04 独立序列依概率收敛时，极限只能是常数 · 小测2

这道题在问什么

人话版一句话版

如果 $X_{1}, X_{2}, \dots$ 相互独立，并且依概率收敛到 $X ，$ 那么 $X$ 几乎必然是一个常数。直观理解： $X$ 由序列「很远的尾巴」决定；而独立性让尾巴和任何有限个 $X_{n}$ 都无关，甚至和它自己也无关。一个随机变量和自己独立，只能是常数。几乎必然收敛是依概率收敛的特例，所以那种情形的答案也是「是」。

考点：独立性（第 4 讲第 16 页、第 18 页；第 3 讲第 6 页）、依概率收敛（第 3 讲第 14 页）、有界依概率收敛下期望的收敛（第 3 讲第 20 页），以及 Kolmogorov 0-1 律。
答题结构：题目有两问：依概率收敛的情形（要证明），几乎必然收敛的情形（问能否得到同样结论）。
和讲义的关系：第 4 讲第 17 页证明过「非退化的 i.i.d. 序列几乎必然不收敛」，本题是它的推广：不要求同分布，结论是极限必须退化。

先补基础

基础补课方差为 0 的随机变量是常数

若 $E Y^{2} < \infty$ 且 $Var Y = E (Y - E Y)^{2} = 0 ，$ 则 $(Y - E Y)^{2}$ 是一个积分为 0 的非负函数，几乎必然为 0，所以 $Y = E Y$ 几乎必然。

基础补课独立随机变量的函数仍然独立，乘积的期望可以拆开

若 $X_{n} 、$ $X_{m}$ 独立（ $n \neq = m ），$ $h$ 是有界的博雷尔函数，则 $h (X_{n}) 、$ $h (X_{m})$ 也独立（第 4 讲第 16 页命题 3），并且

E [h (X_{n}) h (X_{m})] = E h (X_{n}) \cdot E h (X_{m})

（第 4 讲第 10 页的推论）。

基础补课有界序列：依概率收敛 ⇒ 期望收敛

若 $∣ W_{n} ∣ \leq C ，$ $W_{n} \to W$ 依概率（于是 $∣ W ∣ \leq C$ a.s.），则 $E W_{n} \to E W 。$

理由：对任意 $ε > 0 ，$ 把 $E ∣ W_{n} - W ∣$ 按 ${∣ W_{n} - W ∣ \leq ε}$ 拆开：

E W_{n} - E W \leq E ∣ W_{n} - W ∣ \leq ε + 2 C P (∣ W_{n} - W ∣ > ε) n \to \infty ε .

$ε$ 任意，所以极限为 0。这是第 3 讲第 20 页依概率控制收敛定理的特例（控制函数是常数 $C ）。$

基础补课Kolmogorov 0-1 律（这里作为已知结论使用）

设 $X_{1}, X_{2}, \dots$ 独立。尾 σ-代数 $T = ⋂_{n \geq 1} σ (X_{n}, X_{n + 1}, \dots)$ 由「改动任意有限个 $X_{n}$ 都不影响是否发生」的事件组成。Kolmogorov 0-1 律： $T$ 中每个事件的概率只能是 0 或 1。推论：关于 $T$ 可测的随机变量几乎必然是常数。（Durrett《Probability: Theory and Examples》定理 2.5.3。）

尾事件的例子：「 $X_{n}$ 收敛」「 $\sum X_{n}$ 收敛」「 $lim sup X_{n} \leq x 」。$ 第 4 讲第 17 页已经在 i.i.d. 情形下见过「收敛」这个尾事件。

题目与原解答

课件原文题目

If $X_{n} \to X$ in probability, and ${X_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ are independent, show that $X$ must be a constant random variable. How about the case $X_{n} \to X$ a.s., can we get the limit is a constant random variable?

*** You may try to the proof by contradiction.

中文翻译

若 $X_{n} \to X$ 依概率收敛，并且 ${X_{n}}$ 相互独立，证明 $X$ 必为常数随机变量。如果 $X_{n} \to X$ 几乎必然收敛，能否得到极限是常数？

*** 提示：可以试试反证法。

「常数随机变量」应理解为几乎必然等于某个常数：在零概率事件上改动 $X$ 不影响依概率收敛，所以只能证到「几乎必然是常数」。
try to the proof 应为 try the proof。

原解答的思路（左栏方框）：

依概率收敛：反证。若 $X$ 不是常数，取 $a < b$ 使 $P (X < a) 、$ $P (X > b)$ 都 $\geq ε ；$ $n, m$ 很大时，独立性使「 $X_{n} < a$ 且 $X_{m} > b 」$ 有正概率；可依概率收敛又使 $X_{n} 、$ $X_{m}$ 都离 $X$ 很近，两者矛盾。另一种写法：取几乎必然收敛的子列。
几乎必然收敛：用 Kolmogorov 0-1 律， $F (x) = P (X \leq x)$ 满足 $F (x) = F (x)^{2} ，$ 只能取 0 或 1，所以 $X$ 是常数。

思路正确，但几处写得不严谨（见「原解答逐行对照」）。下面先给一个不用 0-1 律的初等证明，再把原解答的反证法写严格。

思路：怎么想到的

关键现象：如果 $X$ 是「随机」的，那么相隔很远的 $X_{n}$ 和 $X_{m}$ 都接近同一个随机的 $X ，$ 它们应该高度相关；可它们是独立的，毫不相关。两者冲突，除非 $X$ 根本不随机。
怎么量化「相关」：用乘积的期望。独立给出 $E [h (X_{n}) h (X_{m})] = E h (X_{n}) E h (X_{m}) ；$ 取极限，左边趋于 $E [h (X)^{2}] ，$ 右边趋于 $(E h (X))^{2} 。$ 两者相等就是 $Var h (X) = 0 。$
为什么要套一个 $h$ ： $X$ 不一定有期望。取有界的 $h$ 可以避开可积性问题；取严格单调的 $h ，$ 「 $h (X)$ 是常数」就推出「 $X$ 是常数」。

完整解答

(1) 依概率收敛的情形

取 $h (x) = arctan x 。$ 它有界（ $∣ h ∣ < \frac{π}{2} ）、$ 连续、严格递增，并且 $∣ h (a) - h (b) ∣ \leq ∣ a - b ∣$ （中值定理， $h^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} \leq 1 ）。$

第 1 步（ $h (X_{n}) \to h (X)$ 依概率）： $P (∣ h (X_{n}) - h (X) ∣ > ε) \leq P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \to 0 。$

第 2 步（乘积也依概率收敛）：令 $W_{n} = h (X_{n}) h (X_{n + 1}) 。$ 由 $∣ h ∣ \leq \frac{π}{2} ，$

W_{n} - h (X)^{2} \leq ∣ h (X_{n}) ∣ ∣ h (X_{n + 1}) - h (X) ∣ + ∣ h (X) ∣ ∣ h (X_{n}) - h (X) ∣ \leq \frac{π}{2} (∣ h (X_{n + 1}) - h (X) ∣ + ∣ h (X_{n}) - h (X) ∣),

右边两项都依概率趋于 0，所以 $W_{n} \to h (X)^{2}$ 依概率。

第 3 步（取期望）： $W_{n} 、$ $h (X_{n})$ 都有界，由「有界序列：依概率收敛 ⇒ 期望收敛」，

E W_{n} \to E [h (X)^{2}], E h (X_{n}) \to E h (X), E h (X_{n + 1}) \to E h (X) .

第 4 步（用独立性）： $X_{n}$ 与 $X_{n + 1}$ 独立，所以 $E W_{n} = E h (X_{n}) \cdot E h (X_{n + 1}) 。$ 令 $n \to \infty ，$ 两边分别趋于 $E [h (X)^{2}]$ 和 $(E h (X))^{2} ，$ 于是

Var h (X) = E [h (X)^{2}] - (E h (X))^{2} = 0.

第 5 步（结论）：由「方差为 0 的随机变量是常数」， $h (X) = c$ 几乎必然，其中 $c \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ （ $h$ 的取值都在这个开区间里）。 $h$ 严格递增，有反函数 $tan ，$ 所以 $X = tan c$ 几乎必然。 $■$

注意这个证明只用到了相邻两项 $X_{n} 、$ $X_{n + 1}$ 独立。

(2) 几乎必然收敛的情形

能。几乎必然收敛推出依概率收敛（第 3 讲第 14 页），所以 (1) 直接给出结论： $X$ 几乎必然是常数。不需要另外证明。

另一种证法：原解答的反证法（写严格）

设 $X$ 不是几乎必然的常数。

第 1 步（找两个分开的区域）： $X$ 的分布函数 $F$ 不只取 0 和 1（否则 $X$ 是常数，见「拓展延伸」），所以存在 $x_{0}$ 使 $0 < F (x_{0}) < 1 。$ 令 $α = P (X \leq x_{0}) > 0 ；$ 又 $P (X > x_{0}) > 0 ，$ 由从下连续性，存在 $k$ 使 $β := P (X \geq x_{0} + \frac{1}{k}) > 0 。$ 记 $a = x_{0} ，$ $b = x_{0} + \frac{1}{k} ，$ $δ = \frac{b - a}{3} 。$

第 2 步（ $X_{n}$ 也常常落在两边）： ${X \leq a} \subseteq {X_{n} < a + δ} \cup {∣ X_{n} - X ∣ \geq δ} ，$ 所以

P (X_{n} < a + δ) \geq α - P (∣ X_{n} - X ∣ \geq δ) \geq \frac{α}{2} (n 充分大),

同样， ${X \geq b} \subseteq {X_{m} > b - δ} \cup {∣ X_{m} - X ∣ \geq δ} ，$ 所以 $P (X_{m} > b - δ) \geq β - P (∣ X_{m} - X ∣ \geq δ) \geq \frac{β}{2}$ （ $m$ 充分大）。

第 3 步（独立性给出正概率）：取充分大的 $n \neq = m ，$ 由独立性，

P (X_{n} < a + δ, X_{m} > b - δ) = P (X_{n} < a + δ) P (X_{m} > b - δ) \geq \frac{α β}{4} > 0.

第 4 步（依概率收敛给出矛盾）：在上面的事件上， $X_{m} - X_{n} > (b - δ) - (a + δ) = δ 。$ 所以

\frac{α β}{4} \leq P (∣ X_{m} - X_{n} ∣ > δ) \leq P (∣ X_{m} - X ∣ > \frac{δ}{2}) + P (∣ X_{n} - X ∣ > \frac{δ}{2}) n, m \to \infty 0,

矛盾。所以 $X$ 几乎必然是常数。 $■$

原解答逐行对照

「there are some $a < b$ and $ε$ such that $P (X < a) \geq ε$ and $P (X > b) \geq ε 」$ ：意思是「存在 $a < b$ 和 $ε ，$ 使 $P (X < a) \geq ε$ 且 $P (X > b) \geq ε 」。$ 对非常数的 $X ，$ 这样的 $a < b$ 确实存在，但需要论证（上面第 1 步）。
「Convergence in probability implies convergence in distribution, so ... $P (X_{n} < a) \geq ε /2 」$ ：意思是「依概率收敛推出依分布收敛，所以…… $P (X_{n} < a) \geq ε /2 」。$ 依分布收敛只保证分布函数在连续点收敛， $a$ 不一定是连续点；而且绕到依分布收敛完全没必要。直接用第 2 步的包含关系即可。
「Therefore with probability $(ε /2)^{2} > 0$ ... ${X_{n} < a}$ and ${X_{m} > b}$ happen at the same time」：意思是「所以 ${X_{n} < a}$ 和 ${X_{m} > b}$ 以 $(ε /2)^{2} > 0$ 的概率同时发生」。这里用了独立性（ $n \neq = m ），$ 正确。
「the probability of events $∣ X_{n} - X ∣ \leq δ$ and $∣ X_{m} - X ∣ \leq δ$ is also 1」：意思是「事件 $∣ X_{n} - X ∣ \leq δ$ 与 $∣ X_{m} - X ∣ \leq δ$ （同时发生）的概率也是 1」。应为「趋于 1」，有限的 $n, m$ 上这个概率一般不是 1。
「so it is impossible」：需要写出矛盾的不等式（上面第 4 步）。
「a subsequence that converges almost surely, but infinitely often we have $X_{n} < a$ and also infinitely often $X_{n} > b 」$ ：意思是「（有）一个几乎必然收敛的子列，但无穷多次 $X_{n} < a ，$ 也无穷多次 $X_{n} > b 」。$ 这个想法可以写成严格证明：由第二 Borel–Cantelli 引理（独立 + 概率之和无穷）， $X_{n} < a + δ$ 和 $X_{n} > b - δ$ 都几乎必然发生无穷多次，于是任何子列……要小心：子列是事先固定的，需要对子列本身再用一次 Borel–Cantelli。
几乎必然情形：「 $F (X) = P (X \leq x) 」$ 应为 $F (x) ；$ 「 ${X \leq x} = {X \leq x} \cap {X \leq x}$ we get $F (x) = F (x) F (x) 」$ 的真正理由是： ${X \leq x}$ （修改一个零概率事件后）是尾事件，而 0-1 律的证明表明尾事件与自己独立，所以 $P (A) = P (A \cap A) = P (A)^{2} 。$

易错点原解答的问题：几乎必然的情形其实不用单独证明

几乎必然收敛 ⇒ 依概率收敛，所以第二问的答案直接由第一问得出。原解答又用 0-1 律重新证了一遍，结论对，但没有指出这一点；而且没有说明 ${X \leq x}$ 为什么属于尾 σ-代数（理由： $X = lim sup_{n} X_{n}$ 几乎必然，而 $lim sup_{n} X_{n}$ 不受任何有限个 $X_{n}$ 影响）。

易错点原解答的问题：依分布收敛只在连续点成立

「依概率收敛 ⇒ 依分布收敛 ⇒ $P (X_{n} < a) \to P (X < a) 」$ 这条推理在 $a$ 是 $X$ 分布函数的跳跃点时可能失败。应该像第 2 步那样直接估计，或者选 $a$ 为连续点（连续点稠密，总能选到）。

例子与数值验证

例 1：收敛到常数的独立序列

$X_{n} = c + \frac{Z _{n}}{n} ，$ $Z_{n}$ i.i.d. $N (0, 1) 。$ $X_{n}$ 独立， $P (∣ X_{n} - c ∣ > ε) = P (∣ Z_{1} ∣ > n ε) \to 0 ，$ 依概率收敛到常数 $c$ （实际上几乎必然收敛），和结论一致。

例 2：去掉独立性，结论就错了

$X_{n} = X$ 对所有 $n$ 成立， $X \sim N (0, 1) 。$ $X_{n} \to X$ 成立（每一项都等于 $X ，$ 当然收敛），极限却不是常数。这里 $X_{n}$ 之间完全相关，远不是独立的。

例 3：换成依分布收敛，结论也不成立

$X_{n}$ i.i.d. $N (0, 1) 。$ 每个 $X_{n}$ 的分布都是 $N (0, 1) ，$ 所以 $X_{n}$ 依分布收敛到 $N (0, 1) ，$ 极限分布不是常数。依分布收敛只看各自的分布，不要求 $X_{n}$ 与某个固定的 $X$ 在同一个 $ω$ 上靠近。这说明题目里「依概率」不能换成「依分布」。由本题，这个序列不可能依概率收敛（和第 4 讲第 17 页的结论一致）。

拓展延伸

分布函数只取 0、1 ⇒ 常数

若 $F (x) = P (X \leq x) \in {0, 1}$ 对所有 $x$ 成立，令 $c = sup {x : F (x) = 0}$ （ $F$ 单调，非常数部分只有一个跳跃点）。则 $x < c$ 时 $F (x) = 0 ，$ $x \geq c$ 时 $F (x) = 1$ （右连续），所以 $P (X = c) = F (c) - F (c -) = 1 。$ 这是原解答最后一段的推理，也是上面反证法第 1 步的依据。

Kolmogorov 0-1 律为什么成立（思路）

设 $A \in T 。$ 对每个 $n ，$ $A \in σ (X_{n + 1}, X_{n + 2}, \dots) ，$ 它与 $σ (X_{1}, \dots, X_{n})$ 独立。于是 $A$ 与 $⋃_{n} σ (X_{1}, \dots, X_{n})$ 中的每个事件独立；用 π-λ 定理（第 4 讲第 7 页）推广到它生成的 σ-代数 $σ (X_{1}, X_{2}, \dots) ，$ 而 $A$ 自己就在里面。所以 $A$ 与自己独立： $P (A) = P (A)^{2} ，$ $P (A) \in {0, 1} 。$

进一步的应用

随机级数： $X_{n}$ 独立时， $\sum X_{n}$ 收敛的概率只能是 0 或 1（收敛是尾事件）。Kolmogorov 三级数定理给出它是 1 的充要条件。
大数定律的极限是常数： $\frac{S _{n}}{n}$ 若几乎必然收敛，极限是尾 σ-代数可测的，因而是常数。强大数定律说这个常数就是 $E X_{1} 。$
Hewitt–Savage 0-1 律：对 i.i.d. 序列，「交换任意有限个下标都不变」的事件，概率也只能是 0 或 1。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么不直接证明「X 与自己独立」？

答：要说 $X$ 与自己独立，得先知道 $X$ 关于尾 σ-代数可测；依概率收敛时 $X$ 不一定是「尾巴的函数」（只能说它几乎必然等于一个子列的极限）。用 0-1 律可以做到，但需要子列论证。上面的初等证明绕开了这一点，只用了「乘积的期望可以拆开」。

易错点问：证明里为什么只用了 Xₙ 和 Xₙ₊₁？

答：只需要每对相邻项独立就够了（甚至只要每对 $X_{n}, X_{m} 、$ $m \neq = n$ 中有无穷多对独立）。题目给的「相互独立」比证明需要的条件强。

易错点问：h 一定要选 arctan 吗？

答：不一定。任何有界、连续、严格单调的函数都行，例如 $h (x) = \frac{x}{1 + ∣ x ∣} 。$ 有界保证期望存在且能取极限，严格单调保证能从 $h (X)$ 是常数推回 $X$ 是常数。

小结与自测

小结本题小结

独立序列依概率收敛到 $X$ ⇒ $X$ 几乎必然是常数；几乎必然收敛是特例，结论同样成立。
初等证明：取 $h = arctan ，$ 由独立性 $E [h (X_{n}) h (X_{n + 1})] = E h (X_{n}) E h (X_{n + 1}) ，$ 取极限得 $Var h (X) = 0 。$
反证法： $X$ 若不是常数，独立性使「 $X_{n}$ 在左、 $X_{m}$ 在右」有正概率，与 $∣ X_{n} - X_{m} ∣ \to 0$ （依概率）矛盾。
0-1 律视角：极限是尾巴的函数，尾事件概率只能是 0 或 1。
原解答：依分布收敛的使用不严谨（连续点），「概率为 1」应为「趋于 1」，几乎必然情形可直接由第一问得出。

自测

1. 设 $X_{n}$ 独立， $X_{n} \to X$ 依概率，且 $E X_{n} = 5 、$ $∣ X_{n} ∣ \leq 10 。$ $X$ 等于多少？

点开看答案

由本题 $X$ 几乎必然是常数 $c ；$ $X_{n}$ 有界，由有界序列的期望收敛， $E X_{n} \to E X = c ，$ 所以 $c = 5 。$

2. 举一个独立序列的例子，它依分布收敛但不依概率收敛。

点开看答案

i.i.d. 的 $N (0, 1)$ 序列：依分布收敛到 $N (0, 1) ；$ 若依概率收敛，极限必为常数，可每个 $X_{n}$ 都是 $N (0, 1) ，$ 与「趋于常数」矛盾（ $P (∣ X_{n} - c ∣ > 1)$ 是不随 $n$ 变化的正数）。

3. 判断：「 $\sum_{n} X_{n}$ 收敛」是关于独立序列 $X_{n}$ 的尾事件。

点开看答案

正确。改动有限个 $X_{n}$ 只改变级数的有限个项，不影响是否收敛。由 0-1 律，它的概率是 0 或 1。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
Kolmogorov 0-1 律	Kolmogorov's zero–one law	独立随机变量序列的尾事件（改动前面有限项不受影响的事件）概率只能是 0 或 1。
独立同分布	independent and identically distributed (i.i.d.)	一列随机变量相互独立，并且分布都相同，例如反复独立地掷同一颗骰子。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
尾事件	tail event	改动任意有限个坐标都不影响是否发生的事件，例如「序列 ω₁, ω₂, … 收敛」。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
中值定理	mean value theorem	f 在 [a,b] 上连续、在 (a,b) 内可导，则存在某个 ξ ∈ (a,b) 使 f(b) − f(a) = f′(ξ)(b − a)：总增量等于某一点的斜率乘以区间长度。
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
反函数	inverse function	f 把不同的输入送到不同的输出时，反函数 f⁻¹ 把输出送回原来的输入：f⁻¹(f(x)) = x。例：ln 是 eˣ 的反函数。注意：集合的原像 f⁻¹(D) 不需要反函数存在。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
从下连续	continuity from below	集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。
依分布收敛	convergence in distribution	在极限分布函数 F 的每个连续点 x 上，P(Xₙ ≤ x) → F(x)。它只比较分布，不要求 Xₙ 本身靠近 X。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
稠密	dense	任何一小段区间里都能找到它的点，例如有理数在实数轴上稠密。
π-λ 定理	Dynkin's π-λ theorem	π-系（对有限交封闭）包含于 λ-系时，它生成的 σ-代数也包含于该 λ-系。常用来证明「两个测度在生成元上相等就处处相等」。
生成的 σ-代数	generated sigma-algebra	包含给定集合族的最小 σ-代数 σ(𝒞)：只加入「被逼着加入」的集合。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
强大数定律	strong law of large numbers (SLLN)	独立同分布且 E\|X₁\| < ∞ 时，样本均值 Sₙ/n 几乎必然收敛到 E X₁。