03 「无穷多次」与「最终总是」：用集合写出长期行为 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

给定一列事件 $A_{1}, A_{2}, \dots ，$ 「 $A_{n}$ 发生无穷多次」和「 $A_{n}$ 从某一步起一直发生」都是事件，可以用可数次并、交写出来；它们还可以用一个计数 $N (ω)$ （ $ω$ 落进了多少个 $A_{n} ）$ 来刻画：发生无穷多次 ⟺ $N (ω) = \infty 。$

这是第 1 部分「Borel–Cantelli：事件的重复发生」的第一页。整个第 1 部分要回答目录页的第一个问题：事件什么时候会发生无穷多次？

要回答「概率是多少」，先得把「发生无穷多次」写成一个集合，并确认它属于 $F$ （这样才能谈概率）。这一页就做这件事：

定义「无穷多次」（上极限）和「最终总是」（下极限）；
说明两者通过补集互相转化；
引入计数 $N (ω) ，$ 下一页（第 4 页）的第二种证明就靠它。

第 1 讲第 7 页用抛硬币的例子已经写过同样的集合，这里把它变成对任意一列事件都适用的正式定义。

先补基础

基础补课可数并、可数交与量词（回顾）

$ω \in ⋃_{n \geq m} A_{n}$ ⟺ 存在某个 $n \geq m ，$ 使 $ω \in A_{n} 。$ （并 ↔ 存在 $\exists ）$
$ω \in ⋂_{n \geq m} A_{n}$ ⟺ 对所有 $n \geq m ，$ 都有 $ω \in A_{n} 。$ （交 ↔ 对所有 $\forall ）$
德摩根律： $(⋃_{n} C_{n})^{c} = ⋂_{n} C_{n}^{c} ，$ $(⋂_{n} C_{n})^{c} = ⋃_{n} C_{n}^{c} 。$ 取补集时「并」和「交」互换，「存在」和「对所有」也互换。
详细的讲解和例子见第 1 讲板书续页：上极限与下极限。

基础补课示性函数 1_A

对事件 $A ，$ 示性函数（indicator function） $1_{A} : Ω \to {0, 1}$ 定义为

1_{A} (ω) = {1, 0, ω \in A, ω \in / A .

它像一盏灯：结局 $ω$ 落在 $A$ 里，灯亮（1）；不在，灯灭（0）。
例：掷骰子， $A = {偶数} = {2, 4, 6} ，$ 则 $1_{A} (4) = 1 ，$ $1_{A} (3) = 0 。$
对一列事件，把 $1_{A_{1}} (ω), 1_{A_{2}} (ω), \dots$ 依次写出来，就得到 $ω$ 的一条 0/1「发生记录」，例如 $1, 0, 1, 0, \dots$ 表示 $A_{1}$ 发生、 $A_{2}$ 不发生、 $A_{3}$ 发生……

基础补课取值可以是 ∞ 的求和

无穷多个非负数相加 $a_{1} + a_{2} + \dots ，$ 定义为前 $k$ 项和 $a_{1} + \dots + a_{k}$ 在 $k \to \infty$ 时的极限。因为每项非负，前 $k$ 项和只增不减，所以极限要么是一个有限数，要么是 $+ \infty 。$
如果每一项只是 0 或 1，那么总和就是「1 出现的次数」：有限个 1，总和是有限数；无穷多个 1，总和是 $\infty 。$
例： $1 + 0 + 1 + 0 + \dots = \infty ；$ $1 + 1 + 1 + 0 + 0 + \dots = 3 。$

基础补课记号约定：为什么用字母 m

第 1 讲第 7 页写上极限时用 $N$ 表示「从第几项开始看」。本讲要把字母 $N$ 留给计数 $N (ω) ，$ 所以把起点改记为 $m ：$ $⋂_{m \geq 1} ⋃_{n \geq m} A_{n} 。$ 只是换了个字母，意思完全一样。

课件原文逐句精读

课件原文Infinitely often and eventually always

For events $A_{n} \in F$

Definition 1 (Infinitely often)

中文翻译

对事件 $A_{n} \in F ：$

定义 1（无穷多次）

For events $A_{n} \in F$ ：给定一列事件 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots ，$ 每一个都属于 σ-代数 $F 。$ 要求 $A_{n} \in F$ 有两个作用：
1. 每个 $P (A_{n})$ 都有定义；
2. 下面用 $A_{n}$ 做可数次并、交得到的新集合也仍在 $F$ 里（σ-代数对可数并、可数交封闭，第 9 页），所以「发生无穷多次」也能谈概率。
Definition 1 (Infinitely often)：定义 1，标题是「无穷多次」。蓝条标题里还有 eventually always（最终总是），所以这一页要定义两个概念，它们互为「补集的镜像」。
课件在这两行之后全部留白，定义的正文是老师上课手写的，下面补全。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Definition 1 (Infinitely often)｜定义 1（无穷多次）

定义 1（无穷多次；最终总是）

设 $A_{1}, A_{2}, \dots \in F$ 是一列事件。

$A_{n}$ 发生无穷多次（infinitely often，缩写 i.o.）：

{A_{n} i.o.} := n \to \infty lim sup A_{n} := m \geq 1 ⋂ n \geq m ⋃ A_{n} = {ω \in Ω : 有无穷多个 n 使 ω \in A_{n}} .

$A_{n}$ 最终总是发生（eventually always，缩写 ev.）：

{A_{n} ev.} := n \to \infty lim inf A_{n} := m \geq 1 ⋃ n \geq m ⋂ A_{n} = {ω \in Ω : 存在 m ，使对所有 n \geq m 都有 ω \in A_{n}} .

怎么读第 1 个式子：分内外两层。

内层 $B_{m} := ⋃_{n \geq m} A_{n}$ =「从第 $m$ 个事件起，至少还有一个发生」。
外层 $⋂_{m \geq 1} B_{m}$ =「不管从第几个开始看，后面总还有事件发生」。
用量词写： $ω \in {A_{n} i.o.}$ ⟺ $\forall m \exists n \geq m ，$ $ω \in A_{n} 。$

怎么读第 2 个式子：

内层 $C_{m} := ⋂_{n \geq m} A_{n}$ =「从第 $m$ 个起，每一个都发生」。
外层 $⋃_{m \geq 1} C_{m}$ =「存在某个起点，从那以后一直发生」。
用量词写： $ω \in {A_{n} ev.}$ ⟺ $\exists m \forall n \geq m ，$ $ω \in A_{n} 。$

两者只是把 $\forall$ 和 $\exists$ 的位置对调了一下，意思却差很多：「无穷多次」允许中间断断续续，「最终总是」要求从某一步起一次不落。

命题（定义 1 的配套性质）

在定义 1 的记号下：

补集关系： ${A_{n} i.o.}^{c} = {A_{n}^{c} ev.} ，$ ${A_{n} ev.}^{c} = {A_{n}^{c} i.o.} 。$
包含关系： ${A_{n} ev.} \subseteq {A_{n} i.o.} 。$
计数刻画：令 $N (ω) := \sum_{n = 1}^{\infty} 1_{A_{n}} (ω) ，$ 即 $ω$ 落进了多少个 $A_{n} ，$ 取值于 ${0, 1, 2, \dots} \cup {\infty} 。$ 则

{A_{n} i.o.} = {N = \infty}, {A_{n}^{c} ev.} = {N < \infty} .

可测性： ${A_{n} i.o.}$ 与 ${A_{n} ev.}$ 都属于 $F ；$ $N$ 是取值可以为 $\infty$ 的随机变量。

每条性质的人话：

「不是发生无穷多次」=「只发生有限次」=「从某一步起再也不发生」=「 $A_{n}^{c}$ 最终总是发生」。
从某一步起一直发生，当然就发生了无穷多次。反过来不对（见下面例 1 的第一行）。
把 $ω$ 的发生记录里的 1 加起来就是 $N (ω) ；$ 1 有无穷多个 ⟺ 发生无穷多次。
可测性保证 $P (A_{n} i.o.)$ 有意义。后面两页的 Borel–Cantelli 引理，算的就是这个概率。

证明放在下面的「推导」一节。

例子

例 1：看发生记录，逐条判断

每一行是某个样本点 $ω$ 的发生记录 $1_{A_{1}} (ω), 1_{A_{2}} (ω), 1_{A_{3}} (ω), \dots ：$

发生记录	无穷多次（i.o.）？	最终总是（ev.）？	$N (ω)$
$1, 0, 1, 0, 1, 0, \dots$ （奇数项发生）	是	否	$\infty$
$1, 1, 1, 0, 0, 0, \dots$ （只有前 3 个发生）	否	否	$3$
$0, 0, 0, 1, 1, 1, \dots$ （第 4 个起全发生）	是	是	$\infty$
只在 $n = 1, 4, 9, 16, \dots$ （平方数）发生	是	否	$\infty$
$0, 0, 0, 0, \dots$ （从不发生）	否	否	$0$

逐行说理由：

第 1 行：任给起点 $m ，$ 从 $m$ 往后最多走一步就遇到奇数项，所以 $\forall m \exists n \geq m$ 成立，是 i.o.。但任何起点之后都还有偶数项（不发生），找不到「从此一直发生」的起点，所以不是 ev.。这一行说明 ev. 严格比 i.o. 强。
第 2 行：取 $m = 4 ，$ 从第 4 项起一个都不发生，所以 $B_{4} = ⋃_{n \geq 4} A_{n}$ 不含 $ω ，$ 「 $\forall m 」$ 在 $m = 4$ 处失败，不是 i.o.；只发生 3 次， $N (ω) = 3 。$
第 3 行：取 $m = 4 ，$ 从第 4 项起全发生，是 ev.；于是也是 i.o.（性质 2）。
第 4 行：任给 $m ，$ 取 $n = m^{2} \geq m ，$ 第 $m^{2}$ 项发生，是 i.o.；但平方数之间有空档（如 $n = 2, 3 ），$ 任何起点之后都会遇到不发生的项，不是 ev.。发生得越来越稀疏也没关系，只要永不断绝就是 i.o.。
第 5 行：一次都不发生， $N (ω) = 0 。$

例 2：区间 (0,1) 上交替出现的两个事件

取 $Ω = (0, 1) ，$ $P$ 为长度（勒贝格测度）。令

A_{n} = {(0, \frac{1}{2}), [\frac{1}{2}, 1), n 为奇数, n 为偶数 .

每个 $P (A_{n}) = \frac{1}{2} 。$

若 $ω \in (0, \frac{1}{2}) ：$ 发生记录是 $1, 0, 1, 0, \dots ，$ i.o. 但不是 ev.。
若 $ω \in [\frac{1}{2}, 1) ：$ 发生记录是 $0, 1, 0, 1, \dots ，$ 同样 i.o. 但不是 ev.。

所以 ${A_{n} i.o.} = (0, 1) = Ω ，$ ${A_{n} ev.} = \emptyset ，$

P (A_{n} i.o.) = 1, P (A_{n} ev.) = 0.

每个事件的概率都是 $\frac{1}{2} ，$ 两个长期事件的概率却一个是 1、一个是 0。单个 $P (A_{n})$ 的大小并不能直接告诉你长期行为。

例 3：掷骰子，把集合翻译成话

一直掷一颗骰子， $A_{n} = {第 n 次掷出 6} 。$

${A_{n} i.o.} ：$ 「6 出现无穷多次」。
${A_{n}^{c} ev.} ：$ 「从某一次起再也不出现 6」，也就是「6 只出现有限次」，恰是上一条的补集。
${A_{n} ev.} ：$ 「从某一次起每次都是 6」。
$N (ω) ：$ 这条无穷长的掷骰记录里 6 的总个数。

在第 7 页我们会证明：因为各次独立、 $\sum_{n} P (A_{n}) = \sum_{n} \frac{1}{6} = \infty ，$ 所以 $P (A_{n} i.o.) = 1 。$

推导：一步一步来

推导证明思路

补集关系用两次德摩根律；计数刻画用「0/1 求和就是数 1 的个数」；可测性用 σ-代数对可数并、可数交封闭。

性质 1（补集关系）。 对 ${A_{n} i.o.}$ 取补集：

(m \geq 1 ⋂ n \geq m ⋃ A_{n})^{c} = m \geq 1 ⋃ (n \geq m ⋃ A_{n})^{c} = m \geq 1 ⋃ n \geq m ⋂ A_{n}^{c} = {A_{n}^{c} ev.} （外层：交的补 = 补的并） （内层：并的补 = 补的交） （定义 1 第 2 条，把 A_{n} 换成 A_{n}^{c} ） .

第二个等式对 ${A_{n} ev.}$ 用同样的两步德摩根律得到：外层并的补是补的交，内层交的补是补的并，结果为 $⋂_{m} ⋃_{n \geq m} A_{n}^{c} = {A_{n}^{c} i.o.} 。$

性质 2（包含关系）。 设 $ω \in {A_{n} ev.} ，$ 即存在 $m_{0} ，$ 使所有 $n \geq m_{0}$ 都有 $ω \in A_{n} 。$ 任给起点 $m ，$ 取 $n = max (m, m_{0}) ：$ 一方面 $n \geq m ；$ 另一方面 $n \geq m_{0} ，$ 所以 $ω \in A_{n} 。$ 于是 $\forall m \exists n \geq m$ 成立， $ω \in {A_{n} i.o.} 。$

性质 3（计数刻画）。

每一项 $1_{A_{n}} (ω)$ 只取 0 或 1，所以 $N (ω) = \sum_{n} 1_{A_{n}} (ω)$ 就是集合 ${n : ω \in A_{n}}$ 的元素个数（见基础补课）。
于是 $N (ω) = \infty$ ⟺ 有无穷多个 $n$ 使 $ω \in A_{n} 。$
再说明「有无穷多个 $n 」$ ⟺「 $\forall m \exists n \geq m ，$ $ω \in A_{n} 」：$
- 若有无穷多个这样的 $n ，$ 任给 $m ，$ 小于 $m$ 的正整数只有 $m - 1$ 个，装不下无穷多个，所以必有一个这样的 $n \geq m ；$
- 反过来，若对每个 $m$ 都有这样的 $n \geq m ，$ 这些 $n$ 就没有上界（任何候选上界 $m$ 之后都还有一个），而有限个数总有最大值，所以这样的 $n$ 有无穷多个。
合起来 ${N = \infty} = {A_{n} i.o.} ；$ 取补集， ${N < \infty} = {A_{n} i.o.}^{c} = {A_{n}^{c} ev.}$ （性质 1）。

性质 4（可测性）。

每个 $A_{n} \in F ，$ σ-代数对可数并封闭，所以 $B_{m} = ⋃_{n \geq m} A_{n} \in F 。$
σ-代数对可数交也封闭（可数交 = 补集的可数并再取补），所以 $⋂_{m \geq 1} B_{m} \in F ，$ 即 ${A_{n} i.o.} \in F 。$ ${A_{n} ev.}$ 的论证相同步骤：先 $C_{m} = ⋂_{n \geq m} A_{n} \in F ，$ 再 $⋃_{m} C_{m} \in F 。$
部分和 $N_{k} = \sum_{n = 1}^{k} 1_{A_{n}}$ 是简单函数（第 30 页），因而可测； $N_{k}$ 随 $k$ 递增， $N = lim_{k} N_{k} = sup_{k} N_{k} ，$ 可数个可测函数的上确界仍可测，所以 $N$ 是（可取 $\infty$ 的）随机变量。

展开：示性函数的上极限就是上极限集合的示性函数

对实数序列， $lim sup_{n} a_{n} = lim_{m \to \infty} sup_{n \geq m} a_{n}$ （第 40 页）。对 0/1 序列 $a_{n} = 1_{A_{n}} (ω) ：$ $sup_{n \geq m} a_{n} = 1$ ⟺ 从第 $m$ 项起至少有一个 1 ⟺ $ω \in B_{m} 。$ 所以 $sup_{n \geq m} 1_{A_{n}} = 1_{B_{m}} ，$ 再让 $m \to \infty$ （ $B_{m}$ 递减），得到

n \to \infty lim sup 1_{A_{n}} = 1_{lim sup_{n} A_{n}}, n \to \infty lim inf 1_{A_{n}} = 1_{lim inf_{n} A_{n}} .

这就是集合的上、下极限借用「limsup / liminf」这个名字的原因。

常见疑问与易错点

易错点问：P(A_n i.o.) 是不是就等于 lim P(A_n)？

答：不是，二者可以差得很远。例 2 里 $P (A_{n})$ 始终是 $\frac{1}{2} ，$ 而 $P (A_{n} i.o.) = 1 。$ 再比如第 5 页和第 7 页会给出两列事件，概率都是 $P (A_{n}) = \frac{1}{n} \to 0 ，$ 一列的 $P (A_{n} i.o.) = 0 ，$ 另一列却等于 1。长期行为取决于事件之间的关系（是否独立、是否嵌套），不只取决于每个事件自己的概率。

易错点问：「无穷多次」和「最终总是」哪个更难满足？

答：「最终总是」更难满足。它要求从某一步起一次不落地发生；「无穷多次」只要求永不断绝，中间可以有空档。所以总有 ${A_{n} ev.} \subseteq {A_{n} i.o.} 。$

易错点问：N(ω) = ∞ 合法吗？随机变量不是取实数值吗？

答：这里允许 $N$ 取 $\infty ，$ 这类随机变量叫「广义实值」随机变量，第 1 讲定义非负函数的积分时就允许函数取 $+ \infty$ （第 33 页）。 $N (ω) = \infty$ 恰好对应「发生无穷多次」，所以这种取值不仅合法，而且正是我们要研究的对象。

易错点问：两个式子里的 ∩ 和 ∪ 能不能交换顺序？

答：不能。 $⋂_{m} ⋃_{n \geq m}$ （先并后交）是「无穷多次」； $⋃_{m} ⋂_{n \geq m}$ （先交后并）是「最终总是」。例 1 第一行（ $1, 0, 1, 0, \dots ）$ 属于前者、不属于后者，说明两者不相等。

小结与自测

小结本页小结

${A_{n} i.o.} = lim sup A_{n} = ⋂_{m} ⋃_{n \geq m} A_{n} ：$ $\forall m \exists n \geq m ，$ $ω \in A_{n} ，$ 即发生无穷多次。
${A_{n} ev.} = lim inf A_{n} = ⋃_{m} ⋂_{n \geq m} A_{n} ：$ $\exists m \forall n \geq m ，$ $ω \in A_{n} ，$ 即从某一步起一直发生。
补集关系： ${A_{n} i.o.}^{c} = {A_{n}^{c} ev.}$ （只发生有限次 = 从某步起再不发生）；并且 ev. ⊆ i.o.。
计数 $N = \sum_{n} 1_{A_{n}} ：$ ${A_{n} i.o.} = {N = \infty} 。$ 这些集合都在 $F$ 里，可以谈概率。

自测

1. 发生记录为 $0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, \dots$ （每三个一组，组内为 0,1,1）。它属于 ${A_{n} i.o.}$ 吗？属于 ${A_{n} ev.}$ 吗？ $N (ω)$ 是多少？

点开看答案

属于 i.o.：任给起点 $m ，$ 往后最多两步就遇到 1。不属于 ev.：任何起点之后都会遇到组首的 0。 $N (ω) = \infty$ （1 有无穷多个）。

2. 用定义 1 的记号写出「 $A_{n}$ 只发生有限次」，并说明它和 ${N < \infty}$ 的关系。

点开看答案

「只发生有限次」是 ${A_{n} i.o.}^{c} = {A_{n}^{c} ev.} = ⋃_{m \geq 1} ⋂_{n \geq m} A_{n}^{c} ，$ 即从某一步起 $A_{n}$ 再不发生。由计数刻画，它正好等于 ${N < \infty} 。$

3. 判断：如果 $ω \in {A_{n} i.o.}$ 且 $ω \in {A_{n}^{c} i.o.} ，$ 那么 $ω$ 的发生记录里 0 和 1 都出现无穷多次。这可能吗？举例。

点开看答案

可能，而且正确。例 1 第一行 $1, 0, 1, 0, \dots$ 就是：1 出现无穷多次（ $A_{n}$ i.o.），0 也出现无穷多次（ $A_{n}^{c}$ i.o.）。这样的 $ω$ 既不在 ${A_{n} ev.}$ 里，也不在 ${A_{n}^{c} ev.}$ 里。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
上极限	limit superior (lim sup)	数列「尾部的最大可能值」的极限；对集合则表示「发生无穷多次」。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
德摩根律	De Morgan's laws	「并的补 = 补的交」「交的补 = 补的并」，把「非（A 或 B）」变成「非 A 且非 B」。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
部分和	partial sum	级数 a₁ + a₂ + … 的前 n 项之和 Sₙ = a₁ + … + aₙ；级数的值就是 Sₙ 在 n → ∞ 时的极限。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。