基础补课 · 高等概率论逐页精讲

1. 怎样读数学符号

这一节讲最基本的逻辑符号和字母。概率论专用的记号（ $E 、$ $Var 、$ 各种收敛箭头……）和英文缩写（a.s.、i.i.d.、DCT……）汇总在本页最后的第 11 节「符号与缩写速查表」。

基础补课逻辑符号

符号	读法	意思	例子
$\forall$	对所有、任意	后面的话对每一个对象都成立	$\forall x \in R, x^{2} \geq 0 ：$ 每个实数的平方都非负
$\exists$	存在	至少有一个对象让后面的话成立	$\exists x \in R, x^{2} = 2 ：$ 有一个实数的平方是 2
$\Rightarrow$	推出、蕴含	左边成立，右边一定成立	$x > 2 \Rightarrow x > 1$
$⟺$	当且仅当（iff）	两边同真同假	$x^{2} = 4 ⟺ x = 2$ 或 $x = - 2$
$:=$	定义为	左边是新起的名字	$f (x) := x^{2}$
s.t.	such that，使得	引出条件	$\exists N$ s.t. $n \geq N$ 时 ……
$\equiv$	恒等于	对所有输入都相等	$g \equiv 1 ：$ $g$ 处处等于 1

易错点读「∀ ∃」句子的诀窍

顺序很重要。「 $\forall ε > 0 \exists N 」$ 是「先给你任意一个 $ε ，$ 你再去找 $N 」$ —— $N$ 可以依赖 $ε 。$ 反过来「 $\exists N \forall ε 」$ 是「一个 $N$ 对所有 $ε$ 都管用」，要求强得多。读的时候从左往右，把它想成一场游戏： $\forall$ 是对手出招， $\exists$ 是你应招。

基础补课本课常见的希腊字母

大写	小写	读法	本课里通常表示
$Ω$	$ω$	omega（欧米伽）	样本空间 / 样本点
$Σ$	$σ$	sigma（西格玛）	求和号 / σ-代数
	$μ$	mu（缪）	测度
	$λ$	lambda（兰布达）	勒贝格测度、参数
	$ε$	epsilon（艾普西隆）	任意小的正数
	$δ$	delta（德尔塔）	小正数、点质量 $δ_{0}$
$Φ$	$φ$	phi（斐）	正态分布函数 / 函数
	$ξ$	xi（克西）	随机变量
	$α, β$	alpha、beta	常数

还有几种字体： $R$ （黑板粗体 R，实数全体）、 $N$ （自然数 $1, 2, 3, \dots ）、$ $Q$ （有理数）、 $Z$ （整数）；花体 $F, M, B$ 通常表示「集合族」（例如 σ-代数）。

2. 集合

基础补课元素与子集

$a \in A ：$ $a$ 属于 $A ；$ $a \in / A ：$ 不属于。
$A \subseteq B ：$ $A$ 的每个元素都在 $B$ 里。要证明 $A \subseteq B ，$ 就任取 $a \in A ，$ 证明 $a \in B 。$
$A = B$ 的意思是 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A 。$ 这是证明两个集合相等的标准办法（「双向包含」）。
空集 $\emptyset ：$ 没有元素。它是任何集合的子集。

基础补课集合的写法

列举法： ${1, 2, 3} 。$ 元素没有顺序、不重复： ${1, 2} = {2, 1} = {1, 1, 2} 。$
描述法： ${x \in R : x^{2} < 4} = (- 2, 2) 。$ 冒号读作「使得」。
区间： $[a, b] = {x : a \leq x \leq b}$ （含端点）， $(a, b)$ 不含端点， $[a, b)$ 含左不含右。 $(0, \infty)$ 是全体正实数。

基础补课并、交、补、差

设 $A, B \subseteq Ω ：$

A \cup B A^{c} = {ω : ω \in A 或 ω \in B}, = {ω \in Ω : ω \in / A}, A \cap B A ∖ B = {ω : ω \in A 且 ω \in B}, = A \cap B^{c} .

无穷多个集合也一样：

n = 1 ⋃ \infty A_{n} = {ω : 至少有一个 n 使 ω \in A_{n}}, n = 1 ⋂ \infty A_{n} = {ω : 对所有 n 都有 ω \in A_{n}} .

例：无穷并与无穷交

令 $A_{n} = [0, 1 - \frac{1}{n}] 。$ $A_{1} = {0} ，$ $A_{2} = [0, \frac{1}{2}] ，$ $A_{3} = [0, \frac{2}{3}] ，\dots\dots$ 越来越大。

$⋃_{n} A_{n} = [0, 1) ：$ 任何 $x < 1$ 迟早落进某个 $A_{n}$ （取 $n > 1/ (1 - x) ），$ 但 $x = 1$ 永远进不去。
令 $B_{n} = (0, \frac{1}{n}) ，$ 越来越小。 $⋂_{n} B_{n} = \emptyset ：$ 任何 $x > 0 ，$ 只要 $n > 1/ x$ 就有 $x \in / B_{n} 。$

基础补课德摩根律

(n ⋃ A_{n})^{c} = n ⋂ A_{n}^{c}, (n ⋂ A_{n})^{c} = n ⋃ A_{n}^{c} .

人话：「不是（至少一个发生）」＝「一个都不发生」；「不是（全都发生）」＝「至少一个不发生」。它让我们可以在「并」和「交」之间来回转换，σ-代数的定义里只要求对并封闭，就是靠它推出对交也封闭。

基础补课集合族与幂集

集合族：元素是集合的集合，例如 ${\emptyset, {1}, {1, 2}} 。$
幂集 $2^{Ω} ：$ $Ω$ 的全部子集。 $Ω = {1, 2}$ 时， $2^{Ω} = {\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}} ，$ 共 $2^{2} = 4$ 个。
三层要分清： $ω \in A$ （点属于集合）， $A \in F$ （集合属于集合族）， $A \subseteq Ω$ （集合包含于集合）。

3. 函数与原像

基础补课函数

$f : A \to B ：$ 给 $A$ 中每个元素指定 $B$ 中唯一一个元素 $f (a) 。$ $A$ 叫定义域， $B$ 叫陪域。

像： $f (E) = {f (a) : a \in E} ，$ 把 $E$ 里的点都送过去得到的集合。
原像： $f^{- 1} (D) = {a \in A : f (a) \in D} ，$ 「所有被送进 $D$ 的输入」。注意：原像不需要 $f$ 有反函数， $f^{- 1} (D)$ 只是一个集合的名字。

例：原像

$f (x) = x^{2} ，$ $A = R 。$

$f^{- 1} ([0, 4]) = {x : x^{2} \leq 4} = [- 2, 2] ；$
$f^{- 1} ({9}) = {- 3, 3} ；$
$f^{- 1} ((- \infty, 0)) = \emptyset$ （没有实数的平方是负数）。

概率里最常见的写法 ${X \leq x}$ 就是原像： ${X \leq x} = X^{- 1} ((- \infty, x]) = {ω : X (ω) \leq x} 。$

基础补课原像保持所有集合运算（测度论最常用的性质）

f^{- 1} (n ⋃ D_{n}) = n ⋃ f^{- 1} (D_{n}), f^{- 1} (n ⋂ D_{n}) = n ⋂ f^{- 1} (D_{n}), f^{- 1} (D^{c}) = (f^{- 1} (D))^{c} .

理由（以并为例）： $a \in f^{- 1} (⋃ D_{n}) ⟺ f (a) \in ⋃ D_{n} ⟺$ 存在 $n$ 使 $f (a) \in D_{n} ⟺$ 存在 $n$ 使 $a \in f^{- 1} (D_{n}) 。$ 正因为这个性质，「可测函数」和「分布」的定义才顺理成章。

基础补课示性函数

1_{A} (x) = {1, 0, x \in A, x \in / A .

它把「集合」变成「函数」： $1_{A \cap B} = 1_{A} 1_{B} ，$ $1_{A^{c}} = 1 - 1_{A} ；$ $A, B$ 不相交时 $1_{A \cup B} = 1_{A} + 1_{B} 。$ 在概率里， $E [1_{A}] = P (A) 。$

4. 数列与极限

基础补课极限的定义（慢慢读）

$a_{n} \to a$ （读作「 $a_{n}$ 收敛到 $a 」）$ 的意思是：

\forall ε > 0, \exists N, 使得 n \geq N 时 ∣ a_{n} - a ∣ < ε .

逐字翻译：不管你要求多近（任意 $ε ），$ 总能找到一个位置 $N$ ，从这以后所有项都离 $a$ 不超过 $ε 。$

例：证明 1/n → 0

给定 $ε > 0 。$ 要让 $∣1/ n - 0∣ < ε ，$ 只要 $n > 1/ ε 。$ 所以取 $N$ 为大于 $1/ ε$ 的整数， $n \geq N$ 时就有 $1/ n \leq 1/ N < ε 。$ 比如 $ε = 0.01$ 时取 $N = 101 。$

基础补课单调数列与无穷

递增（不减）： $a_{1} \leq a_{2} \leq \dots ，$ 记作 $a_{n} ↑ ；$ 递减记作 $a_{n} ↓ 。$
单调收敛原理：递增的数列要么有上界并收敛到它的上确界，要么趋于 $+ \infty 。$ 所以递增数列总有极限（可能是 $\infty ）。$ 测度的连续性、MCT 都建立在这一点上。
扩展实数 $[- \infty, \infty] ：$ 允许取值 $\pm \infty 。$ 约定 $a + \infty = \infty$ （ $a > - \infty ），$ $c \cdot \infty = \infty$ （ $c > 0 ），$ 以及测度论专用的 $0 \cdot \infty = 0 。$ 但 $\infty - \infty$ 没有定义。

5. 上确界与下确界

基础补课sup 和 inf

集合 $E \subseteq R$ 的上界：大于等于 $E$ 中所有元素的数。上确界 $sup E ：$ 最小的上界。
下确界 $in f E ：$ 最大的下界。
和最大值 $max$ 的区别：最大值必须属于集合，上确界不必。

例：sup 不一定取得到

$E = (0, 1) ：$ 没有最大值（任何 $x < 1$ 都还有更大的 $\frac{x + 1}{2} < 1 ），$ 但 $sup E = 1 ；$ 也没有最小值， $in f E = 0 。$
$E = {1 - \frac{1}{n} : n \geq 1} = {0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots} ：$ $sup E = 1$ （不属于 $E ），$ $min E = in f E = 0 。$
约定：没有上界时 $sup E = + \infty 。$

基础补课最常用的两个性质

若 $s = sup E$ 有限，则对任意 $ε > 0 ，$ 存在 $x \in E$ 使 $x > s - ε$ （「上确界可以被无限逼近」）。
若 $E \subseteq F ，$ 则 $sup E \leq sup F ，$ $in f E \geq in f F$ （集合越大，上确界越大、下确界越小）。外测度、勒贝格积分的定义都用到这两点。

6. 求和与级数

基础补课求和号

$\sum_{k = 1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} 。$ 无穷级数 $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k}$ 定义为部分和 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ 的极限。

例：三个必须记住的级数

几何级数： $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 ^{n}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1 。$ 它给出测度论里常用的「 $ε / 2^{n}$ 技巧」：想让可数个量的总和不超过 $ε ，$ 就让第 $n$ 个不超过 $ε / 2^{n} 。$
调和级数： $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty$ （发散），尽管每一项都趋于 0。
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6} < \infty$ （收敛）。

基础补课非负项级数：可以随便重排

每一项都 $\geq 0$ 时，部分和递增，所以级数总有值（可能是 $\infty ），$ 而且任意重新排列、分组都不改变这个值。可数可加性里的 $\sum_{n} μ (A_{n})$ 都是非负项级数，所以不用担心求和顺序。

7. 可数与不可数

基础补课定义

集合是可数的，如果它的元素能排成一列 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots$ （有限集合也算可数）。排不成一列的无穷集合叫不可数。

例：有理数可数，实数不可数

整数可数： $0, 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, \dots$
有理数可数：把分数 $p / q$ 按 $∣ p ∣ + q = 2, 3, 4, \dots$ 分组，每组只有有限个，一组一组往下排，就把所有有理数排成了一列。
$[0, 1]$ 不可数（康托尔对角线法）：假设能排成一列 $x_{1}, x_{2}, \dots ，$ 写出它们的小数展开，构造一个数，让它第 $n$ 位小数和 $x_{n}$ 的第 $n$ 位不同，那么它和列表里每一个数都不同，矛盾。

人话版为什么测度论这么在乎「可数」

测度只要求可数可加：可数个不相交集合，测度可以相加。对不可数多个集合不要求（也做不到： $[0, 1]$ 是不可数个单点的并，每个单点长度 0，总长却是 1）。所以「可数」是测度论里「能相加」和「不能相加」的分界线。

8. 上极限与下极限

基础补课数列的 lim sup 与 lim inf

n \to \infty lim sup a_{n} = N \geq 1 in f n \geq N sup a_{n}, n \to \infty lim inf a_{n} = N \geq 1 sup n \geq N in f a_{n} .

先看「从第 $N$ 项往后的尾巴」的最大可能值 $sup_{n \geq N} a_{n} ，$ 它随 $N$ 增大而减小；它的极限就是上极限。下极限同理。数列收敛当且仅当上下极限相等。

例：a_n = (−1)^n

尾巴里永远既有 1 也有 $- 1 ，$ 所以每个 $sup_{n \geq N} a_{n} = 1 ，$ 每个 $in f_{n \geq N} a_{n} = - 1 。$ 于是 $lim sup a_{n} = 1 ，$ $lim inf a_{n} = - 1 ，$ 不相等，数列不收敛。

基础补课集合的 lim sup 与 lim inf

n lim sup A_{n} = N \geq 1 ⋂ n \geq N ⋃ A_{n} = {ω : ω 属于无穷多个 A_{n}},

n lim inf A_{n} = N \geq 1 ⋃ n \geq N ⋂ A_{n} = {ω : 从某个 N 起， ω 属于所有 A_{n}} .

读法： $⋂_{N} ⋃_{n \geq N}$ 是「对每个 $N ，$ 都存在 $n \geq N 」$ ——不管从多靠后开始数，后面总还会再发生，也就是发生无穷多次。 $⋃_{N} ⋂_{n \geq N}$ 是「存在 $N ，$ 对所有 $n \geq N 」$ ——从某一刻起一直发生。详见第 1 讲第 7 页、第 40 页。

9. 积分回顾

基础补课定积分的直观

$\int_{a}^{b} f (x) d x ：$ 函数图像与 $x$ 轴之间的（带符号）面积。黎曼的做法：把 $[a, b]$ 切成小段，每段用「长度 × 函数值」近似，再让小段越来越细取极限。

基础补课本课常用的积分

\int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1}, \int_{0}^{\infty} e^{- λ x} d x = \frac{1}{λ} (λ > 0), \int_{0}^{1} x^{- α} d x = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{1 - α}, \infty, α < 1, α \geq 1.

最后一个说明：函数在 0 附近无界，积分也可能有限（ $α < 1$ 时），这在第 3 讲的重要性抽样里会用到。

10. 怎样读定义和定理

人话版三个习惯

先分清假设和结论。「若 A，则 B」中，A 是假设，B 是结论。把假设逐条列出来。
问每个假设为什么在那里。试着去掉它，找一个反例看结论怎样失败。课件里的反例（尖峰、 $[n, \infty) 、$ 狄利克雷函数……）就是在做这件事。
定理是充分条件，不是必要条件。假设不满足时，结论可能仍然成立，只是这个定理不能保证。

例：读「从上连续」

「若 $E_{n} ↓ E$ 且 $μ (E_{1}) < \infty ，$ 则 $μ (E_{n}) \to μ (E) 。」$

假设 1：集合一层层变小；假设 2：第一个集合的测度有限。
去掉假设 2： $E_{n} = [n, \infty) ，$ 每个测度都是 $\infty ，$ 交集是空集，测度为 0，结论失败。
所以假设 2 不是多余的——这正是第 1 讲第 14 页标题里「necessary hypothesis（必要的假设）」的意思。

11. 符号与缩写速查表

读讲义时遇到不认识的记号，先在这里查。每行最后一列是正式讲它的地方，点进去有完整的解释和例子；写「基础补课第 N 节」的，就在本页上面。

在任何一页点顶栏的「符号」按钮，也能不离开当前页查这张表，还可以输入关键词筛选。中文术语（例如「可测函数」「一致可积」）请查术语表。

基础补课概率、期望与分布

记号	读法	意思	在哪里讲
$(Ω, F, P)$	概率空间	样本空间 $Ω 、$ 事件全体 $F$ （一个 σ-代数）、概率 $P$ 三样东西放在一起	第 1 讲第 12 页
$P (A)$	A 的概率	事件 $A$ 发生的可能性， $0 \leq P (A) \leq 1$	第 1 讲第 12 页
$P (A ∣ B)$	给定 B 时 A 的条件概率	已知 $B$ 发生， $A$ 发生的概率： $P (A \cap B) / P (B)$ （要求 $P (B) > 0 ）$	—
$E X 、$ $E [X]$	X 的期望	$X$ 的加权平均 $\int X d P ；$ 掷一颗骰子的点数，期望是 $3.5$	第 2 讲第 5 页
$Var X$	X 的方差	$E (X - E X)^{2} ：$ 偏离均值的平方的平均，衡量波动大小；它的平方根叫标准差	第 2 讲第 29 页
$Cov (X, Y)$	X 与 Y 的协方差	$E [(X - E X) (Y - E Y)] ：$ 两个量是否倾向于「同时偏大、同时偏小」	第 4 讲第 4 页
$1_{A} 、$ $1 {X > t}$	A 的示性函数	在 $A$ 上取 1，其余地方取 0；所以 $E 1_{A} = P (A)$	第 1 讲第 30 页
$L (X) 、$ $μ_{X}$	X 的分布	$X$ 落进各个集合的概率： $L (X) (B) = P (X \in B)$	第 2 讲第 6 页
$X \sim N (0, 1)$	X 服从标准正态分布	「 $\sim 」$ 读作「服从」，后面写分布的名字，例如 $X \sim exp (λ)$ 是指数分布	第 2 讲第 6 页
$X = d Y$	X 与 Y 同分布	分布相同； $X$ 和 $Y$ 本身可以不相等（例如 $Z$ 与 $- Z ，$ $Z \sim N (0, 1) ）$	第 2 讲第 6 页
$F (x) = P (X \leq x)$	分布函数（CDF）	不超过 $x$ 的概率；单调不减、右连续	第 2 讲第 8 页
$F (x -)$	F 在 x 处的左极限	从左边逼近 $x$ 时 $F$ 的极限；跳跃 $F (x) - F (x -) = P (X = x)$	第 2 讲第 8 页
$δ_{a}$	a 处的点质量	把全部质量放在一个点 $a$ 上： $a \in E$ 时 $δ_{a} (E) = 1 ，$ 否则为 0	第 1 讲第 10 页

基础补课测度、积分与 σ-代数

记号	读法	意思	在哪里讲
$F 、$ $M 、$ $B$	花体 F、M、B	集合族，通常是 σ-代数； $B$ 常指博雷尔 σ-代数	第 1 讲第 9 页
$σ (A)$	由 𝒜 生成的 σ-代数	包含 $A$ 的最小 σ-代数	第 1 讲第 11 页
$σ (X)$	X 生成的 σ-代数	所有形如 ${X \in B}$ 的事件，也就是「知道 $X$ 的值就能判断是否发生」的事件	第 4 讲第 16 页
$μ (A)$	A 的测度	集合 $A$ 的「大小」：长度、面积、个数或概率	第 1 讲第 12 页
$Leb$	勒贝格测度	实数轴上的「长度」： $Leb ([a, b]) = b - a$	第 1 讲第 23 页
$\int f d μ$	f 对 μ 的积分	把 $f$ 的值按 $μ$ 加权求和； $μ = P$ 时就是期望 $E f$	第 1 讲第 33 页
$f^{+} 、$ $f^{-}$	f 的正部、负部	$f^{+} = max (f, 0) ，$ $f^{-} = max (- f, 0) ，$ 于是 $f = f^{+} - f^{-} ，$ $∣ f ∣ = f^{+} + f^{-}$	第 1 讲第 33 页
$L^{1} 、$ $L^{p}$	L1 空间、Lp 空间	满足 $\int ∣ f ∣^{p} d μ < \infty$ 的函数（随机变量）全体	第 2 讲第 22 页
$∥ X ∥_{p}$	X 的 Lp 范数	$(E ∣ X ∣^{p})^{1/ p} ，$ 衡量 $X$ 有多「大」	第 2 讲第 22 页
$ν ≪ μ$	ν 关于 μ 绝对连续	凡是 $μ (A) = 0$ 的集合，都有 $ν (A) = 0$	第 3 讲第 26 页
$\frac{d ν}{d μ}$	Radon–Nikodym 导数	$ν$ 相对于 $μ$ 的「密度」： $ν (A) = \int_{A} \frac{d ν}{d μ} d μ$	第 3 讲第 27 页
$F_{1} \otimes F_{2} 、$ $μ_{1} \otimes μ_{2}$	乘积 σ-代数、乘积测度	两个空间拼成一个联合空间；矩形 $A \times B$ 的测度是 $μ_{1} (A) μ_{2} (B)$	第 4 讲第 7 页
$\iint f d x d y$	二重积分	对两个变量一起积分；Fubini 定理说明何时可以拆成两次单重积分	第 4 讲第 10 页

基础补课收敛的几种写法

记号	读法	意思	在哪里讲
$a_{n} \to a$	a_n 趋于 a	数列的极限，和 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ 是一个意思	基础补课第 4 节
$f_{n} ↑ f 、$ $A_{n} ↑ A$	递增地趋于	$f_{1} \leq f_{2} \leq \dots$ 且 $f_{n} \to f ；$ 集合版： $A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \dots ，$ $A = ⋃_{n} A_{n}$	第 1 讲第 13 页
$f_{n} ↓ f 、$ $A_{n} ↓ A$	递减地趋于	方向反过来；集合版： $A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq \dots ，$ $A = ⋂_{n} A_{n}$	第 1 讲第 14 页
$X_{n} \to X$ a.s.	几乎必然收敛	除了一个概率为 0 的事件，每个结局上都有 $X_{n} (ω) \to X (ω)$	第 3 讲第 9 页
$f_{n} \to f$ a.e.	几乎处处收敛	除了一个测度为 0 的集合，每个点上都有 $f_{n} (x) \to f (x)$	第 1 讲第 43 页
$X_{n} P X$	依概率收敛	对每个 $ε > 0 ，$ $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \to 0 ；$ 原解答里也写成 $p$	第 3 讲第 14 页
$X_{n} \to X$ 在 $L^{p}$ 中	Lp 收敛	$E ∣ X_{n} - X ∣^{p} \to 0 ，$ 即 $∥ X_{n} - X ∥_{p} \to 0$	作业 2 第 1 题
$U_{n} \Rightarrow U$	依分布收敛	分布函数在极限分布的每个连续点上收敛。只在作业 2 里这样用；其他地方的 $\Rightarrow$ 都是「推出」	作业 2 第 4 题
$A_{n}$ i.o.	A_n 发生无穷多次	有无穷多个 $n$ 使 $A_{n}$ 发生，也就是集合 $lim sup_{n} A_{n}$	第 3 讲第 3 页
$lim sup 、$ $lim inf$	上极限、下极限	数列「尾部」最终能达到的最大值、最小值	基础补课第 8 节、第 1 讲第 40 页

基础补课运算与常用小记号

记号	读法	意思	在哪里讲
$sup A 、$ $in f A$	上确界、下确界	最小的上界、最大的下界	基础补课第 5 节、第 1 讲第 16 页
$x \land y 、$ $x \lor y$	x 与 y 取小、取大	$min (x, y) 、$ $max (x, y) ；$ 例如 $f \land n$ 把 $f$ 超过 $n$ 的部分削成 $n$	第 1 讲第 33 页
$⌊ x ⌋ 、$ $⌈ x ⌉$	向下取整、向上取整	不超过 $x$ 的最大整数、不小于 $x$ 的最小整数： $⌊ 2.7 ⌋ = 2 ，$ $⌈ 2.1 ⌉ = 3$	第 1 讲第 34 页
$\prod_{i = 1}^{n} a_{i}$	连乘	$a_{1} a_{2} \dots a_{n} ；$ 和 $\sum$ 一样，只是把「加」换成「乘」	—
$(k n)$	n 选 k（组合数）	从 $n$ 个东西里选 $k$ 个的方法数 $\frac{n !}{k ! ( n - k )!} ，$ 例如 $(2 4) = 6$	—
$e^{x} 、$ $exp (x)$	e 的 x 次方	指数函数，两种写法是一个意思； $e \approx 2.718$	—
$ln x 、$ $lo g x$	自然对数	以 $e$ 为底，是 $e^{x}$ 的反函数；本课的 $lo g$ 也是自然对数，写成 $lo g_{2}$ 才是以 2 为底	—
$x \mapsto f (x)$	x 映射到 f(x)	描述函数的规则： $x \mapsto x^{2}$ 就是「把 $x$ 变成 $x^{2} 」$ 的那个函数	基础补课第 3 节
$x^{T} 、$ $A^{T}$	转置	把行和列互换；列向量 $x$ 的 $x^{T} Σ x$ 是一个数	第 4 讲第 19 页
$det Σ$	行列式	2×2 矩阵时 $det (a c b d) = a d - b c$	第 4 讲第 19 页
$a \approx b$	约等于	数值上近似相等，例如 $2 \approx 1.414$	—
$g \propto h$	正比于	存在常数 $c$ 使 $g = c h$	—
$o (b_{n}) 、$ $O (b_{n})$	小 o、大 O	$a_{n} = o (b_{n}) ：$ $a_{n} / b_{n} \to 0 ，$ 比 $b_{n}$ 小得多； $a_{n} = O (b_{n}) ：$ $∣ a_{n} / b_{n} ∣$ 有界，至多和 $b_{n}$ 同一量级	—
$■$	证毕	证明到此结束	—
$:= 、$ $\equiv$	定义为、恒等于	$f (x) := x^{2}$ 是给 $x^{2}$ 起名叫 $f (x) ；$ $g \equiv 1$ 是说 $g$ 处处等于 1	基础补课第 1 节

基础补课常见英文缩写

缩写	英文全称	中文意思	在哪里讲
a.s.	almost surely	几乎必然：除了概率为 0 的情形，都成立	第 3 讲第 9 页
a.e.	almost everywhere	几乎处处：除了测度为 0 的集合，都成立	第 1 讲第 43 页
i.i.d.	independent and identically distributed	独立同分布	第 4 讲第 16 页
i.o.	infinitely often	无穷多次	第 3 讲第 3 页
iff	if and only if	当且仅当	基础补课第 1 节
s.t.	such that	使得	基础补课第 1 节
CDF	cumulative distribution function	累积分布函数 $F (x) = P (X \leq x)$	第 2 讲第 8 页
LOTUS	law of the unconscious statistician	无意识统计学家定律： $E g (X)$ 可以直接对 $X$ 的分布积分	第 2 讲第 7 页
MCT	monotone convergence theorem	单调收敛定理	第 1 讲第 36 页
DCT	dominated convergence theorem	控制收敛定理	第 1 讲第 44 页
BCT	bounded convergence theorem	有界收敛定理	第 1 讲第 46 页
WLLN	weak law of large numbers	弱大数定律	第 2 讲第 29 页
SLLN	strong law of large numbers	强大数定律	作业 1 第 3 题
CLT	central limit theorem	中心极限定理	作业 2 第 4 题
UI	uniformly integrable	一致可积	小测 2 第 2 题