高等概率论逐页精讲

第 2 讲 · 32 页课件

随机变量、期望与不等式

Random Variables, Expectation, and Inequalities

随机变量是可测映射，期望就是对概率测度的积分；再用 CDF、分位数、矩和各种不等式把期望与尾概率算出来、估出来。

从第 1 页开始

精讲已完成 32 / 32 页 · 已看懂 0 / 32 页

开篇

  1. 01 封面：随机变量、期望与不等式Random Variables, Expectation, and Inequalities 幻灯片 1/33 · 封面
  2. 02 本讲目标：学完要会什么Through this topic, you should... 幻灯片 2/33 · 学习目标
  3. 03 目录：五个部分如何一环扣一环Contents 幻灯片 3/33 · 目录

第 1 部分　随机变量、分布与期望Random variables, laws, and expectation

  1. 04 随机变量是可测映射A random variable is a measurable map 幻灯片 4/33 · 定义
  2. 05 期望就是对 ℙ 的勒贝格积分Expectation is the Lebesgue integral with respect to P 幻灯片 5/33 · 定义
  3. 06 分布是推前概率测度A law is a pushforward probability measure 幻灯片 6/33 · 定义
  4. 07 期望可以对分布积分（无意识统计学家定律）Expectation is integration against the pushforward law 幻灯片 7/33 · 定理

第 2 部分　用 CDF 计算期望Computing expectations from a CDF

  1. 08 CDF 记录了整个分布A CDF records the entire law 幻灯片 8/33 · 定义
  2. 09 CDF 的增量给出勒贝格积分CDF increments give the Lebesgue integral 幻灯片 9/33 · 定义
  3. 10 用分部积分从 CDF 直接计算Integration by parts computes from the CDF itself 幻灯片 10/33 · 定理
  4. 11 截断随机变量的期望Expectation of a truncated random variable 幻灯片 11/33 · 定理
  5. 12 正负两侧的尾部决定均值Positive and negative CDF tails determine the mean 幻灯片 12/33 · 定理
  6. 13 混合型 CDF：跳跃与区间积分各贡献一部分A mixed CDF contributes both a jump and an interval integral 幻灯片 13/33 · 例子
  7. 14 逆变换法可以构造任何实值分布Inverse transform constructs every real law 幻灯片 14/33 · 定义
  8. 15 由均匀分布生成指数分布A uniform variable generates an exponential law 幻灯片 15/33 · 例子
  9. 16 分位数能准确看出哪些矩存在（Pareto 分布）A quantile can reveal exactly which moments exist 幻灯片 16/33 · 例子
  10. 17 绝对连续正是「有密度」的条件Absolute continuity is exactly the condition behind a density 幻灯片 17/33 · 定理
  11. 18 康托尔集及其二进编码：不可数，长度却为 0The Cantor set and its binary encoding 幻灯片 18/33 · 定义
  12. 19 连续的 CDF 不一定有密度：康托尔分布A continuous CDF need not have a density 幻灯片 19/33 · 例子
  13. 20 实数轴上的概率分布只有三种质量Three kinds of mass in a real probability law 幻灯片 20/33 · 定理

第 3 部分　尾部、有限矩与 Lp 空间Tails, finite moments, and Lp

  1. 21 每个正阶矩都是尾概率的积分（矩–尾恒等式）Every positive moment is an integrated tail 幻灯片 21/33 · 定理
  2. 22 Lᵖ 空间：p 阶矩有限的随机变量放在一起Lp space 幻灯片 22/33 · 定义

第 4 部分　变换、乘积与和的界Bounds for transforms, products, and sums

  1. 23 凸函数在每一点都有支撑线Every finite convex function has a supporting line 幻灯片 23/33 · 定理
  2. 24 对支撑线取期望，就得到 Jensen 不等式Jensen follows by integrating the supporting line 幻灯片 24/33 · 定理
  3. 25 Lᵖ 空间的单调性：p 越大，范数越大、空间越小Monotonicity of Lp space 幻灯片 25/33 · 定理
  4. 26 Hölder 不等式就是归一化之后的 Young 不等式Hölder is the normalized form of scalar Young 幻灯片 26/33 · 定理
  5. 27 Minkowski 不等式：p > 1 时只需一次 Hölder 计算Minkowski for p > 1 is one Hölder calculation 幻灯片 27/33 · 定理

第 5 部分　用矩控制概率Probability bounds from moments

  1. 28 从「估计期望」到「估计概率」：用一个矩压住一个事件A moment estimate can control an event 幻灯片 28/33 · 讨论
  2. 29 广义 Markov 不等式：用一个期望控制一个尾概率Generalized Markov inequality 幻灯片 29/33 · 定理
  3. 30 有一个有限矩，尾巴就衰减得更快Finite moments 幻灯片 30/33 · 定理
  4. 31 尾巴衰减得更快，也不一定有有限矩（对数边界）Faster tail decay alone need not give a finite moment 幻灯片 31/33 · 例子
  5. 32 Cantelli 单侧不等式：只看一侧时比 Chebyshev 更紧Cantelli's one-sided bound 幻灯片 32/33 · 定理