{+} = 0 ，$ $z^{-} = 2 ；$ $z = 0$ 时两者都是 0。
负部也是非负的： $z^{-}$ 是「负的那部分的大小」，不是负数。
两个恒等式： $z = z^{+} - z^{-} ，$ $∣ z ∣ = z^{+} + z^{-} 。$ 理由： $z \geq 0$ 时 $z^{+} = z 、$ $z^{-} = 0 ；$ $z < 0$ 时 $z^{+} = 0 、$ $z^{-} = - z = ∣ z ∣ 。$ 两种情况逐一代入即可验证。
对随机变量 $Z ，$ $Z^{+} (ω) = max (Z (ω), 0) 。$ 由上一页的「复合保持可测」， $Z^{+} 、$ $Z^{-} 、$ $∣ Z ∣$ 都是随机变量。

课件原文逐句精读

课件原文Expectation is the Lebesgue integral with respect to ℙ

Once a random variable is measurable, the integral constructed in Week 1 applies on the probability space $(Ω, F, P)$ .

Definition 2 (Nonnegative expectation) For a measurable $Y : Ω \to [0, \infty]$ , define

Definition 3 (Extended expectation and integrability) For an extended-real random variable $Z$ , let

中文翻译

一旦随机变量是可测的，第 1 周（即第 1 讲）构造的积分就可以用在概率空间 $(Ω, F, P)$ 上。

定义 2（非负随机变量的期望） 对可测的 $Y : Ω \to [0, \infty] ，$ 定义……（留白）

定义 3（扩展的期望与可积性） 对扩展实值随机变量 $Z ，$ 令……（留白）

① Once a random variable is measurable, the integral … applies｜可测就能积分

第 1 讲的积分适用于任何测度空间上的可测函数。概率空间 $(Ω, F, P)$ 就是一个特殊的测度空间（总质量为 1），随机变量就是其上的可测函数，所以不需要任何新理论。
这句话也解释了上一页为什么非要求「可测」：不可测的函数，积分的第 2 步就卡住了—— $P (A_{i})$ 要求 $A_{i} \in F 。$

② For a measurable Y : Ω → [0, ∞]｜先处理非负的

允许 $Y$ 取值 $+ \infty$ （例如「等到第一次正面所需的次数」，在「永远不出正面」的结局上就是 $\infty ）。$
先处理非负函数，是因为非负函数的积分永远有定义（可能是 $+ \infty ），$ 不会遇到 $\infty - \infty 。$

③ For an extended-real random variable Z, let｜再处理可正可负的

extended-real 指取值于 $[- \infty, \infty] 。$ let 后面留白处要引入正部 $Z^{+} 、$ 负部 $Z^{-}$ （见下一节）。
标题里的 integrability（可积性）也在这里定义。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定义 2（非负随机变量的期望）

对可测的 $Y : Ω \to [0, \infty] ，$ 定义

E [Y] := \int_{Ω} Y d P \in [0, \infty],

右边是第 1 讲定义的非负可测函数的勒贝格积分。

它总有定义，值可以是 $+ \infty 。$
最小的例子： $Y = 1_{A}$ 时 $E [1_{A}] = P (A) 。$ 概率就是示性函数的期望，这一句后面第 28 页会变成估计概率的核心技巧。
简单随机变量：若 $Y = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} 1_{A_{i}} ，$ 则 $E [Y] = \sum_{i} a_{i} P (A_{i}) 。$ 这正是中学的「取值 × 概率，求和」。

定义 3（扩展的期望与可积性）

设 $Z$ 是扩展实值随机变量，令 $Z^{+} := max (Z, 0) ，$ $Z^{-} := max (- Z, 0) ，$ 它们都是非负随机变量， $E Z^{+} 、$ $E Z^{-}$ 由定义 2 给出。

若 $E Z^{+}$ 与 $E Z^{-}$ 至少有一个有限，定义 $E [Z] := E [Z^{+}] - E [Z^{-}] \in [- \infty, \infty] .$
若 $E Z^{+} = E Z^{-} = \infty ，$ 则称 $E Z$ 不存在（没有定义）。
若 $E ∣ Z ∣ < \infty ，$ 称 $Z$ 可积（integrable），记作 $Z \in L^{1} 。$ 由于 $∣ Z ∣ = Z^{+} + Z^{-} ，$ 这等价于 $E Z^{+} < \infty$ 且 $E Z^{-} < \infty ；$ 此时 $E Z$ 是一个有限实数。

把四种可能列成表：

$E Z^{+}$	$E Z^{-}$	$E Z$	可积吗
有限	有限	有限实数	可积
$\infty$	有限	$+ \infty$	不可积，但期望有定义
有限	$\infty$	$- \infty$	不可积，但期望有定义
$\infty$	$\infty$	不存在	不可积

为什么这样定义： $Z = Z^{+} - Z^{-} ，$ 自然希望 $E Z = E Z^{+} - E Z^{-} 。$ 两个非负期望都已经定义好了，唯一的障碍是 $\infty - \infty ；$ 只要避开这种情况，减法就有意义。

推导：离散随机变量的期望公式

设 $Y \geq 0$ 只取可数个不同的值 $y_{1}, y_{2}, \dots ，$ $p_{k} = P (Y = y_{k}) ，$ $\sum_{k} p_{k} = 1 。$ 要证 $E Y = \sum_{k} y_{k} p_{k} 。$

令 $Y_{n} = \sum_{k = 1}^{n} y_{k} 1_{{Y = y_{k}}} 。$ 它是简单函数， $E Y_{n} = \sum_{k = 1}^{n} y_{k} p_{k}$ （定义 2 的简单函数公式）。
$Y_{n} ↑ Y ：$ 固定 $ω ，$ 它恰好满足某一个 $Y (ω) = y_{k} ；$ 当 $n < k$ 时 $Y_{n} (ω) = 0 \leq Y (ω) ，$ 当 $n \geq k$ 时 $Y_{n} (ω) = y_{k} = Y (ω) 。$ 所以 $Y_{n} (ω)$ 单调不减并最终等于 $Y (ω) 。$
由单调收敛定理（MCT）， $E Y = lim_{n} E Y_{n} = \sum_{k = 1}^{\infty} y_{k} p_{k}$ （级数可以是 $+ \infty ）。$

对可正可负的离散 $Z ，$ 分别用于 $Z^{+}$ 和 $Z^{-} ：$ $E Z^{+} = \sum_{z_{k} > 0} z_{k} p_{k} ，$ $E Z^{-} = \sum_{z_{k} < 0} ∣ z_{k} ∣ p_{k} 。$

期望的基本性质（本讲后面反复使用）

因为期望就是积分，第 1 讲证明过的积分性质全部直接适用。下面列出最常用的几条，并注明理由：

常数： $E [c] = c 。$ 理由：常数 $c \geq 0$ 是简单函数 $c 1_{Ω} ，$ 期望为 $c P (Ω) = c ；$ 负常数用正负部。这里用到了 $P (Ω) = 1$ ，一般测度下 $\int c d μ = c μ (Ω) 。$
单调性：若 $Y \leq Y^{'}$ （且期望有定义），则 $E Y \leq E Y^{'} 。$ 理由：逼近 $Y$ 的每个简单函数也在 $Y^{'}$ 下方，所以上确界不会变小（非负函数的积分）；一般情形分正负部处理。
线性：若 $Z_{1}, Z_{2}$ 可积， $a, b$ 是实数，则 $a Z_{1} + b Z_{2}$ 可积且 $E [a Z_{1} + b Z_{2}] = a E Z_{1} + b E Z_{2}$ （L¹ 上的线性）。非负情形不需要可积： $E [Y_{1} + Y_{2}] = E Y_{1} + E Y_{2}$ 对任意非负 $Y_{1}, Y_{2}$ 成立，值可以是 $\infty$ （非负函数的可加性）。
绝对值不等式：期望存在时 $∣ E Z ∣ \leq E ∣ Z ∣ 。$ 理由： $∣ E Z^{+} - E Z^{-} ∣ \leq E Z^{+} + E Z^{-} = E ∣ Z ∣ 。$
零概率集上改值无影响：若 $P (Z \neq = Z^{'}) = 0$ （称 $Z = Z^{'}$ 几乎必然，almost surely，简写 a.s.），则两者期望同时存在且相等（a.e. 与 L¹）。概率论把「几乎处处」（a.e.）改叫「几乎必然」（a.s.），意思一样。

为什么先定义非负的、再定义一般的：非负函数的积分是「从下面用台阶逼近」，只涉及加法和上确界，永远不会出现 $\infty - \infty ；$ 一般函数的麻烦全部集中在「正、负两部分都无穷大」这一种情况，单独把它排除掉就行。这种「先非负、再拆正负部」的两步走，第 7 页证明 LOTUS 时还会再走一遍。

图解

图解：把 Ω 摊成一条总长为 1 的线段，期望就是面积

课件这里没有图，可以自己在纸上画：

横轴画一条长度为 1 的线段，代表整个 $Ω ；$ 每个事件 $A$ 占的「长度」就是 $P (A) 。$ 例如掷骰子时，把线段等分成 6 段，每段长 $\frac{1}{6} ，$ 分别代表点数 1–6。
在每一段上方画出 $Y (ω)$ 的高度。对骰子 $X (ω) = ω ，$ 就是 6 根高度分别为 1、2、…、6 的柱子。
所有柱子的面积之和 $= \sum (高度 \times 宽度) = \sum_{k} k \cdot \frac{1}{6} = 3.5 ，$ 这就是 $E X 。$

对一般的非负 $Y ，$ 柱子变成「台阶」逼近（简单函数），面积的上确界就是 $E Y 。$ 所以期望 = $Y$ 的图像在「总长为 1 的 $Ω 」$ 上方围成的面积。面积可以无穷大（例 2）；对可正可负的 $Z ，$ 就是「横轴上方的面积 − 横轴下方的面积」，两块都无穷大时无法相减（例 3）。

例子

例 1：掷骰子——中学公式是定义 2 的特例

$Ω = {1, \dots, 6} ，$ 每点概率 $\frac{1}{6} ，$ $X (ω) = ω 。$ $X = \sum_{k = 1}^{6} k 1_{{k}}$ 是简单函数，所以

E X = k = 1 \sum 6 k \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5.

例 1′：在 (0,1) 上均匀取点——积分就是面积

取 $Ω = (0, 1) ，$ $F = B ((0, 1)) ，$ $P = Leb$ （长度）， $U (ω) = ω 。$ 这就是「在 $(0, 1)$ 里均匀地随机取一个数」。按定义 2，

E U = \int_{(0, 1)} ω d Leb (ω) = \int_{0}^{1} ω d ω = \frac{1}{2} .

中间一步用了第 1 讲的结论：闭区间上有界的黎曼可积函数，勒贝格积分等于黎曼积分（第 27 页）。所以中学的「 $\int x f (x) d x 」$ 在这里就是定义 2 本身（密度 $f = 1 ）。$ 一般的密度情形要等第 7 页的 LOTUS 和第 17 页的密度定义才能完整说明。

例 2：非负但期望为 +∞（圣彼得堡型）

抛公平硬币直到出现正面，若第 $k$ 次才出现正面，奖金 $Y = 2^{k} 。$ 则 $P (Y = 2^{k}) = 2^{- k}$ （前 $k - 1$ 次反面、第 $k$ 次正面）， $\sum_{k \geq 1} 2^{- k} = 1 。$ 由离散公式

E Y = k = 1 \sum \infty 2^{k} \cdot 2^{- k} = 1 + 1 + 1 + \dots = + \infty.

$Y$ 每次都取有限值，但期望是 $+ \infty ：$ 大奖虽然罕见，却大到足以拉高平均。按定义 2 这完全合法。

例 3：期望不存在——对称并不意味着期望是 0

令 $P (Z = 2^{k}) = P (Z = - 2^{k}) = 2^{- (k + 1)} ，$ $k = 1, 2, \dots$ （总概率 $\sum_{k} 2 \cdot 2^{- (k + 1)} = 1 ）。$ 则

E Z^{+} = k \geq 1 \sum 2^{k} \cdot 2^{- (k + 1)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = \infty, E Z^{-} = k \geq 1 \sum 2^{k} \cdot 2^{- (k + 1)} = \infty.

两部分都是 $\infty ，$ $E Z$ 不存在。虽然 $Z$ 的分布关于 0 对称，也不能说 $E Z = 0 ：$ 把正项和负项按不同顺序相加，部分和可以趋向任何你想要的值，所以「0」没有资格当平均值。

著名的连续例子是柯西分布（Cauchy），密度 $\frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )} ：$ $E Z^{+} = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{π ( 1 + x ^{2} )} d x = lim_{M \to \infty} \frac{l n ( 1 + M ^{2} )}{2 π} = \infty ；$ 密度关于 0 对称，负的一侧完全一样， $E Z^{-} = \infty ，$ 期望不存在。

例 4：期望是 +∞ 但有定义

取例 2 的 $Y ，$ 令 $W = Y - 10 。$

负部： $W^{-} = max (10 - Y, 0) \leq 10 ，$ 所以 $E W^{-} \leq 10 < \infty 。$
正部： $W^{+} \geq Y - 10 ，$ 即 $W^{+} + 10 \geq Y 。$ 由单调性和非负函数积分的可加性， $E W^{+} + 10 \geq E Y = \infty ，$ 所以 $E W^{+} = \infty 。$

按定义 3 第 1 条， $E W = \infty - (有限数) = + \infty ，$ 有定义，但 $W$ 不可积。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不直接规定 𝔼Z = 𝔼Z⁺ − 𝔼Z⁻，遇到 ∞ − ∞ 就算 0？

答：因为这样会破坏期望最基本的性质。以例 3 的 $Z$ 为例： $Z + 1$ 的正部、负部期望也都是 $\infty ，$ 按「算 0」的规则 $E (Z + 1) = 0 ；$ 可我们希望 $E (Z + 1) = E Z + 1 = 1 。$ 矛盾说明 $\infty - \infty$ 没法给出一个合理的数，只能说「不存在」。

易错点问：𝔼Y < ∞ 能推出 Y 处处有限吗？

答：不能推出「处处」，但能推出「几乎必然」： $P (Y = \infty) = 0 。$ 理由： $Y \geq \infty \cdot 1_{{Y = \infty}} ，$ 由单调性 $E Y \geq \infty \cdot P (Y = \infty) 。$ 若 $P (Y = \infty) > 0 ，$ 右边是 $\infty ，$ 与 $E Y < \infty$ 矛盾。反过来，在一个概率为 0 的集合上把 $Y$ 改成 $\infty ，$ 期望不变（ $0 \cdot \infty = 0 ）。$

易错点问：「可积」和「期望存在」是一回事吗？

答：不是。可积要求 $E ∣ Z ∣ < \infty ，$ 是更强的条件；期望存在只要求正部、负部不同时为 $\infty 。$ 例 4 的 $W$ 期望存在（ $= + \infty ）$ 但不可积。以后说「 $E X$ 有限」「 $X \in L^{1} 」，$ 指的都是可积。

易错点问：负部 Z⁻ 是负数吗？

答：不是。 $Z^{-} = max (- Z, 0) \geq 0 。$ 比如 $Z = - 5$ 时 $Z^{-} = 5 。$ 写 $Z = Z^{+} - Z^{-}$ 时，减号已经把「负」表达出来了。

小结与自测

小结本页小结

非负随机变量： $E Y = \int_{Ω} Y d P \in [0, \infty] ，$ 永远有定义。 $E 1_{A} = P (A) 。$
一般随机变量： $Z = Z^{+} - Z^{-} ，$ 只要 $E Z^{+} 、$ $E Z^{-}$ 不同时为 $\infty ，$ $E Z = E Z^{+} - E Z^{-} 。$
可积 $⟺ E ∣ Z ∣ < \infty ⟺$ 正部、负部期望都有限；可积时期望是有限实数。
期望可以是 $+ \infty$ （圣彼得堡），也可以不存在（对称的 $\pm 2^{k} 、$ 柯西分布）。

自测

1. $P (Z = 1) = 0.3 ，$ $P (Z = - 2) = 0.5 ，$ $P (Z = 4) = 0.2 。$ 求 $E Z^{+} 、$ $E Z^{-} 、$ $E Z 、$ $E ∣ Z ∣ 。$

点开看答案

$E Z^{+} = 1 \times 0.3 + 4 \times 0.2 = 1.1 ；$ $E Z^{-} = 2 \times 0.5 = 1 ；$ $E Z = 1.1 - 1 = 0.1 ；$ $E ∣ Z ∣ = 1.1 + 1 = 2.1 。$ 两部分都有限， $Z$ 可积。

2. 判断：「若 $Y \geq 0$ 且 $E Y = 0 ，$ 则 $P (Y > 0) = 0 。」$

点开看答案

对。对每个 $n ，$ $Y \geq \frac{1}{n} 1_{{Y > 1/ n}} ，$ 所以 $0 = E Y \geq \frac{1}{n} P (Y > \frac{1}{n}) ，$ 得 $P (Y > \frac{1}{n}) = 0 。$ 而 ${Y > 0} = ⋃_{n} {Y > \frac{1}{n}} ，$ 可数个零概率事件的并概率为 0（可数次可加性），所以 $P (Y > 0) = 0 。$

3. 设 $P (X = k) = \frac{6}{π ^{2} k ^{2}} ，$ $k = 1, 2, \dots$ （总和为 1）。 $E X$ 存在吗？ $X$ 可积吗？

点开看答案

$X \geq 1 > 0 ，$ 所以 $X^{-} = 0 ，$ $E X^{-} = 0$ 有限，期望存在。 $E X = \sum_{k} k \cdot \frac{6}{π ^{2} k ^{2}} = \frac{6}{π ^{2}} \sum_{k} \frac{1}{k} = + \infty$ （调和级数发散）。所以 $E X = + \infty ，$ $X$ 不可积。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
无意识统计学家定律	law of the unconscious statistician (LOTUS)	求 g(X) 的期望，不必先求出 g(X) 的分布，直接把 g 对 X 的分布 𝓛(X) 积分；X 有密度 f 时就是 E g(X) = ∫ g(x) f(x) dx。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
黎曼积分	Riemann integral	大一学的定积分：按 x 轴切竖条求和取极限。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
部分和	partial sum	级数 a₁ + a₂ + … 的前 n 项之和 Sₙ = a₁ + … + aₙ；级数的值就是 Sₙ 在 n → ∞ 时的极限。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
次可加性	subadditivity	并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。