44 控制收敛定理（DCT）：有可积的「屋顶」，极限和积分就能交换 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

只要所有 $∣ f_{n} ∣$ 都被同一个可积函数 $g$ 压住（像一个固定的屋顶），那么 $f_{n} \to f$ 几乎处处就足以推出 $\int f_{n} \to \int f ，$ 而且更强地， $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$ 这是测度论里最常用的「极限换积分」定理。

位置：第 5 部分的高潮。MCT（第 36 页）要求单调，Fatou（第 41 页）只给不等式；DCT 不要求单调，却给出等号，代价是需要一个可积的上界。
它解决了什么：第 39 页的尖峰说明「只有逐点收敛」不够。尖峰失败的原因正是没有一个可积的屋顶能压住所有尖峰。DCT 说：有了这样的屋顶，质量就不会在极限中「逃走」。
证明的想法：上一页板书（第 43 页）已经指出：只要证明 $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 。$ 这一页对非负函数 $2 g - ∣ f_{n} - f ∣$ 用 Fatou 来证明它；证明的最后几行写在续页第 45 页。
在概率里： $E [X_{n}] \to E [X]$ 最常用的依据就是 DCT（第 3 讲第 20 页还会把它推广到依概率收敛）。

先补基础

基础补课「控制」是什么意思

被 $g$ 控制（dominated by $g ）$ ：对所有 $n$ 和（几乎）所有 $x ，$ $∣ f_{n} (x) ∣ \leq g (x) 。$

$g$ 不依赖 $n$ ：是一个固定的屋顶，所有 $f_{n}$ 都在它下面（以及 $- g$ 上面）。
$g$ 可积： $\int g d μ < \infty ，$ 屋顶下的面积有限。
例：在 $[0, 1]$ 上 $f_{n} (x) = x^{n} ，$ 取 $g \equiv 1 ：$ $∣ x^{n} ∣ \leq 1 ，$ $\int_{0}^{1} 1 d x = 1 < \infty 。$ ✓
反例：尖峰 $f_{n} = n 1_{(0, 1/ n)}$ 要求 $g (x) \geq sup_{n} f_{n} (x) \approx \frac{1}{x} ，$ 而 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x = \infty ，$ 找不到可积的屋顶。✗

基础补课证明里要用的三个小事实

三角不等式： $∣ a - b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣ 。$
下极限遇到常数：若 $c$ 是有限常数，则 $lim inf_{n} (c - a_{n}) = c - lim sup_{n} a_{n} 。$ 理由：把每一项取相反数，最低值变成最高值的相反数，再整体加上 $c 。$
$lim sup$ 与 $lim inf$ 的大小：总有 $lim inf a_{n} \leq lim sup a_{n} ；$ 若一列非负数的 $lim sup \leq 0 ，$ 则它收敛到 0。

课件原文逐句精读

课件原文Dominated convergence theorem

Theorem 36 (Dominated convergence theorem)（陈述与证明都在板书里）

中文翻译

定理 36（控制收敛定理）

印刷部分只有定理的名字，内容全部由老师手写。下面先把老师写的完整陈述整理成定理卡片，再逐句解释。

定理 36（控制收敛定理 DCT）

设 $(S, M, μ)$ 是测度空间， $f_{n}, f : S \to R$ 可测，并且

$f_{n} \to f$ $μ$ -几乎处处；
存在可测函数 $g : S \to [0, \infty) ，$ 使得对所有 $n ，$ $∣ f_{n} ∣ \leq g$ （几乎处处）；
$g \in L^{1} (μ) ，$ 即 $\int g d μ < \infty 。$

则 $f \in L^{1} (μ) ，$ 并且

\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0, \int f_{n} d μ \to \int f d μ .

逐个条件解释：

$f_{n}, f$ 可测、取实数值：可以有正有负（这是比 MCT、Fatou 更一般的地方）。
$f_{n} \to f$ $μ$ -a.e.（老师用粉色荧光笔标出）：只要求在一个零测集之外逐点收敛。零测集不影响积分（第 43 页），所以「几乎处处」就够。
存在 $g ，$ $∣ f_{n} ∣ \leq g$ ：同一个屋顶压住所有 $f_{n} 。$
$g \in L^{1} (μ)$ （老师补写 $\int ∣ g ∣ d μ < \infty ）：$ 屋顶的面积有限。这是整个定理的关键假设。
结论 1： $f \in L^{1} (μ)$ ：极限函数也可积。
结论 2： $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0$ ：叫「 $L^{1}$ 收敛」，比积分收敛更强（第 43 页例 5）。
结论 3： $\int f_{n} \to \int f$ ：我们最想要的「极限与积分交换」： $lim \int f_{n} = \int lim f_{n} 。$

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

Let $f_{n}, f : S \to R$ be measurable. Suppose
$f_{n} \to f$ $μ$ -a.e.（粉色荧光笔），suppose there $\exists$ measurable function
$g : S \to [0, \infty) ，$ nonnegative， $∣ f_{n} ∣ \leq g ，$ if $g \in L^{1} (μ)$ （下方注： $\int ∣ g ∣ d μ < \infty ）$
then $f \in L^{1} (μ)$ and
$\int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \to 0, \int f_{n} d μ \to \int f d μ$ .
pf. We know $f_{n} \to f$ $μ$ -a.e. and $∣ f_{n} ∣ \leq g \in L^{1} (μ)$ .
so $∣ f ∣ \leq g ，$ $f \in L^{1} (μ)$ .
Then $∣ f_{n} - f ∣ \leq ∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ \leq 2 g$ .
$\int n lim inf (2 g - ∣ f_{n} - f ∣) \leq n lim inf \int 2 g - ∣ f_{n} - f ∣$ （左边的 $∣ f_{n} - f ∣$ 用粉色荧光笔标出）
左边下方： $2 \int g ，$ 用「 $∥ 」$ （等号竖着写）表示左边等于它；右边： $= 2 \int g - n lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣$

第 1–5 行：定理的陈述

已整理进上面的定理卡片。注意老师把「几乎处处」专门涂了粉色：DCT 不需要处处收敛。

第 6–7 行：极限函数是可积的

在收敛的点上， $∣ f_{n} (x) ∣ \leq g (x)$ 对所有 $n$ 成立，令 $n \to \infty ，$ 不等号保持： $∣ f (x) ∣ \leq g (x) 。$ 所以 $∣ f ∣ \leq g$ 几乎处处。
于是 $\int ∣ f ∣ \leq \int g < \infty$ （零测集上的例外不影响积分），即 $f \in L^{1} (μ) 。$

第 8 行：差也被控制

三角不等式： $∣ f_{n} - f ∣ \leq ∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ \leq g + g = 2 g 。$ 所以 $2 g - ∣ f_{n} - f ∣ \geq 0$ ——得到了一列非负函数，可以用 Fatou 了。这就是第 43 页板书里圈出的「 $g_{n} \geq f_{n} - f 」$ 的想法。

第 9 行：对 $2 g - ∣ f_{n} - f ∣$ 用 Fatou

\int n lim inf (2 g - ∣ f_{n} - f ∣) d μ \leq n lim inf \int (2 g - ∣ f_{n} - f ∣) d μ .

第 10 行：分别化简两边

左边：粉色标出的 $∣ f_{n} - f ∣$ 几乎处处趋于 0，所以 $lim inf_{n} (2 g - ∣ f_{n} - f ∣) = 2 g$ （几乎处处），左边 $= \int 2 g = 2 \int g 。$ 老师把等号竖着写在下面。
右边： $\int (2 g - ∣ f_{n} - f ∣) = 2 \int g - \int ∣ f_{n} - f ∣$ （都有限，可以拆，第 43 页），再用「下极限遇到常数」： $lim inf_{n} (2 \int g - \int ∣ f_{n} - f ∣) = 2 \int g - lim sup_{n} \int ∣ f_{n} - f ∣ 。$
合起来：

2 \int g \leq 2 \int g - n lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣ d μ .

续页第 45 页从这里接着推出结论。

例子

例 1：

x^{n}

——最简单的 DCT

在 $[0, 1]$ 上 $f_{n} (x) = x^{n} 。$

逐点极限： $0 \leq x < 1$ 时 $x^{n} \to 0 ；$ $x = 1$ 时恒为 1。所以 $f_{n} \to 0$ 几乎处处（只有 ${1}$ 例外）。
找屋顶： $∣ x^{n} ∣ \leq 1 =: g ，$ $\int_{0}^{1} g = 1 < \infty 。$
DCT： $\int_{0}^{1} x^{n} d x \to \int_{0}^{1} 0 = 0 。$
验证： $\int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} \to 0 。$ ✓

例 2：在无穷区间上——

(1 + x / n)^{- n} \to e^{- x}

在 $[0, \infty)$ （勒贝格测度）上令 $f_{n} (x) = (1 + \frac{x}{n})^{- n} ，$ $n \geq 2 。$

逐点极限： $(1 + \frac{x}{n})^{n} \to e^{x} ，$ 所以 $f_{n} (x) \to e^{- x} 。$
找屋顶：先说明 $(1 + \frac{x}{n})^{n}$ 随 $n$ 递增。把 $n$ 个 $1 + \frac{x}{n}$ 和一个 $1$ 放在一起，共 $n + 1$ 个正数，它们的算术平均是 $\frac{n ( 1 + x / n ) + 1}{n + 1} = 1 + \frac{x}{n + 1} ，$ 几何平均是 $(1 + \frac{x}{n})^{n / (n + 1)} 。$ 由均值不等式（算术平均 $\geq$ 几何平均）， $(1 + \frac{x}{n})^{n / (n + 1)} \leq 1 + \frac{x}{n + 1} ，$ 两边取 $n + 1$ 次方得 $(1 + \frac{x}{n})^{n} \leq (1 + \frac{x}{n + 1})^{n + 1} 。$ 所以 $n \geq 2$ 时 $f_{n} (x) \leq (1 + \frac{x}{2})^{- 2} =: g (x) ，$ 而 $\int_{0}^{\infty} (1 + \frac{x}{2})^{- 2} d x = 2 < \infty$ （令 $u = 1 + \frac{x}{2}$ 换元即可算出）。
DCT： $\int_{0}^{\infty} (1 + \frac{x}{n})^{- n} d x \to \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 1 。$
验证：直接积分得 $\int_{0}^{\infty} (1 + \frac{x}{n})^{- n} d x = \frac{n}{n - 1} \to 1 。$ ✓

注意屋顶 $g$ 必须在整个 $[0, \infty)$ 上可积；常数 1 在这里不可积，所以要找一个衰减的屋顶。

例 3（反例）：没有可积屋顶——尖峰

$f_{n} = n 1_{(0, 1/ n)} ：$ $f_{n} \to 0$ 逐点，但 $\int f_{n} = 1 \neq \to 0 。$ 原因：任何屋顶都要满足 $g \geq sup_{n} f_{n} ，$ 在 $(\frac{1}{k + 1}, \frac{1}{k}]$ 上 $sup_{n} f_{n} = k ，$ 所以 $\int g \geq \sum_{k} k (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = \sum_{k} \frac{1}{k + 1} = \infty 。$ 条件 3 不满足，DCT 不适用，结论也确实错了。

例 4：概率的说法

若随机变量 $X_{n} \to X$ 几乎必然，且 $∣ X_{n} ∣ \leq Y 、$ $E Y < \infty ，$ 则 $E X_{n} \to E X 。$ 例： $X$ 可积， $X_{n} = X 1_{{∣ X ∣ \leq n}}$ （把很大的值截掉）。 $∣ X_{n} ∣ \leq ∣ X ∣ ，$ $X_{n} \to X ，$ 所以 $E [X 1_{{∣ X ∣ \leq n}}] \to E X 。$ 这个「截断」技巧在后面几讲里会反复出现。

动手试一试动手试一试：有屋顶 vs 没有屋顶

选「DCT： $f_{n} = x^{n} ，$ 被 $g \equiv 1$ 控制」，拖动 $n ：$ 橙色面积 $\int f_{n} = \frac{1}{n + 1}$ 稳稳地趋于 0。再选「尖峰」和「滑走的方块」：它们没有可积的屋顶，面积一直是 1，不跟着极限走。

推导：一步一步来

推导证明思路

先说明 $f$ 可积；再对非负函数 $2 g - ∣ f_{n} - f ∣$ 用 Fatou；最后消去有限数 $2 \int g ，$ 得到 $lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq 0$ （续页第 45 页）。

第 1 步（ $f$ 可测且可积）： $f$ 是可测函数 $f_{n}$ 的几乎处处极限，可测；在收敛的点上 $∣ f ∣ = lim ∣ f_{n} ∣ \leq g ，$ 所以 $\int ∣ f ∣ \leq \int g < \infty 。$

第 2 步（差被 $2 g$ 控制）： $∣ f_{n} - f ∣ \leq ∣ f_{n} ∣ + ∣ f ∣ \leq 2 g$ 几乎处处。因此 $h_{n} := 2 g - ∣ f_{n} - f ∣ \geq 0 。$

第 3 步（Fatou）： $\int lim inf_{n} h_{n} \leq lim inf_{n} \int h_{n} 。$

第 4 步（左边）：几乎处处 $∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ 所以 $lim inf_{n} h_{n} = 2 g ，$ $\int lim inf_{n} h_{n} = 2 \int g 。$

第 5 步（右边）： $\int h_{n} = 2 \int g - \int ∣ f_{n} - f ∣$ （ $\int g < \infty ，$ 可以拆），所以 $lim inf_{n} \int h_{n} = 2 \int g - lim sup_{n} \int ∣ f_{n} - f ∣ 。$

第 6 步（消去）： $2 \int g \leq 2 \int g - lim sup_{n} \int ∣ f_{n} - f ∣ 。$ 因为 $2 \int g$ 是有限数，两边减去它：

n lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣ d μ \leq 0.

（若 $\int g = \infty ，$ 这一步就是 $\infty \leq \infty - \dots ，$ 什么也推不出——这正是条件 3 不可缺少的原因。）后面的几步见第 45 页。

常见疑问与易错点

易错点问：屋顶 g 可以随 n 变化吗？

答：不可以。如果允许每个 $f_{n}$ 有自己的上界 $g_{n} ，$ 那 $g_{n} = ∣ f_{n} ∣$ 就总能用，定理就变成「任何收敛都能交换」，这是错的（尖峰）。 $g$ 必须是一个固定的可积函数，同时压住所有 $f_{n} 。$

易错点问：为什么要用 2g，而不是 g？

答：要控制的是差 $∣ f_{n} - f ∣ ，$ 它可能同时包含 $∣ f_{n} ∣$ 和 $∣ f ∣$ 两部分，每部分都不超过 $g ，$ 所以合起来不超过 $2 g 。$ 用 $2 g$ 只是为了让 $2 g - ∣ f_{n} - f ∣$ 一定非负，能用 Fatou。

易错点问：DCT 和 MCT 哪个更强？

答：互不包含。MCT 允许 $\int f = \infty 、$ 不需要可积的屋顶，但要求单调非负；DCT 不需要单调、允许负值，但需要可积的屋顶。遇到「非负递增」用 MCT，遇到「有可积上界」用 DCT。

易错点问：「几乎处处收敛」够了，那「依测度收敛」够不够？

答：也够，但要多一步（取一个几乎处处收敛的子列）。第 3 讲第 20 页–第 21 页会证明依概率收敛版本的 DCT。

小结与自测

小结本页小结

DCT： $f_{n} \to f$ a.e.， $∣ f_{n} ∣ \leq g ，$ $g$ 可积 ⇒ $f$ 可积， $\int ∣ f_{n} - f ∣ \to 0 ，$ $\int f_{n} \to \int f 。$
关键是一个固定的、可积的屋顶 $g ；$ 没有它（尖峰、滑走的方块）结论会错。
证明： $∣ f ∣ \leq g$ ⇒ $f$ 可积； $∣ f_{n} - f ∣ \leq 2 g ；$ 对 $2 g - ∣ f_{n} - f ∣ \geq 0$ 用 Fatou；消去有限的 $2 \int g$ 得 $lim sup \int ∣ f_{n} - f ∣ \leq 0 。$

自测

1. 用 DCT 求 $n \to \infty lim \int_{0}^{1} \frac{n x}{1 + n ^{2} x ^{2}} d x 。$ （提示： $2 n x \leq 1 + n^{2} x^{2} 。）$

点开看答案

逐点： $x > 0$ 时 $\frac{n x}{1 + n ^{2} x ^{2}} \leq \frac{n x}{n ^{2} x ^{2}} = \frac{1}{n x} \to 0 ；$ $x = 0$ 时为 0。屋顶：由 $2 n x \leq 1 + n^{2} x^{2}$ （即 $(n x - 1)^{2} \geq 0 ）$ 得 $\frac{n x}{1 + n ^{2} x ^{2}} \leq \frac{1}{2} ，$ 常数 $\frac{1}{2}$ 在 $[0, 1]$ 上可积。DCT ⇒ 极限为 0。直接算：积分 $= \frac{l n ( 1 + n ^{2} )}{2 n} \to 0 。$ ✓

2. 判断：在 $R$ 上， $f_{n} = \frac{1}{n} 1_{[0, n]}$ 满足 $∣ f_{n} ∣ \leq 1 ，$ 所以由 DCT， $\int f_{n} \to 0 。$

点开看答案

错误。 $f_{n} \to 0$ 逐点没错，但常数 1 在 $R$ 上不可积，不能当屋顶；事实上 $\int f_{n} = \frac{1}{n} \cdot n = 1 \neq \to 0 。$

3. 证明里哪一步用到了 $\int g < \infty ？$

点开看答案

两处：第 5 步把 $\int (2 g - ∣ f_{n} - f ∣)$ 拆成 $2 \int g - \int ∣ f_{n} - f ∣ ；$ 第 6 步两边消去 $2 \int g 。$ 若 $\int g = \infty ，$ 两处都会出现 $\infty - \infty 。$

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
依概率收敛	convergence in probability	对每个 ε > 0，P(\|Xₙ − X\| > ε) → 0；比几乎必然收敛弱。
三角不等式	triangle inequality	\|a + b\| ≤ \|a\| + \|b\|：分两段走的总路程不会比直接走更短。推广有 \|∫f\| ≤ ∫\|f\|、E\|X + Y\| ≤ E\|X\| + E\|Y\|，以及 Lᵖ 范数的 Minkowski 不等式。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
几乎必然收敛	almost sure convergence	除了概率为 0 的结局以外，Xₙ(ω) 都收敛到 X(ω)。
子列	subsequence	从一个数列里按顺序挑出无穷多项组成的新数列。

这一页在讲什么

先补基础

课件原文逐句精读

老师板书在说什么

第 1–5 行：定理的陈述

第 6–7 行：极限函数是可积的

第 8 行：差也被控制

第 9 行：对 2g−∣fn​−f∣ 用 Fatou

第 10 行：分别化简两边

例子

推导：一步一步来

常见疑问与易错点

小结与自测

第 9 行：对 $2 g - ∣ f_{n} - f ∣$ 用 Fatou