18 外测度：可数覆盖总长度的下确界 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

想知道一个集合 $E$ 有多「长」，就用可数个区间把它盖住，算这些区间的总长度（「覆盖成本」）；在所有盖法里取最省的那个值，就是 $E$ 的外测度 $m^{*} (E) 。$ 它对每个子集都有定义，但还不是真正的测度。

上一页（第 17 页）看到：乔丹容量只允许有限个区间，结果连有理数这种「稀稀拉拉的点」都量不准（外容量是 1）。这一页把「有限个」放宽成「可数个」，得到勒贝格外测度。

它解决了有理数的问题（ $m^{*} (Q \cap [0, 1]) = 0 ），$ 但付出了代价：外测度只满足「并集的长度 ≤ 各部分长度之和」，不保证「等于」。下一部分（第 20 页）要挑出那些能让「等于」成立的集合。

先补基础

基础补课下确界 inf：「最省的盖法」

一组数的下确界 $in f$ 是「最大的下界」：不比其中任何一个数大，而且再大一点就不行。它不一定被某个数真正取到。

例： $in f {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots} = 0 ，$ 但 0 不在这组数里。外测度正是这种情况：可能没有「最省的那一种盖法」，但盖法的成本可以无限逼近某个值，这个值就是 $m^{*} (E) 。$

基础补课覆盖与区间长度

覆盖： $E \subseteq ⋃_{n = 1}^{\infty} I_{n}$ 的意思是「 $E$ 的每一点都至少落在某一个 $I_{n}$ 里」。区间之间可以重叠。
区间长度 $∣ I ∣ ：$ $[a, b] 、$ $(a, b) 、$ $[a, b)$ 的长度都是 $b - a 。$
覆盖成本： $\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ I_{n} ∣ 。$ 它是非负项级数，所以一定有值（可能是 $\infty ）。$

基础补课可数个 vs 有限个

「可数个区间」指可以排成 $I_{1}, I_{2}, I_{3}, \dots$ 的一列（有限个也算）。关键区别：可数个区间可以一个点一个点地跟住可数个点，而且让它们的长度越来越小，总长仍然很小（第 17 页的 $ε / 2^{n}$ 技巧）。

课件原文逐句精读

课件原文Definition 12 (Lebesgue outer measure)

For every $E \subseteq R$ , （公式在课堂上手写，见下方板书）

中文翻译

定义 12（勒贝格外测度） 对每个 $E \subseteq R ，$ （定义式由老师在板书中写出）

定义 12（勒贝格外测度）

对实数轴的任意子集 $E \subseteq R ，$ 定义

m^{*} (E) = in f {n = 1 \sum \infty ∣ I_{n} ∣ : E \subseteq n = 1 ⋃ \infty I_{n}, I_{n} 都是有界区间} .

也就是：在「用可数个有界区间盖住 $E 」$ 的所有方案里，总长度的下确界。

逐项解释：

For every $E \subseteq R$ ：对每一个子集都有定义，无论多奇怪。这是外测度最大的优点。
$in f$ ：取「所有盖法」的成本的下确界。花括号里是一大堆数，每种盖法贡献一个数。
$\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ I_{n} ∣$ ：一种盖法的总成本。区间可以重叠，重叠部分会被重复计算——所以任何盖法的成本都不小于「真实长度」，这就是「外」测度这个名字的由来：从外面包住，只会高估，不会低估。

课件原文Outer measure is not yet a measure on 2^ℝ

The value $m^{*} (E)$ exists for every subset $E$ , but only monotonicity and countable subadditivity are guaranteed on the full power set. Even for disjoint sets, equality need not hold. A later measurability criterion will select the domain on which $m^{*}$ becomes countably additive.

中文翻译

外测度还不是 $2^{R}$ 上的测度。 对每个子集 $E ，$ $m^{*} (E)$ 都有定义；但在整个幂集上，只能保证单调性和可数次可加性。即使两个集合不相交，等号也不一定成立。后面的「可测性判别」会挑出一个范围，在那里 $m^{*}$ 才变成可数可加的。

monotonicity（单调性）： $A \subseteq B \Rightarrow m^{*} (A) \leq m^{*} (B) 。$
countable subadditivity（可数次可加性）： $m^{*} (⋃_{n} A_{n}) \leq \sum_{n} m^{*} (A_{n}) ，$ 注意是「 $\leq 」。$
Even for disjoint sets, equality need not hold：测度要求不相交时「 $= 」，$ 外测度做不到。
A later measurability criterion：就是下一部分的卡拉泰奥多里判别（第 20 页）。老师把这段的标题圈了出来，强调「外测度 ≠ 测度」。

老师板书在说什么

老师板书板书转写

在 For 旁边： $⇝$ countable sets $I_{n}$
$μ^{*} (E) = in f {\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ I_{n} ∣ : E \subseteq ⋃_{n = 1}^{\infty} I_{n}} ，$ where $I_{n}$ range over bounded intervals.
示意图：集合 $A$ （几个点）上方盖着短线 $I_{n} ；$ 集合 $B$ 下方盖着短线 $J_{n} 。$ 箭头 pool（合并） $\to$ $A \cup B \subseteq (⋃ I_{n}) \cup (⋃ J_{n})$ （红色）
$μ^{*} (A \cup B) \leq μ^{*} (A) + μ^{*} (B)$ （红色）
下方：「 $K$ cover $A \cup B 」$ （红线）。下面画了一串交错的点；split?（能不能拆开？）打了一个 ✗： $K \cap A$ - - -， $K \cap B$ - - -，fragmented pieces?（碎片？）
cannot infer $\to$ $μ^{*} (A \cup B) \geq μ^{*} (A) + μ^{*} (B)$

老师把外测度写成 $μ^{*} ，$ 印刷部分写作 $m^{*} ，$ 两者是同一个东西。

第 1–2 行：定义

「countable sets $I_{n} 」$ 提醒：这里的覆盖用的是可数个区间，和上一页乔丹容量的「有限个」形成对比。

第 3–4 行：为什么「 $\leq 」$ 总成立（合并覆盖）

图的意思： $A$ 有一套盖法 ${I_{n}} ，$ $B$ 有一套盖法 ${J_{n}} 。$ 把两套区间合在一起（pool），就盖住了 $A \cup B ：$

A \cup B \subseteq (n ⋃ I_{n}) \cup (n ⋃ J_{n}) .

合并后仍是可数个区间，它的成本是 $\sum ∣ I_{n} ∣ + \sum ∣ J_{n} ∣ 。$ 所以 $A \cup B$ 的最省成本不会超过「 $A$ 的成本 + $B$ 的成本」。精确的推导见下方「推导」一节。

第 5–6 行：为什么「 $\geq 」$ 推不出来（拆不开覆盖）

反过来想：拿一套盖住 $A \cup B$ 的区间 $K ，$ 能不能把它拆成两套，一套只盖 $A 、$ 一套只盖 $B ，$ 而且总长度不增加？

如果 $A$ 和 $B$ 离得很远（比如 $A \subseteq [0, 1] ，$ $B \subseteq [5, 6] ），$ 可以：盖 $[0, 1]$ 附近的区间归 $A ，$ 盖 $[5, 6]$ 附近的归 $B 。$
但如果 $A$ 和 $B$ 的点交错得很厉害（老师画的那串交错的点），一个区间里同时有 $A$ 的点和 $B$ 的点。 $K \cap A 、$ $K \cap B$ 都变成「碎片」（fragmented pieces），不再是区间，没法直接当作覆盖。
所以推不出（cannot infer） $μ^{*} (A \cup B) \geq μ^{*} (A) + μ^{*} (B) 。$ 事实上，对某些极端「交错」的集合（例如维塔利集的平移，第 21 页），这个不等式真的会失败。

例子

例 1：单点和可数集的外测度是 0

单点 ${x} ：$ 用区间 $[x - ε, x + ε]$ 盖住它，成本 $2 ε 。$ $ε$ 可以任意小，所以 $m^{*} ({x}) = 0 。$
有理数 $Q \cap [0, 1] = {q_{1}, q_{2}, \dots} ：$ 用长度为 $ε / 2^{n}$ 的区间盖住 $q_{n} ，$ 总成本

n = 1 \sum \infty \frac{ε}{2 ^{n}} = ε .

$ε$ 任意小，所以 $m^{*} (Q \cap [0, 1]) = 0 。$ 乔丹外容量却是 1（第 17 页）。可数覆盖能「一个点一个点地跟住」，这就是改进所在。

例 2：区间的外测度就是它的长度

$m^{*} ([0, 1]) = 1 。$

$\leq 1 ：$ 它自己就是一个覆盖，成本 1。
$\geq 1 ：$ 要证明任何可数覆盖的总长都 $\geq 1 。$ 直观上显然（盖住一段长度为 1 的线段，总长不可能小于 1），严格证明要用「有界闭区间的任意开覆盖都有有限子覆盖」（紧性），这里当作已知结论。

所以外测度在区间上和「长度」一致——它确实是长度的推广。

展开：为什么盖住 [0,1] 的可数个区间，总长一定 ≥ 1

设区间 $I_{1}, I_{2}, \dots$ 盖住 $[0, 1] ，$ 总长 $L = \sum_{n} ∣ I_{n} ∣ 。$ 要证 $L \geq 1 。$

把每个区间稍微放大成开区间：任取 $ε > 0 ，$ 把 $I_{n}$ 换成同一中心、长度为 $∣ I_{n} ∣ + ε / 2^{n}$ 的开区间 $O_{n} 。$ 新区间仍盖住 $[0, 1] ，$ 总长变成 $L + ε 。$
只留有限个：有界闭区间的这个性质叫紧性（海涅—博雷尔定理，这里作为已知结论使用）：用开区间盖住 $[0, 1] ，$ 总能从中挑出有限个仍然盖住它。设挑出的是 $O_{n_{1}}, \dots, O_{n_{k}} ，$ 它们的总长不超过 $L + ε 。$
有限个开区间的「接力」：从 0 出发，取一个包含 0 的区间 $(a_{1}, b_{1}) 。$ 若 $b_{1} > 1$ 就停下；否则点 $b_{1} \in [0, 1]$ 也被某个区间 $(a_{2}, b_{2})$ 盖住，它满足 $a_{2} < b_{1} < b_{2} 。$ 这样一棒接一棒，右端点严格变大，而区间只有有限个，所以有限步后得到 $b_{j} > 1 。$
数长度：接力用到的区间两两搭在一起（ $a_{i + 1} < b_{i} ），$ 所以它们的长度之和至少是从 $a_{1}$ 到 $b_{j}$ 的距离： $i = 1 \sum j (b_{i} - a_{i}) \geq b_{j} - a_{1} > 1 - 0 = 1.$
于是 $L + ε > 1 。$ $ε$ 可以任意小，所以 $L \geq 1 。$

第 2 步是关键：可数个区间的总长不好直接比较，先借助紧性化成有限个，才能做第 3、4 步的「接力」。

例 3：合并覆盖的具体计算

$A = [0, 1] ，$ $B = [0.5, 2] 。$ $A$ 用 $[0, 1]$ 盖（成本 1）， $B$ 用 $[0.5, 2]$ 盖（成本 1.5）。合并后盖住 $A \cup B = [0, 2] ，$ 成本 $2.5 。$ 而 $m^{*} (A \cup B) = 2 < 2.5$ ——两套覆盖在 $[0.5, 1]$ 重叠了，重叠部分被算了两次。所以一般只有「 $\leq 」。$

推导：一步一步来

推导证明思路

单调性：「盖住大集合的方案一定盖住小集合」。次可加性：给每个 $A_{k}$ 选一套「几乎最省」的盖法，把它们全部合并，再用 $ε / 2^{k}$ 控制浪费。

性质 1（单调性）：若 $A \subseteq B ，$ 则 $m^{*} (A) \leq m^{*} (B) 。$

任取一套盖住 $B$ 的区间 ${I_{n}} 。$ 因为 $A \subseteq B \subseteq ⋃ I_{n} ，$ 它也盖住 $A 。$
所以「盖住 $B$ 的方案」都是「盖住 $A$ 的方案」： $A$ 的候选成本集合更大。
在更大的集合里取下确界，结果只会更小或相等（基础补课 · 上确界与下确界）。所以 $m^{*} (A) \leq m^{*} (B) 。$

性质 2（可数次可加性）： $m^{*} (⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} m^{*} (A_{k}) 。$

如果右边是 $\infty ，$ 不等式自动成立。下面设右边有限，任取 $ε > 0 。$
对每个 $k ，$ 因为 $m^{*} (A_{k})$ 是下确界，存在一套盖住 $A_{k}$ 的区间 ${I_{k, n}}_{n \geq 1} ，$ 成本比下确界多不超过 $ε / 2^{k} ：$

n \sum ∣ I_{k, n} ∣ \leq m^{*} (A_{k}) + \frac{ε}{2 ^{k}} .

把所有 $I_{k, n}$ （ $k, n = 1, 2, \dots ）$ 合并。「可数个可数集的并」仍然可数，所以这仍是一套可数覆盖，而且盖住了 $⋃_{k} A_{k} 。$
它的成本是

k \sum n \sum ∣ I_{k, n} ∣ \leq k \sum (m^{*} (A_{k}) + \frac{ε}{2 ^{k}}) = k \sum m^{*} (A_{k}) + ε .

$m^{*} (⋃ A_{k})$ 不超过任何一套盖法的成本，所以 $m^{*} (⋃ A_{k}) \leq \sum_{k} m^{*} (A_{k}) + ε 。$
$ε$ 任意小，令 $ε \to 0$ 即得结论。板书第 4 行是 $k = 2$ 的特例。

常见疑问与易错点

易错点问：外测度对所有集合都有定义，为什么不直接拿它当「长度」？

答：因为它不满足可数可加性——即使 $A, B$ 不相交，也可能 $m^{*} (A \cup B) < m^{*} (A) + m^{*} (B) 。$ 拿它当概率，就会出现「两个互斥事件的概率之和大于它们并的概率」这种荒谬结果。所以要先挑出「好集合」（第 20 页）。

易错点问：inf 能不能换成 min？

答：一般不能。比如 $E = Q \cap [0, 1] ，$ 任何具体的盖法成本都 $> 0 ，$ 但下确界是 0，没有哪一种盖法恰好成本为 0。

易错点问：区间用开的还是闭的，有影响吗？

答：没有。把闭区间 $[a, b]$ 换成稍大一点的开区间 $(a - δ, b + δ) ，$ 成本只多 $2 δ ，$ 再用 $ε / 2^{n}$ 技巧让总浪费任意小，下确界不变。

小结与自测

小结本页小结

外测度 $m^{*} (E) = in f {\sum_{n} ∣ I_{n} ∣ : E \subseteq ⋃_{n} I_{n}} ：$ 用可数个区间覆盖，取最省的成本。
对每个子集都有定义；区间的外测度就是长度；可数集的外测度是 0。
只保证单调性和可数次可加性（「 $\leq 」）；$ 合并覆盖给出「 $\leq 」，$ 但覆盖可能拆不开，所以「 $\geq 」$ 推不出来。
外测度还不是测度，下一部分用卡拉泰奥多里判别挑出让它可加的集合。

自测

1. 求 $m^{*} ({1, 2, 3})$ 和 $m^{*} (N)$ （全体自然数）。

点开看答案

都是 0。有限集和可数集都可以用 $ε / 2^{n}$ 长度的区间逐点盖住，总成本不超过 $ε ，$ $ε$ 任意小。

2. 判断：若 $A \cap B = \emptyset ，$ 则 $m^{*} (A \cup B) = m^{*} (A) + m^{*} (B) 。$

点开看答案

错误。外测度只保证 $\leq 。$ 当 $A, B$ 是「好集合」（例如区间、下一部分的可测集）时等号成立，但对任意子集不保证。

3. 为什么证明次可加性时要用 $ε / 2^{k} ，$ 而不是每个都多 $ε ？$

点开看答案

因为有可数无穷多个 $A_{k} 。$ 如果每个都多浪费 $ε ，$ 总浪费是 $ε + ε + \dots = \infty ；$ 用 $ε / 2^{k} ，$ 总浪费是 $\sum_{k} ε / 2^{k} = ε ，$ 仍然可以任意小。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
外测度	outer measure	用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
乔丹容量	Jordan content	用有限个区间从里、从外逼近一个集合；两边逼近值相等时才有定义。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
并集	union	至少属于其中一个集合的元素全体，A ∪ B 对应「A 或 B」。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
幂集	power set	一个集合的所有子集组成的集合族，记作 2^Ω；n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集。
次可加性	subadditivity	并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
卡拉泰奥多里	Carathéodory	卡拉泰奥多里判别：用 E 去切任何集合 A，两块外测度之和都等于 m*(A)。
维塔利集	Vitali set	用选择公理造出的「坏」集合，证明了不可能给 ℝ 的所有子集定义长度。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。

这一页在讲什么

先补基础

课件原文逐句精读

老师板书在说什么

第 1–2 行：定义

第 3–4 行：为什么「≤」总成立（合并覆盖）

第 5–6 行：为什么「≥」推不出来（拆不开覆盖）

例子

推导：一步一步来

常见疑问与易错点

小结与自测

第 3–4 行：为什么「 $\leq 」$ 总成立（合并覆盖）

第 5–6 行：为什么「 $\geq 」$ 推不出来（拆不开覆盖）