14 逆变换法可以构造任何实值分布 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

给定任何一个 CDF $F ，$ 定义它的「广义反函数」 $Q_{F} (u) = in f {x : F (x) \geq u}$ ——「累积概率第一次达到 $u$ 的位置」。把一个 $(0, 1)$ 上的均匀随机数 $U$ 代进去， $X = Q_{F} (U)$ 的 CDF 恰好就是 $F$ 。所以只要会抽均匀随机数，就能造出任何实值分布。

位置：第 2 部分「用 CDF 计算期望」的第 7 页，开始「分位数三页」（本页定义，第 15 页指数分布，第 16 页 Pareto 分布）。
要解决的问题：第 8 页说「CDF 决定分布」，还留了一个尾巴——任何满足三条性质（单调不减、右连续、两端极限 0 和 1）的函数，是不是都是某个随机变量的 CDF？本页用构造回答：是，而且构造的方法很具体。
为什么要 inf： $F$ 可能有跳跃（方程 $F (x) = u$ 无解），也可能有平台（方程有无穷多个解），普通的反函数 $F^{- 1}$ 不存在。下确界 inf 同时解决了这两个问题。
用途：计算机模拟（随机数生成）的标准方法；理论上把「任意分布」化归为「均匀分布」，第 16 页还用它判断矩是否有限。

先补基础

基础补课下确界 inf

实数集合 $A$ 的下界是一个数 $m ，$ 满足「 $A$ 里每个元素都 $\geq m 」。$ 下确界 $in f A$ 是最大的下界。
例： $in f [2, \infty) = 2 ，$ 下确界属于集合，此时它就是最小值 $min 。$ $in f (2, \infty) = 2 ，$ 下确界不属于集合，这个集合没有最小值。所以 inf 比 min 更「保险」：有下界的非空实数集一定有下确界（实数的完备性），却不一定有最小值。
约定：集合没有下界时 $in f A = - \infty$ （例如 $in f R = - \infty ）；$ 空集 $in f \emptyset = + \infty 。$
一个常用事实：若 $m = in f A$ 是有限数，则对每个 $n ，$ 存在 $x_{n} \in A$ 使 $x_{n} < m + \frac{1}{n}$ （否则 $m + \frac{1}{n}$ 也是下界，比 $m$ 还大，矛盾）。所以总能在 $A$ 里找到一列点从右边逼近 $m 。$

基础补课均匀分布 Unif(0, 1)

$U \sim Unif (0, 1)$ 指 $P (U \leq t) = t$ （ $0 \leq t \leq 1 ），$ 取值在 $(0, 1)$ 里。标准的构造：在 $(Ω, F, P) = ((0, 1), B ((0, 1)), Leb)$ 上令 $U (ω) = ω ，$ 则 $P (U \leq t) = Leb ((0, t]) = t$ （第 16 页开头也是这个舞台）。本页只用一条： $t \in [0, 1]$ 时 $P (U \leq t) = t 。$

基础补课记号 F←、反函数与单调函数

若 $F$ 连续且严格递增，方程 $F (x) = u$ 对每个 $u \in (0, 1)$ 有唯一解，记作 $F^{- 1} (u) ，$ 叫反函数。例： $F (x) = 1 - e^{- x}$ （ $x \geq 0 ），$ 解 $1 - e^{- x} = u$ 得 $F^{- 1} (u) = - ln (1 - u) 。$
课件的 $F^{\leftarrow}$ （读作「F 的左箭头逆」）是广义反函数（generalized inverse）的常用记号。箭头提醒你：它不是真正的反函数，只是「反着读」 $F$ 的一种约定。
单调不减函数是博雷尔可测的： ${u : Q (u) \leq x}$ 只能是一个区间（第 10 页基础补课里对 $F$ 用过同样的论证）。本页会直接算出这个区间。

课件原文逐句精读

课件原文Inverse transform constructs every real law

Definition 13 (Generalized quantile) Let $F$ be nondecreasing, right-continuous, with limits 0 and 1. For $u \in (0, 1)$ define

Q_{F} (u) := F^{\leftarrow} (u) := in f {x \in R : F (x) \geq u} .

For a random variable $X$ , write $Q_{X} := Q_{F_{X}}$ .

Inverse-transform method If $U \sim Unif (0, 1)$ and $X = Q_{F} (U)$ , then $F_{X} = F$ . The key equivalence is

Q_{F} (u) \leq x ⟺ u \leq F (x) .

中文翻译

蓝条标题：逆变换法能构造出每一个实值分布。

定义 13（广义分位数） 设 $F$ 单调不减、右连续，两端极限为 0 和 1。对 $u \in (0, 1)$ 定义

Q_{F} (u) := F^{\leftarrow} (u) := in f {x \in R : F (x) \geq u} .

对随机变量 $X ，$ 记 $Q_{X} := Q_{F_{X}} 。$

逆变换法 若 $U \sim Unif (0, 1) ，$ $X = Q_{F} (U) ，$ 则 $F_{X} = F 。$ 关键的等价关系是

Q_{F} (u) \leq x ⟺ u \leq F (x) .

（证明课件留白，见下一节。）

① Let F be nondecreasing, right-continuous, with limits 0 and 1｜对 F 的三个要求

这正是第 8 页命题 A 里 CDF 的三条性质。注意这里没有说 $F$ 是某个随机变量的 CDF，只说它是满足三条性质的函数。本页的结论是：这样的函数一定是某个随机变量的 CDF。
三条性质各有用处：单调保证集合 ${x : F (x) \geq u}$ 是一条「向右无限延伸」的半直线；两端极限保证它非空、有下界，inf 是有限数；右连续保证 inf 能取到（见下面的引理）。

② For u ∈ (0, 1) define Q_F(u) := inf{x : F(x) ≥ u}｜广义分位数

分位数（quantile）： $u$ -分位数是「把概率切到 $u$ 的位置」。例如 $u = \frac{1}{2}$ 时是中位数：左边有一半的概率。
读法： ${x : F (x) \geq u}$ 是「累积概率已经达到 $u 」$ 的所有位置， $Q_{F} (u)$ 是其中最左边的那个——「累积概率第一次达到 $u$ 的地方」。
为什么只对 $u \in (0, 1)$ ： $u = 0$ 时所有 $x$ 都满足 $F (x) \geq 0 ，$ $Q_{F} (0) = in f R = - \infty ；$ $u = 1$ 时集合可能是空集（例如指数分布 $F (x) < 1$ 对所有 $x$ 成立）， $Q_{F} (1) = + \infty 。$ 两端都不是实数，所以排除。
generalized（广义）： $F$ 连续且严格递增时， $Q_{F}$ 就是普通反函数 $F^{- 1} ；$ 一般情形下它仍然有定义。

③ For a random variable X, write Q_X := Q_{F_X}｜记号

随机变量 $X$ 的分位数函数，就是它的 CDF 的分位数函数。例如 $Q_{X} (\frac{1}{2})$ 是 $X$ 的（最小的）中位数。

④ Inverse-transform method｜逆变换法

If $U \sim Unif (0, 1)$ and $X = Q_{F} (U)$ , then $F_{X} = F$ ：把均匀随机数送进 $Q_{F} ，$ 出来的随机变量的 CDF 就是 $F 。$ 「逆变换」的意思是： $F$ 把 $x$ 变成概率 $u ，$ $Q_{F}$ 反过来把概率 $u$ 变回 $x 。$
The key equivalence（关键等价）： $Q_{F} (u) \leq x ⟺ u \leq F (x) 。$ 它把关于 $Q_{F}$ 的不等式翻译成关于 $F$ 的不等式。整个逆变换法只靠这一行： $P (Q_{F} (U) \leq x) = P (U \leq F (x)) = F (x) 。$

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

引理（inf 能取到）

设 $F$ 满足定义 13 的三个条件， $u \in (0, 1) 。$ 则 $Q_{F} (u)$ 是有限实数，并且

{x \in R : F (x) \geq u} = [Q_{F} (u), \infty), 特别地 F (Q_{F} (u)) \geq u .

定理（关键等价与逆变换法）

设 $F$ 满足定义 13 的三个条件。

对所有 $u \in (0, 1)$ 和 $x \in R ：$ $Q_{F} (u) \leq x ⟺ u \leq F (x) 。$
$Q_{F}$ 在 $(0, 1)$ 上单调不减，因此博雷尔可测。
若 $U \sim Unif (0, 1) ，$ 则 $X := Q_{F} (U)$ 是实值随机变量，且 $F_{X} = F 。$
推论：每个满足三条性质的函数都是某个随机变量的 CDF；对任何实值随机变量 $X ，$ $Q_{X} (U)$ 与 $X$ 同分布。

推导证明思路

先证引理：集合 $A_{u} = {x : F (x) \geq u}$ 「往右封闭」，所以是一条半直线；两端极限说明它非空、有下界；右连续说明它包含左端点。有了引理，关键等价就是「 $x$ 属于这条半直线」的两种说法。逆变换法只需把关键等价代入 $P (U \leq t) = t 。$

第 1 步： $A_{u}$ 往右封闭。 记 $A_{u} = {x \in R : F (x) \geq u} 。$ 若 $x \in A_{u}$ 且 $y > x ，$ 则由单调性 $F (y) \geq F (x) \geq u ，$ 所以 $y \in A_{u} 。$ 也就是说： $A_{u}$ 里一个点右边的所有点也都在 $A_{u}$ 里。

第 2 步： $A_{u}$ 非空、有下界，inf 是有限数。

非空： $lim_{x \to + \infty} F (x) = 1 > u ，$ 所以存在某个 $x_{1}$ 使 $F (x_{1}) > u ，$ $x_{1} \in A_{u} 。$
有下界： $lim_{x \to - \infty} F (x) = 0 < u ，$ 所以存在某个 $x_{0}$ 使 $F (x_{0}) < u 。$ 对任何 $x \leq x_{0} ，$ $F (x) \leq F (x_{0}) < u ，$ $x \in / A_{u} 。$ 所以 $A_{u}$ 里的点都 $> x_{0} ，$ $x_{0}$ 是一个下界。

有下界的非空集合有有限的下确界，所以 $Q_{F} (u) = in f A_{u} \in R 。$

第 3 步：右连续让 inf 取到。 记 $q = Q_{F} (u) 。$ 由 inf 的性质（基础补课），存在 $x_{n} \in A_{u} ，$ $q \leq x_{n} < q + \frac{1}{n} 。$ 把 $x_{n}$ 换成 $y_{n} = q + \frac{1}{n} ：$ 因为 $y_{n} > x_{n} ，$ 由第 1 步 $y_{n} \in A_{u} ，$ 即 $F (q + \frac{1}{n}) \geq u 。$ 令 $n \to \infty ，$ 由右连续

F (q) = n \to \infty lim F (q + \frac{1}{n}) \geq u,

所以 $q \in A_{u} 。$ 再由第 1 步， $[q, \infty) \subseteq A_{u} ；$ 又 $A_{u}$ 里的点都 $\geq q$ （ $q$ 是下界），所以 $A_{u} \subseteq [q, \infty) 。$ 两边包含， $A_{u} = [q, \infty) 。$ 引理得证。

第 4 步：关键等价。 由引理，

u \leq F (x) ⟺ x \in A_{u} ⟺ x \in [Q_{F} (u), \infty) ⟺ Q_{F} (u) \leq x .

第 5 步：单调与可测。 若 $u < u^{'} ，$ 则 $F (x) \geq u^{'}$ 推出 $F (x) \geq u ，$ 所以 $A_{u^{'}} \subseteq A_{u} 。$ 小集合的下确界不小于大集合的下确界， $Q_{F} (u) \leq Q_{F} (u^{'}) 。$ 可测性可以直接算：由关键等价，对每个 $x ，$

{u \in (0, 1) : Q_{F} (u) \leq x} = {u \in (0, 1) : u \leq F (x)} = (0, 1) \cap (0, F (x)],

是一个区间（可能是空集），属于博雷尔集。由半直线生成博雷尔 σ-代数（第 4 页）， $Q_{F}$ 博雷尔可测。

第 6 步：逆变换法。 $U$ 取值在 $(0, 1)$ 里， $X = Q_{F} (U)$ 是可测函数与随机变量的复合，是随机变量（第 4 页）。对任意 $x \in R ，$

F_{X} (x) = P (Q_{F} (U) \leq x) = P (U \leq F (x)) = F (x) .

第二个等号：两个事件逐点相同（第 4 步，对每个 $ω$ 代入 $u = U (ω) ）。$ 第三个等号： $F (x) \in [0, 1] ，$ 而 $P (U \leq t) = t 。$

第 7 步：推论。 给定满足三条性质的 $F ，$ 第 6 步造出的 $X$ 的 CDF 就是 $F ，$ 所以 $F$ 是一个 CDF。对随机变量 $X ，$ $Q_{X} (U)$ 的 CDF 是 $F_{X} ，$ 由第 8 页定理 C， $Q_{X} (U)$ 与 $X$ 同分布。证毕。

为什么用 ≥ 而不是 >

若定义 $Q^{+} (u) = in f {x : F (x) > u} ，$ 在没有平台的地方它与 $Q_{F}$ 相同；在平台高度 $u_{0}$ 处， $Q_{F} (u_{0})$ 取平台左端， $Q^{+} (u_{0})$ 取平台右端。平台的高度至多可数个（不同的平台互不相交，每个平台的内部至少含一个有理数，于是可以用有理数给平台编号），所以 $Q^{+} (U) = Q_{F} (U)$ 的概率为 1，两者给出同一个分布。课件选 $\geq ，$ 是因为只有这样才有干净的「关键等价」；用 $>$ 时第 3 步的「inf 取到」会失败。

一个顺带的公式：期望 = 分位数函数的积分

在标准舞台 $((0, 1), B, Leb)$ 上， $X := Q_{X} (U)$ 与原来的 $X$ 同分布，期望只依赖分布（第 7 页），所以

E X = \int_{0}^{1} Q_{X} (u) d u (只要期望存在) .

第 13 页最后用它第三次核对了 $\frac{3}{4} ，$ 第 16 页用它判断 Pareto 分布哪些矩有限。

图解

图解：「横着走，碰到就往下落」

课件这里没有图。用一张 CDF 的图就能求 $Q_{F} (u) ：$

在纵轴上找到高度 $u ，$ 从左往右画一条水平线。
一直走到第一次碰到 $F$ 的图像为止。跳跃处要把竖直的缺口也看成图像的一部分（从 $F (c -)$ 到 $F (c)$ 的竖线段）。
从碰到的点竖直往下落到横轴，落点就是 $Q_{F} (u) 。$

三种情形：

斜坡（ $F$ 连续严格递增）：水平线恰好碰到一个点， $Q_{F} (u)$ 就是方程 $F (x) = u$ 的唯一解，与普通反函数相同。
跳跃（ $F$ 在 $c$ 处从 $F (c -)$ 跳到 $F (c) ）：$ 所有 $u \in (F (c -), F (c)]$ 的水平线都碰到 $c$ 处的竖直缺口，全部落到 $c 。$ 这一段 $u$ 的长度 $F (c) - F (c -) = P (X = c)$ ——原子被原样复制出来。此时方程 $F (x) = u$ 无解，普通反函数不存在。
平台（ $F$ 在 $[s, t)$ 上等于常数 $u_{0} ）：$ 高度 $u_{0}$ 的水平线在 $x = s$ 处第一次碰到图像，落到 $s ；$ 稍高一点的 $u$ 直接越过整个平台。所以没有 $u$ 落在 $(s, t)$ 里——平台上本来就没有概率。此时方程 $F (x) = u_{0}$ 有无穷多个解，inf 选了最左边那个。

动手试一试逆变换：拖动 u，看落点 Q(u)

先选「离散：取 0、1、2 的概率为 0.2、0.5、0.3」，把 $u$ 从 0.01 拖到 0.99： $u \leq 0.2$ 时落在 0， $0.2 < u \leq 0.7$ 时落在 1，之后落在 2——三段 $u$ 的长度正是三个原子的概率。再选「混合型」和「指数分布」，对照上面说的跳跃、平台、斜坡三种情形。

例子

例 1：三点分布——跳跃处的 inf

$X$ 取 $0, 1, 2 ，$ 概率 $0.2, 0.5, 0.3 。$ $F ：$ $x < 0$ 时 0， $[0, 1)$ 上 $0.2 ，$ $[1, 2)$ 上 $0.7 ，$ $x \geq 2$ 时 1。按定义逐段求 $Q_{F} (u) ：$

$0 < u \leq 0.2 ：$ $F (x) \geq u$ 当且仅当 $x \geq 0$ （ $x < 0$ 时 $F = 0 < u ），$ $A_{u} = [0, \infty) ，$ $Q_{F} (u) = 0 。$
$0.2 < u \leq 0.7 ：$ $x < 1$ 时 $F \leq 0.2 < u ，$ $x \geq 1$ 时 $F \geq 0.7 \geq u ，$ $Q_{F} (u) = 1 。$
$0.7 < u < 1 ：$ 只有 $x \geq 2$ 满足， $Q_{F} (u) = 2 。$

于是 $P (Q_{F} (U) = 1) = P (0.2 < U \leq 0.7) = 0.5 ，$ 三个概率都对上了。注意 $u = 0.2$ 这种「恰好等于平台高度」的点落在 0 而不是 1——这就是 $\geq$ 的约定。

例 2：第 13 页的混合型分布

$F ：$ $x < 0$ 时 0， $[0, 1)$ 上 $\frac{1}{2} ，$ $[1, 2)$ 上 $\frac{x}{2} ，$ $x \geq 2$ 时 1。

$0 < u \leq \frac{1}{2} ：$ $F (0) = \frac{1}{2} \geq u ，$ $x < 0$ 时 $F = 0 < u ，$ 所以 $Q_{F} (u) = 0 。$
$\frac{1}{2} < u < 1 ：$ $[0, 1)$ 上 $F = \frac{1}{2} < u ；$ 在 $[1, 2)$ 上 $\frac{x}{2} \geq u ⟺ x \geq 2 u ，$ 而 $2 u \in (1, 2) 。$ 所以 $A_{u} = [2 u, \infty) ，$ $Q_{F} (u) = 2 u 。$

$Q_{F} (U) ：$ 以概率 $\frac{1}{2}$ 等于 0；以概率 $\frac{1}{2}$ 等于 $2 U ，$ 此时 $U$ 在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上均匀， $2 U$ 在 $(1, 2)$ 上均匀。与第 13 页读出的结构完全一致。

例 3（反例）：去掉右连续，关键等价就失败

$G (x) = 0$ （ $x \leq 0 ），$ $G (x) = 1$ （ $x > 0 ）。$ 它单调、两端极限为 0 和 1，但在 0 处不右连续（第 8 页例 3）。对任何 $u \in (0, 1) ，$ ${x : G (x) \geq u} = (0, \infty) ，$ $Q_{G} (u) = in f (0, \infty) = 0 ，$ 但 inf 取不到（ $G (0) = 0 < u ）。$

关键等价失败：取 $x = 0 ，$ 左边 $Q_{G} (u) = 0 \leq 0$ 成立，右边 $u \leq G (0) = 0$ 不成立。
逆变换法失败： $Q_{G} (U) \equiv 0 ，$ 它的 CDF 在 0 处等于 1，不等于 $G (0) = 0 。$

所以定义里的「right-continuous」不是装饰，第 3 步的证明正是在这里用到它。

常见疑问与易错点

易错点问：Q_F 是 F 的反函数吗？Q_F(F(x)) = x 吗？

答：一般不是。只有 $F$ 连续且严格递增时两者才互为反函数。例 1 中 $F (0.5) = 0.2 ，$ 而 $Q_{F} (0.2) = 0 \neq = 0.5$ ——平台上的点被「压」到了平台左端。反过来， $F (Q_{F} (u)) \geq u$ 总成立（引理），但可以严格大于：例 1 中 $F (Q_{F} (0.5)) = F (1) = 0.7 > 0.5 ，$ 这是因为 $u = 0.5$ 落在跳跃的缺口里。

易错点问：为什么用 inf 而不直接用 min？

答：定义的时候还不知道最小值存不存在——集合 ${x : F (x) \geq u}$ 有可能像 $(0, \infty)$ 一样没有最小元（例 3）。用 inf 保证 $Q_{F} (u)$ 总有定义；再用右连续证明 inf 恰好取到，所以对 CDF 而言 inf 就是 min。先用稳妥的定义，再证明它有好性质，这是数学里常见的做法。

易错点问：逆变换法里 U 必须定义在 (0, 1) 这个具体的 Ω 上吗？

答：不必。任何概率空间上的任何 $U \sim Unif (0, 1)$ 都行，证明只用了 $P (U \leq t) = t 。$ 若 $U$ 偶尔（概率 0）取到 0 或 1，在那个零概率事件上随便给 $X$ 一个值即可，不影响分布。标准舞台 $((0, 1), B, Leb)$ 只是最方便的选择：在它上面，一个概率空间就能装下所有实值分布。

小结与自测

小结本页小结

定义 13： $Q_{F} (u) = in f {x : F (x) \geq u} ，$ $u \in (0, 1) ，$ 「累积概率第一次达到 $u$ 的位置」。
引理： ${x : F (x) \geq u} = [Q_{F} (u), \infty) 。$ 单调给出半直线，两端极限给出有限，右连续给出 inf 取到。
关键等价 $Q_{F} (u) \leq x ⟺ u \leq F (x) ，$ 于是 $P (Q_{F} (U) \leq x) = P (U \leq F (x)) = F (x) ：$ 每个满足三条性质的函数都是 CDF。
图像：横着走、碰到图像（含跳跃缺口）就往下落；跳跃复制原子，平台上不落点。

自测

1. 伯努利分布 $P (X = 1) = p ，$ $P (X = 0) = 1 - p 。$ 写出 $Q_{X} (u) ，$ 并验证 $P (Q_{X} (U) = 1) = p 。$

点开看答案

$F ：$ $x < 0$ 时 0， $[0, 1)$ 上 $1 - p ，$ $x \geq 1$ 时 1。 $0 < u \leq 1 - p$ 时 $Q_{X} (u) = 0 ；$ $1 - p < u < 1$ 时 $Q_{X} (u) = 1 。$ 所以 $P (Q_{X} (U) = 1) = P (U > 1 - p) = 1 - (1 - p) = p 。$

2. $F (x) = x^{2}$ （ $0 \leq x \leq 1 ），$ $x < 0$ 时 0， $x > 1$ 时 1。求 $Q_{F} (u) ，$ 并说明如何用均匀随机数生成这个分布。

点开看答案

$F$ 在 $[0, 1]$ 上连续严格递增，解 $x^{2} = u$ （ $x \geq 0 ）$ 得 $Q_{F} (u) = u 。$ 所以 $X = U$ 的 CDF 是 $x^{2} ：$ $P (U \leq x) = P (U \leq x^{2}) = x^{2} 。$

3. 在引理的证明里，哪一步用到了右连续？去掉它会出什么问题？

点开看答案

第 3 步：由 $F (q + \frac{1}{n}) \geq u$ 推出 $F (q) \geq u ，$ 用的是 $F (q) = lim_{n} F (q + \frac{1}{n}) 。$ 去掉右连续，inf 可能取不到，集合变成 $(q, \infty) ，$ 关键等价在 $x = q$ 处失败，例 3 就是这种情况。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
分位数	quantile	Q(u) = inf{x : F(x) ≥ u}，是 CDF 的「广义反函数」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
指数分布	exponential distribution	P(X > x) = e^(−λx)（x ≥ 0）的分布，均值 1/λ，常用来描述等待时间。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
反函数	inverse function	f 把不同的输入送到不同的输出时，反函数 f⁻¹ 把输出送回原来的输入：f⁻¹(f(x)) = x。例：ln 是 eˣ 的反函数。注意：集合的原像 f⁻¹(D) 不需要反函数存在。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
下界	lower bound	数集 A 的下界是一个数 m，A 里每个数都 ≥ m。例如 0 和 −3 都是 (0,1] 的下界；所有下界中最大的那个叫下确界。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
逆变换法	inverse transform method	U 服从 (0,1) 上的均匀分布时，Q(U) 的分布函数恰好是 F，用来生成任意分布。
等价关系	equivalence relation	满足自反、对称、传递的「相似」关系，能把集合分成互不重叠的等价类。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。