12 测度空间：把「事件范围」和「重量」分开 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

测度空间 $(S, M, μ)$ 由两层组成： $(S, M)$ 规定「哪些集合可以称重」（事件范围）， $μ$ 规定「每个集合有多重」（重量）。重量必须非负、空集为 0、对两两不交的可数多块可以相加。概率空间就是总重量为 1 的测度空间。

前面几页把概率模型的三件套一件件搭好了：样本空间 $Ω$ （第 5 页）、事件族 $F$ 必须是 σ-代数（第 9 页、第 11 页）、概率要满足规范性和可数可加性（第 8 页）。这一页把它们正式打包成两个定义：

定义 6（测度空间）：更一般的框架，重量可以是任何非负数，甚至 $\infty 。$ 长度、面积、「数个数」都属于这一类。
定义 7（概率空间）：测度空间的特例，总重量为 1。

标题说「把事件范围和重量分开」：同一个 $(S, M)$ 上可以放很多不同的测度（例 2）。这种分离让我们能「换一种称重方式、但不换事件」，后面的第 3 讲（Radon–Nikodym）就建立在这个想法上。接下来的第 13 页、第 14 页会证明测度的两条连续性。本页是第 1 部分「概率空间与可测事件」的收官定义。

先补基础

基础补课新字母：S、𝓜、μ

$S ：$ 一般的「底空间」（space），相当于 $Ω 。$ 换个字母，是为了强调这里不一定是概率问题，比如 $S = R$ 量长度。
$M$ （花体 M，取自 measurable「可测」）： $S$ 上的一个 σ-代数，相当于 $F 。$
$μ$ （读作「缪」，希腊字母 mu，取自 measure「测度」）：测度，相当于 $P 。$
三元组（triple）：按顺序写在一起的三样东西 $(S, M, μ) 。$

基础补课扩充的半直线 [0, ∞] 与 ∞ 的算术

$[0, \infty]$ 是所有非负实数再加上一个符号 $\infty$ （无穷大）。方括号放在 $\infty$ 旁边，表示 $\infty$ 也算一个允许的取值。
为什么需要 $\infty ：$ 整条数轴 $R$ 的长度不是任何有限数，只能记作 $\infty 。$
约定： $a + \infty = \infty$ （ $a \geq 0 ），$ $\infty + \infty = \infty 。$ 非负项级数如果越加越大、没有上限，就说它的和是 $\infty 。$
不允许的运算： $\infty - \infty$ 没有定义（它可以「是」任何数，见第 14 页）。所以处理测度时不能随便做减法。

基础补课可测空间与可测集

$(S, M)$ （底空间加 σ-代数）叫可测空间（measurable space）：已经规定好「哪些集合可以测量」，但还没规定量出来是多少。
$M$ 里的集合叫可测集。在概率里，可测集就是事件。

课件原文逐句精读

课件原文Definition 6 (Measure space)

Definition 6 (Measure space)　A measure space is a triple $(S, M, μ)$ , where $M$ is the σ-algebra on $S$ and $μ : M \to [0, \infty]$ satisfies: for every pairwise disjoint seq. $(A_{n})_{n \geq 1} \subseteq M$ it holds

μ (\emptyset) = 0, μ (n \geq 1 ⋃ A_{n}) = n \geq 1 \sum μ (A_{n}) .

Definition 7 (Probability space)　 $(Ω, F, P)$ is a measure space, and ① $P (Ω) = 1$ 　② $P : F \to [0, 1]$ 　③ $P (⋃_{n \geq 1} A_{n}) = \sum_{n \geq 1} P (A_{n})$ .

（说明：课件只印了「Definition 6 (Measure space)」和「Definition 7 (Probability space)」两个标签，定义的全部内容都是老师手写的：定义 6 用蓝笔，定义 7 用粉笔。）

中文翻译

定义 6（测度空间）　测度空间是一个三元组 $(S, M, μ) ，$ 其中 $M$ 是 $S$ 上的 σ-代数， $μ : M \to [0, \infty]$ 满足： $μ (\emptyset) = 0 ，$ 并且对 $M$ 中每一列两两不交的集合 $(A_{n})_{n \geq 1} ，$ 都有 $μ (⋃_{n \geq 1} A_{n}) = \sum_{n \geq 1} μ (A_{n}) 。$

定义 7（概率空间）　 $(Ω, F, P)$ 是一个测度空间，并且 ① $P (Ω) = 1 ；$ ② $P$ 把 $F$ 映到 $[0, 1] ；$ ③ 对两两不交的 $A_{n} ，$ $P (⋃_{n \geq 1} A_{n}) = \sum_{n \geq 1} P (A_{n}) 。$

Definition 6 (Measure space)｜定义 6（测度空间）

逐个成分来读：

$S$ ：任意一个非空集合，是被测量的「底」。
$M$ 是 $S$ 上的 σ-代数：规定可以测量的集合（第 9 页）。老师写的是 the σ-algebra，更准确的说法是 a σ-algebra（一个 σ-代数）：同一个 $S$ 上可以有很多 σ-代数，选哪一个是建模决定。
$μ : M \to [0, \infty]$ ：给每个可测集一个非负的重量，允许是 $\infty 。$
- 非负：重量、长度、个数都不会是负的。
- 允许 $\infty$ ：像 $R$ 的长度、 $N$ 的元素个数，本来就是无穷。
$μ (\emptyset) = 0$ ：空集没有重量。为什么要单独写出来？因为对测度我们不能做减法（ $\infty - \infty$ 无定义），第 8 页里「从规范性推出 $P (\emptyset) = 0 」$ 的办法在这里失效。不写这条，「给所有集合（包括空集）都赋值 $\infty 」$ 也满足可数可加（ $\infty = \infty + \infty + \dots ），$ 这显然不是我们想要的（例 4）。
可数可加性（老师用红线划出了 pairwise disjoint 和这个公式）：两两不交的可数多块，整体重量＝各块重量之和。右边的级数每一项都 $\geq 0 ，$ 所以和总是有意义的（有限数或 $\infty ）。$

定义 6（测度空间）

设 $S$ 是一个集合， $M$ 是 $S$ 上的一个 σ-代数。函数 $μ : M \to [0, \infty]$ 称为 $(S, M)$ 上的测度，如果

$μ (\emptyset) = 0 ；$
（可数可加性）对 $M$ 中任意一列两两不交的集合 $A_{1}, A_{2}, \dots ，$ 都有 $μ (⋃_{n \geq 1} A_{n}) = \sum_{n \geq 1} μ (A_{n}) 。$

三元组 $(S, M, μ)$ 称为测度空间。

Definition 7 (Probability space)｜定义 7（概率空间）

老师用粉笔写了一句「 $(Ω, F, P)$ is a measure space」（是一个测度空间），再列出三条：

① $P (Ω) = 1$ ：规范性（第 8 页）。这是概率空间比测度空间多出来的唯一一条。
② $P : F \to [0, 1]$ ：取值在 0 和 1 之间。其实它可以由 ① 推出（推导一节）：任何事件都包含于 $Ω ，$ 重量不会超过 $Ω$ 的重量 1。老师写出来是为了醒目。
③ 可数可加性：测度本来就有这条，重复写一遍是强调它仍是核心。

定义 7（概率空间）

测度空间 $(Ω, F, P)$ 若满足 $P (Ω) = 1 ，$ 就称为概率空间， $P$ 称为概率测度。此时 $P$ 的取值都在 $[0, 1]$ 里， $F$ 中的集合称为事件。

人话版测度与概率对照

	测度空间 $(S, M, μ)$	概率空间 $(Ω, F, P)$
底空间	$S$	$Ω$ （样本空间）
可测集族	σ-代数 $M$	σ-代数 $F$ （事件族）
重量的取值	$[0, \infty]$	$[0, 1]$
空集	$μ (\emptyset) = 0$ （公理）	$P (\emptyset) = 0$ （可推出）
可数可加	要求	要求
总重量	任意，可以是 $\infty$	$P (Ω) = 1$
典型例子	长度、面积、计数	抛硬币、均匀分布、正态分布

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

蓝笔（定义 6 下方）：

A measure space is a triple $(S, M, μ)$ , where $M$ is the σ-algebra on $S$ and $μ : M \to [0, \infty]$ satisfies for
every pairwise disjoint seq. $(A_{n})_{n \geq 1} \subseteq M$ it holds（pairwise disjoint 下画了红线）
$μ (ϕ) = 0 ，$ $μ (⋃_{n \geq 1} A_{n}) = \sum_{n \geq 1} μ (A_{n})$ .（整个式子下面画了一道红线）

粉笔（定义 7 下方）：

$(Ω, F, P)$ is a measure space
① $P (Ω) = 1$ 　② $P : F \to [0, 1]$ 　③ $P (⋃_{n \geq 1} A_{n}) = \sum_{n \geq 1} P (A_{n})$ .
$Ω = R ，$ $B (R) = F ，$ $P : B (R) \to [0, 1]$ .　　 $(R, B (R), P)$ .

第 1–3 行：测度的定义

内容就是上面的定义 6。两处红线是老师强调的重点：

pairwise disjoint（两两不交）：可加性只对不重叠的块成立。重叠会重复计数（第 8 页例 1）。
可数可加公式：这是测度的灵魂。后面几乎所有定理——从下连续（第 13 页）、从上连续（第 14 页）、单调收敛定理（第 36 页）——都是从这个公式推出来的。

写法上的小瑕疵：老师把 $μ (\emptyset) = 0$ 和可数可加写在同一句「对每一列两两不交的集合，成立……」里。其实 $μ (\emptyset) = 0$ 与集合列无关，是一条单独的要求。

第 4–5 行：概率空间

「 $(Ω, F, P)$ is a measure space」加上三条。见上一节。

第 6 行：实数轴上的概率空间

老师写了一个最重要的特例：

Ω = R, F = B (R), P : B (R) \to [0, 1],

合起来是 $(R, B (R), P) 。$

样本空间是整条数轴，事件是博雷尔集（第 11 页）， $P$ 是某个概率测度。
这是描述「一个随机数的分布」的标准框架：随机变量 $X$ 的分布（law）就是 $(R, B (R))$ 上的概率测度 $B \mapsto P (X \in B) ，$ 第 2 讲会详细讲。
同一个 $(R, B (R))$ 上可以放很多不同的 $P ：$ 点质量 $δ_{0}$ （第 10 页）、 $[0, 1]$ 上的均匀分布（第 23 页）、正态分布……这正是标题「把事件范围和重量分开」的意思。

例子

例 1：计数测度——「数个数」也是测度

取 $S = N ，$ $M = 2^{N} ，$ 令 $μ (A)$ ＝ $A$ 的元素个数（ $A$ 是无限集时记为 $\infty ）。$

$μ (\emptyset) = 0 ：$ 空集没有元素。
可数可加：两两不交的集合没有公共元素，并集的元素个数就是各自个数之和。例： ${1}, {2, 3}, {4, 5, 6}$ 的并有 $1 + 2 + 3 = 6$ 个元素。若有一块是无限集或有无穷多块非空，两边都是 $\infty 。$
具体值： $μ ({2, 4, 6}) = 3 ；$ $μ (全体偶数) = \infty ；$ $μ (N) = \infty 。$

它是测度但不是概率（总重量 $\infty \neq = 1 ）。$

例 2：同一个可测空间，四种不同的重量

在 $(R, B (R))$ 上考虑： $δ_{0}$ （全部质量在 0，第 10 页）；长度 $m$ （勒贝格测度，第 23 页）； $[0, 1]$ 上的均匀分布 $U (E) = m (E \cap [0, 1]) ；$ 骰子分布 $D (E) = \frac{1}{6} \times (E \cap {1, \dots, 6} 的元素个数) 。$

集合 $E$	$δ_{0} (E)$	$m (E)$	$U (E)$	$D (E)$
$[0, \frac{1}{2}]$	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$[1, 3]$	0	2	0	$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$[0, \infty)$	1	$\infty$	1	1
$R$	1	$\infty$	1	1

事件范围完全相同（都是博雷尔集），重量却各不相同。其中 $δ_{0} 、$ $U 、$ $D$ 是概率测度（ $R$ 那一行都是 1）， $m$ 只是测度（ $m (R) = \infty ）。$

算 $U ([1, 3])$ 的过程： $[1, 3] \cap [0, 1] = {1} ，$ 单点长度为 0，所以 $U ([1, 3]) = 0 。$

例 3（反例）：有限可加，但不是可数可加

在 $(N, 2^{N})$ 上令 $ν (A) = 0$ （ $A$ 有限）， $ν (A) = \infty$ （ $A$ 无限）。

$ν (\emptyset) = 0 ，$ 满足。
有限可加：两个有限集的并是有限集（ $0 = 0 + 0 ）；$ 只要有一个是无限集，并集也是无限集（ $\infty = \infty + \dots ）。$ 满足。
可数可加： $N = {1} \cup {2} \cup {3} \cup \dots ，$ 两两不交。左边 $ν (N) = \infty ，$ 右边 $ν ({1}) + ν ({2}) + \dots = 0 + 0 + \dots = 0 。$ 不相等。

所以 $ν$ 不是测度。「可数」可加比「有限」可加严格得多。

例 4（反例）：为什么必须写 μ(∅) = 0

在任意 $(S, M)$ 上令 $μ (A) = \infty$ 对所有 $A \in M$ （包括空集）。检查可数可加：左边是 $\infty ，$ 右边每项都是 $\infty ，$ 和也是 $\infty ，$ 等式成立。但 $μ (\emptyset) = \infty ，$ 这很荒谬。定义 6 的第一条正是为了排除它。

对比：若只对非空集合赋值 $\infty ，$ 并令 $μ (\emptyset) = 0 ，$ 这是一个合法（虽然很粗糙）的测度。

例 5：把有限测度「归一化」成概率

测度 $2 δ_{0}$ （在 0 放 2 个单位的质量）满足定义 6，但总重量 $2 \neq = 1 ，$ 不是概率。一般地，若 $0 < μ (S) < \infty ，$ 则

P (A) := \frac{μ ( A )}{μ ( S )}

是概率测度。例： $μ = m$ 限制在 $[0, 2]$ 上（ $μ (E) = m (E \cap [0, 2]) ），$ $μ (R) = 2 ，$ 归一化后得到 $[0, 2]$ 上的均匀分布， $P ([0, \frac{1}{2}]) = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4} 。$

推导：一步一步来

推导证明思路

从定义 6 出发推出测度的两条基本性质：有限可加、单调。推的时候只做加法，不做减法，因为值可能是 $\infty 。$ 然后说明定义 7 的 ② 是 ① 的推论。

性质 1（有限可加）：若 $A_{1}, \dots, A_{k} \in M$ 两两不交，则 $μ (A_{1} \cup \dots \cup A_{k}) = μ (A_{1}) + \dots + μ (A_{k}) 。$

补上 $A_{k + 1} = A_{k + 2} = \dots = \emptyset 。$ 空集和谁都不交，这一列仍两两不交，并集不变。
用可数可加性： $μ (A_{1} \cup \dots \cup A_{k}) = μ (A_{1}) + \dots + μ (A_{k}) + μ (\emptyset) + μ (\emptyset) + \dots 。$
由 $μ (\emptyset) = 0 ，$ 后面全是 0。得证。（这里就用到了定义 6 的第一条。）

性质 2（单调性）：若 $A \subseteq B$ 且都可测，则 $μ (A) \leq μ (B) 。$

$B = A \cup (B ∖ A) ，$ 两块不交； $B ∖ A = B \cap A^{c} \in M$ （第 9 页结论 4）。
由性质 1， $μ (B) = μ (A) + μ (B ∖ A) 。$
$μ (B ∖ A) \geq 0 ，$ 所以 $μ (B) \geq μ (A) 。$

注意第 2 步是加法。如果想写成「 $μ (B ∖ A) = μ (B) - μ (A) 」，$ 就必须先保证 $μ (A) < \infty ，$ 否则可能出现 $\infty - \infty 。$ 例： $A = [1, \infty) ，$ $B = [0, \infty) ，$ $μ (A) = μ (B) = \infty ，$ 但 $μ (B ∖ A) = m ([0, 1)) = 1 ，$ 而「 $\infty - \infty 」$ 给不出这个 1。第 14 页的反例就是这个问题。

性质 3（定义 7 的 ② 可以推出）：若 $P (Ω) = 1 ，$ 则对每个 $A \in F ，$ $0 \leq P (A) \leq 1 。$

$P (A) \geq 0$ 是测度的定义； $A \subseteq Ω ，$ 由单调性 $P (A) \leq P (Ω) = 1 。$

性质 4（例 5 的归一化是概率）： 设 $0 < μ (S) < \infty ，$ $P = μ / μ (S) 。$

$P (\emptyset) = 0/ μ (S) = 0 ；$ $P (S) = μ (S) / μ (S) = 1 。$
两两不交时， $P (⋃ A_{n}) = \frac{\sum μ ( A _{n} )}{μ ( S )} = \sum \frac{μ ( A _{n} )}{μ ( S )} = \sum P (A_{n})$ （级数的每一项除以同一个正数，和也除以这个数）。

常见疑问与易错点

易错点问：为什么测度允许取 ∞，概率却不允许？

答：测度要能描述长度、个数这类本来就可能无穷的量，比如 $R$ 的长度。概率是「占总量的比例」，总量定为 1，每个事件都包含于 $Ω ，$ 由单调性不会超过 1，自然不会是 $\infty 。$

易错点问：可测空间、测度空间、概率空间有什么区别？

答：可测空间 $(S, M)$ 只规定「哪些集合能量」；测度空间 $(S, M, μ)$ 再加上「量出来是多少」；概率空间是总量为 1 的测度空间。三者一层比一层多规定一点。

易错点问：为什么要把事件范围和重量分开？直接说「一个概率」不行吗？

答：因为同一个事件范围上可以有很多种合理的重量（例 2），我们经常需要比较它们，甚至从一种换到另一种。例如金融里「真实世界的概率」和「风险中性概率」作用在同样的事件上；统计里要比较不同参数下的分布。把 $(S, M)$ 固定、只换 $μ ，$ 这些操作才有清楚的意义。

易错点问：测度可以对不可测的集合取值吗？

答：不可以。 $μ$ 的定义域就是 $M ，$ 不在 $M$ 里的集合没有测度值。这不是缺点，而是第 10 页、第 21 页告诉我们的必要让步：长度不可能自洽地定义在所有子集上。

小结与自测

小结本页小结

测度空间 $(S, M, μ) ：$ $M$ 是 σ-代数， $μ : M \to [0, \infty] ，$ $μ (\emptyset) = 0 ，$ 并且可数可加。
概率空间 $(Ω, F, P) ：$ 总重量为 1 的测度空间；取值自动在 $[0, 1]$ 内。
$μ (\emptyset) = 0$ 必须单独规定，因为测度可能是 $\infty ，$ 不能用减法推出。
由定义可推出有限可加与单调性；涉及 $\infty$ 时只能做加法，不能随便相减。
同一个 $(R, B (R))$ 上可以放长度、点质量、均匀分布等不同的测度——「事件范围」与「重量」分离。

自测

1. 在 $({1, 2, 3}, 2^{{1, 2, 3}})$ 上， $μ (A) =$ 「 $A$ 中元素之和」（ $μ (\emptyset) = 0 ），$ 例如 $μ ({1, 3}) = 4 。$ 它是测度吗？是概率测度吗？

点开看答案

是测度：值非负， $μ (\emptyset) = 0 ；$ 两个不交的集合，并集的元素之和等于各自元素之和相加，所以可加（有限集上可数可加等价于有限可加，因为非空的块只能有有限个）。不是概率测度： $μ ({1, 2, 3}) = 6 \neq = 1 。$ 除以 6 后就是概率测度，例如 $P ({3}) = \frac{1}{2} 。$

2. 判断：若 $μ$ 是测度， $A \subseteq B ，$ 则总有 $μ (B ∖ A) = μ (B) - μ (A) 。$

点开看答案

错误。当 $μ (A) = \infty$ 时右边是 $\infty - \infty ，$ 没有意义。例：长度测度下 $A = [1, \infty) ，$ $B = [0, \infty) ，$ $μ (B ∖ A) = 1 ，$ 右边却无法计算。只有 $μ (A) < \infty$ 时这个等式才成立。

3. 例 2 中，求 $δ_{0} (Q) 、$ $m ([2, 5]) 、$ $U ([0.3, 0.7]) 、$ $D ({2, 4, 6}) 。$

点开看答案

$δ_{0} (Q) = 1$ （0 是有理数）； $m ([2, 5]) = 5 - 2 = 3 ；$ $U ([0.3, 0.7]) = m ([0.3, 0.7] \cap [0, 1]) = 0.4 ；$ $D ({2, 4, 6}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
空集	empty set	一个元素也没有的集合，记作 ∅。作为事件，它永远不会发生。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
样本空间	sample space	一次试验所有可能的完整结局组成的集合，记作 Ω。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
从下连续	continuity from below	集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。
从上连续	continuity from above	集合一层层变小（Eₙ ↓ E）且 μ(E₁) < ∞ 时，μ(Eₙ) → μ(E)。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
点质量	point mass (Dirac measure)	把全部质量 1 放在一个点上：δ₀(E) = 1 当且仅当 0 ∈ E。
并集	union	至少属于其中一个集合的元素全体，A ∪ B 对应「A 或 B」。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
有限可加性	finite additivity	两两不交的有限个集合，并集的测度等于各自测度之和。可数可加性是它的加强版：可数无穷多个集合也成立。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。