23 构造完成：勒贝格测度正好满足概率的需要 · 第1讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

第 2、3 部分的成果汇总：勒贝格可测集组成的 σ-代数 $L (R)$ 包含所有博雷尔集，但不是全部子集；勒贝格测度 $m$ 在上面可数可加，区间的测度就是长度，而且是完备的。把它限制在 $[0, 1]$ 上，就得到均匀分布的概率 $P 。$

这一页收尾第 3 部分：从第 15 页的路线图出发，经过外测度（第 18 页）、卡拉泰奥多里判别（第 20 页）、维塔利定理（第 21 页、第 22 页），终于得到了一个可以用来谈概率的连续测度。

先补基础

基础补课⊆ 与 ⊊

$A \subseteq B ：$ $A$ 包含于 $B$ （可能相等）。
$A ⊊ B ：$ $A$ 包含于 $B$ 而且不相等，即 $B$ 里至少有一个元素不在 $A$ 里。

基础补课博雷尔 σ-代数 𝓑(ℝ)

博雷尔 σ-代数 $B (R)$ 是由所有开区间生成的 σ-代数（第 11 页）：包含开区间、闭区间、半开区间、单点、开集、闭集，以及它们的可数并、可数交、补集……日常能写出来的集合几乎都在里面。

课件原文逐句精读

课件原文Theorem 16 (Structure of Lebesgue measure)

The Lebesgue measurable sets and Lebesgue measure satisfy

B (R) \subseteq L (R) ⊊ 2^{R}, m ([a, b]) = b - a (a \leq b),

and, for pairwise disjoint $E_{n} \in L (R)$ ,

m (n \geq 1 ⋃ E_{n}) = n \geq 1 \sum m (E_{n}) .

A measurable set $Z$ with $m (Z) = 0$ is called null. Lebesgue measure is complete: every subset $N \subseteq Z$ is measurable and null.

中文翻译

定理 16（勒贝格测度的结构） 勒贝格可测集与勒贝格测度满足： $B (R) \subseteq L (R) ⊊ 2^{R} ，$ $m ([a, b]) = b - a$ （ $a \leq b ）；$ 并且对两两不交的 $E_{n} \in L (R) ，$ $m (⋃_{n \geq 1} E_{n}) = \sum_{n \geq 1} m (E_{n}) 。$

测度为 0 的可测集 $Z$ 称为零测集。勒贝格测度是完备的：零测集 $Z$ 的每个子集 $N \subseteq Z$ 都可测，而且也是零测集。

逐条解读：

$B (R) \subseteq L (R)$ ：所有博雷尔集都勒贝格可测。理由：区间都通过卡拉泰奥多里判别（第 20 页例 2）， $L (R)$ 是 σ-代数，而 $B (R)$ 是包含区间的最小 σ-代数（第 11 页的最小性），所以 $B (R) \subseteq L (R) 。$
$L (R) ⊊ 2^{R}$ ：不是所有子集都可测——维塔利集 $V$ 就是反例（第 22 页）。
$m ([a, b]) = b - a$ ：在区间上，勒贝格测度就是我们熟悉的长度。
可数可加：不交的可测集，测度可以相加。这正是第 12 页对测度的要求。
零测集与完备性：零测集的任何子集都可测且测度为 0（第 20 页例 1 已经证明了这一点）。

课件原文Corollary 17 (Uniform probability)

Let $L ([0, 1]) := {E \cap [0, 1] : E \in L (R)}$ . Then

P (A) := m (A), A \in L ([0, 1]),

defines the uniform probability measure on $[0, 1]$ .

中文翻译

推论 17（均匀概率） 令 $L ([0, 1]) := {E \cap [0, 1] : E \in L (R)} 。$ 那么 $P (A) := m (A)$ （ $A \in L ([0, 1]) ）$ 定义了 $[0, 1]$ 上的均匀概率测度。

$L ([0, 1])$ ：勒贝格可测集与 $[0, 1]$ 的交，也就是「 $[0, 1]$ 里的可测子集」，它是 $[0, 1]$ 上的 σ-代数。
$P (A) = m (A)$ ：事件的概率就是它的长度。因为 $m ([0, 1]) = 1 ，$ 这是一个概率测度。
于是得到概率空间 $([0, 1], L ([0, 1]), P) ：$ 在 $[0, 1]$ 上「均匀随机取一个点」终于有了严格的数学模型。

定理 16 + 推论 17（整理）

(R, L (R), m) 是完备的测度空间, ([0, 1], L ([0, 1]), P = m) 是概率空间 .

例子

例 1：用均匀概率计算

在 $[0, 1]$ 上均匀取一个点 $X ：$

$P (0.2 \leq X \leq 0.5) = m ([0.2, 0.5]) = 0.3 ；$
$P (X = 0.5) = m ({0.5}) = 0 ：$ 取到任何一个具体的点，概率都是 0；
$P (X 是有理数) = m (Q \cap [0, 1]) = 0$ （可数集是零测集，第 18 页）；
$P (X 是无理数) = 1 - 0 = 1 ；$
$P (X \in [0, 0.1] \cup [0.5, 0.7]) = 0.1 + 0.2 = 0.3$ （两段不相交，可加）。

例 2：不可数但测度为 0 的集合

康托尔集：从 $[0, 1]$ 开始，挖掉中间三分之一 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) ，$ 再从剩下两段各挖掉中间三分之一，无限进行下去。每一步剩下的总长是上一步的 $\frac{2}{3} ，$ 第 $n$ 步剩 $(\frac{2}{3})^{n} \to 0 ，$ 所以康托尔集的测度是 0；但它有不可数多个点。第 2 讲会用它构造「连续但没有密度」的分布（第 19 页）。零测集不一定可数。

例 3：完备性的用处

设某事件 $Z$ 的概率为 0，而 $N \subseteq Z$ 是它的一部分。完备性保证 $N$ 也是事件，概率也为 0。例如「取到的点在康托尔集里」概率为 0，那么「取到的点在康托尔集的某个奇怪子集里」也是事件，概率为 0，不会出现「不可测」的尴尬。

补充一个漂亮的联系：均匀取点 = 无穷次抛硬币

把 $[0, 1)$ 里的数写成二进制小数 $ω = 0. b_{1} b_{2} b_{3} \dots$ （每个 $b_{n}$ 是 0 或 1）。在勒贝格测度下：

「第 1 位 $b_{1} = 0 」$ 就是 $ω \in [0, \frac{1}{2}) ，$ 概率 $\frac{1}{2} ；$
「前两位是 01」就是 $ω \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) ，$ 概率 $\frac{1}{4} ；$
一般地，前 $n$ 位取定某个 0/1 串，对应一个长度 $2^{- n}$ 的区间，概率 $2^{- n} 。$

这和「独立抛 $n$ 次公平硬币得到某个指定结果」的概率完全一样。所以在 $[0, 1)$ 上均匀取一个点，等价于无穷次独立抛公平硬币（把 1 当正面）。第 7 页里的无穷次抛硬币模型，因此也有了严格的测度论基础——它就是 $([0, 1), L, m)$ 换了一种读法。

常见疑问与易错点

易错点问：𝓑(ℝ) 和 𝓛(ℝ) 有什么区别？用哪个？

答： $L (R)$ 比 $B (R)$ 大：它还包含零测博雷尔集的所有子集（完备化）。概率论里两者通常可以互换使用，因为它们只差「零测集的子集」，不影响任何概率计算。第 2 讲定义随机变量时常用 $B (R) 。$

易错点问：每个点的概率都是 0，为什么整个区间的概率是 1？

答：可数可加只允许可数个集合相加。 $[0, 1]$ 是不可数个单点的并，不能把单点的概率加起来。这正是第 1 页例 1 提出的问题的答案：概率是直接给区间定的，而不是从单点拼出来的。

易错点问：为什么只在 [0,1] 上定义均匀概率？能不能在整条实数轴上「均匀地」取一个点？

答：不能。「均匀」意味着长度相同的区间概率相同。把 $R$ 切成可数个不相交的单位区间 $[k, k + 1)$ （ $k$ 取遍所有整数），每段的概率都应该是同一个数 $q 。$ 由可数可加性， $P (R) = \sum_{k} q ：$ $q = 0$ 时总和是 0， $q > 0$ 时总和是 $\infty ，$ 都不可能等于 1。所以整条实数轴上不存在均匀分布；勒贝格测度 $m (R) = \infty$ 也不能通过乘一个常数变成概率。只有总长度有限的区间（例如 $[0, 1] ）$ 才能「均匀地」取点。

易错点问：测度为 0 的事件「不可能发生」吗？

答：不是。 $P (X = 0.5) = 0 ，$ 但 $X$ 取到 $0.5$ 并非不可能——每个具体的点都是这样。概率为 0 意思是「可以忽略」，不是「绝不发生」。这就是后面「几乎处处」（第 43 页）的出发点。

小结与自测

小结本页小结

$B (R) \subseteq L (R) ⊊ 2^{R} ：$ 博雷尔集都可测，但不是所有子集都可测。
勒贝格测度 $m ：$ 区间的测度是长度，可数可加，完备（零测集的子集可测且测度为 0）。
限制在 $[0, 1]$ 上： $P (A) = m (A)$ 是均匀概率，概率 = 长度。
可数集是零测集；零测集不一定可数（康托尔集）；概率为 0 不等于不可能。

自测

1. 在 $[0, 1]$ 上均匀取点，求 $P (X \in [0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{3}{4}, 1])$ 和 $P (X \neq = \frac{1}{2}) 。$

点开看答案

两段不相交，概率 $= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} 。$ $P (X \neq = \frac{1}{2}) = 1 - P (X = \frac{1}{2}) = 1 - 0 = 1 。$

2. 为什么 $B (R) \subseteq L (R) ？$ 用「最小性」说明。

点开看答案

所有区间都勒贝格可测，而 $L (R)$ 是 σ-代数，所以它是一个「包含所有区间的 σ-代数」。 $B (R)$ 是包含所有区间的最小 σ-代数，因此 $B (R) \subseteq L (R) 。$

3. 判断：零测集一定是可数集。

点开看答案

错误。康托尔集测度为 0 但不可数。反过来是对的：可数集一定是零测集。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
勒贝格可测	Lebesgue measurable	能被勒贝格测度称重量的集合（通过卡拉泰奥多里判别）。
σ-代数	sigma-algebra	允许谈概率的「事件清单」：含 Ω，对补集和可数并封闭。
勒贝格测度	Lebesgue measure	实数轴上「长度」的严格版本，定义在勒贝格可测集上，m([a,b]) = b − a。
博雷尔 σ-代数	Borel sigma-algebra	由实数轴上所有开区间生成的 σ-代数 𝓑(ℝ)，包含所有常见的集合。
子集	subset	A 的每个元素都在 B 里，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
可数可加性	countable additivity	两两不交的可数个集合，并集的测度等于各自测度之和。
区间	interval	数轴上的一段，[a,b] 包含端点，(a,b) 不包含端点。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
外测度	outer measure	用可数个区间覆盖集合，所有覆盖总长度的下确界 m*(E)；对每个子集都有定义。
卡拉泰奥多里	Carathéodory	卡拉泰奥多里判别：用 E 去切任何集合 A，两块外测度之和都等于 m*(A)。
元素	element	集合里的对象。ω ∈ Ω 读作「ω 属于 Ω」。
生成的 σ-代数	generated sigma-algebra	包含给定集合族的最小 σ-代数 σ(𝒞)：只加入「被逼着加入」的集合。
集合	set	把一些对象放在一起当成一个整体，例如 {1,2,3}。
补集	complement	样本空间里不属于 A 的元素全体，记作 Aᶜ，对应「A 不发生」。
可数	countable	元素能排成第 1 个、第 2 个、第 3 个……的一列（有限也算），例如自然数、有理数。
可测集	measurable set	σ-代数里的集合，也就是可以谈「测度多大」的集合；在概率空间里，可测集就叫事件。
两两不交	pairwise disjoint	一列集合中任意两个都没有公共元素，对应「任意两件事不会同时发生」。
零测集	null set	测度为 0 的集合，例如单点、有理数全体、康托尔集。
维塔利集	Vitali set	用选择公理造出的「坏」集合，证明了不可能给 ℝ 的所有子集定义长度。
概率测度	probability measure	总质量 P(Ω) = 1 的测度。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
概率空间	probability space	三元组 (Ω, 𝓕, P)：样本空间、事件的 σ-代数、概率测度。
康托尔集	Cantor set	反复挖掉中间三分之一得到的集合：不可数，但长度为 0。
不可数	uncountable	无论怎么排都排不成一列，例如区间 [0,1] 里的全体实数。
独立	independence	任意有限个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
几乎处处	almost everywhere (a.e.)	除了一个测度为 0 的集合之外都成立；零测集上的值不影响积分。