05 概率模型从「所有可能的世界」开始 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

建立概率模型的第一步不是算概率，而是先把这次试验所有可能的完整结局列成一个集合 $Ω 。$ 每做一次试验，恰好有一个结局 $ω \in Ω$ 真的发生。

这是第 1 部分「概率空间与可测事件」的第一个正式定义。整讲要搭起来的东西叫概率空间，它由三件东西组成： $(Ω, F, P)$ （老师在目录页的板书里写过）。这一页只做第一件：样本空间 $Ω$ 。

下一页（第 6 页）会在 $Ω$ 的基础上定义「事件」；
之后第 8–12 页再加上「哪些事件允许谈概率」（ $F ）$ 和「每个事件的概率是多少」（ $P ）。$

为什么要从「所有可能的世界」开始？因为在测度论的概率里，随机性只有一个来源：到底是哪一个 $ω$ 被实现了。后面所有的随机变量、随机过程，都只是「从这个 $ω$ 里读出某个数字」的规则。

先补基础

基础补课集合与元素

集合：把一些对象放在一起，当成一个整体来看。用花括号列出来，例如 ${H, T}$ 是由 H、T 两个对象组成的集合。
元素：集合里的对象。 $ω \in Ω$ 读作「 $ω$ 属于 $Ω 」；$ $\in /$ 表示「不属于」。
例： $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ，$ 则 $3 \in Ω ，$ $7 \in / Ω 。$
希腊字母： $Ω$ 是大写的 omega（读作「欧米伽」）， $ω$ 是小写的 omega。本课的习惯是：大写表示整个集合，小写表示其中一个元素。

基础补课函数（映射）

$f : A \to B$ 读作「 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的函数」：给 $A$ 里的每一个元素，指定 $B$ 里唯一一个元素。
例： $X : {H, T} \to {1, 0} ，$ 规定 $X (H) = 1 ，$ $X (T) = 0 。$
「唯一」的意思：同一个输入只能有一个输出；但不同输入可以有相同的输出（比如常数函数）。

基础补课区间、乘积空间与记号 :=

区间 $(0, \infty)$ 表示所有正实数 ${x \in R : x > 0} 。$ 圆括号表示不包含端点，方括号 $[a, b]$ 表示包含端点。
笛卡尔积 $A \times B = {(a, b) : a \in A, b \in B} ：$ 从 $A$ 里挑一个、从 $B$ 里挑一个，排成有序的一对。
$A^{n}$ 表示 $n$ 个 $A$ 相乘，也就是所有长度为 $n$ 的数组 $(a_{1}, \dots, a_{n}) ，$ 每个 $a_{i} \in A 。$
所以 $(0, \infty)^{T + 1}$ 就是所有长度为 $T + 1$ 的正数数组。例如 $T = 2$ 时， $(100, 103.5, 98.2) \in (0, \infty)^{3} 。$
$:=$ 读作「定义为」：左边是新起的名字，右边是它的含义。

课件原文逐句精读

课件原文Definition 1 (Sample point and sample space)

A probabilistic experiment is represented by a set $Ω$ . Exactly one element $ω \in Ω$ is realized. The element $ω$ is a sample point, and $Ω$ is the sample space.

中文翻译

定义 1（样本点与样本空间） 一个概率试验用一个集合 $Ω$ 来表示。恰好有一个元素 $ω \in Ω$ 被实现。这个元素 $ω$ 叫作样本点， $Ω$ 叫作样本空间。

① A probabilistic experiment is represented by a set Ω｜用一个集合代表一次试验

概率试验（probabilistic experiment）：任何「结果事先不确定」的过程，比如抛硬币、明天的股价、一次抽检的结果。
用集合代表（represented by a set）：我们不直接研究物理过程本身，而是把它所有可能的结局列成一个集合 $Ω 。$ 这一步就是「建模」。
标题里的 complete（完整）是关键： $Ω$ 必须把所有可能都包含进去。要是真实发生的结局不在 $Ω$ 里，模型就失效了。

② Exactly one element ω ∈ Ω is realized｜恰好实现一个

realized（老师用红线划出的词）＝「成为现实、真的发生」。
Exactly one（恰好一个）有两层意思：
1. 至少一个： $Ω$ 列全了，总有一个结局会发生；
2. 至多一个：不同的 $ω$ 互相排斥，不能同时发生。
所以 $Ω$ 的元素必须是完整、互不重叠的结局。比如掷骰子时，不能把 $Ω$ 写成 ${偶数, 大于 3} ：$ 掷出 4 时两个元素同时成立，违反了「恰好一个」。

③ ω is a sample point, and Ω is the sample space｜名字

样本点（sample point） $ω ：$ 一个完整的结局，也就是标题说的「一个完整的可能世界」（complete possible world）——它把这次试验里你关心的所有细节都定下来了。
样本空间（sample space） $Ω ：$ 所有样本点组成的集合。

定义 1（样本点与样本空间）

一个概率试验用一个集合 $Ω$ 表示，称为样本空间； $Ω$ 的每个元素 $ω$ 称为样本点。每次试验恰好实现一个样本点。

人话版：剧本书架

把 $Ω$ 想成一个书架，上面摆着这次试验所有可能的完整剧本。做一次试验，就是命运从书架上抽出恰好一本剧本 $ω 。$ 后面要学的随机变量，都是「读这本剧本的某种方式」：剧本是同一本，读法可以有很多种。

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

Tossing 1 coin（抛一枚硬币）
$Ω = {H, T} ，$ one realized outcome（realized 下面画了红线）， $ω = H ，$ $X (ω) = 1 ；$ 在 $X (ω)$ 上方写着 random variable，并画箭头指向它
$X : Ω \to {1, 0}$
A pricing path, time $= 0, 1, \dots, T$
$Ω = (0, \infty)^{T + 1} ，$ $ω = (s_{0}, s_{1}, \dots, s_{T}) ，$ 下方的大括号注明 one entire realized market pricing path
$S_{t} (ω) := s_{t}$ （下标 $t$ 下面画了一个向下的小箭头）
fixed $t = 1 ：$ $S_{1} (ω) = s_{1} ，$ r.v.
$S (ω) (t)$ : stochastic process.

老师写了两个例子：一个最小的（硬币），一个金融里常用的（价格路径）。

例子一：抛一枚硬币（板书第 1–3 行）

$Ω = {H, T} ：$ H 是 Head（正面），T 是 Tail（反面）。只有两个完整结局。
「one realized outcome, $ω = H 」：$ 这一次，实际发生的是正面。
$X (ω) = 1 ，$ 上面标着 random variable（随机变量）： $X$ 是一条「把结局翻译成数字」的规则——正面记 1，反面记 0。
$X : Ω \to {1, 0} ：$ 输入是结局，输出是数字。

为什么叫「随机」变量，它明明是一个确定的函数？ 规则 $X$ 本身一点也不随机；随机的是「这次抽中了哪个 $ω 」。$ 抽中 H， $X$ 就取 1；抽中 T， $X$ 就取 0。

例子二：一条价格路径（板书第 4–8 行）

场景：一只股票在时刻 $0, 1, \dots, T$ （共 $T + 1$ 个时刻）的价格。
一个完整的可能世界是整条价格路径 $ω = (s_{0}, s_{1}, \dots, s_{T}) ，$ 而不是某一天的价格。老师的大括号 one entire realized market pricing path（一整条被实现的市场价格路径）强调的就是「整条」。
$Ω = (0, \infty)^{T + 1} ：$ 每个时刻的价格都是正数，一共 $T + 1$ 个时刻，所以所有可能的路径就是所有长度为 $T + 1$ 的正数数组（见上面的基础补课）。
$S_{t} (ω) := s_{t} ：$ 定义一条读取规则——「读出路径 $ω$ 在时刻 $t$ 的价格」。注意大小写：小写 $s_{t}$ 是一个具体的数，大写 $S_{t}$ 是读取规则（函数）。
fixed $t = 1 ：$ $S_{1} (ω) = s_{1} ，$ r.v.：r.v. 是 random variable 的缩写。把时间固定在 $t = 1 ，$ $S_{1}$ 就把每条路径变成一个数，所以 $S_{1}$ 是一个随机变量。
$S (ω) (t)$ : stochastic process：反过来，把路径 $ω$ 固定住、让时间 $t$ 变化，就得到一整条随时间变化的曲线 $t \mapsto S_{t} (ω) 。$ 所有时刻的 $S_{t}$ 放在一起看，叫随机过程（stochastic process）。

固定	变化	得到什么	名字
时间 $t$	路径 $ω$	$ω \mapsto S_{t} (ω) ，$ 每条路径对应一个数	随机变量
路径 $ω$	时间 $t$	$t \mapsto S_{t} (ω) ，$ 一条具体的曲线	样本路径（补充术语）
都不固定	$t$ 和 $ω$	整族 ${S_{t}}_{t = 0, 1, \dots, T}$	随机过程

补充为什么老师要举价格的例子

这门课后面会讲到随机过程和金融中的定价。价格例子说明： $ω$ 可以非常复杂（一整条路径），而且这样的 $Ω$ 是不可数的巨大集合——没法「数情况数」来算概率。这正是后面需要测度论的原因。

例子

例 1：掷一颗骰子，同一个 Ω 上的两个随机变量

样本空间 $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ，$ 每个样本点是朝上的点数。在同一个 $Ω$ 上可以定义不同的读法：

X (ω) = ω (读出点数), Y (ω) = {1, 0, ω 是偶数, ω 是奇数 .

如果这次实现的是 $ω = 4 ，$ 那么 $X (ω) = 4 ，$ $Y (ω) = 1 。$ 同一个剧本，两种读法，读出两个数。

例 2：抛两次硬币——样本点必须是「完整结局」

正确的样本空间是

Ω = {HH, HT, TH, TT},

其中 HT 表示「第一次正面、第二次反面」。

错误写法 1： $Ω = {H, T} 。$ 一个元素只记录了一次抛掷，不是「完整结局」，回答不了「两次都是正面吗」。
错误写法 2： $Ω$ 由三个元素组成：「第一次正面」「第二次正面」「两次都反面」。结局 HH 同时属于前两个元素，违反「恰好一个」。
合法但较粗的写法： $Ω^{'} = {至少一次正面, 两次都反面} 。$ 它完整、互斥，但回答不了「第一次是不是正面」。 $Ω$ 选多细，取决于你想问什么问题。

例 3：在 [0,1] 上随机取一个点——无限的样本空间

$Ω = [0, 1] ，$ 每个样本点是一个实数。这里有不可数无穷多个样本点，每个点被取到的「概率」只能是 $0 ，$ 没法再用「有利情况数 ÷ 总情况数」来算。怎么给「取到的点落在 $[0, \frac{1}{2}] 」$ 这样的事件定概率？这就是第 2–3 部分构造勒贝格测度要解决的问题。

常见疑问与易错点

易错点问：ω 本身是随机的吗？

答：不是。 $ω$ 只是 $Ω$ 里的一个元素，一个符号而已。「随机」指的是我们事先不知道哪一个 $ω$ 会被实现。「每个 $ω$ 被实现的可能性有多大」由后面的概率测度 $P$ 描述（第 8 页、第 12 页）。

易错点问：随机变量 X 是一个「随机的数」吗？

答：严格来说， $X$ 是函数，不是数； $X (ω)$ 才是数。我们口头说「 $X$ 取值为 1」，意思其实是「被实现的 $ω$ 满足 $X (ω) = 1 」。$ 记住这一点，后面的「事件 ${X \leq x} 」$ 就好懂了。

易错点问：一个试验的 Ω 只有一种写法吗？

答：不是。同一个试验可以选粗细不同的 $Ω$ （见例 2），但必须做到三点：完整（覆盖所有可能）、互斥（恰好一个被实现）、够细（能回答你关心的问题）。

易错点问：价格例子里的 Ω 为什么那么「大」？

答：因为每个时刻的价格可以是任意正实数，光一个区间 $(0, \infty)$ 就有不可数无穷多个数， $(0, \infty)^{T + 1}$ 更是如此。在这样的 $Ω$ 上，「数情况」行不通，必须换成「测度」的语言——这就是整个第 1 讲的动机。

小结与自测

小结本页小结

概率模型的第一步：把所有完整、互斥的结局列成集合 $Ω$ （样本空间），每个结局 $ω$ 叫样本点。
每次试验恰好实现一个样本点。
随机变量是函数 $X : Ω \to R ，$ 把结局翻译成数字；随机性来自「哪个 $ω$ 被实现」，不来自函数本身。
价格路径例子： $ω$ 是整条路径；固定时间 $t$ 得到随机变量 $S_{t} ，$ 把所有时刻放在一起就是随机过程。

自测

1. 掷一颗骰子，下面哪些可以作为样本空间？（a） ${1, 2, 3, 4, 5, 6} ；$ （b） ${奇数, 偶数} ；$ （c） ${小于 4, 大于 2} 。$

点开看答案

（a）可以。（b）也可以：它完整、互斥，只是比较粗，回答不了「点数是不是 6」。（c）不可以：点数 3 既「小于 4」又「大于 2」，会同时实现两个元素，违反「恰好一个」。

2. 在抛硬币的板书例子中，如果这次实现的是 $ω = T ，$ 那么 $X (ω)$ 等于多少？

点开看答案

$X (T) = 0 。$ $X$ 的规则是「正面记 1，反面记 0」。

3. 价格例子中取 $T = 2 ，$ 一条可能的路径是 $ω = (100, 102, 99) 。$ 求 $S_{0} (ω)$ 和 $S_{2} (ω) ，$ 并说明为什么 $S_{1}$ 是一个随机变量。

点开看答案

$S_{0} (ω) = 100 ，$ $S_{2} (ω) = 99 。$ $S_{1}$ 是从 $Ω = (0, \infty)^{3}$ 到 $(0, \infty)$ 的函数：它把每一条路径都映射成该路径在时刻 1 的价格。函数本身确定；随机性来自「哪条路径被实现」，所以它是随机变量。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
随机过程	stochastic process	一族随时间变化的随机变量 {Sₜ}；固定 ω 得到一条路径。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
笛卡尔积	Cartesian product	A × B 是所有有序对 (a, b) 组成的集合；Aⁿ 是所有长度为 n 的数组。
样本点	sample point	一个完整的结局 ω；每次试验恰好实现一个样本点。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。