32 Cantelli 单侧不等式：只看一侧时比 Chebyshev 更紧 · 第2讲

这一页在讲什么

人话版一句话版

只关心「比均值大很多」（单侧）时，有比 Chebyshev 更好的界：

P (X - μ \geq t) \leq \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} (t > 0) .

它永远小于 1，并且在只知道均值和方差的前提下不能再改进。

位置：第 2 讲的最后一页，第 5 部分「用矩控制概率」的收尾。
核心技巧：在第 29 页的广义 Markov 里加一个平移参数 $u ，$ 得到一族上界，再挑最好的 $u 。$
和 Chebyshev 的区别：Chebyshev 控制的是双侧事件 ${∣ X - μ ∣ \geq t} ；$ 很多实际问题只怕一侧，比如「损失太大」「等待太久」「分数太低」。

先补基础

基础补课单侧偏差与双侧偏差

双侧： ${∣ X - μ ∣ \geq t} = {X - μ \geq t} \cup {X - μ \leq - t} ，$ 「偏离均值 $t$ 以上，往哪边都算」。
单侧： ${X - μ \geq t} ，$ 只算「往上偏」。
单侧事件是双侧事件的一部分，所以 Chebyshev 的 $\frac{σ ^{2}}{t ^{2}}$ 当然也是单侧的上界，只是可能太松。当 $t \leq σ$ 时， $\frac{σ ^{2}}{t ^{2}} \geq 1 ，$ 这个界毫无信息量。

基础补课平方的期望：方差加上均值的平方

若 $E Y = 0 、$ $E Y^{2} = σ^{2} ，$ 则对任意常数 $u ，$

E (Y + u)^{2} = E Y^{2} + 2 u E Y + u^{2} = σ^{2} + u^{2} .

（把平方展开，再用期望的线性。）

基础补课求一元函数的最小值

可导函数 $h (u)$ 在某点 $u^{*}$ 处取最小值的常用判断： $h^{'} (u^{*}) = 0 ，$ 并且 $h^{'}$ 在 $u^{*}$ 左边为负（函数在下降）、右边为正（函数在上升）。

课件原文逐句精读

课件原文Cantelli's one-sided bound

Theorem 30 (Cantelli's inequality)（以下留白）

中文翻译

蓝条标题：Cantelli 单侧界。

定理 30（Cantelli 不等式）（课件只有定理编号，内容留白，见下一节。）

one-sided：单侧的，只看一个方向的偏差。
Cantelli（坎泰利）是意大利数学家，第 3 讲开头的 Borel–Cantelli 引理（第 4 页）也有他的名字。

补全课件留白

补充说明

课件此处留白（课堂板书），以下内容由本站根据标准教材补写，记号与本课件保持一致；如与老师课堂写法不同，以老师为准。

定理 30（Cantelli 不等式）

设 $X \in L^{2}$ （第 22 页）， $μ = E X ，$ $σ^{2} = Var X 。$ 则对每个 $t > 0 ，$

P (X - μ \geq t) \leq \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}}, P (X - μ \leq - t) \leq \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} .

推导证明思路

直接对 $X - μ$ 用 Chebyshev，只能得到 $\frac{σ ^{2}}{t ^{2}} 。$ 改进的办法是先平移再平方：把事件 ${Y \geq t}$ 写成 ${Y + u \geq t + u} ，$ 对 $(Y + u)^{2}$ 用广义 Markov，得到依赖于 $u$ 的上界 $\frac{σ ^{2} + u ^{2}}{( t + u ) ^{2}} ，$ 最后选 $u$ 使它最小。

第 1 步（中心化）：令 $Y = X - μ ，$ 则 $E Y = 0 ，$ $E Y^{2} = σ^{2} 。$ 要证 $P (Y \geq t) \leq \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} 。$

第 2 步（平移后事件变大）：固定任意 $u \geq 0 。$ 因为 $t + u > 0 ，$

{Y \geq t} = {Y + u \geq t + u} \subseteq {(Y + u)^{2} \geq (t + u)^{2}} .

（若 $Y + u \geq t + u > 0 ，$ 两边都是正数，平方后大小关系不变。反过来不成立： $Y + u$ 很负时平方也可能很大，所以是 $\subseteq 。）$

第 3 步（广义 Markov）：对非负随机变量 $∣ Y + u ∣ 、$ 函数 $ψ (x) = x^{2} 、$ 门槛 $t + u$ 用第 29 页的命题 27：

P (Y \geq t) \leq P (∣ Y + u ∣ \geq t + u) \leq \frac{E ( Y + u ) ^{2}}{( t + u ) ^{2}} = \frac{σ ^{2} + u ^{2}}{( t + u ) ^{2}} =: h (u) .

这对每个 $u \geq 0$ 都成立。 $u = 0$ 时就是单侧版的 Chebyshev： $h (0) = \frac{σ ^{2}}{t ^{2}} 。$

第 4 步（选最好的 $u ）$ ：用商的求导法则，

h^{'} (u) = \frac{2 u ( t + u ) ^{2} - 2 ( σ ^{2} + u ^{2} ) ( t + u )}{( t + u ) ^{4}} = \frac{2 [ u ( t + u ) - σ ^{2} - u ^{2} ]}{( t + u ) ^{3}} = \frac{2 ( u t - σ ^{2} )}{( t + u ) ^{3}} .

分母为正，分子 $u t - σ^{2}$ 在 $u < \frac{σ ^{2}}{t}$ 时为负、在 $u > \frac{σ ^{2}}{t}$ 时为正。所以 $h$ 在 $u^{*} = \frac{σ ^{2}}{t}$ 处取最小值：

h (u^{*}) = \frac{σ ^{2} + σ ^{4} / t ^{2}}{( t + σ ^{2} / t ) ^{2}} = \frac{σ ^{2} ( t ^{2} + σ ^{2} ) / t ^{2}}{( t ^{2} + σ ^{2} ) ^{2} / t ^{2}} = \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} .

第 5 步（另一侧）：把上面的结论用于 $- X$ （均值 $- μ ，$ 方差仍是 $σ^{2} ）：$ $P (X - μ \leq - t) = P ((- X) - (- μ) \geq t) \leq \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} 。$ $■$

图解

图解：用一条抛物线盖住一个台阶

证明的本质是一个逐点不等式：对所有实数 $y ，$

1_{{y \geq t}} \leq \frac{( y + u ) ^{2}}{( t + u ) ^{2}} .

左边是一个台阶： $y < t$ 时为 0， $y \geq t$ 时为 1。
右边是一条开口向上的抛物线，最低点在 $y = - u$ （值为 0），在 $y = t$ 处恰好等于 1。 $y \geq t$ 时它 $\geq 1 ，$ 所以整条抛物线都在台阶上方。
两边对 $Y$ 的分布取期望，就是第 3 步的不等式。

怎样选 $u$ 才好？

$u = 0$ 时抛物线是 $\frac{y ^{2}}{t ^{2}} ，$ 最低点在 $y = 0 ，$ 也就是均值处。这就是 Chebyshev 的做法。
$u > 0$ 时，抛物线 $\frac{( y + u ) ^{2}}{( t + u ) ^{2}}$ 仍然经过点 $(t, 1) ，$ 最低点挪到均值左侧的 $y = - u ，$ 开口也变宽了：系数从 $\frac{1}{t ^{2}}$ 变成 $\frac{1}{( t + u ) ^{2}} 。$
代价：在均值附近抛物线抬高了一点（ $y = 0$ 处的值从 0 变成 $\frac{u ^{2}}{( t + u ) ^{2}} ）。$
好处：对远离均值的 $y$ （尤其是左侧很负的 $y ）$ 「收的罚款」少了很多。
取 $u^{*} = \frac{σ ^{2}}{t}$ 恰好平衡这两方面，使期望 $\frac{σ ^{2} + u ^{2}}{( t + u ) ^{2}}$ 最小。

例子

例 1：和 Chebyshev、正态分布的真实值对比（σ = 1）

$t$	Chebyshev $\frac{1}{t ^{2}}$	Cantelli $\frac{1}{1 + t ^{2}}$	若 $X \sim N (0, 1) ，$ 真实 $P (X \geq t)$
$0.5$	$4$ （无用）	$0.8$	$0.309$
$1$	$1$ （无用）	$0.5$	$0.159$
$2$	$0.25$	$0.2$	$0.0228$
$3$	$0.111$	$0.1$	$0.00135$

$t \leq σ$ 时 Chebyshev 毫无用处，Cantelli 仍然给出小于 1 的界。
$t$ 很大时两者趋于一致（ $\frac{1}{1 + t ^{2}} \approx \frac{1}{t ^{2}} ）。$
两者都比正态分布的真实值大得多：它们只用了均值和方差，必须对所有分布都成立，代价就是保守。

例 2：等号可以取到——两点分布

固定 $σ > 0 、$ $t > 0 ，$ 令 $p = \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} ，$ 定义

X = ⎩ ⎨ ⎧ t, - \frac{σ ^{2}}{t}, 概率 p, 概率 1 - p = \frac{t ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} .

均值： $t \cdot \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} - \frac{σ ^{2}}{t} \cdot \frac{t ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} = \frac{t σ ^{2} - t σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} = 0 。$
方差： $E X^{2} = t^{2} \cdot \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} + \frac{σ ^{4}}{t ^{2}} \cdot \frac{t ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} = \frac{σ ^{2} ( t ^{2} + σ ^{2} )}{σ ^{2} + t ^{2}} = σ^{2} 。$
尾概率： $P (X - 0 \geq t) = P (X = t) = p = \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} ，$ 与 Cantelli 的上界完全相等。

所以只知道均值和方差时，Cantelli 的界是最好的，不能再改进。注意第二个取值 $- \frac{σ ^{2}}{t} = - u^{*}$ 正是图解中抛物线的最低点：这个分布把质量全放在抛物线与台阶「贴合」的地方。

例 3：考试成绩

某次考试平均分 $μ = 70 ，$ 标准差 $σ = 10 ，$ 分布未知。

Cantelli： $P (分数 \geq 90) = P (X - 70 \geq 20) \leq \frac{100}{100 + 400} = 0.2 ，$ 最多 20% 的人考到 90 分以上。
Chebyshev：只能说 $P (∣ X - 70∣ \geq 20) \leq \frac{100}{400} = 0.25 。$
另一侧用 Cantelli 的另一半： $P (分数 \leq 50) = P (X - 70 \leq - 20) \leq \frac{100}{100 + 400} = 0.2 。$ 两侧加起来 $\leq 0.4 ，$ 比 Chebyshev 的双侧界 0.25 还差，所以双侧问题仍应该用 Chebyshev，单侧问题用 Cantelli。

例 4：一个漂亮的推论——中位数离均值不超过一个标准差

设 $m$ 是 $X$ 的中位数，即 $P (X \geq m) \geq \frac{1}{2}$ 且 $P (X \leq m) \geq \frac{1}{2} 。$ 断言 $∣ m - μ ∣ \leq σ 。$

反证：若 $m > μ + σ ，$ 令 $t = m - μ > σ ，$ 则 $P (X \geq m) = P (X - μ \geq t) \leq \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} < \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + σ ^{2}} = \frac{1}{2} ，$ 与 $P (X \geq m) \geq \frac{1}{2}$ 矛盾。
若 $m < μ - σ ，$ 令 $t = μ - m > σ ，$ 用另一侧的不等式： $P (X \leq m) = P (X - μ \leq - t) \leq \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} < \frac{1}{2} ，$ 与 $P (X \leq m) \geq \frac{1}{2}$ 矛盾。

例如指数分布 $Exp (1) ：$ $μ = 1 ，$ $σ = 1 ，$ 中位数 $m = lo g 2 \approx 0.693 ，$ 确实 $∣ m - μ ∣ \approx 0.307 \leq 1 。$

常见疑问与易错点

易错点问：单侧界为什么不能直接取 Chebyshev 的一半 σ²/(2t²)？

答：Chebyshev 控制的是两侧之和 $P (Y \geq t) + P (Y \leq - t) 。$ 只有分布对称时两侧才各占一半。对偏斜的分布，几乎全部的「偏差概率」可能都在一侧，例 2 的两点分布就是这样： $t > σ$ 时 $\frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} > \frac{σ ^{2}}{2 t ^{2}}$ （等价于 $t^{2} > σ^{2} ），$ 一侧的概率超过了 Chebyshev 的一半。

易错点问：为什么要求 u ≥ 0？

答：第 2 步需要 $t + u > 0 ，$ 才能保证「 $Y + u \geq t + u$ ⇒ $(Y + u)^{2} \geq (t + u)^{2} 」。$ 实际上 $u > - t$ 就够了，但最优的 $u^{*} = \frac{σ ^{2}}{t}$ 本来就是正数，限制 $u \geq 0$ 不损失任何东西。

易错点问：t ≤ 0 时呢？

答：定理只对 $t > 0$ 叙述。 $t \leq 0$ 时事件 ${X - μ \geq t}$ 包含了「不低于均值」的情形，概率可以接近 1，没有非平凡的上界。

第 2 讲回顾

小结第 2 讲五个部分串起来

随机变量、分布与期望（第 4 页–第 7 页）：随机变量是可测映射；期望是对 $P$ 的勒贝格积分；分布是推前测度；期望可以搬到 $R$ 上对分布积分。
用 CDF 计算期望（第 8 页–第 20 页）：CDF 决定分布；期望可以用 CDF 和尾部面积计算；逆变换法能造出任何分布；Pareto 分布的矩；有密度等价于绝对连续；Cantor 分布连续却没有密度；任何分布 = 离散 + 绝对连续 + 奇异连续。
尾部、有限矩与 $L^{p}$ （第 21 页–第 22 页）： $E X^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (X > t) d t ；$ $L^{p}$ 空间。
变换、乘积与和的界（第 23 页–第 27 页）：凸函数的支撑线 ⇒ Jensen； $L^{p}$ 的单调性；Hölder；Minkowski。
用矩控制概率（第 28 页–第 32 页）：广义 Markov（Markov、Chebyshev、Chernoff）；有限矩 ⇒ $t^{p} P (∣ X ∣ > t) \to 0 ，$ 反之不成立；Cantelli 单侧界。

下一讲（第 1 页）：有了期望和不等式，就可以研究无穷多个随机变量或事件——事件会不会无穷多次发生（Borel–Cantelli），随机变量序列的几种收敛方式，以及什么时候期望可以和极限交换。

小结与自测

小结本页小结

Cantelli： $P (X - μ \geq t) \leq \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}} ，$ 另一侧 $P (X - μ \leq - t) \leq \frac{σ ^{2}}{σ ^{2} + t ^{2}}$ （把 $X$ 换成 $- X ）。$
证明：平移 $u ，$ 对 $(Y + u)^{2}$ 用广义 Markov，得 $\frac{σ ^{2} + u ^{2}}{( t + u ) ^{2}} ，$ 取 $u^{*} = \frac{σ ^{2}}{t} 。$
比单侧使用 Chebyshev 更紧，并且永远 $< 1 ；$ 两点分布使等号成立，所以不能再改进。
推论：中位数与均值的距离不超过一个标准差。

自测

1. 某随机变量 $μ = 5 、$ $σ = 2 。$ 用 Cantelli 估计 $P (X \geq 9) ，$ 并与 Chebyshev 比较。

点开看答案

$t = 4 ：$ Cantelli 给出 $\frac{4}{4 + 16} = 0.2 ；$ Chebyshev 给出 $P (∣ X - 5∣ \geq 4) \leq \frac{4}{16} = 0.25 。$ 单侧问题 Cantelli 更紧。

2. 在第 3 步中取 $u = 0$ 会得到什么？为什么它在 $t < σ$ 时没用？

点开看答案

得到 $P (Y \geq t) \leq \frac{σ ^{2}}{t ^{2}} ，$ 即单侧使用 Chebyshev。 $t < σ$ 时 $\frac{σ ^{2}}{t ^{2}} > 1 ，$ 而概率本来就 $\leq 1 ，$ 这个界没有提供任何信息。

3. 取 $σ = 1 、$ $t = 1 ，$ 写出使 Cantelli 等号成立的两点分布，并验证它的均值和方差。

点开看答案

$p = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} ：$ $X = 1$ 或 $X = - 1 ，$ 各占概率 $\frac{1}{2} 。$ 均值 $0 ，$ 方差 $E X^{2} = 1 ；$ $P (X \geq 1) = \frac{1}{2} = \frac{1}{1 + 1} ，$ 等号成立。

本页术语中英对照（按出现顺序）

中文	English	白话解释
方差	variance	Var X = E[(X − E X)²]，衡量随机变量围绕均值的波动大小。
上界	upper bound	数集 A 的上界是一个数 M，A 里每个数都 ≤ M。例如 2 和 5 都是 [0,1] 的上界；所有上界中最小的那个叫上确界。
事件	event	样本空间的（允许谈概率的）子集；实现的 ω 落在里面，就说事件发生。
期望	expectation	随机变量对概率测度的积分 E[X] = ∫ X dP，也就是「加权平均」。
函数	function / map	f: A → B 给 A 中每个元素指定 B 中唯一一个元素。
Borel–Cantelli 引理	Borel–Cantelli lemma	概率之和有限 ⇒ 只发生有限次；独立且概率之和无穷 ⇒ 发生无穷多次。
随机变量	random variable	从样本空间到实数的（可测）函数，把结局翻译成数字；随机性来自「实现了哪个 ω」。
分布	law / distribution	X 把概率「推」到取值空间上得到的测度：L(X)(B) = P(X ∈ B)。
尾概率	tail probability	随机变量取到「很大的值」的概率，例如 P(X > t) 或 P(\|X\| ≥ t)。它随 t 增大而下降得越慢，分布的尾巴就越「厚」。
指数分布	exponential distribution	P(X > x) = e^(−λx)（x ≥ 0）的分布，均值 1/λ，常用来描述等待时间。
偏差概率	deviation probability	Xₙ 和目标 X 相差超过 ε 的概率 P(\|Xₙ − X\| > ε)。它趋于 0 就是依概率收敛；对每个 ε 它都可求和时，由 Borel–Cantelli 引理可推出几乎必然收敛。
勒贝格积分	Lebesgue integral	按函数值分块的积分：先定义简单函数的积分，再用下方的简单函数逼近取上确界。
测度	measure	给 σ-代数里的每个集合一个 [0, ∞] 中的「大小」，空集为 0，并且可数可加。
累积分布函数	cumulative distribution function (CDF)	F(x) = P(X ≤ x)，单调不减、右连续，完全决定分布。
逆变换法	inverse transform method	U 服从 (0,1) 上的均匀分布时，Q(U) 的分布函数恰好是 F，用来生成任意分布。
绝对连续	absolute continuity	函数版：小区间总长很小时增量总和也很小；测度版：Q ≪ P，P 为零的事件 Q 也为零。
奇异连续分布	singular continuous distribution	没有原子（每一点的概率都是 0），却没有密度的分布：全部质量集中在一个长度为 0 的集合上，例如康托尔分布。
凸函数	convex function	图像上任意两点连线都在图像上方的函数，例如 x²、eˣ。
无穷多次	infinitely often (i.o.)	「Aₙ 发生无穷多次」就是集合 lim sup Aₙ。