41 Fatou 引理：积分的下极限，至少是下极限的积分 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

函数列不单调时，MCT 不能用，积分和极限一般不能交换。但只要函数非负，总还剩下一个方向的不等式：先取下极限再积分，不会超过先积分再取下极限。这就是 Fatou 引理。

位置：第 5 部分的第二个核心结论。上一页（第 40 页）准备好了工具「下极限 $lim inf 」：$ 它把任意数列变成一列递增的「尾部下确界」。这一页就把这列递增的东西喂给 MCT（第 36 页）。
要解决的问题：第 39 页的尖峰例子说明，没有单调性时 $\int f_{n}$ 可以不趋于 $\int lim f_{n} 。$ 那我们还能说什么？Fatou 的回答是：质量只会在极限里「丢失」，不会凭空「多出来」。
后面怎么用：控制收敛定理（第 44 页）就是对两个非负函数列各用一次 Fatou 推出来的。所以这一页是 DCT 的发动机。

先补基础

基础补课下极限 liminf（回顾第 40 页）

对一列数 $a_{1}, a_{2}, \dots$ （允许取 $+ \infty ）：$

n \to \infty lim inf a_{n} := N \to \infty lim (n \geq N in f a_{n}) = N \geq 1 sup n \geq N in f a_{n} .

$in f_{n \geq N} a_{n}$ 是「从第 $N$ 项往后，最低能到多少」。 $N$ 越大，被考虑的项越少，最低值只会升高或不变，所以它随 $N$ 递增，一定有极限（可能是 $+ \infty ）。$
例： $a_{n} = (- 1)^{n}$ 时每个尾部都既有 $1$ 又有 $- 1 ，$ $in f_{n \geq N} a_{n} = - 1 ，$ 所以 $lim inf a_{n} = - 1 ；$ 但 $a_{n}$ 本身不收敛。
如果 $a_{n}$ 收敛，那么 $lim inf a_{n} = lim a_{n} 。$ 所以 $lim inf$ 是「极限」的推广：任何数列都有下极限。
对函数列逐点地取： $(lim inf_{n} f_{n}) (x) := lim inf_{n} f_{n} (x) 。$

基础补课本页要用到的两个小事实

非负函数的积分有单调性（第 33 页）：若 $0 \leq g \leq h ，$ 则 $\int g d μ \leq \int h d μ 。$
单调收敛定理 MCT（第 36 页）：若 $0 \leq g_{1} \leq g_{2} \leq \dots$ 逐点趋于 $g ，$ 则 $\int g_{N} d μ ↑ \int g d μ 。$

课件原文逐句精读

课件原文Fatou's lemma

Lemma 33 (Fatou) If $f_{n} : S \to [0, \infty]$ are measurable on any measure space, then (formula in the handwriting)

\int_{S} n \to \infty lim inf f_{n} d μ \leq n \to \infty lim inf \int_{S} f_{n} d μ .

中文翻译

引理 33（Fatou） 在任意测度空间上，若 $f_{n} : S \to [0, \infty]$ 都是可测函数，则

\int_{S} n \to \infty lim inf f_{n} d μ \leq n \to \infty lim inf \int_{S} f_{n} d μ .

逐个看条件和结论：

$f_{n} : S \to [0, \infty]$ ：每个 $f_{n}$ 都非负（可以取 $+ \infty ）。$ 老师特地在 $[0, \infty]$ 上方写了 nonnegative 并画了箭头——这是 Fatou 唯一的实质条件，去掉就会错（见下面例 3）。
measurable：可测，这样每个 $\int f_{n}$ 才有定义（第 29 页、第 33 页）。
on any measure space：测度不必是概率，可以是 $R$ 上的勒贝格测度，总质量可以是 $\infty 。$
不要求收敛： $f_{n}$ 不必逐点收敛。不收敛也没关系，因为下极限总是存在。
结论只有「 $\leq 」$ ：左边「先取下极限、再积分」，右边「先积分、再取下极限」。一般不能写成等号（例 1、例 2）。

定理引理 33（Fatou）

设 $(S, M, μ)$ 是测度空间， $f_{1}, f_{2}, \dots : S \to [0, \infty]$ 可测。则 $lim inf_{n} f_{n}$ 可测，并且

\int_{S} n \to \infty lim inf f_{n} d μ \leq n \to \infty lim inf \int_{S} f_{n} d μ .

人话版怎么记住不等号的方向

「极限过程只会丢质量，不会造质量。」 左边是「极限函数」的质量，右边是「各项质量」的下极限。像尖峰那样，每一项都有质量 1，但质量越来越集中、最后在极限函数里「消失」了：左边 0，右边 1。所以是 左 ≤ 右。

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

$[0, \infty]$ 上方：→ nonnegative
$\int_{S} n \to \infty lim inf f_{n} d μ \leq n \to \infty lim inf \int_{S} f_{n} d μ$
Pf. Let $g_{N} := in f_{n \geq N} f_{n} ，$ ${g_{N} < a} = ⋃_{n \geq N} {f_{n} < a}$
$0 \leq g_{N} ↑ lim inf_{n \to \infty} f_{n}$ （下面标着 $N \to \infty 、$ $n \geq N ），$ and $g_{N} < f_{n}$ for $n \geq N$ .（ $g_{N}$ 与 $f_{n}$ 下画了线）
then we get： $\int n lim inf f_{n} = \int N lim g_{N} = MCT N lim \int g_{N} \leq N lim inf \int f_{j}$ （ $j \geq N ；$ $\int g_{N}$ 与右端画了下划线）　#
（红笔）Reverse Fatou's： $\exists g$ s.t. $0 \leq f_{n} \leq g ，$ $\int ∣ g ∣ d μ < \infty$
$\int n lim sup f_{n} \geq n lim sup \int f_{n}$
右侧： $lim sup (- f) = - lim inf f$
$\int n lim inf (g - f_{n}) \leq lim inf \int (g - f_{n})$ （ $g - f_{n}$ 下画红线，不等号下写 fatou's； $\int (g - f_{n})$ 下画线，旁注 integrable. #）

板书分成两块：前 5 行证明 Fatou 引理，后 4 行（红笔开头）推出「反向 Fatou」。

第 3 行：构造递增的 $g_{N} ，$ 并说明它可测

$g_{N} (x) := in f_{n \geq N} f_{n} (x) ：$ 在每个点 $x ，$ 看第 $N$ 项以后的函数值，取最低值。这正是第 40 页的「尾部下确界」，只不过逐点地做。
可测性：要说明 $g_{N}$ 是可测函数（不然 $\int g_{N}$ 没定义）。老师用的是集合等式 ${g_{N} < a} = n \geq N ⋃ {f_{n} < a} .$ 理由：「最低值小于 $a 」$ 当且仅当「至少有一项小于 $a 」。$ （若所有 $f_{n} (x) \geq a ，$ 则下确界 $\geq a ；$ 若某个 $f_{n} (x) < a ，$ 则下确界 $\leq f_{n} (x) < a 。）$ 右边是可数个可测集的并，所以属于 σ-代数，于是 $g_{N}$ 可测（第 29 页的等价判别用 ${f < a}$ 形式）。

第 4 行： $g_{N}$ 的两条关键性质

$0 \leq g_{N} ↑ lim inf_{n} f_{n}$ ： $N$ 增大时取下确界的范围变小，下确界只会变大，所以 $g_{1} \leq g_{2} \leq \dots ；$ 而它们的极限按定义就是 $lim inf_{n} f_{n} 。$ 又因为每个 $f_{n} \geq 0 ，$ 下确界也 $\geq 0 。$ ——这正好是 MCT 需要的「非负递增」。
$g_{N} \leq f_{n}$ （ $n \geq N ）$ ：下确界不超过其中任何一项。老师写成了「 $g_{N} < f_{n} 」，$ 应为「 $\leq 」$ ：例如 $f_{n}$ 全都等于同一个函数时， $g_{N} = f_{n} ，$ 严格不等号不成立。证明里用到的也只是 $\leq 。$

第 5 行：一条链完成证明

\int n lim inf f_{n} = (a) \int N lim g_{N} = (b) N lim \int g_{N} \leq (c) N lim j \geq N in f \int f_{j} = (d) n lim inf \int f_{n} .

(a) 第 4 行第 1 条： $lim inf_{n} f_{n}$ 就是 $lim_{N} g_{N} 。$
(b) MCT（老师在等号上方写了 MCT）： $g_{N}$ 非负、递增，所以积分可以和极限交换。
(c) 对固定的 $N$ 和每个 $j \geq N ，$ 由 $g_{N} \leq f_{j}$ 和积分的单调性， $\int g_{N} \leq \int f_{j} 。$ 左边不依赖 $j ，$ 所以它不超过右边对 $j \geq N$ 取的下确界： $\int g_{N} \leq in f_{j \geq N} \int f_{j} 。$ 两边再令 $N \to \infty$ （两边都随 $N$ 递增，极限都存在）。
(d) 下极限的定义（数列 $a_{j} = \int f_{j} ）。$ 老师写的 $lim inf_{N} \int f_{j}$ （ $j \geq N ）$ 就是这个意思。

第 6–9 行：反向 Fatou（Reverse Fatou）

条件：存在一个函数 $g ，$ 使所有 $0 \leq f_{n} \leq g ，$ 并且 $\int ∣ g ∣ d μ < \infty$ （ $g$ 可积）。

结论：

\int n lim sup f_{n} d μ \geq n lim sup \int f_{n} d μ .

方向和 Fatou 正好相反：上极限的积分至少是积分的上极限。

老师的思路（第 8、9 行）：对非负函数 $g - f_{n}$ 用 Fatou（红线标出的 $g - f_{n} \geq 0$ 就是能用 Fatou 的原因），再用第 8 行的恒等式 $lim sup (- f) = - lim inf f$ 把下极限换成上极限；旁注 integrable 提醒： $\int (g - f_{n}) = \int g - \int f_{n}$ 这一步拆分需要 $\int g < \infty ，$ 否则会出现 $\infty - \infty 。$ 完整推导写在下面「推导」一节。

例子

例 1：不等号可以是严格的——两块交替的方块

在 $[0, 1]$ （勒贝格测度）上令

f_{n} = {1_{[0, 1/2]}, 1_{(1/2, 1]}, n 为偶数, n 为奇数 .

右边：每个 $\int f_{n} = \frac{1}{2}$ （方块宽 $\frac{1}{2} 、$ 高 1），所以 $lim inf_{n} \int f_{n} = \frac{1}{2} 。$
左边：任取一点 $x 。$ 若 $x \leq \frac{1}{2} ，$ 则 $f_{n} (x)$ 在偶数项为 1、奇数项为 0；若 $x > \frac{1}{2} ，$ 正好反过来。无论哪种，数列 $f_{n} (x)$ 都是 $0, 1, 0, 1, \dots$ 交替，所以 $lim inf_{n} f_{n} (x) = 0 。$ 于是 $\int lim inf_{n} f_{n} = 0 。$
结论： $0 < \frac{1}{2} ，$ 严格不等。直观上：每一项都占着一半的质量，但「从某项起一直为 1」的点一个也没有。

例 2：尖峰——质量在极限里消失

第 39 页的 $f_{n} = n 1_{(0, 1/ n)} ：$ $\int f_{n} = 1 ，$ 而每个 $x$ 处 $f_{n} (x) \to 0 ，$ 所以 $lim inf f_{n} = 0 。$ Fatou 给出 $0 \leq 1 ，$ 成立且严格。它说明：Fatou 是「最好能说的话」，不能指望等号。

例 3（反例）：没有非负性，Fatou 会错

把尖峰翻到 $x$ 轴下面： $h_{n} = - n 1_{(0, 1/ n)} 。$

每个 $x$ 处 $h_{n} (x) \to 0 ，$ 所以 $\int lim inf_{n} h_{n} = \int 0 = 0 ；$
但 $\int h_{n} = - 1 ，$ 所以 $lim inf_{n} \int h_{n} = - 1 。$
若 Fatou 成立，应有 $0 \leq - 1 ，$ 矛盾。

所以「非负」不是装饰，是不可缺少的条件。原因：负的部分可以在极限里「消失」，而消失的负质量会让左边变大。

例 4：等号成立的情形

若 $f_{n}$ 非负且递增，则 $lim inf f_{n} = lim f_{n} ，$ 而 MCT 给出 $\int f_{n} ↑ \int lim f_{n} ，$ 所以两边相等。Fatou 在单调的情形下就退化成 MCT 的等号。

动手试一试动手试一试：Fatou 的严格不等号

在下拉框里选「Fatou 严格不等：𝟏[0,½] 与 𝟏(½,1] 交替」，拖动 $n ：$ 橙色方块左右跳，面积一直是 $\frac{1}{2} ，$ 而虚线（ $lim inf f_{n} = 0 ）$ 贴在横轴上。再选「尖峰」对比：两个例子里都是「每一项都有质量，极限函数却没有」。

推导：一步一步来

推导证明思路

Fatou 引理：用尾部下确界 $g_{N}$ 把「不单调」变成「单调」，然后用 MCT。反向 Fatou：对非负函数 $g - f_{n}$ 用 Fatou，再把下极限翻成上极限。

Fatou 引理的完整证明

第 1 步（造递增的下界）：令 $g_{N} = in f_{n \geq N} f_{n} 。$ 由第 3 行的集合等式， $g_{N}$ 可测；由第 4 行， $0 \leq g_{1} \leq g_{2} \leq \dots ，$ 且 $g_{N} \to lim inf_{n} f_{n}$ 逐点成立。

第 2 步（用 MCT）： $lim inf_{n} f_{n}$ 作为可测函数的逐点极限是可测的，且

\int n lim inf f_{n} d μ = \int N lim g_{N} d μ = N lim \int g_{N} d μ .

第 3 步（与原函数比较）：固定 $N 。$ 对每个 $j \geq N ，$ $g_{N} \leq f_{j} ，$ 所以 $\int g_{N} \leq \int f_{j} 。$ 对所有 $j \geq N$ 取下确界：

\int g_{N} d μ \leq j \geq N in f \int f_{j} d μ .

第 4 步（取极限）：两边都随 $N$ 递增，令 $N \to \infty ，$ 不等号保持：

N lim \int g_{N} d μ \leq N lim j \geq N in f \int f_{j} d μ = n lim inf \int f_{n} d μ .

与第 2 步连起来，就是 Fatou 引理。∎

反向 Fatou 的完整推导

设 $0 \leq f_{n} \leq g ，$ $\int g d μ < \infty 。$

第 1 步： $g - f_{n} \geq 0$ 且可测（在 $g = \infty$ 的点上 $g - f_{n}$ 可能没有定义，但 $g$ 可积意味着 ${g = \infty}$ 是零测集，在那里改成 0 不影响任何积分，第 43 页）。对 $g - f_{n}$ 用 Fatou：

\int n lim inf (g - f_{n}) d μ \leq n lim inf \int (g - f_{n}) d μ .

第 2 步（左边）： $g$ 不依赖 $n ，$ 所以 $lim inf_{n} (g - f_{n}) = g + lim inf_{n} (- f_{n}) = g - lim sup_{n} f_{n} 。$ 最后一步就是板书第 8 行：把一列数取相反数，最低值变成最高值的相反数， $lim inf (- a_{n}) = - lim sup a_{n} 。$ 于是左边 $= \int g - \int lim sup_{n} f_{n}$ （拆开要 $\int g < \infty ）。$

第 3 步（右边）： $\int (g - f_{n}) = \int g - \int f_{n}$ （ $\int f_{n} \leq \int g < \infty ，$ 都是有限数，可以相减）。所以右边 $= lim inf_{n} (\int g - \int f_{n}) = \int g - lim sup_{n} \int f_{n} 。$

第 4 步：比较两边，消去有限数 $\int g ，$ 再乘以 $- 1$ （不等号反向）：

\int g - \int n lim sup f_{n} \leq \int g - n lim sup \int f_{n} ⟹ \int n lim sup f_{n} \geq n lim sup \int f_{n} . ■

常见疑问与易错点

易错点问：不等号方向总记反，怎么办？

答：用尖峰检验：每项积分都是 1（右边 1），极限函数是 0（左边 0）。哪个式子能让「 $0 ? 1 」$ 成立，就是对的方向： $\int lim inf f_{n} \leq lim inf \int f_{n} 。$

易错点问：为什么用 liminf，不用 lim？

答： $f_{n}$ 不一定收敛（例 1 就处处不收敛）， $lim f_{n}$ 可能根本不存在；而下极限对任何数列都存在。用 $lim inf ，$ Fatou 就对所有非负可测函数列成立。若 $f_{n}$ 确实收敛到 $f ，$ 就得到常用形式 $\int f \leq lim inf \int f_{n} 。$

易错点问：Fatou 和 MCT 有什么关系？

答：Fatou 是用 MCT 证明的（第 5 行的 MCT）。MCT 要求单调，结论是等号；Fatou 不要求单调，代价是只剩一个不等号。

易错点问：反向 Fatou 为什么一定要可积的上界 g？

答：推导里要把 $\int (g - f_{n})$ 拆成 $\int g - \int f_{n} ，$ 这需要 $\int g < \infty ，$ 否则是 $\infty - \infty 。$ 没有可积上界时结论确实会错：在 $R$ 上令 $f_{n} = 1_{[n, n + 1]} ，$ $lim sup f_{n} = 0 ，$ 左边 $\int 0 = 0 ，$ 右边 $lim sup \int f_{n} = 1 ，$ 「 $0 \geq 1 」$ 不成立。

小结与自测

小结本页小结

Fatou 引理： $f_{n} \geq 0$ 可测 ⇒ $\int lim inf f_{n} \leq lim inf \int f_{n} 。$ 只要求非负，不要求单调、不要求收敛。
证明： $g_{N} = in f_{n \geq N} f_{n}$ 非负、递增、趋于 $lim inf f_{n} ，$ 且 $g_{N} \leq f_{n}$ （ $n \geq N ）；$ 用 MCT 再取极限。
不等号可以严格（交替方块、尖峰）；去掉非负性会错（翻转的尖峰）。
反向 Fatou： $0 \leq f_{n} \leq g 、$ $g$ 可积 ⇒ $\int lim sup f_{n} \geq lim sup \int f_{n} ；$ 方法是对 $g - f_{n}$ 用 Fatou。
老师板书的「 $g_{N} < f_{n} 」$ 应为「 $g_{N} \leq f_{n} 」。$

自测

1. 在 $[0, 1]$ 上， $f_{n} = 1_{[0, 1/ n]} 。$ 分别算 $\int lim inf_{n} f_{n}$ 和 $lim inf_{n} \int f_{n} ，$ Fatou 的不等号是严格的吗？

点开看答案

$x > 0$ 时最终 $f_{n} (x) = 0 ，$ 只有 $x = 0$ 处恒为 1，所以 $lim inf f_{n} = 1_{{0}} ，$ 积分为 0。 $\int f_{n} = 1/ n \to 0 ，$ 所以右边也是 0。两边相等，不严格。（这里质量本身就趋于 0，没有「丢失」。）

2. 用 Fatou 引理证明：若 $f_{n} \geq 0 、$ $f_{n} \to f$ 几乎处处、且 $\int f_{n} \leq 5$ 对所有 $n$ 成立，则 $\int f \leq 5 。$

点开看答案

在零测集外 $lim inf f_{n} = f ，$ 所以 $\int f = \int lim inf f_{n} \leq lim inf \int f_{n} \leq 5 。$ （零测集上的取值不影响积分，第 43 页。）

3. 为什么证明里需要 $g_{N}$ 可测？老师用哪个集合等式说明了这一点？

点开看答案

不可测的函数没有积分，第 2 步的 $\int g_{N}$ 和 MCT 都无法使用。老师写的是 ${g_{N} < a} = ⋃_{n \geq N} {f_{n} < a} ：$ 右边是可数个可测集的并，仍然可测，所以 $g_{N}$ 可测。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
上极限	limit superior (lim sup)	数列「尾部的最大可能值」的极限；对集合则表示「发生无穷多次」。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。

这一页在讲什么

先补基础

课件原文逐句精读

老师板书在说什么

第 3 行：构造递增的 gN​，并说明它可测

第 4 行：gN​ 的两条关键性质

第 5 行：一条链完成证明

第 6–9 行：反向 Fatou（Reverse Fatou）

例子

推导：一步一步来

Fatou 引理的完整证明

反向 Fatou 的完整推导

常见疑问与易错点

小结与自测

第 3 行：构造递增的 $g_{N} ，$ 并说明它可测

第 4 行： $g_{N}$ 的两条关键性质