36 单调收敛定理（MCT） · 第1讲 · 高等概率论逐页精讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

如果一列非负可测函数在每个点上都递增地趋于 $f ，$ 那么它们的积分也递增地趋于 $\int f 。$ 一句话：对递增的非负函数列，「先取极限再积分」等于「先积分再取极限」。

位置：第 5 部分「MCT、Fatou 引理、DCT、BCT」的第一个定理（第 5 部分的路线图见第 35 页）。这四个定理都在回答同一个问题：什么时候可以把极限和积分交换顺序？ MCT 是其中最基本的一个，后面三个都要用它来证明。
来由：第 34 页板书最后问，二进逼近 $s_{n} ↑ f$ 时，是否有 $\int s_{n} ↑ \int f ？$ MCT 给出肯定的回答，而且对任何递增的非负可测函数列都成立，不限于简单函数。
本页内容：课件只印了定理的名字，定理的陈述和证明的前一半都是老师手写的。证明分两半：本页证明「 $f$ 可测」和「 $lim \int f_{n} \leq \int f 」；$ 另一半「 $\geq 」$ 在手写续页第 37 页。
概率意义：若随机变量 $0 \leq X_{1} \leq X_{2} \leq \dots$ 且 $X_{n} ↑ X ，$ 则 $E [X_{n}] ↑ E [X] 。$

先补基础

基础补课测度空间 (E, 𝓜, μ)（回顾）

测度空间是三件套：点的集合 $E 、$ 它上面的 σ-代数 $M$ （允许测量的子集清单）、测度 $μ : M \to [0, \infty]$ （详见第 12 页）。
老师在这里用 $(E, M, μ) ，$ 课件其他页用 $(S, S, μ) ，$ 只是字母不同： $E$ 对应 $S$ （空间）， $M$ 对应 $S$ （σ-代数）。
要分清层次：函数作用在点上， $f : E \to [0, \infty] ；$ 测度作用在集合上， $μ : M \to [0, \infty] 。$

基础补课递增数列一定有极限

若 $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \dots$ 都在 $[0, \infty]$ 中，那么 $lim_{n \to \infty} a_{n}$ 一定存在（可能是 $+ \infty ），$ 并且等于 $sup_{n} a_{n} 。$
理由：记 $L = sup_{n} a_{n} 。$ 若 $L$ 有限，对任意 $ε > 0 ，$ 由上确界的性质（第 33 页）存在某个 $a_{N} > L - ε ；$ 因为递增，所有 $n \geq N$ 都有 $L - ε < a_{N} \leq a_{n} \leq L ，$ 这正是 $a_{n} \to L 。$ 若 $L = \infty ，$ 对任意大数 $M$ 存在 $a_{N} > M ，$ 此后都 $> M ，$ 所以 $a_{n} \to \infty 。$
例： $a_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ 递增，极限 $1 = sup_{n} a_{n} ；$ $a_{n} = n$ 递增，极限 $\infty 。$
极限保持不等号：若每个 $a_{n} \leq b ，$ 则 $lim a_{n} \leq b$ （因为 $lim a_{n} = sup a_{n} ，$ 而 $b$ 是上界，最小上界不超过 $b ）。$

基础补课「交换极限与积分」是什么意思

左边的做法：先对每个点取极限，得到函数 $f = lim_{n} f_{n} ，$ 再积分： $\int lim_{n} f_{n} 。$
右边的做法：先对每个 $n$ 积分，得到一列数 $\int f_{n} ，$ 再对这列数取极限： $lim_{n} \int f_{n} 。$
两种做法一般不相等（第 39 页有反例）。MCT 说：在「非负 + 递增」的条件下，它们相等。

课件原文逐句精读

课件原文Monotone convergence theorem

Theorem 30 (Monotone convergence theorem)

中文翻译

定理 30（单调收敛定理）

这一页印刷的只有蓝条标题 Monotone convergence theorem（单调收敛定理）和定理的编号、名字。monotone 意为「单调的」，这里指函数列单调递增；convergence 意为「收敛」。常用缩写 MCT。定理的完整陈述是老师手写的，下面先把它整理成正式的定理，然后在板书一节逐行讲。

定理 30（单调收敛定理，MCT）

设 $(E, M, μ)$ 是任意测度空间， $f_{n} : E \to [0, \infty]$ （ $n = 1, 2, \dots ）$ 是非负可测函数，并且对每个 $x \in E ，$

f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq f_{3} (x) \leq \dots, f_{n} (x) \to f (x) .

那么 $f$ 可测，并且

\int_{E} f_{n} d μ ↑ \int_{E} f d μ, 即 n \to \infty lim \int_{E} f_{n} d μ = \int_{E} n \to \infty lim f_{n} d μ .

逐个条件看它管什么：

any measure space（任意测度空间）：不要求 $μ$ 有限，也不要求是勒贝格测度。计数测度、概率测度、实数轴上的长度都可以。
nonnegative（非负）：老师特意在 $f_{n}$ 上方写 nonnegative 并画箭头。去掉会怎样？见下面「常见疑问」里的反例。
measurable（可测）：每个 $f_{n}$ 的积分要有定义。
$f_{n} (x) ↑ f (x)$ for every $x$ （逐点递增）：这是「单调」的来源。它不是说积分递增，而是说在每个点上函数值一步步变大。去掉单调性，结论会失败（第 39 页）。
结论一： $f$ 可测。可测函数的极限是否可测，本身就需要证明；对递增列它很容易（见下面板书第 5 行）。
结论二： $\int f_{n} ↑ \int f$ 。两边都可以是 $+ \infty 。$

它让我们能做什么：

计算积分：取二进逼近 $s_{n} ↑ f$ （第 34 页），就有 $\int f = lim \int s_{n} 。$ 一般函数的积分变成了简单函数积分的极限。
证明积分的性质：先对简单函数证明，再用 MCT 取极限推广到一般函数。第 38 页就这样证明了 $\int (f + g) = \int f + \int g 。$
证明后面的收敛定理：Fatou 引理（第 41 页）和控制收敛定理（第 44 页）都建立在 MCT 之上。

老师板书在说什么

老师板书板书转写（按从上到下的顺序）

Let $(E, M, μ)$ be any measure space. If $f_{n} : M \to [0, 1]$ （在 $f_{n}$ 上方写 nonnegative，并画一个向下的箭头指向 $f_{n} ；$ 方括号里的第二个数看起来是 1，也可能是潦草的 $\infty ）$
are measurable and $f_{n} (x) ↑ f (x)$ for every $x \in M$
then $f$ is measurable and $\int f_{n} d μ ↑ \int f d μ$ .
Pf. NTS. $\int f_{n} \leq \int f$ （Pf 和 NTS 下面都画了线）
Since we have ${f > a} = ⋃_{n} {f_{n} > a}$
Monotonicity gives
$\int f_{n} d μ \leq \int f_{n + 1} d μ \leq \int f d μ$
then $lim_{n \to \infty} \int f_{n} d μ$ exists and $lim_{n \to \infty} \int f_{n} d μ \leq \int f d μ$ .

第 1–3 行：定理的陈述，以及三处记号笔误

老师写下的就是上面整理好的定理 30，但有三处需要改正：

定义域写成了 $M ，$ 应为 $E$ 。 $f_{n} : M \to \dots$ 的意思是「 $f_{n}$ 的输入是 $M$ 的元素」，而 $M$ 的元素是集合。可是 $f_{n}$ 是给点赋值的函数，它的输入应该是空间 $E$ 中的点，所以应写 $f_{n} : E \to [0, \infty] 。$
同理，「for every $x \in M 」$ 应为「for every $x \in E 」$ ：逐点递增是对空间中每个点 $x$ 说的。
值域 $[0, 1]$ 应为 $[0, \infty]$ （如果那个字符确实是 1）。MCT 对取值在 $[0, \infty]$ 的函数都成立；只写 $[0, 1]$ 虽然不算错（是特例），但太窄了：MCT 最常见的用法恰恰是极限 $f$ 很大甚至等于 $\infty$ 的情形，比如 $1_{[0, n]} ↑ 1_{[0, \infty)}$ （例 2）。

第 4 行：Pf. NTS.

Pf. 是 proof（证明）的缩写；NTS 是 need to show（需要证明）的缩写。
老师写 $\int f_{n} \leq \int f ，$ 意思是先证明一半： $lim_{n} \int f_{n} \leq \int f 。$ 另一半 $\geq$ 在续页第 37 页。
为什么要分两半？证明「两个数相等」的标准方法就是证明「 $\leq$ 且 $\geq 」。$ 在这里， $\leq$ 很容易， $\geq$ 需要真正的想法。

第 5 行：f 为什么可测

{f > a} = n = 1 ⋃ \infty {f_{n} > a} 对每个实数 a .

「 $\subseteq 」$ ：设 $f (x) > a 。$ 因为 $f_{n} (x)$ 递增趋于 $f (x) ，$ 所以 $f (x) = sup_{n} f_{n} (x) 。$ $a$ 比上确界小，就不是上界，所以存在某个 $n$ 使 $f_{n} (x) > a ，$ 即 $x \in {f_{n} > a} 。$
「 $\supseteq 」$ ：若对某个 $n$ 有 $f_{n} (x) > a ，$ 因为数列递增，极限不小于其中每一项， $f (x) \geq f_{n} (x) > a 。$
右边每个 ${f_{n} > a}$ 可测（ $f_{n}$ 可测），可数个可测集的并仍可测，所以 ${f > a}$ 可测。由第 29 页的定义， $f$ 可测。
注意这里用到了递增。对一般的逐点收敛列，这个等式不成立（例如 $f_{n} = 1 + \frac{1}{n}$ 递减趋于 $f = 1 ，$ 取 $a = 1 ：$ 左边 ${f > 1} = \emptyset ，$ 右边每个 ${f_{n} > 1}$ 都是整个空间）。一般情形的可测性要用第 40 页的下极限、上极限来处理。

第 6–7 行：单调性给出一串不等式

逐点有 $f_{n} \leq f_{n + 1}$ （递增的假设），并且 $f_{n + 1} \leq f$ （递增数列的每一项都不超过它的极限）。
由第 33 页命题 28 的单调性（函数大，积分就大）： $\int f_{n} d μ \leq \int f_{n + 1} d μ \leq \int f d μ .$

第 8 行：极限存在，并且不超过 ∫f

第 7 行说明数列 $\int f_{1}, \int f_{2}, \dots$ 是 $[0, \infty]$ 中的递增数列，所以极限存在（见基础补课），记为 $I = lim_{n} \int f_{n} d μ 。$
每一项都 $\leq \int f ，$ 极限保持不等号，所以 $I \leq \int f d μ 。$
这就完成了一半。剩下要证 $I \geq \int f d μ ，$ 见第 37 页。

图解：老师手写的定理陈述

这是板书第 1–3 行。读的时候请在脑中做三处替换：

第一行末尾 $f_{n} : M \to [0, 1]$ 读成 $f_{n} : E \to [0, \infty] ；$
第二行末尾 for every $x \in M$ 读成 for every $x \in E ；$
第一行 $f_{n}$ 上方的 nonnegative 和箭头：强调「非负」这个条件不能省。

第三行 $\int f_{n} d μ ↑ \int f d μ$ 中的箭头 $↑$ 同时表达了两件事：积分数列递增，而且收敛到 $\int f d μ 。$

例子

例 1：回答第 34 页的问题——二进逼近的积分

$f (x) = x$ 在 $([0, 1], B, Leb)$ 上，二进逼近 $s_{n} ↑ f ，$ 由第 34 页例 1 算得 $\int s_{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 ^{n + 1}} ：$

\frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{7}{16}, \frac{15}{32}, \dots ↑ \frac{1}{2} = \int_{[0, 1]} x d Leb .

MCT 保证这不是巧合：对任何非负可测 $f ，$ 二进逼近的积分都递增趋于 $\int f 。$

例 2：积分可以趋于 ∞

在 $(R, B, Leb)$ 上令 $f_{n} = 1_{[0, n]} 。$

逐点递增：若 $x \in [0, n] ，$ 则 $x \in [0, n + 1] ，$ 所以 $1_{[0, n]} \leq 1_{[0, n + 1]} 。$
逐点极限： $x \geq 0$ 时，只要 $n \geq x$ 就有 $f_{n} (x) = 1 ，$ 极限为 1； $x < 0$ 时恒为 0。所以 $f = 1_{[0, \infty)} 。$
$\int f_{n} = Leb ([0, n]) = n ↑ \infty = Leb ([0, \infty)) = \int f 。$

两边都是 $\infty ，$ MCT 照样成立。

例 3：截断 1/x，积分趋于 ∞

在 $((0, 1], B, Leb)$ 上，令 $f_{n} (x) = min (\frac{1}{x}, n) 。$

逐点递增：截断高度 $n$ 越大， $min (\frac{1}{x}, n)$ 越大（或不变）；极限是 $\frac{1}{x}$ （只要 $n \geq \frac{1}{x}$ 就等于 $\frac{1}{x} ）。$
用微积分算积分：在 $(0, \frac{1}{n}]$ 上 $\frac{1}{x} \geq n ，$ $f_{n} = n ；$ 在 $(\frac{1}{n}, 1]$ 上 $f_{n} = \frac{1}{x} 。$ 所以 $\int f_{n} d Leb = n \cdot \frac{1}{n} + \int_{1/ n}^{1} \frac{d x}{x} = 1 + ln n ↑ \infty.$
由 MCT， $\int_{(0, 1]} \frac{1}{x} d Leb = \infty ，$ 与第 29 页板书「 $1/ x$ 不可积」的结论一致。

例 4：概率中的用法——期望的极限

设随机变量 $X \geq 0 ，$ 令 $X_{n} = min (X, n)$ （把 $X$ 截在 $n ）。$ 则 $0 \leq X_{1} \leq X_{2} \leq \dots$ 且 $X_{n} ↑ X ，$ 由 MCT， $E [min (X, n)] ↑ E [X] 。$ 例如 $X$ 是掷一颗骰子的点数， $E [min (X, 1)] = 1 ，$ $E [min (X, 2)] = \frac{1 + 2 \cdot 5}{6} = \frac{11}{6} ，\dots\dots，$ $E [min (X, 6)] = E [X] = 3.5 ，$ 从 $n = 6$ 起不再变化。这个「先截断、再取极限」的手法在概率论中处处可见。

推导：一步一步来

推导证明思路

先证 $f$ 可测（上确界的集合 = 各个集合的并），再用单调性得到 $\int f_{n}$ 递增且都 $\leq \int f ，$ 从而极限存在且 $\leq \int f 。$ 反方向 $\geq$ 留给第 37 页。

把本页板书的证明整理成完整的步骤：

$f$ 是 $f_{n}$ 的上确界：对每个 $x ，$ $f_{n} (x)$ 是递增数列，极限 $f (x) = sup_{n} f_{n} (x)$ （基础补课）。特别地， $f \geq 0 ，$ 并且每个 $f_{n} \leq f 。$
$f$ 可测：对每个实数 $a ，$ ${f > a} = ⋃_{n} {f_{n} > a}$ （板书第 5 行，两个方向的包含关系已在上面证明），右边是可数个可测集的并。
积分递增： $f_{n} \leq f_{n + 1} ，$ 由命题 28（第 33 页）， $\int f_{n} \leq \int f_{n + 1} 。$
每个积分都不超过 $\int f$ ： $f_{n} \leq f ，$ 同样由命题 28， $\int f_{n} \leq \int f 。$
极限存在且 $\leq \int f$ ：第 3 步说明 $(\int f_{n})$ 是 $[0, \infty]$ 中的递增数列，极限 $I$ 存在；第 4 步说明 $\int f$ 是它的上界，所以 $I = sup_{n} \int f_{n} \leq \int f 。$
还差： $I \geq \int f 。$ 这一步不能再靠单调性，因为 $\int f$ 是所有下方台阶的上确界，我们要说明每个台阶 $s \leq f$ 的积分都 $\leq I 。$ 续页第 37 页用「打一个折扣 $c < 1 」$ 加上测度的从下连续性（第 13 页）完成这一步。

补充为什么「≥」这一半更难

想证 $I \geq \int f ，$ 就要对每个简单函数 $0 \leq s \leq f$ 证明 $\int s \leq I 。$ 困难在于： $s \leq f$ 只说明 $s$ 在 $f$ 下面，不保证 $s$ 在某个 $f_{n}$ 下面——每个 $f_{n}$ 都可能在某些点上比 $s$ 低。具体例子：在 $[0, 1]$ 上取 $f_{n} (x) = max (x - \frac{1}{n}, 0) ↑ f (x) = x ，$ 再取台阶 $s = \frac{1}{2} 1_{[\frac{1}{2}, 1]} \leq f 。$ 在点 $x = \frac{1}{2}$ 处， $s (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} ，$ 而每个 $f_{n} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{n} < \frac{1}{2} ，$ 所以没有任何一个 $f_{n}$ 能处处盖住 $s 。$ 解决办法（第 37 页）：把 $s$ 稍微压低成 $cs$ （ $0 < c < 1 ），$ 这样在 $s > 0$ 的点上， $f_{n}$ 迟早会超过 $cs ；$ 「迟早超过」的点组成的集合逐渐变大，由从下连续性，它们上面的积分趋于 $c \int s 。$

动手试一试动手试一试：单调收敛定理在做什么

默认例子就是单调收敛： $f_{n} = min (n, 1/ x)$ 一节节往上长， $\int f_{n} = 2 - \frac{1}{n} ↑ 2 = \int f 。$ 再切换到「尖峰」「滑走的方块」对比：它们不单调，积分就不跟着极限走。

常见疑问与易错点

易错点问：MCT 里的「单调」是指积分单调，还是函数单调？

答：条件是函数逐点单调递增：对每个 $x ，$ $f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq \dots 。$ 积分的递增 $\int f_{1} \leq \int f_{2} \leq \dots$ 是由它推出来的结论（板书第 7 行），不是条件。只知道积分递增是不够的。

易错点问：去掉「非负」会怎样？

答：结论可能失败。在 $(R, B, Leb)$ 上取 $f_{n} = - \frac{1}{n}$ （常数函数）。它们逐点递增趋于 $f = 0 。$ 但按「正部减负部」（第 33 页板书），每个 $\int f_{n} = 0 - \frac{1}{n} \cdot Leb (R) = - \infty ，$ 而 $\int f = 0 ，$ 所以 $lim \int f_{n} = - \infty \neq = 0 。$ 非负性保证了所有积分都在 $[0, \infty]$ 中，不会出现这种「负无穷」的情况。（非负可以放宽为「 $f_{1}$ 可积」，那是 MCT 的推广形式，这里不展开。）

易错点问：去掉「递增」会怎样？

答：结论也可能失败。第 39 页的例子： $f_{n} = n 1_{(0, 1/ n)}$ 逐点趋于 0，但每个 $\int f_{n} = 1 。$ 这列函数不是递增的（在 $x = 0.3$ 处： $f_{1} = 1, f_{2} = 2, f_{3} = 3, f_{4} = 0, \dots ）。$ 单调性保证了「质量」不会跑掉。

易错点问：MCT 需要 ∫f < ∞ 吗？

答：不需要。结论在 $[0, \infty]$ 中理解：如果 $\int f = \infty ，$ 结论就是 $\int f_{n} \to \infty$ （例 2、例 3）。这正是 MCT 方便的地方：不用事先知道积分是否有限。

小结与自测

小结本页小结

MCT：非负可测 $f_{n}$ 逐点递增趋于 $f$ $\Rightarrow$ $f$ 可测，且 $\int f_{n} ↑ \int f$ （可以等于 $\infty ）。$
可测性： ${f > a} = ⋃_{n} {f_{n} > a} ，$ 靠的是 $f = sup_{n} f_{n} 。$
本页证明了一半：单调性给出 $\int f_{n} \leq \int f_{n + 1} \leq \int f ，$ 所以 $lim \int f_{n}$ 存在且 $\leq \int f ；$ 另一半在第 37 页。
板书笔误： $f_{n} : M \to [0, 1]$ 应为 $f_{n} : E \to [0, \infty] ，$ $x \in M$ 应为 $x \in E 。$
非负和递增两个条件都不能去掉。

自测

1. 在 $([0, 1], B, Leb)$ 上， $f_{n} = 1_{[0, 1 - \frac{1}{n}]} 。$ 验证 MCT 的条件，求 $f$ 和 $lim \int f_{n} 。$

点开看答案

区间 $[0, 1 - \frac{1}{n}]$ 随 $n$ 变大，所以 $f_{n}$ 逐点递增。对 $x < 1 ，$ 只要 $1 - \frac{1}{n} \geq x$ 就有 $f_{n} (x) = 1 ，$ 极限为 1；对 $x = 1 ，$ 恒为 0。所以 $f = 1_{[0, 1)} 。$ $\int f_{n} = 1 - \frac{1}{n} ↑ 1 = Leb ([0, 1)) = \int f ，$ 与 MCT 一致。

2. 在 $[0, 1]$ 上， $f_{n} (x) = x^{1/ n}$ （约定 $0^{1/ n} = 0 ）$ 逐点递增趋于 $f = 1_{(0, 1]} 。$ 取 $a = \frac{1}{2} ，$ 验证 ${f > \frac{1}{2}} = ⋃_{n} {f_{n} > \frac{1}{2}} 。$

点开看答案

$x^{1/ n} > \frac{1}{2}$ 等价于 $x > 2^{- n} ，$ 所以 ${f_{n} > \frac{1}{2}} = (2^{- n}, 1] 。$ 这些区间随 $n$ 变大，并集是 $(0, 1] 。$ 而 ${f > \frac{1}{2}} = {x : 1_{(0, 1]} (x) > \frac{1}{2}} = (0, 1] 。$ 两边相等。

3. 判断：「若 $0 \leq f_{1} \leq f_{2} \leq \dots$ 逐点趋于 $f ，$ 并且每个 $\int f_{n} \leq 5 ，$ 则 $\int f \leq 5 。」$

点开看答案

正确。由 MCT， $\int f = lim \int f_{n} ，$ 而每一项都 $\leq 5 ，$ 极限保持不等号，所以 $\int f \leq 5 。$ 特别地， $f$ 可积。这是用 MCT 证明「极限函数可积」的典型方式。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
可测函数	measurable function	对每个 a，集合 {f > a} 都可测；这样的函数才能积分。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
Fatou 引理	Fatou's lemma	非负可测函数列满足 ∫ liminf fₙ ≤ liminf ∫ fₙ（只保证这个方向）。
单调收敛定理	monotone convergence theorem (MCT)	非负可测函数单调递增地收敛时，积分也收敛：∫fₙ ↑ ∫f。
控制收敛定理	dominated convergence theorem (DCT)	fₙ → f 几乎处处且 \|fₙ\| ≤ g、g 可积时，∫fₙ → ∫f。
有界收敛定理	bounded convergence theorem (BCT)	有限测度上一致有界、几乎处处收敛的函数列，积分收敛；是 DCT 的特例。
简单函数	simple function	只取有限个值的可测函数，是若干示性函数的线性组合，图像像台阶。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
测度空间	measure space	三元组 (S, 𝓜, μ)：空间、σ-代数、测度。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
上确界	supremum (sup)	最小的上界。最大值不一定存在，但有上界的实数集一定有上确界。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
单调递增	nondecreasing	后一项不小于前一项；单调有界的数列一定有极限。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
计数测度	counting measure	μ(A) = A 中元素的个数（无限集记为 ∞）。在 ℕ 上对它积分就是求和。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
逐点收敛	pointwise convergence	对定义域里的每一个点 x，数列 fₙ(x) 都收敛到 f(x)；这样得到的函数 f 叫逐点极限。
上极限	limit superior (lim sup)	数列「尾部的最大可能值」的极限；对集合则表示「发生无穷多次」。
下极限	limit inferior (lim inf)	数列「尾部的最小可能值」的极限；对集合则表示「从某一项起一直发生」。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
从下连续	continuity from below	集合一层层变大（Eₙ ↑ E）时，测度也跟着收敛：μ(Eₙ) → μ(E)。
正部	positive / negative part	f⁺ = max(f, 0)，f⁻ = max(−f, 0)，f = f⁺ − f⁻，\|f\| = f⁺ + f⁻。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
并集	union	至少属于其中一个集合的元素全体，A ∪ B 对应「A 或 B」。