20 卡拉泰奥多里判别：任意切一刀，总成本不变 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

一个集合 $E$ 是「好集合」（可测），当且仅当：拿任何集合 $A$ 来，用 $E$ 把它切成两块，两块的外测度加起来恰好等于原来的外测度——切一刀不会凭空多出成本。满足这个条件的集合组成一个 σ-代数，外测度在上面就是真正的测度。

上一页（第 18 页）的外测度对所有集合都有定义，但只有「 $\leq 」。$ 这一页给出挑选「好集合」的标准，正是第 15 页板书路线里的「extension（扩张）」那一步：把外测度限制在好集合上，得到勒贝格测度。

先补基础

基础补课回顾：外测度（第 18 页）

定义：用可数个有界区间 $I_{1}, I_{2}, \dots$ 盖住 $E ，$ 总长度 $\sum_{n} ∣ I_{n} ∣$ 叫这种盖法的「成本」；所有盖法里成本的下确界（最省的成本）就是外测度 $m^{*} (E) = in f {n \sum ∣ I_{n} ∣ : E \subseteq n ⋃ I_{n}} .$
好处： $R$ 的每个子集都有外测度，而且区间的外测度就是它的长度。
缺点（「只有 ≤」）：只能保证可数次可加性 $m^{*} (⋃_{n} A_{n}) \leq \sum_{n} m^{*} (A_{n}) 。$ 两个集合即使不相交，也不保证 $m^{*} (A \cup B) = m^{*} (A) + m^{*} (B) ，$ 所以它还不是测度。
这一页要做的，就是挑出一批集合，让「 $\leq 」$ 在它们身上变成「 $= 」。$

基础补课差集 A \ E

$A ∖ E = {x \in A : x \in / E} ：$ 在 $A$ 里但不在 $E$ 里的点，等于 $A \cap E^{c} 。$ 于是

A = (A \cap E) \cup (A ∖ E), (A \cap E) \cap (A ∖ E) = \emptyset .

$E$ 把 $A$ 切成了不相交的两块：属于 $E$ 的部分和不属于 $E$ 的部分。

基础补课完备测度

一个测度是完备的（complete），如果「测度为 0 的集合的任何子集」也都在 σ-代数里（因此测度也是 0）。直观意思：零测集的碎片不会「不可测」。

课件原文逐句精读

课件原文Definition 13 (Carathéodory measurable set)

For an outer measure $m^{*}$ , a set $E \subseteq R$ passes the Carathéodory test if, for every $A \subseteq R$ ,

m^{*} (A) = m^{*} (A \cap E) + m^{*} (A ∖ E) . (C)

中文翻译

定义 13（卡拉泰奥多里可测集） 对外测度 $m^{*} ，$ 如果对每一个 $A \subseteq R$ 都有 $m^{*} (A) = m^{*} (A \cap E) + m^{*} (A ∖ E)$ （条件 (C)），就说集合 $E \subseteq R$ 通过了卡拉泰奥多里判别。

$E$ 是被检验的集合， $A$ 是「试验用的集合」（test set）。
for every $A$ （老师圈了出来）：必须对所有试验集合都成立，一个都不能例外。这是一个非常强的要求。
(C) 的含义：用 $E$ 当刀，把 $A$ 切成 $A \cap E$ 和 $A ∖ E$ 两块，分别算外测度再相加，结果和整块的外测度一样。换句话说， $E$ 的边界「干净」，切开它不产生额外的覆盖成本。

课件原文Theorem 14 (Carathéodory measurable set theorem)

The sets satisfying (C) form a sigma-algebra, and $m^{*}$ restricted to this sigma-algebra is a complete measure. For Lebesgue outer measure, (C) is equivalent to the open approximation criterion.

中文翻译

定理 14（卡拉泰奥多里可测集定理） 满足 (C) 的集合组成一个 σ-代数，并且 $m^{*}$ 限制在这个 σ-代数上是一个完备测度。对勒贝格外测度而言，(C) 等价于「开集逼近判别」。

定理 14（卡拉泰奥多里）

设 $L$ 是所有满足 (C) 的集合。那么：

$L$ 是 σ-代数（含 $R ，$ 对补集和可数并封闭）；
$m^{*}$ 限制在 $L$ 上是可数可加的，因而是测度，记作 $m ；$
这个测度是完备的；
对勒贝格外测度， $E \in L$ 当且仅当：对任意 $ε > 0 ，$ 存在开集 $O \supseteq E$ 使 $m^{*} (O ∖ E) < ε$ （开集逼近判别）。

逐句讲：

form a sigma-algebra：好集合对补集、可数并封闭——这正是第 1 部分要求事件族满足的规则（第 9 页）。所以好集合可以直接当「事件清单」。
restricted … is a complete measure：在好集合上，「 $\leq 」$ 升级成「 $= 」，$ 外测度变成真正的测度。这就是勒贝格测度，好集合就是勒贝格可测集。
open approximation criterion：另一种等价说法—— $E$ 可以被一个开集从外面「贴身」包住，多出来的部分外测度任意小。它更直观，但本课主要用 (C)。

图解

图解：用 E 这把刀切开 A

整块波浪形区域是试验集合 $A 。$
红色曲线是 $E$ 的边界：左边浅蓝色的部分是 $A \cap E$ （ $A$ 里属于 $E$ 的点），右边灰白色的部分是 $A ∖ E$ （ $A$ 里不属于 $E$ 的点）。
图下的等式 $A = (A \cap E) \cup (A ∖ E) ：$ 两块拼起来就是 $A ，$ 而且不重叠。老师在两处 $E$ 下面画了短线，提醒「刀」是 $E 。$
判别问的是：左块的外测度 + 右块的外测度 是否等于 整块的外测度？对「好」的 $E ，$ 无论 $A$ 长什么样，答案都是「是」。

老师板书在说什么

老师板书板书转写

定义里 every $A$ 被圈出；(C) 中的「 $= 」$ 被圈出，下面写了「 $\geq 」。$
图下等式中两个 $E$ 下各画了一道短线。
$A$ is cut by $E$ creates no extra cost（「cost」下画双线，下面写 covering）.
$(S, M, μ) ，$ $μ$ 下面画箭头：Jordan $\to$ outer $\to$ Carathéodory.

第 1 行：为什么老师在「=」下写「≥」

由外测度的次可加性（第 18 页），「 $\leq 」$ 方向永远成立：

m^{*} (A) = m^{*} ((A \cap E) \cup (A ∖ E)) \leq m^{*} (A \cap E) + m^{*} (A ∖ E) .

所以检验 (C) 时，只需要验证另一个方向「 $\geq 」$ ：

m^{*} (A) \geq m^{*} (A \cap E) + m^{*} (A ∖ E) 对所有 A .

这是做题时最实用的一句话：证明一个集合可测，只证「 $\geq 」。$

第 3 行：「切一刀不增加成本」

cost 指的是覆盖成本（covering）：外测度就是最省的覆盖成本。(C) 说：先整体盖住 $A$ 的最省成本，等于把 $A$ 切开后两块分别盖的最省成本之和。对好集合，切开不需要额外花钱。

第 4 行：测度空间里的 μ 从哪来

第 1 部分只规定了测度空间 $(S, M, μ)$ 要满足的规矩。现在老师标出：实数轴上最重要的那个 $μ ，$ 就是沿着 乔丹容量 → 外测度 → 卡拉泰奥多里判别 这条路造出来的（和第 15 页的路线一致）。

例子

例 1：零测集一定可测

设 $m^{*} (E) = 0 。$ 对任意 $A ：$

$A \cap E \subseteq E ，$ 由单调性 $m^{*} (A \cap E) \leq m^{*} (E) = 0 ，$ 所以 $m^{*} (A \cap E) = 0 。$
$A ∖ E \subseteq A ，$ 由单调性 $m^{*} (A ∖ E) \leq m^{*} (A) 。$
于是 $m^{*} (A \cap E) + m^{*} (A ∖ E) \leq 0 + m^{*} (A) = m^{*} (A) ，$ 这就是「 $\geq 」$ 方向。

所以 $E$ 通过判别。特别地，有理数集 $Q 、$ 任何可数集都是勒贝格可测的，而且零测集的任何子集也可测——这就是「完备」。

例 2：半直线 (−∞, c] 可测（思路）

取 $E = (- \infty, c] ，$ 要证对任意 $A$ 有「 $\geq 」。$

任取盖住 $A$ 的区间 ${I_{n}} 。$
每个 $I_{n}$ 在点 $c$ 处切成两段： $I_{n} \cap (- \infty, c]$ 和 $I_{n} \cap (c, \infty) ，$ 两段仍是区间，长度之和恰好等于 $∣ I_{n} ∣ 。$
左边那些段盖住 $A \cap E ，$ 右边那些段盖住 $A ∖ E ，$ 所以

m^{*} (A \cap E) + m^{*} (A ∖ E) \leq n \sum ∣ I_{n} ∣.

对所有盖法取下确界，得到 $\leq m^{*} (A) ，$ 即「 $\geq 」$ 方向。

关键在第 2 步：区间在一个点处切开，不产生额外成本。再由 σ-代数的封闭性，所有区间、开集、闭集都可测。

例 3：不可测集的样子（预告）

第 21 页的维塔利集 $V$ 是一个「和自己的平移极端交错」的集合。拿 $A = [0, 1)$ 当试验集合，用 $V$ 去切，两块都「碎到」无法用区间高效覆盖，外测度之和会大于 $m^{*} (A) 。$ 这就是它通不过判别的原因。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么要对「所有」A 检验？只检验 A = ℝ 不行吗？

答：不行。如果只要求 $m^{*} (R) = m^{*} (E) + m^{*} (E^{c}) ，$ 两边都是 $\infty ，$ 什么都说明不了。要求对所有 $A$ 成立，才能保证 $E$ 和任何集合配合时都不产生额外成本，这是证明可数可加性所需要的。

易错点问：卡拉泰奥多里可测和勒贝格可测是一回事吗？

答：对实数轴上的勒贝格外测度，是一回事：勒贝格可测集就定义为通过 (C) 的集合，记作 $L (R)$ （第 23 页）。卡拉泰奥多里判别本身更一般，对任何外测度都适用。

易错点问：证明可测时，两个方向都要证吗？

答：只证「 $\geq 」。$ 「 $\leq 」$ 由次可加性自动成立，这就是老师在「 $= 」$ 下写「 $\geq 」$ 的原因。

小结与自测

小结本页小结

卡拉泰奥多里判别：对所有 $A ，$ $m^{*} (A) = m^{*} (A \cap E) + m^{*} (A ∖ E) 。$ 人话：用 $E$ 切开任何集合都不增加覆盖成本。
「 $\leq 」$ 总成立（次可加性），只需验证「 $\geq 」。$
通过判别的集合组成 σ-代数，外测度在上面是完备测度——这就是勒贝格测度。
零测集、区间、开集、闭集都可测。

自测

1. 为什么检验 (C) 时只需证明「 $\geq 」？$

点开看答案

因为 $A = (A \cap E) \cup (A ∖ E) ，$ 由外测度的次可加性， $m^{*} (A) \leq m^{*} (A \cap E) + m^{*} (A ∖ E)$ 对任何 $E$ 都成立，只剩「 $\geq 」$ 需要检验。

2. 判断：全体有理数 $Q$ 是勒贝格可测集。

点开看答案

正确。 $Q$ 可数， $m^{*} (Q) = 0 ；$ 由例 1，外测度为 0 的集合一定通过卡拉泰奥多里判别。

3. 用自己的话说说「完备测度」是什么意思，并举一个例子。

点开看答案

零测集的任何子集都可测，并且测度为 0。例： $Q \cap [0, 1]$ 的测度为 0，那么它的任何子集（例如 ${\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots} ）$ 也可测，测度为 0。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
外测度	outer measure	用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
次可加性	subadditivity	并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。
部分和	partial sum	级数 a₁ + a₂ + … 的前 n 项之和 Sₙ = a₁ + … + aₙ；级数的值就是 Sₙ 在 n → ∞ 时的极限。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
卡拉泰奥多里	Carathéodory	卡拉泰奥多里判别：用 E 去切任何集合 A，两块外测度之和都等于 m*(A)。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
完备测度	complete measure	零测集的任何子集也都可测（并且测度为 0）。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
勒贝格可测	Lebesgue measurable	能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
乔丹容量	Jordan content	用有限个区间从里、从外逼近一个集合；两边逼近值相等时才有定义。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
维塔利集	Vitali set	用选择公理造出的「坏」集合，证明了不可能给 ℝ 的所有子集定义长度。