14 依概率收敛的定义，以及「几乎必然收敛 ⇒ 依概率收敛」 · 第3讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

依概率收敛只要求：对每个容忍度 $ε > 0 ，$ 「第 $n$ 步误差超过 $ε 」$ 的概率趋于 0。它比几乎必然收敛弱：几乎必然收敛要求几乎每条路径最终一直待在误差管子里，依概率收敛只要求每个固定时刻「在管子外的路径」越来越少。命题 11 证明强的推出弱的，工具是第 1 讲的「从上连续」。

这是第 2 部分「随机变量的收敛」引入第二种收敛的一页。

前面第 9 页–第 13 页讲的都是几乎必然收敛：盯住一个 $ω ，$ 看数列 $X_{n} (ω)$ 收不收敛。
这一页定义依概率收敛：盯住一个时刻 $n ，$ 看「误差大」的概率有多大。
命题 11：几乎必然收敛 ⇒ 依概率收敛。下一页第 15 页用「打字机序列」说明反过来不成立；第 16 页的子列判别法说明两者之间的精确关系。
依概率收敛在应用里很常见：样本均值用 Chebyshev 不等式就能证明它依概率收敛到期望（第 37 页），而几乎必然收敛往往难证得多。

先补基础

基础补课数列趋于 0（回顾）

数列 $p_{n} \to 0$ 的意思是：对每个 $δ > 0 ，$ 存在 $N ，$ 使所有 $n \geq N$ 都有 $∣ p_{n} ∣ \leq δ$ （第 9 页基础补课）。例： $p_{n} = \frac{1}{n} ；$ $p_{n} = 2^{- n} 。$ 反例： $p_{n} = \frac{1}{2}$ （常数）。本页的 $p_{n}$ 是概率 $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) ，$ 总在 $[0, 1]$ 里。

基础补课误差事件与「无穷多次」（第 9 页）

误差事件 ${∣ X_{n} - X ∣ > ε} ：$ 第 $n$ 步误差超过 $ε 。$ 它属于 $F ，$ 可以谈概率（第 9 页）。
${∣ X_{n} - X ∣ > ε i.o.} = ⋂_{m \geq 1} ⋃_{n \geq m} {∣ X_{n} - X ∣ > ε} ：$ 误差超过 $ε$ 发生无穷多次（第 3 页）。
第 9 页命题 B： $X_{n} \to X$ 几乎必然 $⟺$ 对每个 $ε > 0 ，$ $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε i.o.) = 0 。$

基础补课从上连续（第 1 讲 p14）

若事件递减 $B_{1} \supseteq B_{2} \supseteq B_{3} \supseteq \dots ，$ 则

P (B_{m}) \to P (m \geq 1 ⋂ B_{m}) (m \to \infty) .

对一般测度这需要 $μ (B_{1}) < \infty ；$ 概率测度总质量是 1，自动满足（第 14 页）。

例： $B_{m} = (0, \frac{1}{m})$ 在 $(0, 1)$ 上， $λ (B_{m}) = \frac{1}{m} \to 0 = λ (\emptyset) ，$ 交集是空集。

课件原文逐句精读

课件原文Almost-sure convergence implies convergence in probability

Definition 10 (Convergence in probability)

Proposition 11 (Almost surely implies in probability)

Proof

中文翻译

（标题：几乎必然收敛蕴含依概率收敛）

定义 10（依概率收敛）

命题 11（几乎必然蕴含依概率）

证明

Almost-sure convergence implies convergence in probability（蓝条标题）：implies 是「蕴含、推出」。标题就是命题 11 的内容。
Definition 10：定义 10，编号接着第 13 页的定理 9。convergence in probability：依概率收敛。
Proposition 11：命题 11。Almost surely implies in probability：几乎必然（收敛）推出依概率（收敛）。
Proof：命题 11 的证明。
三个标签下都是留白。设定仍然沿用第 9 页： $X_{n} 、$ $X$ 是同一个概率空间 $(Ω, F, P)$ 上的实值随机变量。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

Definition 10 (Convergence in probability)｜定义 10（依概率收敛）

定义 10（依概率收敛）

设 $X_{n} 、$ $X$ 是 $(Ω, F, P)$ 上的实值随机变量。称 $X_{n}$ 依概率收敛（converges in probability）到 $X ，$ 记作 $X_{n} P X ，$ 如果对每个 $ε > 0 ，$

n \to \infty lim P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) = 0.

逐个看：

「对每个 $ε > 0 」$ ：和几乎必然收敛一样，容忍度可以任意小。只对一个 $ε$ 成立是不够的。
$P (∣ X_{n} - X ∣ > ε)$ ：第 $n$ 步的偏差概率（第 10 页）。依概率收敛只要求它趋于 0；第 10 页推论 7 要求的「加起来有限」更强。
记号 $P ：$ 箭头上的 $P$ 提醒你收敛是「按概率 $P$ 来衡量的」。换一个概率测度，结论可能不同（第 30 页讨论过 $Q ≪ P$ 时能保持）。
$>$ 还是 $\geq$ ：写成 $P (∣ X_{n} - X ∣ \geq ε) \to 0$ 是等价的。因为 ${∣ X_{n} - X ∣ > ε} \subseteq {∣ X_{n} - X ∣ \geq ε} \subseteq {∣ X_{n} - X ∣ > ε /2} ，$ 对每个 $ε$ 都成立，三者同时趋于 0。
展开成量词：对每个 $ε > 0$ 和每个 $δ > 0 ，$ 存在 $N ，$ 使得 $n \geq N$ 时 $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \leq δ 。$ $ε$ 管「误差多大算大」， $δ$ 管「这种大误差的概率能压到多小」。

人话版：拍快照 vs 看录像

把 $ω$ 想成一个平行世界， $n \mapsto X_{n} (ω)$ 是这个世界里的一段录像。

几乎必然收敛是「看录像」：几乎每一个世界，从某一刻起都永远留在以 $X (ω)$ 为中心、半宽 $ε$ 的管子里。
依概率收敛是「拍快照」：在每个固定时刻 $n$ 拍一张所有世界的合影，数一数有多少（概率意义上的「多少」）世界此刻在管子外面。要求是：这个比例随 $n$ 趋于 0。
快照不关心是哪些世界在管子外。可能每一刻都是不同的一小撮世界出界，每个世界轮流出界无穷多次——这样的快照比例照样趋于 0，录像却没有一个是收敛的。下一页的打字机序列就是这样。

Proposition 11 (Almost surely implies in probability)｜命题 11（几乎必然蕴含依概率）

命题 11（几乎必然收敛 ⇒ 依概率收敛）

设 $X_{n} 、$ $X$ 是 $(Ω, F, P)$ 上的实值随机变量。若 $X_{n} \to X$ 几乎必然，则 $X_{n} P X 。$

方向：强 ⇒ 弱。反方向一般不成立（第 15 页）。
这里用到了 $P$ 是有限测度（总质量 1）。在无穷测度空间上，「几乎处处收敛 ⇒ 依测度收敛」可以失败，见下面的易错点。

Proof｜证明

推导证明思路

固定 $ε 。$ 把「第 $m$ 步及以后某一步出错」记为 $B_{m} 。$ $B_{m}$ 随 $m$ 递减，交集是「出错无穷多次」，几乎必然收敛说它的概率是 0；从上连续给出 $P (B_{m}) \to 0 。$ 第 $m$ 步出错包含在 $B_{m}$ 里，概率更小，也趋于 0。

固定 $ε > 0 ，$ 定义尾部并集。令

B_{m} = n \geq m ⋃ {∣ X_{n} - X ∣ > ε} (m = 1, 2, \dots),

即「从第 $m$ 步起，至少有一步误差超过 $ε 」。$ 可数个事件的并仍是事件， $B_{m} \in F 。$ 2. $B_{m}$ 递减。 $B_{m + 1}$ 是对 $n \geq m + 1$ 取并， $B_{m}$ 是对 $n \geq m$ 取并，后者多并了一个事件，所以 $B_{m + 1} \subseteq B_{m} 。$ 3. 交集是「出错无穷多次」。按定义（第 3 页），

m \geq 1 ⋂ B_{m} = m \geq 1 ⋂ n \geq m ⋃ {∣ X_{n} - X ∣ > ε} = {∣ X_{n} - X ∣ > ε i.o.} .

它的概率是 0。 $X_{n} \to X$ 几乎必然，由第 9 页命题 B（「⇒」方向）， $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε i.o.) = 0 。$
从上连续。第 2 步说 $B_{m}$ 递减，概率测度有限，由从上连续（第 14 页）和第 3、4 步，

P (B_{m}) \to P (m ⋂ B_{m}) = 0.

单步出错包含在尾部并集里。 ${∣ X_{m} - X ∣ > ε}$ 是 $B_{m}$ 里 $n = m$ 的那一项，所以 ${∣ X_{m} - X ∣ > ε} \subseteq B_{m} ，$ 由单调性

0 \leq P (∣ X_{m} - X ∣ > ε) \leq P (B_{m}) \to 0.

夹逼得 $P (∣ X_{m} - X ∣ > ε) \to 0 。$ $ε$ 是任取的，所以 $X_{n} P X 。$ 证毕。

这一证明说明的事比命题本身多：第 5 步得到的是 $P (sup_{n \geq m} ∣ X_{n} - X ∣ > ε) \to 0$ （因为 ${sup_{n \geq m} ∣ X_{n} - X ∣ > ε} = B_{m} ）。$ 也就是说，几乎必然收敛控制的是「从 $m$ 往后所有时刻的最坏误差」，依概率收敛只控制「第 $m$ 个时刻的误差」。这正是两者强弱不同的地方。

例子

例 1：两种收敛都成立

$X$ 是任意随机变量， $Z \sim N (0, 1) ，$ 令 $X_{n} = X + \frac{Z}{n} 。$

几乎必然：对每个 $ω ，$ $Z (ω)$ 是一个固定的有限数， $\frac{Z ( ω )}{n} \to 0 ，$ 所以 $X_{n} (ω) \to X (ω)$ ——其实是处处收敛。
依概率（直接算）： $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) = P (∣ Z ∣ > n ε) = 2 (1 - Φ (n ε)) ，$ $Φ$ 是标准正态分布函数（第 41 页）。取 $ε = 0.1 ：$ $n = 10$ 时为 $2 (1 - Φ (1)) \approx 0.317 ；$ $n = 30$ 时为 $2 (1 - Φ (3)) \approx 0.0027 。$ 确实趋于 0，与命题 11 一致。

例 2：依概率收敛，但不几乎必然收敛

设 $A_{1}, A_{2}, \dots$ 相互独立， $P (A_{n}) = \frac{1}{n} ，$ $X_{n} = 1_{A_{n}} ，$ $X = 0$ （第 9 页例 2、第 10 页例 2）。

依概率收敛：对 $0 < ε < 1 ，$ ${∣ X_{n} ∣ > ε} = A_{n} ，$ $P (A_{n}) = \frac{1}{n} \to 0 ；$ 对 $ε \geq 1 ，$ ${∣ X_{n} ∣ > ε} = \emptyset 。$ 所以 $X_{n} P 0 。$
不几乎必然收敛： $\sum_{n} \frac{1}{n} = \infty ，$ 事件独立，由第二 Borel–Cantelli 引理（第 7 页）， $A_{n}$ 以概率 1 发生无穷多次，即 $X_{n} = 1$ 无穷多次。同时 $A_{n}^{c}$ 也独立、 $\sum_{n} (1 - \frac{1}{n}) = \infty ，$ 所以 $X_{n} = 0$ 也无穷多次。几乎每条路径都在 0 和 1 之间来回跳，不收敛。
用快照的话说：每个时刻出界的世界占比 $\frac{1}{n} ，$ 越来越少；但每个世界都会无穷多次出界。

例 3：几乎必然收敛，但偏差概率不可求和

在 $((0, 1), B, λ)$ 上， $X_{n} = 1_{(0, 1/ n]} ，$ $X = 0$ （第 10 页例 3）。

处处收敛（每个 $ω > 0 ，$ $n > \frac{1}{ω}$ 后 $X_{n} (ω) = 0 ），$ 由命题 11 依概率收敛；直接算也是 $P (∣ X_{n} ∣ > ε) = \frac{1}{n} \to 0$ （ $0 < ε < 1 ）。$
证明第 5 步的 $B_{m} = ⋃_{n \geq m} (0, \frac{1}{n}] = (0, \frac{1}{m}] ，$ $P (B_{m}) = \frac{1}{m} \to 0 ，$ 正好看到从上连续在起作用。
偏差概率之和 $\sum \frac{1}{n} = \infty 。$ 所以「依概率收敛 + 可求和」比几乎必然收敛强，「依概率收敛」比几乎必然收敛弱，几乎必然收敛夹在中间。

例 4（反例）：连依概率收敛都没有

设 $ξ_{1}, ξ_{2}, \dots$ 是独立的公平抛硬币（取值 0 或 1）。 $ξ_{n}$ 不依概率收敛到任何随机变量 $X 。$

反设 $ξ_{n} P X 。$ 对 $n \neq = m ，$ $∣ ξ_{n} - ξ_{m} ∣ \leq ∣ ξ_{n} - X ∣ + ∣ X - ξ_{m} ∣$ （三角不等式），所以 ${∣ ξ_{n} - ξ_{m} ∣ > \frac{1}{2}} \subseteq {∣ ξ_{n} - X ∣ > \frac{1}{4}} \cup {∣ ξ_{m} - X ∣ > \frac{1}{4}} 。$
右边两个事件的概率在 $n, m \to \infty$ 时都趋于 0，所以 $P (∣ ξ_{n} - ξ_{m} ∣ > \frac{1}{2}) \to 0 。$
但 $∣ ξ_{n} - ξ_{m} ∣ > \frac{1}{2}$ 就是 $ξ_{n} \neq = ξ_{m} ，$ 由独立性它的概率是 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} ，$ 不趋于 0。矛盾。

每一次抛掷都和之前的「毫不相关」，序列没有稳定下来的趋势。

推导：一步一步来

依概率收敛的极限几乎必然唯一。 若 $X_{n} P X$ 且 $X_{n} P Y ，$ 则 $P (X = Y) = 1 。$

三角不等式： $∣ X - Y ∣ \leq ∣ X - X_{n} ∣ + ∣ X_{n} - Y ∣ 。$ 所以若 $∣ X - Y ∣ > 2 ε ，$ 则两项中至少有一项 $> ε ：$

{∣ X - Y ∣ > 2 ε} \subseteq {∣ X_{n} - X ∣ > ε} \cup {∣ X_{n} - Y ∣ > ε} .

取概率并用次可加性： $P (∣ X - Y ∣ > 2 ε) \leq P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) + P (∣ X_{n} - Y ∣ > ε) 。$ 左边与 $n$ 无关，右边 $n \to \infty$ 时趋于 0，所以 $P (∣ X - Y ∣ > 2 ε) = 0 。$
${X \neq = Y} = ⋃_{k \geq 1} {∣ X - Y ∣ > \frac{2}{k}} ，$ 可数个零概率事件之并概率为 0。所以 $P (X \neq = Y) = 0 。$

命题 11 的另一种证明：有界收敛定理。

固定 $ε ，$ 令 $D_{n} = 1_{{∣ X_{n} - X ∣ > ε}} 。$ 在收敛集 ${X_{n} \to X}$ 上，从某一步起 $∣ X_{n} - X ∣ \leq ε ，$ 所以 $D_{n} \to 0 。$ 收敛集概率为 1，故 $D_{n} \to 0$ 几乎必然。
$0 \leq D_{n} \leq 1 ，$ 常数 1 在概率空间上可积。由有界收敛定理（第 46 页，或 DCT 第 44 页）， $E D_{n} \to E 0 = 0 。$
$E D_{n} = P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) ，$ 所以它趋于 0。

两种证明都用到了「总质量有限」：从上连续需要 $P (B_{1}) < \infty ，$ 有界收敛定理需要常数 1 可积。

常见疑问与易错点

易错点问：在无穷测度上，「几乎处处收敛 ⇒ 依测度收敛」还对吗？

答：不一定对。在 $(R, B, λ)$ 上取 $f_{n} = 1_{[n, n + 1]}$ （第 1 讲「滑走的方块」）。每个点 $x$ 在 $n > x$ 之后 $f_{n} (x) = 0 ，$ 处处收敛到 0；但 $λ (∣ f_{n} ∣ > \frac{1}{2}) = λ ([n, n + 1]) = 1$ 不趋于 0。证明第 5 步坏在： $B_{m} = [m, \infty)$ 递减到空集，可 $λ (B_{m}) = \infty ，$ 从上连续用不上。概率空间总质量为 1，不会有这个问题。

易错点问：依概率收敛是不是说「大多数 ω 上 Xₙ(ω) 收敛」？

答：不是。依概率收敛对任何一个 $ω$ 上的数列 $X_{n} (ω)$ 都不作保证。例 2 和下一页的打字机序列都依概率收敛，但几乎所有（打字机序列是所有） $ω$ 上都不收敛。它只说「每个固定时刻，出错的世界越来越少」。

易错点问：依概率收敛和 P(|Xₙ − X| > ε) 可求和，哪个强？

答：可求和强得多。可求和推出几乎必然收敛（第 10 页推论 7），再由命题 11 推出依概率收敛；反过来，依概率收敛只说偏差概率趋于 0，可能像 $\frac{1}{n}$ 那样慢、加起来发散（例 2、例 3）。三者的强弱：可求和 ⇒ 几乎必然 ⇒ 依概率，两个箭头都不可逆。

小结与自测

小结本页小结

定义 10： $X_{n} P X$ 指对每个 $ε > 0 ，$ $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) \to 0 。$ 它看的是每个固定时刻的「出错概率」。
命题 11：几乎必然收敛 ⇒ 依概率收敛。证明：尾部并集 $B_{m} = ⋃_{n \geq m} {∣ X_{n} - X ∣ > ε}$ 递减到「出错无穷多次」（概率 0），从上连续给出 $P (B_{m}) \to 0 ，$ 而单步出错包含在 $B_{m}$ 里。
反方向不成立（例 2，第 15 页）；依概率收敛的极限几乎必然唯一。
证明依赖总质量有限： $R$ 上滑走的方块几乎处处收敛，却不依测度收敛。

自测

1. 设 $X_{n}$ 服从 $(0, \frac{1}{n})$ 上的均匀分布（分布函数 $P (X_{n} \leq t) = n t ，$ $0 \leq t \leq \frac{1}{n} ）。$ 证明 $X_{n} P 0 。$

点开看答案

任给 $ε > 0 ，$ 当 $n > \frac{1}{ε}$ 时 $\frac{1}{n} < ε ，$ 而 $0 < X_{n} < \frac{1}{n} ，$ 所以 ${∣ X_{n} ∣ > ε}$ 的概率是 0。于是 $P (∣ X_{n} ∣ > ε) \to 0 ，$ 即 $X_{n} P 0 。$ （注意题目只给了每个 $X_{n}$ 的分布，没说它们在同一个 $Ω$ 上怎样联系，所以谈不上几乎必然收敛；但依概率收敛到常数 0 只用到每个 $X_{n}$ 的分布。）

2. 判断并说明理由：若 $P (∣ X_{n} - X ∣ > ε) = \frac{1}{n}$ 对所有 $0 < ε < 1$ 成立，则 $X_{n} P X 。$

点开看答案

正确。对 $0 < ε < 1 ，$ $\frac{1}{n} \to 0 ；$ 对 $ε \geq 1 ，$ ${∣ X_{n} - X ∣ > ε} \subseteq {∣ X_{n} - X ∣ > \frac{1}{2}} ，$ 概率不超过 $\frac{1}{n} \to 0 。$ 所以对每个 $ε > 0$ 偏差概率都趋于 0。注意 $\sum \frac{1}{n} = \infty ，$ 推论 7 用不上，能否几乎必然收敛要看更多信息。

3. 命题 11 的证明里，从上连续用在了哪一列事件上？这列事件的交集是什么？

点开看答案

用在 $B_{m} = ⋃_{n \geq m} {∣ X_{n} - X ∣ > ε}$ 上。它们随 $m$ 递减，交集是 ${∣ X_{n} - X ∣ > ε i.o.} ，$ 即误差超过 $ε$ 发生无穷多次；几乎必然收敛保证这个交集的概率为 0。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
从上连续	continuity from above	集合一层层变小（Eₙ ↓ E）且 μ(E₁) < ∞ 时，μ(Eₙ) → μ(E)。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
打字机序列	typewriter sequence	在 [0,1) 上从左到右一遍遍扫过、越来越窄的小区间的示性函数列：依概率收敛到 0，却在每一点都不收敛。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。
Chebyshev 不等式	Chebyshev's inequality	P(\|X − μ\| ≥ t) ≤ σ² / t²：方差控制偏离均值的概率。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
交集	intersection	同时属于两个集合的元素全体，A ∩ B 对应「A 且 B」。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
偏差概率	deviation probability	Xₙ 和目标 X 相差超过 ε 的概率 P(\|Xₙ − X\| > ε)。它趋于 0 就是依概率收敛；对每个 ε 它都可求和时，由 Borel–Cantelli 引理可推出几乎必然收敛。
依测度收敛	convergence in measure	对每个 ε > 0，μ(\|fₙ − f\| > ε) → 0：偏差超过 ε 的区域，测度越来越小。在概率空间上就是依概率收敛。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
并集	union	至少属于其中一个集合的元素全体，A ∪ B 对应「A 或 B」。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
标准正态分布	standard normal distribution	均值 0、方差 1 的正态分布 N(0, 1)，密度 exp(−x²/2)/√(2π)，分布函数记作 Φ。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
可求和	summable	非负数列的级数和有限：Σ aₙ < ∞。例如 Σ 1/n² 可求和，Σ 1/n 不可求和（和是 +∞）。
三角不等式	triangle inequality	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\|：分两段走的总路程不会比直接走更短。推广有 \|∫f\| ≤ ∫\|f\|、E\|X + Y\| ≤ E\|X\| + E\|Y\|，以及 Lᵖ 范数的 Minkowski 不等式。
次可加性	subadditivity	并集的测度不超过各部分测度之和：μ(A ∪ B) ≤ μ(A) + μ(B)。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。