13 反例一：计数测度不是 σ-有限的，两种积分顺序给出 1 和 0 · 第4讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

计数测度就是「数一数集合里有几个点」。在 $[0, 1]$ 上取勒贝格测度 $λ$ （长度）和计数测度 $μ ，$ 对单位正方形的对角线 $E = {y = x}$ 的示性函数做累次积分：先用 $μ$ 数点再用 $λ$ 量长度得 1，先用 $λ$ 量长度再用 $μ$ 数点得 0。函数非负、可测，Tonelli 定理却失效了，原因是计数测度在不可数集 $[0, 1]$ 上不是 σ-有限的。

位置：第 2 部分的第一个反例，说明 Tonelli/Fubini 定理里的「σ-有限」不能去掉。
对照：第 14 页的反例两边都是 σ-有限的，坏在「不可积」；这一页函数非负（不可积问题根本不存在），坏在「不 σ-有限」。
回顾第 11 页的四层台阶：σ-有限用在第 1 层（截口公式与乘积测度的唯一性），这一页正是第 1 层塌了。

先补基础

基础补课可数与不可数

可数集：元素能排成一列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ （有限集也算）。例： $N 、$ 整数、有理数。
不可数集：排不成一列。例：区间 $[0, 1]$ （康托尔对角线论证）。
可数个可数集（特别是可数个有限集）的并仍是可数集。
$[0, 1]$ 的任何可数子集长度为 0（每个点长度为 0，可数可加）。

基础补课σ-有限（回顾）

$μ$ 是 σ-有限的，指 $X = ⋃_{n = 1}^{\infty} E_{n} ，$ 每个 $μ (E_{n}) < \infty$ （第 2 页）。直观意思：整个空间可以切成可数多块「有限大」的部分。

课件原文逐句精读

课件原文Counter examples for Fubini's theorem

Definition (Counting measure). All subsets of $X$ are measurable sets. Then the counting measure $μ$ on this measurable space $(X, Σ)$ is the positive measure $Σ \to [0, + \infty]$ defined by

μ (A) = ∣ A ∣, if A is finite, μ (A) = + \infty, if A is infinite,

for all $A \in Σ$ , where $∣ A ∣$ denotes the cardinality of the set $A$ . The counting measure on $(X, Σ)$ is σ-finite if and only if the space $X$ is countable.

If $X$ is countable, e.g. $X = N$ , then the counting measure $c (A)$ , which simply counts the number of points in a subset $A$ . That is, $μ ({0, 1}) = 2$ , and $μ ({2, 4, 6, 8, \dots}) = \infty$ .
Example. Let $λ$ and $μ$ be the lebesgue measure and counting measure, respectfully on $([0, 1], B ([0, 1]))$ . Then for $E = {(x, y) \in R^{2} ∣ y = x}$ （以下留白）

中文翻译

蓝条标题：Fubini 定理的反例。

定义（计数测度）. 设 $X$ 的所有子集都是可测集。可测空间 $(X, Σ)$ 上的计数测度 $μ : Σ \to [0, + \infty]$ 定义为： $A$ 有限时 $μ (A) = ∣ A ∣ ，$ $A$ 无限时 $μ (A) = + \infty ，$ 其中 $∣ A ∣$ 表示 $A$ 的元素个数（基数）。 $(X, Σ)$ 上的计数测度是 σ-有限的，当且仅当 $X$ 是可数集。
若 $X$ 可数，例如 $X = N ，$ 计数测度就是数一数子集里有几个点。例如 $μ ({0, 1}) = 2 ，$ $μ ({2, 4, 6, 8, \dots}) = \infty 。$
例. 设 $λ 、$ $μ$ 分别是 $([0, 1], B ([0, 1]))$ 上的勒贝格测度和计数测度。对 $E = {(x, y) \in R^{2} ∣ y = x} ，$ （课件留白，见下一节。）

positive measure：取值非负的测度，就是我们一直说的测度。
cardinality：基数，有限集的基数就是元素个数。
第二条里 $c (A)$ 和 $μ (A)$ 是同一个东西，换字母是笔误。
lebesgue 应大写为 Lebesgue；respectfully（恭敬地）是笔误，应为 respectively（分别地）。
例子里计数测度放在 $B ([0, 1])$ 上，而不是全部子集上：这完全可以，计数测度对任何 σ-代数都有定义。

为什么「σ-有限 ⇔ 可数」

⇐： $X = {x_{1}, x_{2}, \dots}$ 可数，则 $X = ⋃_{n} {x_{n}} ，$ 每个单点的计数测度是 1，有限。
⇒：若 $X = ⋃_{n} E_{n}$ 且 $μ (E_{n}) < \infty ，$ 则每个 $E_{n}$ 都是有限集（计数测度有限 = 元素个数有限），可数个有限集的并是可数集，所以 $X$ 可数。

$[0, 1]$ 不可数，所以 $[0, 1]$ 上的计数测度不是 σ-有限的。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

例（完整解答）：对角线的两个累次积分

取 $E = {(x, x) : 0 \leq x \leq 1}$ （课件写的是 $R^{2}$ 里的直线 $y = x ，$ 这里限制在单位正方形里）， $f = 1_{E} 。$ 由第 6 页例 2， $E \in B \otimes B ，$ $f$ 非负、乘积可测。

先对 $y$ 用 $μ ，$ 再对 $x$ 用 $λ$ ：

\int_{0}^{1} [\int_{[0, 1]} 1_{E} (x, y) d μ (y)] d λ (x) = \int_{0}^{1} μ ({x}) d λ (x) = \int_{0}^{1} 1 d x = 1.

先对 $x$ 用 $λ ，$ 再对 $y$ 用 $μ$ ：

\int_{[0, 1]} [\int_{0}^{1} 1_{E} (x, y) d λ (x)] d μ (y) = \int_{[0, 1]} λ ({y}) d μ (y) = \int_{[0, 1]} 0 d μ (y) = 0.

$1 \neq = 0 。$

逐步说明：

第 1 步的内层：固定 $x ，$ 竖截口 $E_{x} = {x}$ 只有一个点，计数测度数出 1。对每个 $x$ 都是 1，外层是常数 1 在 $[0, 1]$ 上的积分，等于 1。
第 2 步的内层：固定 $y ，$ 横截口 $E_{y} = {y}$ 是一个点，长度为 0。对每个 $y$ 都是 0，外层是 0 对计数测度的积分，等于 0（无论把多少个 0 加起来都是 0）。
两个内层函数（常数 1 和常数 0）都可测，两个外层积分都有意义，问题不出在可测性上。

为什么 Tonelli 定理不适用： $f = 1_{E} \geq 0$ 可测，Tonelli 定理只剩一个条件，σ-有限。 $λ$ 是 σ-有限的， $μ$ 不是。

坏在哪里：矩形定不住对角线

在每个可测矩形 $A_{1} \times A_{2}$ 上，两种累次积分都给出 $λ (A_{1}) μ (A_{2}) ：$

先 $μ$ 后 $λ ：$ 竖截口是 $A_{2}$ （ $x \in A_{1}$ 时）， $\int_{A_{1}} μ (A_{2}) d λ = λ (A_{1}) μ (A_{2}) ；$
先 $λ$ 后 $μ ：$ 横截口是 $A_{1}$ （ $y \in A_{2}$ 时）， $\int_{A_{2}} λ (A_{1}) d μ = μ (A_{2}) λ (A_{1}) 。$

（约定 $0 \cdot \infty = 0 ：$ 例如 $λ (A_{1}) = 0 、$ $A_{2}$ 无限时两边都是 0。）

两种算法在所有矩形上一致，在对角线上却不一致。也就是说，「在矩形上取乘积」这条规则不足以确定对角线的测度。σ-有限时，π-λ 定理保证矩形能定住一切（第 7 页）；这里那个论证要做「有限减有限」，而计数测度到处都是 $\infty ，$ 论证进行不下去。

了解更多：还有第三个答案 ∞

如果用第 1 讲构造勒贝格测度的办法（用可数个矩形覆盖、取总代价的下确界，第 18 页）来造 $λ \times μ ，$ 对角线 $E$ 得到的值是 $+ \infty 。$

理由：设 $E \subseteq ⋃_{n} (A_{n} \times B_{n})$ 且总代价 $\sum_{n} λ (A_{n}) μ (B_{n})$ 有限。那么每个 $λ (A_{n}) > 0$ 的矩形都必须有有限的 $B_{n} 。$

$λ (A_{n}) = 0$ 的那些矩形，横坐标合起来是一个零测集 $Z ；$
$λ (A_{n}) > 0$ 的那些矩形只能盖住横坐标落在 $⋃ B_{n}$ 里的对角线点，而有限集的可数并 $C$ 是可数集。

于是 $[0, 1] \subseteq Z \cup C ，$ 可右边长度为 0，矛盾。所以任何覆盖的代价都是 $\infty 。$

同一个集合，三种「合理」的算法给出 $1 、$ $0 、$ $\infty 。$ 这说明没有 σ-有限时，「乘积测度」这个概念本身就不确定。

例子

例 1：ℕ 上的计数测度——积分就是求和

$X = N ，$ $μ$ 是计数测度，σ-有限。对 $a_{n} \geq 0 ，$ $\int a d μ = \sum_{n} a_{n} 。$ 例如 $\int_{N} 2^{- n} d μ (n) = \sum_{n \geq 1} 2^{- n} = 1 ；$ $μ ({2, 4, 6, \dots}) = \infty ；$ $μ ({0, 1}) = 2 。$ 第 12 页例 1、例 2 交换求和顺序，用的就是 $N$ 上计数测度的 Tonelli 定理，那里没有问题。

例 2：换成两个勒贝格测度，一切正常

同一个对角线 $E ，$ 两边都取勒贝格测度 $λ$ （σ-有限）：竖截口、横截口都是单点，长度 0，两个累次积分都是 0，等于 $E$ 的面积 $(λ \times λ) (E) = 0 。$ Tonelli 定理成立。只把一边换成不 σ-有限的计数测度，结果就分裂了。

例 3：概率里为什么遇不到这种问题

概率测度总是 σ-有限的（ $P (Ω) = 1 ），$ $R$ 上的勒贝格测度也是 σ-有限的， $N$ 上的计数测度（对应离散随机变量和级数）也是 σ-有限的。所以在概率论里用 Tonelli 时，σ-有限几乎总是自动满足。需要警惕的是不可数集上的计数测度这类「人造」测度。

常见疑问与易错点

易错点问：f = 𝟏_E 非负、可测，为什么 Tonelli 会失效？

答：Tonelli 定理有三个条件：非负、乘积可测、两个测度都 σ-有限。前两个满足，第三个不满足： $[0, 1]$ 不可数，计数测度不是 σ-有限的。

易错点问：为什么不能把计数测度说成「σ-有限」，[0,1] 不是可以拆成单点吗？

答：σ-有限要求拆成可数多块。 $[0, 1]$ 拆成单点要拆成不可数多块；拆成可数多块时，至少有一块是无限集，计数测度为 $\infty 。$

易错点问：这个例子里哪个累次积分「才是对的」？

答：都不是「对的」，因为根本没有唯一确定的乘积测度来作标准（见「了解更多」：外测度构造又给出 $\infty ）。$ 这正是要求 σ-有限的原因：σ-有限时乘积测度唯一，两种累次积分都等于它。

小结与自测

小结本页小结

计数测度： $μ (A)$ = $A$ 的元素个数（无限集为 $\infty ）；$ 它 σ-有限 ⇔ 空间可数。
反例： $[0, 1]$ 上 $λ$ （长度）与 $μ$ （计数），对角线 $E ：$ 先数点后量长度得 1，先量长度后数点得 0。
原因： $μ$ 不 σ-有限，「矩形上取乘积」定不住对角线的测度；外测度构造甚至给出 $\infty 。$
概率测度、勒贝格测度、 $N$ 上的计数测度都 σ-有限，平时可以放心用 Tonelli。
课件笔误：respectfully → respectively； $c (A)$ 即 $μ (A) 。$

自测

1. 在 $N$ 上的计数测度下， $μ ({1, 2, \dots, 10})$ 和 $μ ({n : n 是质数})$ 各是多少？

点开看答案

前者 10；质数有无穷多个，后者 $\infty 。$

2. 把例子中的对角线换成竖线段 $L = {\frac{1}{2}} \times [0, 1] 。$ 两个累次积分各是多少？

点开看答案

先 $μ$ 后 $λ ：$ 竖截口 $L_{x}$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 时是 $[0, 1]$ （计数测度 $\infty ），$ 其他 $x$ 为空；内层函数只在一个点上是 $\infty ，$ 对 $λ$ 积分得 $0 。$ 先 $λ$ 后 $μ ：$ 横截口 $L_{y} = {\frac{1}{2}} ，$ 长度 0，积分得 0。两者都是 0，这个集合恰好没有出问题。

3. 为什么说「计数测度在 $[0, 1]$ 上不 σ-有限」与「 $[0, 1]$ 不可数」是一回事？

点开看答案

计数测度有限的集合就是有限集。σ-有限 ⇔ $[0, 1]$ 是可数个有限集的并 ⇔ $[0, 1]$ 可数。 $[0, 1]$ 不可数，所以不 σ-有限。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
计数测度	counting measure	μ(A) = A 中元素的个数（无限集记为 ∞）。在 ℕ 上对它积分就是求和。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
示性函数	indicator function	𝟏_A(x) 在 x ∈ A 时取 1，否则取 0；它的积分就是 A 的测度。
累次积分	iterated integral	一层一层地积分：先固定一个变量、对另一个变量积分，再对剩下的变量积分。
Tonelli 定理	Tonelli's theorem	f 非负可测、两个测度 σ-有限时，二重积分等于两种顺序的累次积分，三者可以同时为 ∞。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
σ-有限	σ-finite	整个空间能切成可数多块测度有限的部分。概率测度、长度都满足；不可数集上的计数测度不满足。
Fubini 定理	Fubini's theorem	f 关于乘积测度绝对可积（∬\|f\| < ∞）时，二重积分等于两种顺序的累次积分。
可积	integrable (L¹)	∫\|f\| dμ < ∞。全体可积函数记作 L¹(μ)。
乘积测度	product measure	在每个可测矩形上取 μ₁(A₁)μ₂(A₂) 的唯一测度（σ-有限时）。平面面积就是长度 × 长度的乘积测度。
截口	slice (section)	固定一个坐标、把二维集合或函数「切一刀」：A_ω₁ = {ω₂ : (ω₁, ω₂) ∈ A}，f_ω₁(ω₂) = f(ω₁, ω₂)。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
有理数	rational number	能写成分数 p/q 的数，全体有理数记作 ℚ；它们可数，却在数轴上处处稠密。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
可测空间	measurable space	一个集合加上它上面的一个 σ-代数，例如 (Ω, 𝓕)；还没有给出测度。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
当且仅当	if and only if (iff)	「A 当且仅当 B」：A 成立就一定有 B，B 成立也一定有 A，两者同真同假，记作 A ⟺ B。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
可测矩形	measurable rectangle	形如 A₁ × A₂ 的集合，A₁、A₂ 分别是两个空间里的可测集。
π-λ 定理	Dynkin's π-λ theorem	π-系（对有限交封闭）包含于 λ-系时，它生成的 σ-代数也包含于该 λ-系。常用来证明「两个测度在生成元上相等就处处相等」。
下确界	infimum (inf)	最大的下界。例如 (0,1] 没有最小值，但下确界是 0。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
级数	series	无穷多项相加 a₁ + a₂ + …，它的值是前 n 项和在 n → ∞ 时的极限。
外测度	outer measure	用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。