02 目录：三个部分各回答什么问题 · 第4讲

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第 4 讲分三部分：先搭空间（乘积测度），再学计算（Fubini–Tonelli 定理：二重积分拆成两次单重积分），最后讲独立（独立就是联合分布等于乘积测度）。三部分一环扣一环，前一部分是后一部分的工具。

先补基础

基础补课测度空间（回顾）

一个测度空间 $(Ω, F, μ)$ 由三样东西组成（第 12 页）：

$Ω ：$ 所有可能结果组成的集合；
$F ：$ 「可以谈测度的子集」组成的 σ-代数（第 9 页）；
$μ ：$ 给 $F$ 里每个集合一个非负的「大小」，并且对两两不交的可数并满足可加性。

$μ (Ω) = 1$ 时它就是概率空间，这时习惯把 $μ$ 写成 $P 。$

基础补课σ-有限（σ-finite）

测度 $μ$ 叫 σ-有限的，如果 $Ω$ 能写成可数多个测度有限的集合的并： $Ω = ⋃_{n} E_{n} ，$ $μ (E_{n}) < \infty 。$

概率测度总是 σ-有限的（取 $E_{1} = Ω ）。$
实数轴上的勒贝格测度是 σ-有限的： $R = ⋃_{n} [- n, n] ，$ 每段长度 $2 n$ 有限。
反例：在 $[0, 1]$ 上「数点个数」的计数测度不是 σ-有限的（第 13 页）。这一讲的两个大定理（乘积测度定理、Fubini 定理）都要求 σ-有限。

课件原文逐句精读

课件原文Outline

Produce measure
Fubini-Tonellis's theorem
Independence

中文翻译

乘积测度
Fubini–Tonelli 定理
独立性

两处笔误：Produce measure 应为 Product measure（produce 是「生产」，product 才是「乘积」）；Fubini-Tonellis's 应为 Fubini–Tonelli's（Tonelli 是人名，所有格直接加 's）。

① Product measure｜乘积测度（第 4 页–第 8 页）

要回答的问题：已有两个概率空间 $(Ω_{1}, F_{1}, P_{1}) 、$ $(Ω_{2}, F_{2}, P_{2}) ，$ 怎样在 $Ω_{1} \times Ω_{2}$ 上定义一个概率，让「第一个坐标落在 $A_{1} 、$ 第二个坐标落在 $A_{2} 」$ 的概率恰好是 $P_{1} (A_{1}) P_{2} (A_{2}) ？$

为什么不简单：

先要决定哪些子集可以谈概率：只用「矩形」 $A_{1} \times A_{2}$ 不够，它们连并集都不封闭（第 6 页）；
再要证明，矩形上规定好的值能唯一地扩展到所有可测集上（第 7 页）；
最后用「截口」把二维集合的测度化成一维测度的积分（第 8 页）。

② Fubini–Tonelli's theorem｜Fubini–Tonelli 定理（第 9 页–第 15 页）

要回答的问题：在乘积空间上，二重积分 $\int f d (P_{1} \times P_{2})$ 能不能先对 $ω_{1}$ 积分、再对 $ω_{2}$ 积分？两种顺序的结果一样吗？

答案的要点：

$f \geq 0$ 且可测时总可以拆，两种顺序相等（Tonelli，第 12 页）；
$f$ 绝对可积时也可以拆（Fubini，第 10 页）；
这两个条件都不满足时，两种顺序可以算出不同的数（反例，第 13 页–第 15 页）。

③ Independence｜独立性（第 16 页–第 21 页）

要回答的问题：两个、 $n$ 个乃至无穷多个随机变量「互相独立」到底是什么意思？

答案的要点：

独立就是联合分布等于各自分布的乘积测度（第 17 页）；
两两独立不等于相互独立（第 18 页）；
对多元正态分布，「协方差为 0」等价于独立（第 19 页–第 21 页）。

三部分怎样连起来

部分	提供什么	被谁用到
1. 乘积测度	联合概率空间 $(Ω_{1} \times Ω_{2}, F_{1} \otimes F_{2}, P_{1} \times P_{2})$	第 2 部分在它上面积分；第 3 部分用它定义独立
2. Fubini–Tonelli	二重积分 = 累次积分	证明「独立 ⇒ $E [X Y] = E X E Y 」、$ 矩公式（第 15 页）等
3. 独立性	独立同分布序列的严格定义与存在性	大数定律、中心极限定理等后续内容；第 3 讲的抽样

例子

例 1：用两颗骰子把三部分走一遍

乘积测度： $Ω = {1, \dots, 6}^{2}$ 有 36 个结果，每个结果的概率是 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} 。$ 「第一颗是偶数、第二颗大于 4」是矩形 ${2, 4, 6} \times {5, 6} ，$ 概率 $\frac{3}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6} 。$
Fubini：求两颗点数之和的期望 $E [ω_{1} + ω_{2}] = \sum_{i, j} (i + j) \cdot \frac{1}{36} 。$ 可以先对 $j$ 求和（每一行）、再对 $i$ 求和，也可以反过来，结果都是 7。有限和交换顺序当然没问题；第 2 部分讨论的是无穷和、积分的情形。
独立性：「第一颗是偶数」与「第二颗大于 4」的交集概率是 $\frac{1}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} ，$ 等于各自概率的乘积，所以两者独立。这正是因为联合概率是乘积测度。

小结

小结本页小结

三部分：乘积测度（搭空间）→ Fubini–Tonelli（算积分）→ 独立性（下定义、看例子）。
两个定理都要求 σ-有限；概率测度、勒贝格测度都满足，计数测度在不可数集上不满足。
课件笔误：Produce → Product，Fubini-Tonellis's → Fubini–Tonelli's。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
乘积测度	product measure	在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。
Tonelli 定理	Tonelli's theorem	f 非负可测、两个测度 σ-有限时，二重积分等于两种顺序的累次积分，三者可以同时为 ∞。
二重积分	double integral	对两个变量一起积分：∬ f(x, y) dx dy。Fubini–Tonelli 定理说明什么时候可以拆成先对一个变量、再对另一个变量的两次积分。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
联合分布	joint law (joint distribution)	随机向量 (X, Y) 在平面上的分布：对每个平面博雷尔集 B 给出 P((X, Y) ∈ B)。只知道边缘分布不能确定它。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
σ-有限	σ-finite	整个空间能切成可数多块测度有限的部分。概率测度、长度都满足；不可数集上的计数测度不满足。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
计数测度	counting measure	μ(A) = A 中元素的个数（无限集记为 ∞）。在 ℕ 上对它积分就是求和。
Fubini 定理	Fubini's theorem	f 关于乘积测度绝对可积（∬\|f\| < ∞）时，二重积分等于两种顺序的累次积分。
并集	union	至少属于其中一个集合的元素全体，A ∪ B 对应「A 或 B」。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
截口	slice (section)	固定一个坐标、把二维集合或函数「切一刀」：A_ω₁ = {ω₂ : (ω₁, ω₂) ∈ A}，f_ω₁(ω₂) = f(ω₁, ω₂)。
乘积空间	product space	笛卡尔积 Ω₁ × Ω₂，配上乘积 σ-代数（以及乘积测度）。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
两两独立	pairwise independence	任意两个都独立。比相互独立弱：三个事件可以两两独立却不相互独立。
多元正态分布	multivariate normal distribution	由均值向量 μ 和正定协方差矩阵 Σ 决定的高维钟形分布。对它而言，不相关等价于独立。
协方差	covariance	Cov(X, Y) = E[(X − EX)(Y − EY)]，衡量两个变量一起变大或变小的倾向。独立 ⇒ 协方差为 0，反之一般不成立。
累次积分	iterated integral	一层一层地积分：先固定一个变量、对另一个变量积分，再对剩下的变量积分。
独立同分布	independent and identically distributed (i.i.d.)	一列随机变量相互独立，并且分布都相同，例如反复独立地掷同一颗骰子。
中心极限定理	central limit theorem (CLT)	独立同分布、方差 σ² 有限时，(Sₙ − nμ)/(σ√n) 依分布收敛到标准正态分布：大量独立小误差之和近似正态。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。