07 乘积测度定理与截口：矩形上取乘积，其余由唯一性决定 · 第4讲

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两件事。乘积测度定理：对 σ-有限的测度空间，存在唯一一个测度 $μ_{1} \times μ_{2} ，$ 在每个可测矩形上取值 $μ_{1} (A_{1}) μ_{2} (A_{2}) 。$ 截口：固定第一个坐标 $ω_{1} ，$ 把二维集合 $A$ 「竖着切一刀」，切口 $A_{ω_{1}}$ 是 $Ω_{2}$ 的一个子集；固定第二个坐标 $ω_{2}$ 「横着切」，切口 $A_{ω_{2}}$ 是 $Ω_{1}$ 的一个子集。下一页用截口把二维测度算成一维测度的积分。

位置：第 1 部分的核心页。第 6 页定好了事件族 $F_{1} \otimes F_{2} ，$ 这一页在上面放测度，并准备好计算工具「截口」。
课件省略的部分：证明「需要 Dynkin 的 π-λ 定理」。下面补出定理的完整陈述，并讲清楚唯一性的思路：π-λ 定理是什么、为什么需要 σ-有限。
后面怎么用：第 8 页用截口给出 $(μ_{1} \times μ_{2}) (A) = \int μ_{2} (A_{ω_{1}}) d μ_{1} ；$ Fubini 定理（第 10 页）对函数的截口 $f_{ω_{1}}$ 积分。

先补基础

基础补课约定 0 · ∞ = 0

测度可以取 $+ \infty$ （例如 $R$ 的长度）。乘积测度规定 $0 \cdot \infty = 0 。$ 理由：平面上的线段 ${0} \times R$ 是一条直线，宽度 0、长度 $\infty ，$ 面积应该是 0。第 1 讲积分里用的也是这个约定（第 30 页）。

基础补课π-系与 λ-系（Dynkin 系）

π-系：对有限交封闭的集族。例：可测矩形全体（第 6 页：两个矩形的交还是矩形）； $R$ 上所有半直线 $(- \infty, a] 。$
λ-系（又叫 Dynkin 系）：包含全集，对「大集合减去包含于其中的小集合」封闭（ $A \subseteq B$ 时 $B ∖ A$ 也在里面），对递增的可数并封闭。
π-λ 定理（Dynkin）：若 π-系 $P$ 包含于 λ-系 $L ，$ 则 $σ (P) \subseteq L 。$
为什么有用：「两个测度相等的集合」天然组成一个 λ-系（相等关系经得起相减和递增极限），却不一定是 σ-代数。π-λ 定理说：只要它们在一个生成 σ-代数的 π-系上相等，就在整个 σ-代数上相等。

基础补课「好集合原理」

要证明某个性质对 $σ (C)$ 里所有集合成立，常用的套路是：把具有这个性质的集合收集起来，叫「好集合」；证明① $C$ 里的集合都是好集合，②好集合组成 σ-代数（或 λ-系）。那么好集合包含 $σ (C) 。$ 第 1 讲第 29 页证明「检验生成元就够了」用的就是这个套路。

课件原文逐句精读

课件原文Sets and slices

Theorem (Product measure).（留白）
We omit the proof, the proof needs Dykin's $π - λ$ theorem.
Definition (A Set and its slices). Let $(Ω_{1}, F_{1})$ , $(Ω_{2}, F_{2})$ be two finite (or σ-finite) measurable spaces, and the set $A \in F_{1} \otimes F_{2}$ , the product σ-algebra on $Ω_{1} \times Ω_{2}$ . Let（留白）denote the $ω_{1}$ -slice and $ω_{2}$ -slice of $A$ , respectively.
Similarly, if $f : Ω_{1} \times Ω_{2} \to R$ and $ω_{i} \in Ω_{i}$ , then we can define（留白）

中文翻译

蓝条标题：集合与截口。

定理（乘积测度）.（课件留白）
证明略去，它需要 Dynkin 的 π-λ 定理。
定义（集合及其截口）. 设 $(Ω_{1}, F_{1}) 、$ $(Ω_{2}, F_{2})$ 是两个有限（或 σ-有限）的可测空间， $A \in F_{1} \otimes F_{2}$ 是乘积 σ-代数里的集合。令（课件留白）分别记 $A$ 的 $ω_{1}$ -截口和 $ω_{2}$ -截口。
类似地，若 $f : Ω_{1} \times Ω_{2} \to R ，$ $ω_{i} \in Ω_{i} ，$ 则可以定义（课件留白）

Dykin 是笔误，应为 Dynkin（俄罗斯数学家 Eugene Dynkin，邓金）。 $π - λ$ 中间的横线不是减号，读作「π-λ 定理」。
slice：截口、切片。想象把一块蛋糕（二维集合）用刀竖着或横着切开，刀口的形状就是截口。
finite (or σ-finite) measurable spaces：严格说「有限、σ-有限」是测度的性质，可测空间本身没有测度。这里的意思是「带着有限（或 σ-有限）测度的空间」。截口的定义其实根本用不到测度，下面会看到。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Theorem (Product measure)｜乘积测度定理

定理（乘积测度）

设 $(Ω_{1}, F_{1}, μ_{1}) 、$ $(Ω_{2}, F_{2}, μ_{2})$ 是 σ-有限的测度空间。则在乘积 σ-代数 $F_{1} \otimes F_{2}$ 上存在唯一的测度 $μ_{1} \times μ_{2} ，$ 使得对所有可测矩形

(μ_{1} \times μ_{2}) (A_{1} \times A_{2}) = μ_{1} (A_{1}) μ_{2} (A_{2}) (A_{1} \in F_{1}, A_{2} \in F_{2}),

其中约定 $0 \cdot \infty = 0 。$ 它叫 $μ_{1}$ 与 $μ_{2}$ 的乘积测度。若 $μ_{1} = P_{1} 、$ $μ_{2} = P_{2}$ 都是概率测度，则 $P_{1} \times P_{2}$ 也是概率测度。

最后一句： $(P_{1} \times P_{2}) (Ω_{1} \times Ω_{2}) = P_{1} (Ω_{1}) P_{2} (Ω_{2}) = 1 \times 1 = 1 。$

推导证明思路（课件略去，这里说明结构）

存在性有两条常见的路：

用截口直接定义：令 $μ (A) = \int_{Ω_{1}} μ_{2} (A_{ω_{1}}) d μ_{1} (ω_{1})$ （下一页的公式）。在矩形上它确实给出 $μ_{1} (A_{1}) μ_{2} (A_{2}) ；$ 可数可加性来自单调收敛定理（第 36 页）：不交并的截口是截口的不交并，截口测度相加，再把求和与积分交换。
用外测度延拓：和第 1 讲从「区间长度」造出勒贝格测度（第 18 页–第 23 页）一样，先在矩形的有限不交并上定义，再用卡拉泰奥多里方法延拓到 $F_{1} \otimes F_{2} 。$

唯一性用 π-λ 定理。先看两个都是有限测度的情形：设 $ν, ν^{'}$ 是两个在所有矩形上都取 $μ_{1} (A_{1}) μ_{2} (A_{2})$ 的测度。令 $L = {A \in F_{1} \otimes F_{2} : ν (A) = ν^{'} (A)} 。$

矩形全体是 π-系，包含于 $L ，$ 并且包含全集 $Ω_{1} \times Ω_{2}$ （它也是矩形）。
$L$ 是 λ-系： $A \subseteq B$ 都在 $L$ 里时， $ν (B ∖ A) = ν (B) - ν (A) = ν^{'} (B) - ν^{'} (A) = ν^{'} (B ∖ A)$ （这里要求测度有限，才能相减）；递增并由从下连续性（第 13 页）得到。
由 π-λ 定理， $L \supseteq σ (矩形) = F_{1} \otimes F_{2} ，$ 即 $ν = ν^{'} 。$

σ-有限的情形：把 $Ω_{1} = ⋃ E_{n} 、$ $Ω_{2} = ⋃ F_{m}$ 拆成测度有限的递增块，在每个有限的方块 $E_{n} \times F_{m}$ 上用上面的论证，再用从下连续性取极限。没有 σ-有限时，唯一性可以失败（相减那一步无法进行），第 13 页的计数测度正是这种情形。

Definition (A set and its slices)｜集合及其截口

定义（截口）

设 $A \subseteq Ω_{1} \times Ω_{2} 。$ 对 $ω_{1} \in Ω_{1}$ 和 $ω_{2} \in Ω_{2} ，$ 令

A_{ω_{1}} := {ω_{2} \in Ω_{2} : (ω_{1}, ω_{2}) \in A} \subseteq Ω_{2}, A_{ω_{2}} := {ω_{1} \in Ω_{1} : (ω_{1}, ω_{2}) \in A} \subseteq Ω_{1} .

$A_{ω_{1}}$ 叫 $A$ 的 $ω_{1}$ -截口， $A_{ω_{2}}$ 叫 $ω_{2}$ -截口。

图像：在平面上， $Ω_{1}$ 是横轴、 $Ω_{2}$ 是纵轴。 $A_{ω_{1}}$ 是竖直线 $x = ω_{1}$ 与 $A$ 的交，投到纵轴上； $A_{ω_{2}}$ 是水平线 $y = ω_{2}$ 与 $A$ 的交，投到横轴上。
记号提醒：两种截口只靠下标的字母区分（ $ω_{1}$ 还是 $ω_{2} ）。$ 代入具体数值时容易混淆，有的教材把第二种写成 $A^{ω_{2}} 。$ 本站沿用课件写法，必要时用文字说明是哪个方向。

Slices of a function｜函数的截口

定义（函数的截口）

设 $f : Ω_{1} \times Ω_{2} \to R 。$ 令

f_{ω_{1}} (ω_{2}) := f (ω_{1}, ω_{2}) (ω_{2} \in Ω_{2}), f_{ω_{2}} (ω_{1}) := f (ω_{1}, ω_{2}) (ω_{1} \in Ω_{1}) .

即固定一个变量，把 $f$ 看成另一个变量的一元函数。

集合的截口与函数的截口一致：示性函数满足 $(1_{A})_{ω_{1}} = 1_{A_{ω_{1}}} 。$

命题（可测集的截口可测）

若 $A \in F_{1} \otimes F_{2} ，$ 则对每个 $ω_{1} ，$ $A_{ω_{1}} \in F_{2} ；$ 对每个 $ω_{2} ，$ $A_{ω_{2}} \in F_{1} 。$ 若 $f$ 关于 $F_{1} \otimes F_{2}$ 可测，则每个 $f_{ω_{1}}$ 关于 $F_{2}$ 可测，每个 $f_{ω_{2}}$ 关于 $F_{1}$ 可测。

证明（好集合原理）：固定 $ω_{1} ，$ 令 $G = {A \in F_{1} \otimes F_{2} : A_{ω_{1}} \in F_{2}} 。$

矩形是好集合： $(A_{1} \times A_{2})_{ω_{1}} = A_{2}$ （若 $ω_{1} \in A_{1} ）$ 或 $\emptyset$ （若 $ω_{1} \in / A_{1} ），$ 都在 $F_{2}$ 里。
$G$ 是 σ-代数：截口和集合运算可以交换， $(A^{c})_{ω_{1}} = (A_{ω_{1}})^{c} ，$ $(⋃_{n} A_{n})_{ω_{1}} = ⋃_{n} (A_{n})_{ω_{1}} ；$ 而 $F_{2}$ 对补和可数并封闭，全集的截口是 $Ω_{2} 。$
所以 $G \supseteq σ (矩形) = F_{1} \otimes F_{2} 。$

对函数： ${ω_{2} : f_{ω_{1}} (ω_{2}) \in B} = (f^{- 1} (B))_{ω_{1}} ，$ 右边是可测集的截口，由上面的结论可测。 $■$

这个证明完全没用到测度，所以截口的可测性与「有限、σ-有限」无关。

例子

例 1：平面面积就是长度 × 长度

取 $μ_{1} = μ_{2} = λ$ （ $R$ 上的勒贝格测度，即长度），它们 σ-有限。乘积测度 $λ \times λ$ 在矩形 $[a, b] \times [c, d]$ 上取 $(b - a) (d - c) ，$ 正是面积。由唯一性，二维勒贝格测度（面积）就是 $λ \times λ$ ：任何一个在矩形上给出「长 × 宽」的测度，在所有平面博雷尔集上都和面积一致。

例 2：几种集合的截口

集合 $A$	竖截口 $A_{x}$ （固定 $x ）$	横截口 $A_{y}$ （固定 $y ）$
矩形 $[0, 2] \times [1, 3]$	$x \in [0, 2]$ 时为 $[1, 3] ，$ 否则 $\emptyset$	$y \in [1, 3]$ 时为 $[0, 2] ，$ 否则 $\emptyset$
三角形 ${0 \leq y \leq x \leq 1}$	$x \in [0, 1]$ 时为 $[0, x]$	$y \in [0, 1]$ 时为 $[y, 1]$
单位圆盘 ${x^{2} + y^{2} \leq 1}$	$∣ x ∣ \leq 1$ 时为 $[- 1 - x^{2}, 1 - x^{2}]$	$∣ y ∣ \leq 1$ 时为 $[- 1 - y^{2}, 1 - y^{2}]$
对角线 ${x = y}$	单点 ${x}$	单点 ${y}$

圆盘的竖截口长度是 $2 1 - x^{2} ，$ 把它对 $x$ 从 $- 1$ 积到 $1$ 得到 $π ，$ 正是圆盘面积。这就是下一页的公式。

例 3：两颗骰子的乘积测度与截口

$P_{1} = P_{2}$ 为 ${1, \dots, 6}$ 上的均匀分布。乘积测度给每个点 $(i, j)$ 的值是 $\frac{1}{36}$ （单点是矩形 ${i} \times {j} ）。$ 取 $A = {(i, j) : i + j = 7} ：$

竖截口 $A_{i} = {7 - i} ，$ 对每个 $i$ 都是一个点， $P_{2} (A_{i}) = \frac{1}{6} ；$
把六个竖截口的概率按 $P_{1}$ 平均： $\sum_{i = 1}^{6} \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} ，$ 正好等于 $(P_{1} \times P_{2}) (A) = \frac{6}{36} 。$

例 4：函数的截口

$f (x, y) = x y^{2} 。$ 固定 $x = 2 ，$ $f_{2} (y) = 2 y^{2} ，$ 是 $y$ 的抛物线；固定 $y = 3 ，$ $f_{3} (x) = 9 x ，$ 是 $x$ 的直线。二重积分 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} x y^{2} d y d x$ 先算内层 $\int_{0}^{1} f_{x} (y) d y = \frac{x}{3} ，$ 再算 $\int_{0}^{1} \frac{x}{3} d x = \frac{1}{6} 。$ Fubini 定理（第 10 页）说明这样算是对的。

常见疑问与易错点

易错点问：既然只在矩形上规定了值，其他集合的测度从哪里来？

答：由唯一性自动确定。矩形生成整个 $F_{1} \otimes F_{2} ，$ 而 π-λ 定理保证：在矩形上取值相同的两个（σ-有限）测度，在所有集合上都相同。所以「在矩形上取乘积」这一条规则就把乘积测度完全定下来了。至于怎么算一个具体集合的测度，用下一页的截口公式。

易错点问：为什么一定要 σ-有限？

答：唯一性的证明要用到 $ν (B ∖ A) = ν (B) - ν (A) ，$ 测度无穷大时 $\infty - \infty$ 没有意义。σ-有限让我们把空间切成测度有限的小块分别处理。第 13 页会看到： $[0, 1]$ 上的计数测度不 σ-有限，这时连「先切哪个方向」都会影响结果。

易错点问：A_{ω₁} 和 A_{ω₂} 写法太像，怎么分清？

答：看下标的字母：下标是 $ω_{1}$ （第一个坐标被固定），截口就是第二个空间 $Ω_{2}$ 的子集；下标是 $ω_{2} ，$ 截口就是 $Ω_{1}$ 的子集。代入数字时（如 $A_{1/2} ）$ 要用文字说明是固定了哪个坐标。

小结与自测

小结本页小结

乘积测度定理：σ-有限时，存在唯一测度 $μ_{1} \times μ_{2}$ 使矩形上取 $μ_{1} (A_{1}) μ_{2} (A_{2}) ；$ 概率测度的乘积仍是概率测度。
唯一性来自 π-λ 定理：矩形是生成 $F_{1} \otimes F_{2}$ 的 π-系；σ-有限保证可以相减。
截口： $A_{ω_{1}} = {ω_{2} : (ω_{1}, ω_{2}) \in A} ，$ $A_{ω_{2}} = {ω_{1} : (ω_{1}, ω_{2}) \in A} ；$ 函数截口 $f_{ω_{1}} (\cdot) = f (ω_{1}, \cdot) 。$
可测集的截口对每个点都可测，证明用好集合原理，不需要测度。
课件笔误：Dykin → Dynkin。

自测

1. 设 $A = [0, 1] \times [0, 2] \cup [1, 3] \times [0, 1]$ （一个 L 形）。写出 $A_{x}$ （ $x = 0.5$ 和 $x = 2 ）$ 以及它们的长度。

点开看答案

$x = 0.5$ 时竖线穿过第一块： $A_{0.5} = [0, 2] ，$ 长度 2。 $x = 2$ 时穿过第二块： $A_{2} = [0, 1] ，$ 长度 1。

2. 为什么 $(A^{c})_{ω_{1}} = (A_{ω_{1}})^{c} ？$

点开看答案

$ω_{2} \in (A^{c})_{ω_{1}} ⟺ (ω_{1}, ω_{2}) \in / A ⟺ ω_{2} \in / A_{ω_{1}} ⟺ ω_{2} \in (A_{ω_{1}})^{c} 。$

3. 用乘积测度说明：平面上的直线 ${2} \times R$ 面积为 0。

点开看答案

它是矩形 ${2} \times R ，$ 乘积测度给它 $λ ({2}) λ (R) = 0 \cdot \infty = 0$ （约定 $0 \cdot \infty = 0 ）。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
乘积测度	product measure	在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
σ-有限	σ-finite	整个空间能切成可数多块测度有限的部分。概率测度、长度都满足；不可数集上的计数测度不满足。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
可测矩形	measurable rectangle	形如 A₁ × A₂ 的集合，A₁、A₂ 分别是两个空间里的可测集。
截口	slice (section)	固定一个坐标、把二维集合或函数「切一刀」：A_ω₁ = {ω₂ : (ω₁, ω₂) ∈ A}，f_ω₁(ω₂) = f(ω₁, ω₂)。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
π-λ 定理	Dynkin's π-λ theorem	π-系（对有限交封闭）包含于 λ-系时，它生成的 σ-代数也包含于该 λ-系。常用来证明「两个测度在生成元上相等就处处相等」。
Fubini 定理	Fubini's theorem	f 关于乘积测度绝对可积（∬\|f\| < ∞）时，二重积分等于两种顺序的累次积分。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
乘积 σ-代数	product σ-algebra	由所有可测矩形生成的 σ-代数，记作 F₁ ⊗ F₂；它也是让两个坐标映射都可测的最小 σ-代数。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
外测度	outer measure	用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
卡拉泰奥多里	Carathéodory	卡拉泰奥多里判别：用 E 去切任何集合 A，两块外测度之和都等于 m*(A)。
从下连续	continuity from below	集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。
计数测度	counting measure	μ(A) = A 中元素的个数（无限集记为 ∞）。在 ℕ 上对它积分就是求和。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
二重积分	double integral	对两个变量一起积分：∬ f(x, y) dx dy。Fubini–Tonelli 定理说明什么时候可以拆成先对一个变量、再对另一个变量的两次积分。