04 第一 Borel–Cantelli 引理：概率之和有限，就只发生有限次 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

如果一列事件的概率加起来是有限数，那么以概率 1，这些事件只发生有限次： $\sum_{n} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (A_{n} i.o.) = 0 。$ 不需要任何独立性。

上一页（第 3 页）把「 $A_{n}$ 发生无穷多次」写成了事件 ${A_{n} i.o.} = ⋂_{m} ⋃_{n \geq m} A_{n} 。$ 这一页给出计算它的概率的第一个工具，也是整讲用得最多的工具之一。

它回答了目录页第一个问题的一半：什么时候事件只发生有限次。
另一半「什么时候发生无穷多次」要等到第 7 页的第二 Borel–Cantelli 引理，那里需要独立性。
第 2 部分会把它用到误差事件 ${∣ X_{n} - X ∣ > ε}$ 上，得到「几乎必然收敛」的判别法（第 10 页）。

先补基础

基础补课级数收敛与「尾巴趋于 0」

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} < \infty$ （ $a_{n} \geq 0 ）$ 表示前 $k$ 项和 $S_{k} = a_{1} + \dots + a_{k}$ 趋于一个有限数 $S 。$
尾巴：从第 $m$ 项加到无穷， $\sum_{n \geq m} a_{n} = S - S_{m - 1} 。$ 因为 $S_{m - 1} \to S ，$ 所以尾巴 $\to S - S = 0 。$
例： $\sum_{n \geq 1} 2^{- n} = 1 ，$ 尾巴 $\sum_{n \geq m} 2^{- n} = 2^{- (m - 1)} ，$ $m = 11$ 时约为 $0.001 。$
反例： $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} = \infty$ （调和级数，第 5 页证明），它的尾巴永远是 $\infty ，$ 不会变小。

基础补课概率的单调性与可数次可加性

单调性：若 $A \subseteq B ，$ 则 $P (A) \leq P (B) 。$ （小的集合概率不会更大。）
可数次可加性（countable subadditivity）：对任意一列事件 $B_{1}, B_{2}, \dots$ （可以重叠），

P (n \geq 1 ⋃ B_{n}) \leq n \geq 1 \sum P (B_{n}) .

直觉：重叠部分在右边被重复计算了，所以右边只会更大。证明见下面「推导」一节。

例：掷骰子， $B_{1} = {1, 2} ，$ $B_{2} = {2, 3} 。$ $P (B_{1} \cup B_{2}) = P ({1, 2, 3}) = \frac{1}{2} \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} 。$

基础补课几乎必然（almost surely, a.s.）

一个性质「几乎必然成立」，指使它成立的样本点组成的事件概率为 1，也就是说不成立的那部分概率为 0。
例：在 $(0, 1)$ 上随机取点 $ω ，$ 「 $ω \neq = \frac{1}{2} 」$ 几乎必然成立，因为 $P ({\frac{1}{2}}) = 0 。$ 它并不是对每个 $ω$ 都成立。

基础补课Markov 不等式（第 2 讲）

对非负随机变量 $Y$ 和常数 $a > 0 ：$ $P (Y \geq a) \leq \frac{E Y}{a}$ （第 29 页）。理由： $a \cdot 1_{{Y \geq a}} \leq Y$ 处处成立（ $Y \geq a$ 时左边是 $a \leq Y ，$ 否则左边是 $0 \leq Y ），$ 两边取期望即得 $a P (Y \geq a) \leq E Y 。$

课件原文逐句精读

课件原文Borel–Cantelli I

Theorem 2 (First Borel–Cantelli lemma)

中文翻译

定理 2（第一 Borel–Cantelli 引理）

Theorem 2：定理 2，编号接着上一页的定义 1。
lemma（引理）：本意是「辅助性的小定理」。Borel–Cantelli 引理虽然证明很短，却是概率论里最常用的工具之一，所以叫「引理」只是历史习惯。
First（第一）：还有一个「第二」引理在第 7 页。两者方向相反：第一个给出「只发生有限次」，第二个给出「发生无穷多次」。
课件在标题之下全部留白，定理的陈述和证明由下面补全。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Theorem 2 (First Borel–Cantelli lemma)｜定理 2（第一 Borel–Cantelli 引理）

定理 2（第一 Borel–Cantelli 引理）

设 $A_{1}, A_{2}, \dots \in F$ 是任意一列事件。若

n = 1 \sum \infty P (A_{n}) < \infty,

则

P (A_{n} i.o.) = P (m \geq 1 ⋂ n \geq m ⋃ A_{n}) = 0.

等价地说：以概率 1，只有有限个 $A_{n}$ 发生；即 $P (A_{n}^{c} ev.) = 1 ，$ 也即计数 $N = \sum_{n} 1_{A_{n}}$ 满足 $P (N < \infty) = 1 。$

逐个看条件和结论：

「任意一列事件」：没有要求独立、没有要求互不相交，事件之间怎样相关都可以。这是这个引理好用的根本原因。
$\sum_{n} P (A_{n}) < \infty$ ：概率之和有限。它要求 $P (A_{n})$ 趋于 0 得足够快，例如 $\frac{1}{n ^{2}} 、$ $2^{- n}$ 可以， $\frac{1}{n}$ 不行（调和级数发散）。
结论 $P (A_{n} i.o.) = 0$ ：「发生无穷多次」这个事件概率为 0。换成补集（第 3 页性质 1），「从某一步起再也不发生」的概率为 1。
注意结论是「几乎必然」：可能存在个别样本点让 $A_{n}$ 发生无穷多次，但这些样本点合起来概率为 0。

人话版直觉：概率之和就是「平均发生次数」

把每个事件 $A_{n}$ 想成一盏灯， $A_{n}$ 发生就亮一次。 $1_{A_{n}}$ 的期望是 $P (A_{n}) ，$ 所以所有灯的平均亮灯总次数正是 $\sum_{n} P (A_{n})$ （下面证明二第 2 步会严格证明）。

平均总次数是有限数，就不可能以正的概率亮无穷多次；否则这部分样本点会把平均值拉成无穷大。
「发生无穷多次」只取决于尾巴：扔掉前面任意有限个事件，一个样本点发生的次数是否无穷不会改变。所以证明一只盯着尾巴 $\sum_{n \geq m} P (A_{n}) ，$ 并让 $m \to \infty 。$
在第 2 部分， $A_{n}$ 会是「第 $n$ 步误差超过 $ε 」。$ 第一引理说：只要这些出错概率之和有限，出错就以概率 1 只有有限次，也就是误差最终一直不超过 $ε$ （第 10 页）。

补写的证明一：用「从第 m 个起的并集」夹逼

推导证明思路

「无穷多次」这个集合被每一个「从第 $m$ 个起至少发生一个」的集合 $B_{m}$ 包住； $B_{m}$ 的概率不超过概率之和的尾巴，而收敛级数的尾巴趋于 0。

记 $B_{m} = ⋃_{n \geq m} A_{n} ，$ $S = \sum_{n \geq 1} P (A_{n}) < \infty 。$

包含： ${A_{n} i.o.} = ⋂_{k \geq 1} B_{k} \subseteq B_{m} ，$ 对每个 $m$ 都成立。理由：一族集合的交，包含在其中每一个集合里。
单调性：由第 1 步， $P (A_{n} i.o.) \leq P (B_{m}) 。$
可数次可加性： $P (B_{m}) = P (⋃_{n \geq m} A_{n}) \leq \sum_{n \geq m} P (A_{n}) 。$
尾巴趋于 0： $\sum_{n \geq m} P (A_{n}) = S - \sum_{n < m} P (A_{n}) \to S - S = 0$ （ $m \to \infty ），$ 因为 $S$ 有限。
夹逼：第 2、3 步合起来，对每个 $m$ 都有

0 \leq P (A_{n} i.o.) \leq n \geq m \sum P (A_{n}) .

左边的 $P (A_{n} i.o.)$ 是一个不依赖 $m$ 的固定数，它不超过一列趋于 0 的数中的每一个，所以只能等于 0。（若它等于某个 $p > 0 ，$ 取 $m$ 大到尾巴小于 $p ，$ 就矛盾了。）

另一种说法： $B_{m}$ 随 $m$ 增大而变小（ $B_{1} \supseteq B_{2} \supseteq \dots ），$ 它们的交就是 ${A_{n} i.o.} 。$ 由从上连续（第 14 页，概率测度总质量为 1，是有限的）， $P (A_{n} i.o.) = lim_{m} P (B_{m}) \leq lim_{m} \sum_{n \geq m} P (A_{n}) = 0 。$

补写的证明二：计数的期望有限

推导证明思路

令 $N = \sum_{n} 1_{A_{n}}$ 为发生的事件个数。用 MCT 算出 $E N = \sum_{n} P (A_{n}) < \infty ；$ 期望有限的非负随机变量几乎必然有限，所以 $N < \infty$ a.s.，也就是只发生有限次。

部分和：令 $N_{k} = \sum_{n = 1}^{k} 1_{A_{n}}$ （前 $k$ 个事件里发生了几个）。由期望的线性和 $E 1_{A} = P (A) ，$ 得 $E N_{k} = \sum_{n = 1}^{k} P (A_{n}) 。$
单调收敛：每一项 $1_{A_{n}} \geq 0 ，$ 所以 $N_{k}$ 随 $k$ 递增，且 $N_{k} ↑ N 。$ 由 MCT（第 36 页），

E N = k \to \infty lim E N_{k} = k \to \infty lim n = 1 \sum k P (A_{n}) = n = 1 \sum \infty P (A_{n}) < \infty.

期望有限 ⇒ 几乎必然有限：对每个正整数 $k ，$ ${N = \infty} \subseteq {N \geq k} ，$ 由 Markov 不等式，

P (N = \infty) \leq P (N \geq k) \leq \frac{E N}{k} .

右边在 $k \to \infty$ 时趋于 0，左边不依赖 $k ，$ 所以 $P (N = \infty) = 0 。$ 4. 翻译回事件：第 3 页的计数刻画说 ${A_{n} i.o.} = {N = \infty} ，$ 所以 $P (A_{n} i.o.) = 0 。$

补充两种证明各有什么好处

证明一只用到概率的单调性和可数次可加性，最基本。证明二多给了一个信息：平均发生次数 $E N = \sum_{n} P (A_{n}) ，$ 还能用 Markov 不等式估计「发生很多次」的概率，比如 $P (N \geq 10) \leq E N /10 。$ 下一页（第 5 页）会看到：证明二里「 $E N < \infty 」$ 只是 $N < \infty$ 的充分条件，不是必要条件。

例子

例 1：直接验证，并把证明一的界算成数字

取 $Ω = (0, 1) ，$ $P$ 为长度。令 $A_{n} = (0, \frac{1}{n ^{2}}] ，$ 则 $P (A_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} 。$

条件： $\sum_{n} \frac{1}{n ^{2}} < \infty 。$ 理由：对 $n \geq 2 ，$ $\frac{1}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ( n - 1 )} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} ，$ 右边相加时中间项互相抵消（「裂项相消」），所以

n \geq m \sum \frac{1}{n ^{2}} \leq (\frac{1}{m - 1} - \frac{1}{m}) + (\frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1}) + \dots = \frac{1}{m - 1} (m \geq 2) .

取 $m = 2$ 得 $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2}} \leq 1 + 1 = 2 < \infty 。$

证明一的数值：取 $m = 101 ，$ 得 $P (A_{n} i.o.) \leq \frac{1}{100} ；$ 取 $m = 1001 ，$ 得 $\leq \frac{1}{1000} \dots\dots$ 越来越小，所以只能是 0。

直接验证：固定 $ω \in (0, 1) 。$ $ω \in A_{n}$ ⟺ $ω \leq \frac{1}{n ^{2}}$ ⟺ $n \leq \frac{1}{ω} 。$ 满足它的正整数 $n$ 只有有限个，所以 $N (ω) = ⌊ 1/ ω ⌋$ （ $⌊ x ⌋$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）。比如 $ω = 0.01$ 时 $N (ω) = 10 ，$ $ω = 0.0001$ 时 $N (ω) = 100 。$ 每个 $ω$ 上都只发生有限次， ${A_{n} i.o.} = \emptyset ，$ 与定理一致。

例 2：事件之间怎样相关都可以

一台机器第 $n$ 天出故障的概率是 $P (A_{n}) = 2^{- n} 。$ 各天的故障之间可能有复杂的关联（例如前一天坏了，第二天更容易坏），我们一概不知道。

条件： $\sum_{n} 2^{- n} = 1 < \infty 。$
结论：以概率 1，机器只出有限次故障。
证明二还告诉我们：平均故障次数 $E N = \sum_{n} 2^{- n} = 1 ；$ 由 Markov 不等式， $P (N \geq 5) \leq \frac{1}{5} 。$

这里完全没有用到各天是否独立。

例 3（反例）：概率之和无穷时，引理什么也不说

取任意事件 $A ，$ $P (A) = \frac{1}{2} ，$ 令 $A_{n} = A$ 对所有 $n$ 成立（同一个事件重复写无穷多次）。

$\sum_{n} P (A_{n}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots = \infty ，$ 条件不满足。
若 $ω \in A ，$ 它属于每一个 $A_{n} ，$ 发生无穷多次；若 $ω \in / A ，$ 一次也不发生。所以 ${A_{n} i.o.} = A ，$ $P (A_{n} i.o.) = \frac{1}{2} ，$ 既不是 0 也不是 1。

这说明「和有限」这个条件不能去掉；也说明没有独立性时，和为无穷也推不出「概率为 1」。

推导：一步一步来

可数次可加性的证明。 设 $B_{1}, B_{2}, \dots \in F 。$ 把它们「去重」：

C_{1} = B_{1}, C_{n} = B_{n} ∖ (B_{1} \cup \dots \cup B_{n - 1}) (n \geq 2) .

$C_{n} \subseteq B_{n} ：$ $C_{n}$ 是从 $B_{n}$ 里挖掉一部分得到的。
$C_{n}$ 两两不交：若 $n < k ，$ $C_{k}$ 已经挖掉了 $B_{n} \supseteq C_{n} ，$ 所以 $C_{n} \cap C_{k} = \emptyset 。$
$⋃_{n} C_{n} = ⋃_{n} B_{n} ：$ 任取 $ω \in ⋃_{n} B_{n} ，$ 设 $n_{0}$ 是第一个包含 $ω$ 的 $B_{n}$ 的下标，则 $ω \in C_{n_{0}} ；$ 反过来由第 1 步， $C_{n} \subseteq B_{n} 。$
于是

P (n ⋃ B_{n}) = P (n ⋃ C_{n}) = n \sum P (C_{n}) \leq n \sum P (B_{n}),

第二个等号是可数可加性（ $C_{n}$ 两两不交，第 12 页），不等号是单调性（ $C_{n} \subseteq B_{n} ）。$

一个反方向的下界： $P (A_{n} i.o.) \geq lim sup_{n} P (A_{n}) 。$ 它说明：想要 $P (A_{n} i.o.) = 0 ，$ 至少得有 $P (A_{n}) \to 0 。$

对每个 $m$ 和每个 $n \geq m ，$ $A_{n} \subseteq B_{m} = ⋃_{k \geq m} A_{k} ，$ 由单调性 $P (B_{m}) \geq P (A_{n}) ；$ 对 $n \geq m$ 取上确界， $P (B_{m}) \geq sup_{n \geq m} P (A_{n}) 。$
$B_{m}$ 递减、交为 ${A_{n} i.o.} ，$ 由从上连续（第 14 页）， $P (B_{m}) \to P (A_{n} i.o.) 。$
右边 $sup_{n \geq m} P (A_{n})$ 在 $m \to \infty$ 时的极限，按定义就是 $lim sup_{n} P (A_{n})$ （第 40 页）。第 1 步的不等式对每个 $m$ 成立，取极限后仍成立，得到结论。

例：例 3 中 $lim sup_{n} P (A_{n}) = \frac{1}{2} ，$ 而 $P (A_{n} i.o.) = \frac{1}{2} ，$ 下界恰好取到；第 3 页的例 2 中下界是 $\frac{1}{2} ，$ 实际值是 1。所以若 $P (A_{n}) \geq δ > 0$ 对无穷多个 $n$ 成立，则 $P (A_{n} i.o.) \geq δ ，$ 一定不是 0。

动手试一试动手试一试：概率之和有限，正面只出现有限次

把硬币选成「正面概率越来越小」：第 $n$ 次正面的概率是 $2/ n^{2} ，$ 而 $\sum_{n} 2/ n^{2} < \infty 。$ 多点几次「重新抛一遍」，你会看到正面总在前面几次出现，之后就再也不出现——这正是第一 Borel–Cantelli 引理： $P (A_{n} i.o.) = 0 。$

常见疑问与易错点

易错点问：第一 Borel–Cantelli 引理需要事件独立吗？

答：不需要。两种证明里都只用了单调性、可数次可加性（或 MCT 与 Markov 不等式），从头到尾没有用到事件之间的关系。这正是它比第二引理（第 7 页，需要独立）好用的地方。

易错点问：反过来，P(A_n i.o.) = 0 能推出 ∑P(A_n) < ∞ 吗？

答：不能。第 5 页给出反例： $A_{n} = {U \leq \frac{1}{n}} ，$ 每个样本点上都只发生有限次， $P (A_{n} i.o.) = 0 ，$ 但 $\sum_{n} P (A_{n}) = \sum_{n} \frac{1}{n} = \infty 。$

易错点问：「以概率 1 只发生有限次」是不是说存在一个固定的上限，比如最多 10 次？

答：不是。它只说每个（几乎每个）样本点上发生的次数 $N (ω)$ 是有限数，但这个有限数可以因 $ω$ 而异、可以任意大。例 1 里 $N (ω) = ⌊ 1/ ω ⌋ ，$ $ω$ 越靠近 0， $N (ω)$ 越大，没有统一的上限。

易错点问：P(A_n i.o.) = 0，是不是 {A_n i.o.} 就是空集？

答：不一定。概率为 0 的集合可以非空。例如在 $[0, 1]$ 上令 $A_{n} = [0, \frac{1}{n ^{2}}] ，$ 点 $ω = 0$ 属于所有 $A_{n} ，$ 发生无穷多次；但 ${A_{n} i.o.} = {0}$ 的长度是 0。定理只保证「坏的样本点」合起来概率为 0。

小结与自测

小结本页小结

第一 Borel–Cantelli 引理： $\sum_{n} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (A_{n} i.o.) = 0 ，$ 即以概率 1 只发生有限次。
不需要独立性，事件之间怎样相关都行。
证明一： $P (A_{n} i.o.) \leq P (⋃_{n \geq m} A_{n}) \leq \sum_{n \geq m} P (A_{n}) \to 0 。$
证明二： $E N = \sum_{n} P (A_{n}) < \infty$ （MCT），期望有限的非负随机变量几乎必然有限。
逆命题不成立；和为无穷时第一引理不给任何结论。

自测

1. 设 $P (A_{n}) = \frac{1}{n ^{1.5}} ，$ 事件之间的关系未知。能否断定以概率 1 只有有限个 $A_{n}$ 发生？

点开看答案

能。 $\sum_{n} n^{- 1.5} < \infty$ （指数大于 1 的 $p$ -级数收敛），由第一 Borel–Cantelli 引理， $P (A_{n} i.o.) = 0 。$ 不需要知道事件是否独立。

2. 在例 2 中，平均故障次数是多少？用 Markov 不等式估计「故障至少 4 次」的概率上界。

点开看答案

$E N = \sum_{n} 2^{- n} = 1 。$ $P (N \geq 4) \leq \frac{E N}{4} = \frac{1}{4} 。$

3. 填空：证明一的关键包含关系是 ${A_{n} i.o.} \subseteq$ ______，关键不等式是 $P (⋃_{n \geq m} A_{n}) \leq$ ______。

点开看答案

${A_{n} i.o.} \subseteq ⋃_{n \geq m} A_{n}$ （对每个 $m ）；$ $P (⋃_{n \geq m} A_{n}) \leq \sum_{n \geq m} P (A_{n})$ （可数次可加性）。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
次可加性	subadditivity	并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
从上连续	continuity from above	集合一层层变小（Eₙ ↓ E）且 μ(E₁) < ∞ 时，μ(Eₙ) → μ(E)。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
部分和	partial sum	级数 a₁ + a₂ + … 的前 n 项之和 Sₙ = a₁ + … + aₙ；级数的值就是 Sₙ 在 n → ∞ 时的极限。
Markov 不等式	Markov's inequality	X ≥ 0 时 P(X ≥ t) ≤ E X / t：期望小，取大值的概率就小。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。